空间力系

第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。

即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。

二、空间力偶系（一）空间力偶理论空间力偶等效条件：作用在同一平面内或平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩的大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶彼此等效。

力偶对刚体作用的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位和力偶的转向。

可用力偶矩矢矢量来表示力偶对刚体作用的三要素。

矢量的模表示力偶矩的大小，矢量的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢量的指向与力偶的转向关系服从右手螺旋规则。

力偶矩矢是一个自由矢量。

（二） 空间力偶系的合成与平衡 1．空间力偶系的合成空间力偶系的合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即∑=+++=i n M M M M M 21（3.7）合力偶矩矢在某一坐标轴上的投影等于各分力偶矩矢在同一坐标轴上投影的代数和，即 ∑=+++=xi xn x x x M M M M M 21 ∑=+++=yi yn y y y M M M M M 21∑=+++=zi zn z z z M M M M M 21合力偶矩矢的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxM M M M （3.8）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R y R xF F F F F Fk j i ,cos ,cos ,cos M M M（3.9）2．空间力偶系的平衡空间力偶系平衡的充要条件是合力偶矩矢等于零，即 0==∑=ni i1MM（3.10）空间力偶系的平衡方程为⎪⎭⎪⎬⎫===∑∑∑000zy x MM M （3.11）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。

三、空间任意力系（一）空间力对点之矩和对轴之矩 1．空间力对点之矩在空间情况下，力对点O 之矩是一矢量，可表示为()zyxO F F F z y xk j iF r F M =⨯=（3.12）式中r 是矩心O 到力F 作用点的矢径，x 、y 和z 是力F 作用点的三个坐标，x F 、y F 和z F 是力F 在三个坐标轴上的投影。

2．空间力对轴之矩空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则来确定，其绝对值等于力在垂直于该轴的平面上的投影对此平面与该轴的交点的矩，即()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫===yz O x xz O y xy O z M M M M M M F F F F F F（3.13）空间力对轴之矩还可以用以下方法来计算：（1）若已知力F 在坐标轴上的投影x F 、y F 和z F 及该力的作用点的坐标x 、y 和z ，则力对各坐标轴的矩可表示为⎪⎭⎪⎬⎫===x y z z x y y z x yF xF M xF zF M zF yF M -)(-)(-)(F F F （3.14）上式为力对轴之矩的解析式。

（2）根据力对点之矩和力对轴之矩的关系，即力对某轴之矩等于力对该轴上任一点O 的矩矢在这轴上的投影，有()()[]()()[]()()[]⎪⎭⎪⎬⎫===z O z y O y x O x M M M F M F F M F F M F （3.15）3．根据力对轴之矩来计算力对点之矩若已经计算出力对各坐标轴之矩()F x M 、()F y M 和()F z M ，且当x 、y 和z互为正交时，则力对点O 之矩的大小为()()[]()[]()[]222F F F F M z y x O M M M ++=（3.16）方向为()[]()()()[]()()()[]()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F M F k F M F M F j F M F M F i F M O O O z O y O x O M M M ,cos ,cos ,cos（3.17）（二）空间任意力系的简化、合成与平衡 1．空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩空间任意力系向任一点O （简化中心）简化后，一般可得作用于O 点的一个力和一个力偶。

这个力的矢量称为该力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，即∑==+++=ni i n R 121F F F F F（3.18）主矢的大小和方向与简化中心O 的位置无关。

这个力偶的矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系中各力对简化中心O 的矩的矢量和，即()()()()∑==+++=ni O O O O O 121F M F M F M F M M n（3.19）主矩的大小和转向一般随简化中心位置的变化而变化。

2．空间任意力系的合成结果空间任意力系的最后合成结果有以下四种情形： （1）平衡的情形主矢F R =0，主矩M O =0，即该空间力系平衡。

（2）简化为一合力偶的情形主矢F R =0，主矩M O ≠0，这时得一力偶。

该力偶与原力系等效，即空间力系合成为一力偶，力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。

在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。

（3）简化为一合力的情形主矢F R ≠0, 主矩M O =0，这时得一力。

这力与原力系等效，即空间力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心O ，合力矢等于原力系的主矢。

