高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

解：
，∴
由的表示形式得k=2
即所求k=2
点评：
(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小
，均为实数。

（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，
对于任意复数z，且R；
且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得
由两复数相等的定义得，
消去m得，
故得
当时得，原方程的实根为；
当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

解：设，。

由得
①
对应点在第二象限，故有
②
又由①得③
由③得，
即，
∴，
∴④
于是由②，④得，即
再注意到a<0，故得
即所求a的取值范围为
点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。

此外，这里对于有选
择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。

4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：
（1）；
（2）z的实部与虚部都是整数。

解：设，则
由题意，∴
∴y=0或
（Ⅰ）当y=0时，，，
∴由得①
注意到当x<0时，；当x>0时，，
此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得
∴
又这里x，y均为整数
∴x=1，或x=3，，
∴或
于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i.
5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

解：
（1）
解法一：
将代入方程得
由于，故有，
解法二：
注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是
由韦达定理得，解得
（2）解：设则为方程的另一虚根。

∵，
∴由得①
又由韦达定理得，
∴由①得∴，
∴，
即a，b，c成等比数列。

6,（2004·上海卷）已知复数满足，，其中i为虚数单位，，若，求a的取值范围。

分析：从化简切入，从利用复数的模的公式突破。

解：由题意得
∴ ，
又
∴
∴ 所求a 的取值范围为（1，7）。

7, 设z ∈C ，求满足z +
z
1
∈R 且|z －2|=2的复数z 分析：设z =a +b i(a 、b ∈R )，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程 解法一：设z =a +b i ，
则z +z 1=a +b i+i 1
b a +=a +b i+22i b a b a +-
=a +22b a b ++(b －2
2b
a b
+)i ∈R ∴b 2
2b
∴b =0或a 2+b 2=1 当b =0时，z =a ， ∴|a －2|=2∴a =0或4
a =0不合题意舍去，∴z =4 当
b ≠0时，a 2+b 2=1
又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2=4
解得a =
41，b =±415，∴z =41
±415i
综上，z =4或z =4
1
±415i
解法二：∵z +z 1
∈R ，
∴z +z 1
=z z
1
∴(z －z )－z
z z
z -=0，(z －z )·22||1
||z z -=0
∴z =z 或|z |=1，下同解法一
点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件
复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法
8,设z 是虚数，ω=z +
z
1
是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z |的值及z 的实部的取值范围；
（2）设u =z
z
+-11，求证：u 为纯虚数；
（3）求ω－u 2的最小值
（1）解：设z =a +b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，
则ω=a +b i+
i 1
b a +=(a +22b a a +)+(b －2
2b
a b +)i ∵ω是实数，b ≠0， ∴a 2+b 2=1，即|z |=1
∵ω=2a ，－1＜ω＜2，
∴z 的实部的取值范围是(－2
1
，1)
（2）证明：u =z z +-11=i
1i
1b a b a ++--
=
i)
-i)(11(i)
i)(11(b a b a b a b a +++-+--
=2
222)1(i 21b a b b a ++--- =－1+a b i
∵a ∈(－
2
1
，1)，b ≠0， ∴u 为纯虚数
（3）解：ω－u 2=2a +
2
2
)1(+a b
=2a +2
2)
1(1+-a a =2a －11+-a a =2a －1+
1
2+a =2［(a +1)+11
+a ］－3
∵a ∈(－2
1
，1)，∴a +1＞0
∴ω－u 2≥2×2－3=1
当a +1=1
1
+a ，即a =0时，上式取等号
∴ω－u 2的最小值为1
9, （2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .
【答案】i
【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩
⎨⎧-=+=-11
b a b a ，解得a ＝0，b
＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i
10, 已知关于x 的方程2120x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值。

解：设0x 是方程的一个实数根
00012
z x i
x x z ⎛⎫=-+- ⎪⎝
⎭⇒=
当且仅当000
x x =
=
时，min z =11, 设关于x 的方程22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根，求实数a 的值。

解：（1）(][)0,80,a ∆≥⇒∈-∞-+∞时，方程有两个实数根，若其中至少有一个模为1
则11或x x ==
-2
2
122014202x a a a x a a a ⎧=⇒++=⇒∈∅
⎪⇒⎨=-⇒-+=⇒=±⎪⎩
（2）()08,0a ∆<⇒∈-时，方程有一对共轭虚根，设虚根为(),,0m ni m n n ±∈≠R 方程有一个模为1的根221m n ⇒+=
由韦达定理知()()22
2233222
12122m ni m ni a m a a a a a a a m ni m ni m n ⎧⎧++-=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⇒=-=⎨⎨--⎪⎪+-=+==
⎪⎪⎩⎩或（舍）
综上所述，12a =-或12, 已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--， 其中i 为虚数单位，a ∈R 。

若121z z z -<，
求a 的取值范围。

由题意得115231i
z i i
-+=
=++
于是1242z z a i -=-+
，1z =
()271780,a a a -+<⇒∈
13, （1
）当z =
20101z z ++的值；
（2）已知复数z 满足341z i --=，求z 的取值范围。

