小学数学 整数裂项.教师版
第1讲 整数裂项
＝1＋1＋1＋……＋1＋1
3． 计算：1＋2＝＋1301＋4＋……＋48＋49＋50＋49＋48＋……＋4＋3
＋2＋1
【答案】 原式＝502＝2500
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4． 观察下列规律，在括号里填入适当的数。 1×2＝[1×2×( 3 )－( 0 )×1×2]÷3 2×3＝[2×3×( 4 )－( 1 )×2×3]÷( 3 ) 3×4＝[3×4×( 5 )－( 2 )×3×4]÷( 3 ) 49×50＝[49×50×( 51 )－( 48 )×49×50]÷( 3 ) 2×4＝[2×4×( 6 )－( 0 )×2×4]÷( 6 )
【答案】 原式＝(50＋49－48－47)＋(46＋45－44－43)＋……＋(6＋5－4－3)＋2＋1 ＝4×12＋2＋1＝51
2． 计算：(1＋3＋5＋7＋……＋199＋201)－(2＋4＋6＋8＋……＋
【答案】
198＋200) 原式＝1＋(3－2)＋(5－4)＋……＋(199－198)＋(201－200)
（2）1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100
【答案】 1×2＋3×4＋5×6＋7×8＋……＋97×98＋99×100 ＝2＋(2×4＋4)＋(4×6＋6)＋(6×8＋8)＋……＋(96×98＋98)＋(98×100＋100) ＝(2×4＋4×6＋6×8＋……＋96×98＋98×100)＋(2＋4＋6＋8＋……＋98＋100) ＝98×100×102÷6＋(2＋100)×50÷2 ＝169150
项可以相互抵消。S＝(49×50×51)÷3＝41650
例题2
1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52
【答案】 设S＝1×4＋4×7＋7×10＋……＋46×49＋49×52 4×7＝(4×7×10－1×4×7)÷9 7×10＝(7×10×13－4×7×10)÷9 …… 49×52＝(49×52×55－46×49×52)÷9 将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2021年整理)小学六年级奥数裂项第一讲
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小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1。
掌握分数裂项的基本原理。
2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算.一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点.2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。
第一类：“裂差"型运算。
当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型)，则可以进行裂差.两项的裂差非常重要，一定要掌握。
第二类：“裂和”型运算。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项根本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，互相抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×〔4－1〕＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×〔5－2〕＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×〔51－48〕=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进展计算．对于项数较多的情况，可以进展如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×〔10－1〕＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×〔13－4〕＝7×10×13－4×7×10例题精讲知识点拨整数裂项49×52×9＝49×52×〔55－46〕＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =〔49×52×55＋1×4×2〕÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进展整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进展整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，此题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进展计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯， 那么123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯如今知道A 与B 的和了，假如能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ 其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009! 【例 4】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数的裂项公式是学生的拔高基础、提高奥数水平的必修课，也是升学考
试得高分的基础。
因此，小学奥数裂项公式大全在现在的考试当中也起着非常重要的作用。
首先，小学奥数裂项公式大全中一般包含了六种常见的裂项公式，分别是除式
裂项、乘式裂项、巴什博式十进制数字裂项、欧拉公式、线性公式和立方公式。
接下来，小学奥数裂项公式大全中常用的除式裂项公式就是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，一个数字57的除式裂项是7x8，其
中7和8都是57的因子。
而乘式裂式是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，
一个数字24可以分解成2x2x2x3，其中2、2、2和3都是24的因子。
此外，线性公式和立方公式是小学奥数裂项公式大全中比较难掌握的两种公式，一般而言，线性公式要求学生分解多项式，立方公式要求学生对三角函数进行解析，两者都需要孩子掌握多项式的分解和三角函数的知识。
最后，学习小学奥数的裂项公式大全，在实践中学生要多练习，通过正确、错
误的练习来认识公式，总结常识，这样才能够真正掌握小学奥数的裂项公式大全。
以上就是小学奥数裂项公式大全的介绍。
整数裂项知识点
整数裂项知识点一、知识概述《整数裂项知识点》①基本定义：整数裂项呢，简单说就是把一个整数乘积形式的式子分解成几个式子相加减的形式。
比如说n×(n + 1)，可以裂项成n×(n + 1)= (n²+ n)等类似这样更方便运算或者找规律的形式。
②重要程度：在数学学科里，特别是小学奥数和中学数学数列、求和等问题里非常重要。
好多复杂的计算、找规律问题，用整数裂项就能很巧妙地解决，就像一把钥匙打开难题的锁。
③前置知识：得先掌握好基本的整数运算，像加、减、乘、除，还有简单的数列知识，比如等差数列这些。
要是这些都没学明白，整数裂项就有点难理解了。
④应用价值：实际中像算一堆有规律物品的总数。
打个比方，有一堆相同形状的积木，按照一定规律摆放，每一层的积木数量是个整数列，要算总数用整数裂项就可能轻松解决，在工程计算、经济计算中类似的有规律数量计算也会用到。
二、知识体系①知识图谱：在数学里，它是数列知识体系中的一部分，是为了更简便求解数列和或者一些与整数乘积相关运算的分支。
②关联知识：和数列、代数运算、数学归纳法等知识密切相关。
数列求和时可能用到整数裂项来简化式子；代数运算里它又属于一种特殊的式子变形技巧；数学归纳法有时候可以用来验证整数裂项的正确性。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，一开始挺难掌握的。
因为要学会找出规律来裂项，不是随便拆拆就行。
像有时候一个式子同时包含几种可能的裂项形式，要准确找到，有一定挑战性。
- 关键点：关键是要找到正确的裂项形式。
