空间力系

第三章 空间力系

一、空间汇交力系

（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法

如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则

力F 在三个坐标轴上的投影分别为

⎪⎭

⎪

⎬⎫

===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）

图3-1

相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=

（3.2）

方向 ⎪⎪

⎪⎭⎪

⎪⎪⎬⎫

===

F F

F F F F z y

x γβθcos cos cos

（3.3）

（2）二次投影法

如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的

投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为

γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，

图3-2

2．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。即

∑=+++=xi

xn x x Rx F

F F F F 21 同理 ∑∑==zi

Rz yi Ry

F F F F ，

3．空间共点力系的合成

空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用

点，合力的大小和方向为

()()()

2

2

2

∑∑∑++=

z

y

x

R F F F F （3.4）

()()()⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R y

R

R x

R

F F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos

（3.5）

（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件

空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即

()()()

02

2

2

=++=

∑∑

∑z

y

x

R F F F F

2．空间汇交力系的平衡方程

根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x z

F

F

F

（3.6）

利用上述三个方程，可以求解3个未知量。

二、空间力偶系

（一）空间力偶理论

空间力偶等效条件：作用在同一平面内或平行平面内的两个力偶，若它们的

力偶矩的大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶彼此等效。 力偶对刚体作用的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位和力偶的转向。

可用力偶矩矢矢量来表示力偶对刚体作用的三要素。矢量的模表示力偶矩的

大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶的转向关系服从右手螺旋规则。

力偶矩矢是一个自由矢量。 （二） 空间力偶系的合成与平衡 1．空间力偶系的合成

空间力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

∑=+++=i n M M M M M 21

（3.7）

合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上投影

的代数和，即 ∑=+++=xi xn x x x M M M M M 21 ∑=+++=yi yn y y y M M M M M 21

∑=+++=zi zn z z z M M M M M 21

合力偶矩矢的大小和方向为

()()()

2

2

2

∑∑∑++=

z

y

x

M M M M （3.8）

()()()⎪⎪⎪⎭⎪

⎪⎪⎬⎫===

∑∑∑R z R y R x

F F F F F F

k j i ,cos ,cos ,cos M M M

（3.9）

2．空间力偶系的平衡

空间力偶系平衡的充要条件是合力偶矩矢等于零，即 0==

∑=n

i i

1

M

M

（3.10）

空间力偶系的平衡方程为

⎪⎭

⎪⎬⎫===∑∑∑000z

y x M

M M （3.11）

利用上述三个方程，可以求解3个未知量。

三、空间任意力系

（一）空间力对点之矩和对轴之矩 1．空间力对点之矩

在空间情况下，力对点O 之矩是一矢量，可表示为

()z

y

x

O F F F z y x

k j i

F r F M =⨯=

（3.12）

式中r 是矩心O 到力F 作用点的矢径，x 、y 和z 是力F 作用点的三个坐标，x F 、

y F 和z F 是力F 在三个坐标轴上的投影。 2．空间力对轴之矩

空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则来确定，其绝对值等

于力在垂直于该轴的平面上的投影对此平面与该轴的交点的矩，即

()()()()()()⎪⎭

⎪

⎬⎫

===yz O x xz O y xy O z M M M M M M F F F F F F

（3.13）

空间力对轴之矩还可以用以下方法来计算：