（4）简化为力螺旋的情形主矢F R ≠0, 主矩M O ≠0，但F R ∥M O ，这种结果称为力螺旋，如图3-3所示。

所谓力螺旋，就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。

图3-33．空间任意力系的平衡空间任意力系平衡的充要条件是力系的主矢以及对任一点O 的主矩都等于零，即⎭⎬⎫==00O R M F（3.20）由此可以得到空间任意力系的平衡方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫======∑∑∑∑∑∑0)(0)(0)(00z F F F MM M F F F y x z y x（3.21）这是平面任意平衡方程的基本形式，还有四矩矢、五矩式和六矩式，但它们对投影轴和力矩轴有一定的限制条件。

四、重心（一）重心坐标公式在工程实际中，确定物体重心的位置具有比较重要的意义，船舶、车辆、飞机、航空器等的运动稳定性都与它们的重心位置有关。

再如，为了使塔式起重机在不同情况下都不致倾覆，必须加上合适的配重使起重机的重心处于恰当的位置。

确定物体的重心位置，属于空间平行力系的合成问题。

根据合力矩定理，得到物体重心的坐标公式为P P x x i i C ∑=，PP y y i i C ∑=，P Pz z i i C ∑=对于匀质物体，各微小部分的力 P i 与其体积V i 成正比，总重量 P 与总体积 i V V ∑=也按同一比例成正比，则有V V x x i i C ∑=， V V y y i i C ∑=，VVz z i i C ∑= 此时，物体重心的位置完全取决于物体的几何形状，而与重量无关。

由上式确定的几何点，称为物体的形心。

由此可见，对于匀质物体其重心与形心是相重合的。

若取图形所在的平面作为坐标平面Oxy ，则平面图形形心的坐标为A A x x i i C ∑=，AAy y i i C ∑= 式中A i 是图形微小部分的面积，A = ΣA i 是图形的总面积。

平面图形的形心可理解为图形厚度趋向无限小的匀质平板的重心，也可称为面积重心。

（二） 用组合法求重心求组合体的重心有两种方法，即分割法和负面积法。

分割法就是将组合体分割成几个重心已知的简单形体，则整个物体的重心即可用前面的公式求出。

对于在物体内切去一部分（如有空洞等）的物体，其重心仍可应用与分割法相同的公式计算，只是切去部分的面积取为负值。

该方法称为负面积法或负体积法。

（三） 用实验的方法测定重心的位置对于一些外形复杂或质量分布不均匀的物体，则很难用上述计算方法来求其重心。

此时可用实验的方法来测定其重心位置。

常用的方法有悬挂法和称重法。

五、难题解析【例1】如图3-4（a ）所示，长宽为a 的均质正方形板ABCD 重P=20kN ，用球铰链A 和碟铰链B 支承在墙上，并用杆CE 维持在水平位置，且︒=∠60AEC ，试求杆CE 所受的压力及碟铰链B 的约束力。

图3-4解：取板ABCD 为研究对象，受力如图3-4（b ）所示。

由空间一般力系平衡方程，有()，，030sin 20=⨯︒⋅-⨯=∑a F aP M C y F 得 N P F C k 20== 又 ()∑=0F z M即 0=Bx F 考虑 ()030sin 20=⨯︒⋅+⨯-⨯=∑a F aP a F M C Bz x ，F 得到 0=Bz F【例2】试求图3-5所示振动器用的偏心块的形心位置。

已知R=100mm ，r 1=30mm ，r 2=17mm 。

图3-5解：取坐标系Oxy 如图3-5所示。

偏心块可看作由三部分组成：半径为R 的半圆A 1，半径为r 1的半圆A 2，挖去半径为r 2的圆A 3。

大半圆的面积和形心C 1的坐标为小半圆的面积和形心C 2的坐标为小圆的面积和形心C 3的坐标为由此可得偏心块的形心坐标为。