所以得对式子观察得特别仔细，看看每个数和整体式子的关系，然后根据式子的特点来裂项。
④考点分析：- 在考试中的重要性：在奥数竞赛和中学数学考试里，这可是个常考内容啊，特别是在和数列有关的大题中经常出现。
- 考查方式：一般是给个需要求和或者化简的式子，让你用整数裂项的方法进行计算或者化简。
有时候也会出在找规律的题型里，让你先找出裂项规律，再进行计算。
a小学数学奥赛1-2-2-2 整数裂项.教师版
整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++L()()222129129=+++++++L L 119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330=采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L 这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7例题精讲知识点拨整数裂项7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………. 49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S ＝49×52×55＋1×4×2 S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++L【答案】2970【例 4】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L ． 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可以进行整数裂项． 357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++L 1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+L()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯L ()()333351943519=+++-⨯+++L L()()3333135194135193=++++-⨯+++++L L而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++L L L22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==L ，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可进行整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++L L7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯-768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=L 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L ， 则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了． 12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦L33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++L L221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200=所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯L 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯L()213520012003=⨯+++++L()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=L 得出2135200120031002+++++=L【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=L【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，…… 20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-L L ，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=BA122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦L 1991001013333003=⨯⨯⨯=1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=L3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
部编版数学六年级暑假第8讲.整数裂项与通项归纳
第八讲五年级春季比较与估算六年级暑期分数裂项六年级暑期整数裂项与通项归纳六年级寒假计算模块综合选讲一六年级春季计算模块综合选讲二掌握整数裂项技巧；灵活运用通项归纳的技巧进行巧算漫画释义知识站牌在第一讲我们学过分数裂项，也就是大家看到的下面的题目：111111335577999101+++++⨯⨯⨯⨯⨯ .但是如果来了一个怪兽，它非常喜欢吃分数，尤其喜欢吃分数的分子，结果这个怪兽就把上题的分子吃掉了，只剩下1335577999101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯ 了，此时还可以用我们的法宝（裂项）计算吗？也许是因为怪兽只吃到了分数的皮毛，分数没有受到很大的伤害，因此法宝还可以继续使用，这就是我们今天要学习的整数裂项.1.掌握整数裂项的技巧，并能理解整数裂项与分数裂项的联系和区别2.灵活运用通项归纳的技巧进行巧算一、整数裂项()()()112231123⨯+⨯++⨯+=⨯⨯+⨯+ n n n n n 例如：1×2+2×3+3×4+…+9×10()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；……()19109101189103⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯；那么，原式=（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+9×10×11-8×9×10）13⨯=（9×10×11-0×1×2）13⨯=330二、通项归纳一些计算题目中，如果题目中给出数字很有规律，而且题目又很长，那么我们通常就可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行计算，找到非常简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项最终达到简算的目的，这就是通项归纳的技巧．课堂引入经典精讲教学目标第八讲模块一：裂项例1：因数差1的整数裂项例2：因数差不是1的整数裂项例3：多个因数乘积的整数裂项例4：整数裂项的应用模块二：通项归纳例5：整数裂项中的通项归纳例6：平方差公式中的通项归纳模块三：综合运用例7：通项归纳的灵活运用例8：裂项的综合运用计算：⑴12231920⨯+⨯++⨯= ________．⑵4556675960⨯+⨯+⨯++⨯= ________．（学案对应：超常1，带号1）【分析】⑴本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式：)1=192021012=26603⨯⨯-⨯⨯⑵原式()7196054361605931=⨯⨯-⨯⨯=.计算：⑴35573335⨯+⨯++⨯= ________．⑵14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________（学案对应：超常2）【分析】（1）原式=()712053137353361=⨯⨯-⨯⨯．（2）原式()15572741555249914=⨯⨯-⨯⨯+=例题思路计算：⑴12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⑵1234234534569101112⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= ⑶123423453456(1)(2)(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++= ⑷357579192123⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ⑸135735795791119212325⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （学案对应：带号2）【分析】⑴()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，原式()1910111201234=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++=+++ ．⑵()()()()()()()()1112(3)123(4)112(3)55n n n n n n n n n n n n n n +++=++++--+++，原式()1910111213012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯19101112135=⨯⨯⨯⨯⨯30888=⑶()()12342345345612(3)n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()1123(4)5n n n n n =++++⑷原式()11921232513578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯28665=⑸原式1105(192123252713579)10=+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯619458=计算：1!32!43!54!62012!20142013!⨯-⨯+⨯-⨯+-⨯+= ．【分析】观察下面的规律：1!31!(12)1!2!⨯=⨯+=+，2!42!(13)2!3!⨯=⨯+=+原式1!2!2!3!3!4!4!5!2011!2012!2012!2013!2013!=+--++--+++--+ 1=．第八讲1111121223122334122334910++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434591011=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 31111112122323349101011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3112121011⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭81110=大约1500年前，欧洲的数学家们是不会用“0”的.他们使用罗马数字.罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目.在这种数字的运用里，不需要使用“0”.后来，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号.有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍.过了一段时间，这件事被教皇知道了.当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，教皇的权力更是远远超过皇帝.教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，使他两手残废，再也不能握笔写字.就这样，“0”被那个愚昧、残忍的教皇明令禁止了.虽然“0”被禁止使用，但是罗马的数学家们还是不管禁令，在数学研究中仍然秘密地使用“0”，并做出了很多贡献.后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.计算：22222222246201231517120131⨯⨯⨯⨯=---- （学案对应：超常3，带号3）【分析】通项归纳：()()()222222221211n n n nn n n n ⨯==⨯+++-原式=1231006123410071007⨯⨯⨯⨯=计算：222222221223201220132013201412232012201320132014++++++++⨯⨯⨯⨯ （学案对应：超常4，带号4）【分析】（法1）：可先来分析一下它的通项情况，2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n ++++==+=+⨯+⨯+⨯++原式=213243542013201220142013()()()()()()122334452012201320132014++++++++++++ 2013201320132402620142014=⨯+=（法2）：22222(1)2211122(1)(1)n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+原式1111222212232012201320132014=++++++++⨯⨯⨯⨯ 120132(1)2014=⨯+-201340262014=计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【分析】设原式=BA()3333002101011009931=⨯⨯-⨯⨯=+A B 500099252322=⨯++⨯+⨯+=- A B 原式=B A ()()()()3283338350003333005000333300=-+=--+-++=A B A B A B AB第八讲1.计算：1234234517181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【分析】原式()11718192021012345=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯488376=2.计算：357579313335⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式()13133353713578=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯165585=3.计算111111111335192124______111111111111123234345192021++++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…【分析】利用裂和的方法可以将每一项展开原式111111113351912421111111111111111111111111123123234234345345192021192021=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯...11111111111111111111111123123423453420211920=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (23123423453420211920)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…兔妈妈买来10个萝卜，准备分给四个小宝宝.她把10个萝卜分成4份．从左到右分别是1个、2个、3个、4个.小黑闹着要吃那份最多的.妈妈说：“你如果能只移动1个萝卜，使4份萝卜的排列顺序倒过来，从左到右分别是4个、3个、2个、1个，那就给你最多的.”大家能帮帮小黑吗？答案：把第四堆的第三个萝卜移到第一堆和第二堆之间.附加题=（1×2+2×3+…+19×20）+（2×3+3×4+…+20×21）通过整数裂项方法得到结果．原式11192021(202122123)573833=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=4.147474647464547464521525251525150525150495251504965⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析】首先把每项分数约分．14747464746454321525251525150525150495251504948⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 再将原式各项的分母都通分为5251504948⨯⨯⨯⨯，则各项的分子依次为51504948⨯⨯⨯，50494847⨯⨯⨯，49484746⨯⨯⨯，…………4321⨯⨯⨯．计算中可以应用下面的公式：()()()12342345123n n n n ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++++ ()()()()112345n n n n n =++++．根据上面的公式，分子的和为148495051525⨯⨯⨯⨯⨯，与分母约分，结果为15．5.222222222222233333333333331121231234122611212312341226+++++++++-+-+-=+++++++++ 【分析】先找通项公式：2222223333(1)(21)1232212116()(1)1233(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯++++++===⨯=⨯+⨯+++++⨯++ ，所以，原式21111111131223342627⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2152132781⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭6.计算1×100+2×99+3×98+…+98×3+99×2+100×1=.【分析】通项公式2(101)101n a n n n n =-=-，所以原式1101(1100)10021001012016=⨯+⨯÷-⨯⨯⨯=1717007.计算：2323233--- （共2013条分数线）=【分析】32272133321--==-第八讲43261521332772133--=-==--5421431213321515213233--=-==--- (212)2132213233n n ++--=---，所以2013条分数线的话，答案应该为201520142121--一、整数裂项1122334(1)(1)(1)3n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=-⨯⨯+ 1123234345(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=-⨯-⨯⨯+ 110111112121399100(9910010191011)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯-⨯⨯ 二、通项归纳解题步骤1.找规律，归纳第n 项公式2..将归纳出的公式用到每一项，进行计算1.请计算：1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【分析】原式()4165021051504931=⨯⨯-⨯⨯=.2.请计算：24462426⨯+⨯++⨯= ________．【分析】原式()291242028262461=⨯⨯-⨯⨯=3.计算：2464686810222426⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【分析】原式家庭作业知识点总结()12224262802468=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48048=4.计算：2013!(1!2!23!34!42011!20112012!2012)-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯= ．【分析】观察下面的规律：1!11!(21)2!1!⨯=⨯-=-2!22!(31)3!2!⨯=⨯-=-原式2013!(2!1!3!2!4!3!2012!2011!2013!2012!)=--+-+-++-+- 2013!(2013!1!)=--1=5.计算：111112122312233412233499100++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯++⨯ 【分析】由于()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则()()()131223112n n n n n =⨯+⨯++⨯+++ ，原式333312323434599100101=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 311111121223233499100100101⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦311212100101⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭1514720200=6.计算：22222223992131991⨯⨯⨯=--- 【分析】通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 29999110050=⨯=7.计算：2222122318191920⨯+⨯++⨯+⨯ 【分析】方法一：2(1)(1)[(2)1](1)(2)(1)n a n n n n n n n n n n =+=++-=++-+原式123122342318192018191920211920=⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯++⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯ 123234181920192021(122318191920)=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯++⨯+⨯第１１级上超常体系教师版第八讲111920212219202143=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯41230=方法二：分拆(21-)232222⨯=-，(31-)232333⨯=- 再用公式原式323232333222(22)(33)(2020)(12320)(12320)=-+-++-=++++-++++ 221120212021414123046=⨯⨯-⨯⨯⨯=8.计算：12343456567817181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= （提示：()2333211214n n n +++=+ ）【分析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678916171819B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则12342345345617181920A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 117181920214883765=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．1234234534564567567817181920A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...171819)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)18(181)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24618)4(24618)=⨯++++-⨯++++ 221148*********=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯64440=所以，()488376644402276408A =+÷=．【超常班学案1】计算：⑴34455619202021⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⑵233445100101⨯+⨯+⨯++⨯= 【分析】⑴134=345-2343⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；145=56-3453⨯⨯⨯⨯⨯⨯（4）；156=67-4563⨯⨯⨯⨯⨯⨯（5）；……12021=2122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯（20）；原式=15-234+56-35++202122-1920213⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （3444）超常班学案第１１级上超常体系教师版=1202122-2343⨯⨯⨯⨯⨯（）=3072⑵原式(234123)(345234)(10010110299100101)3⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯= ()11001011021233=⨯⨯⨯-⨯⨯343398=本题也可直接采用结论：()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ ，则原式()1223344510010112=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 110010110223=⨯⨯⨯-343398=【超常班学案2】请计算：（1）25588116265⨯+⨯+⨯++⨯= ________；（2）3771111156367⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()110626568258304509=+⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()12163677137112497612=+⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常班学案3】计算：121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【分析】通项公式为：()()()1121231212n n n n n n n n n n +++++==⨯+++-+-+ ，（n 从2开始）原式32435451501425364952=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3507515226=⨯=【超常班学案4】计算：22222212231001011223100101++++++⨯⨯⨯ 【分析】方法一：通过代数式进行通项归纳或者找规律，可知：2222(1)2112(1)(1)(1)n n n n n n a n n n n n n +++++===+⨯+++，所以原式=1111001002222002001223100101101101++++++=+=⨯⨯⨯ 方法二：原式=22222132()()12122323++++⨯⨯⨯⨯ 22101100()100101100101++⨯⨯21321011001223100101=++++++ 上式为若干组同分母分数的和，而且这些和都是2，所以原式⋅=+⨯= 1011002001011001002第１１级上超常体系教师版第八讲【超常123班学案1】请计算：（1）344556677889910101111121213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________；（2）4556674950⨯+⨯+⨯++⨯= ________．【分析】（1）原式()11213142347203=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（2）原式()1495051345416303=⨯⨯⨯-⨯⨯=.【超常123班学案2】S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ +2010×2011×2012，试求出4×S÷（2010×2011×2012）的值．【分析】1123=1234-01234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）；1234=345-12344⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）；1345=456-23454⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（3）；……12010201120122010201120122013-20092010201120124⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）原式=12010201120122013012342010201120124⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=2013【超常123班学案3】222111111213120131⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】22221(1)(1)111(1)1(1)1(2)2n n n n n a n n n n n n ++++=+===⨯+-+-⨯++原式223320132013132420122014=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 220132013120141007=⨯=【超常123班学案4】计算：22222222212323489103353517+++++++++++++ 【分析】原式2222222222221232348910213191++++++=+++--- 通项归纳，()()22222221132551133111211n n n n n n n n n -++++⎛⎫==+=+- ⎪----+⎝⎭原式511138122910⎛⎫=⨯++-- ⎪⎝⎭292242799=+=１２３班学案。
裂项相消求和法-【名师经典教学设计课件】
裂项相消求和法裂项相消求和法是数列求和的基本方法之一，要求学生掌握常见裂项公式，在练习中形成裂项相消求和的方法，能够对新的形式进行裂项求和。
对裂项相消求和法的考查主要有三种形式： 1. 直接对公式111)1(1+-=+n n n n ，)11(1)(1kn n k k n n +-=+的考查；2. 在等差数列中，对公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-111111n n n n a a d a a 的考查； 3. 对于非等差数列的形式，能够进行裂项求和，主要是对裂项求和方法的考查； 一．定义裂项相消求和法是把数列的通项拆开（一般拆成两项之差），正负相消，剩下首尾若干项，再求和。
二．常用公式 公式1：111)1(1+-=+n n n n ，例1：计算100991321211⨯++⨯+⨯ 解：1009910011100199131212111100991321211=-=-++-+-=⨯++⨯+⨯ 公式2：)11(1)(1kn n k k n n +-=+； 例2. 计算101991531311⨯++⨯+⨯ 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=⨯++⨯+⨯1011991513131112110199153131110150)10111(21=-= 注：例1，例2是小学数学中常考的题目，非常简单，其中蕴含着裂项相消求和法的基本思想，有助于我们直观感受裂项相消求和法。
公式:3：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-111111n n n n a a d a a （其中数列{}n a 为等差数列，d 为公差）； 例3. 等差数列{}n a ，23-=n a n ，11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：)11(31111++-==n n n n n a a a a b ， n n b b b T +++= 2113)1311(31)111111(3113221+=+-=-++-+-=+n n n a a a a a a n n . 注：裂项相消求和法最基本的应用就是对数列11+=n n n a a b 进行求和，要深刻理解公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-111111n n n n a a d a a 的本质，能够灵活应用。
裂项法教学设计
裂项法教学设计裂项法是一种数学运算方法，用于求两个含有未知数的方程之和、差、积、商。
本文将通过教学设计的方式，详细介绍如何教授裂项法。
一、教学目标1. 了解裂项法的定义和基本规则；2. 能够应用裂项法计算含有未知数的方程的和、差、积、商；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解题能力。
二、教学准备1. 教师准备裂项法的定义、基本规则和示例；2. 准备多个裂项法的练习题，包括求和、差、积、商四种类型的方程；3. 准备黑板、粉笔等教学工具。
三、教学过程步骤一：引入裂项法的概念（15分钟）1. 教师通过例题引入裂项法的概念，解释裂项法的定义和作用；2. 强调裂项法是一种用于求解含有未知数的两个方程的和、差、积、商的方法；3. 给出几个简单的示例，引导学生理解裂项法的基本思想。
步骤二：讲解裂项法的基本规则（20分钟）1. 教师通过示例讲解裂项法的基本规则：一边乘以一边除；2. 教师讲解不同类型方程的裂项法规则，包括求和、差、积、商；3. 强调裂项法的目的是为了简化运算，让未知数的运算更加方便快捷。
步骤三：示范演练（20分钟）1. 教师给出具体的练习题，包括不同类型的方程；2. 通过黑板上的演示，讲解具体的解题步骤和方法；3. 鼓励学生积极参与，提问和解答问题，引导他们理解和运用裂项法。
步骤四：合作探究（30分钟）1. 将学生分成小组，每组2-3人，进行合作探究；2. 给每组发放裂项法练习题，让他们讨论解题方法，相互研究、讨论；3. 每组选派一名代表进行演示，其他组员进行评价和讨论；4. 教师巡视指导，及时解答学生提出的问题，纠正他们的错误。
步骤五：提高拓展（15分钟）1. 教师提供一些较难的裂项法练习题，引导学生思考和解题；2. 引导学生总结裂项法的应用场景和注意事项；3. 提醒学生应多进行练习，加深对裂项法的理解和掌握。
四、教学评价1. 教师观察学生在探究环节的合作情况，评价他们的解题能力和思维能力；2. 教师纠正学生在示范演练中的错误，评价他们的运用能力；3. 教师评价学生在合作探究中的表现，以及他们对裂项法的理解程度和应用能力。
小学奥数教程-整数裂项 (4) (含答案)
【答案】 41650
【巩固】 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 ×10 =________
【考点】整数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然
4
4
原式 =
1 4
×
1×
2
×
3
×
4
+
1 4
×
2
×
3
×
4
×
5
−
1 4
×1×
2
×
3
×
4
+
+
1 4
×
9
×10
×11×12
−
1 4
×
8
×
9
×10
×11
= 1 × 9 ×10 ×11×12 = 2970 4
从中还可以看出，1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + + n × (n + 1) × (n += 2) 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式 (1) 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ... + (n −1) × n= 1 (n −1) × n × (n + 1)
3 (2) 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n −1) × n= 1 (n − 2)(n −1)n(n + 1)
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整数裂项知识点拨整数裂项基本公式(1)122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2)1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+例题精讲【例1】1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【解析】这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ 1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯=另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++ ()()222129129=+++++++ 119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330=采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++ 这一结论．【答案】330【例2】14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例3】12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 191011124=⨯⨯⨯⨯2970=从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例4】计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++ 1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503=也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ ()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++ ()()3333135194135193=++++-⨯+++++ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=，21351910100++++== ，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可进行整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝⎭ 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎭1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯-768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=2147376【答案】2147376【巩固】计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ ，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯ 4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200=所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例5】2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【解析】原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ ()213520012003=⨯+++++ ()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-= 得出2135200120031002+++++= 【答案】2008008【例6】11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=- ，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例7】计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式=B A 122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦ 1991001013333003=⨯⨯⨯=1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯= 3333005000338333330050003283B A +==-【答案】33833283。