（1
）()()10220220105
1011z i z i z z i z i i
⎧=-=-⎪
==-⇒⇒++=-⎨=-=-⎪⎩ （2）复数z 在复平面所表示的点在以()3,4C 为圆心，以1为半径的圆上 z 表示复数z 在复平面上圆C 上的点到原点的距离[]4,6z ⇒∈
14, 方程2220x x -+=的根在复平面上对应的点分别为A 、B ，点C 对应复数z 满足
()()2
116i z ++=-，求
ABC 的最大内角。

解方程2220x x -+=得1x i =±，则()()1,1,1,1A B - 又由()()2
116i z ++=-解得13z i =-+，则()1,3C - ()(
)32,2,0,2cos 24
AC AB AC AB A A AC AB
π
⋅=-=-⇒=
=-
=
15, 已知复数()()010,,,,,z mi m z x yi a bi x y a b ω=->=+=+∈R ，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,2z z z ωω=⋅=。

（1）试求m 的值，并分别写出a 和b 用x 、y 表示的关系式；
（2）将(),x y 作为点P 的坐标，(),a b 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；
（
3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

（1）由题意知
)
())
2000221401
z z z z m
m m z mi a
x a bi x yi
x y i b
y
ω⎫=⋅=⇒=⎫
+=⎪
⇒⇒=⎬⎬>=-⎭⎪⎭
⎧=⎪⇒+=+=++
-⇒⎨
-⎪⎩
（2）由题意(
),P x y 在直线1y x =+上移动时，点Q 的坐标满足 ()
)
(12211a b a b x ⎧=++⎪
=-⎨
=-⎪⎩
⇒点Q 的轨迹方程为(22y x =-
（3）假设存在这样的直线，显然平行于坐标轴的直线不满足条件 故设直线方程为()0y kx b k =+≠
设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()
3,3Q x y x y +-仍然在该直线上 ()(
)()
33313x y k x y b k y k x b ⇒-=++⇒-
+=-+
当0b ≠时，方程组()
3113k k k
⎧-+=⎪
⎨⎪-=⎩无解
当0b =时，
(
)2313
3
323031
3
或k k k k k k
-
+-
=⇒+-=⇒=
- ⇒存在这样的直线，其方程为3
33
或y x y x ==- 16, 判断下列命题是否正确
(1)若C z ∈, 则0
2
≥z (2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z > (3)若b a >，则i
b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.圆 18,
.211
<<-+=ωω是实数，且是虚数，设z z z
.的实部的取值范围的值及求z z
解析 是虚数z yi
x yi x z z +++=+
=∴1)(1ω可设 i y x y
y y x x x y x yi x yi x )()(2
22222+-+++=+-+
+=
,0≠y 是实数，且ω 1,0112
22
2=+=+-
∴y x y
x 即 ,1=∴z
x 2=ω此时
22121<<-<<-x 得由ω
)1,2
1(,121-<<-
∴的实部的范围是即z x
圆锥曲线
一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．
例1．从集合{1,2,3,
,11}中任意取两个元素作为椭圆22
221x y m n
+=方程中的m 和n ，则能组成落在
矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ）
A 、43
B 、72
C 、86
D 、90
解：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．但是当m n =时22
221x y m n
+=是圆
而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆
有8972⨯=个．本题答案选B ．
例2．如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的
垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=
_______． 解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=， 同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，
∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++==
例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；
（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214
x b +=，解得2
1221x b =±-，， 所以121
2
S b x x =
-2222111b b b b =-≤+-=．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．
（Ⅱ）由22
1
4y kx b
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222
1()2104k x kbx b +++-=，2241k b ∆=-+① 2
121AB k
x x =+-222
241
1214
k b k
k -+=+=+
．② A y
x
O
B
例3图
设O 到AB 的距离为d ，则21S
d AB =
=
，又因为d =
所以2
2
1b k =+，代入②式并整理，得4
2
1
04
k k -+=， 解得2
12k =
，2
32
b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是
y x =
或y x =
或y x =+
，或y x = 点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想
方法和综合解题能力．
二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．
例4．已知双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF
∆的面积为2
2
a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A ．30º
B ．45º
C ．60º
D ．90º
解：D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x a b c -=>>=的焦点右准线方程，x a b
y =渐近线，则
),(2c ab c a A ，所以2
212
a c a
b
c S OAF =⨯⨯=∆，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90︒，故选D ．
点评：本题考查双曲线中焦距，准线方程，渐近线方程，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．
例5． P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与
M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时
12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．
例6．已知双曲线2
2
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．
（Ⅰ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点）
，求点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知1(20)F -，
，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （Ⅰ）设()M x y ，，则则1
(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得
121226x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212248
22
y
y y y x x x x -==
----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=．
（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
2
2
2
2
1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222
(1)(42)4(2)
411
k k k k m k m k k +++=-++-- 222
22
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2-，
，
此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与
函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．
例7．抛物线2
4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）
A ．
1716 B ．1516 C ．78
D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412
=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116
y =-；由抛物线上的点00(,)
M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y ，即M 点的纵坐标为15
16
，故选B ．
例8．已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)λ>．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明FM AB 为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．
解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0λ>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →
， 即得1122
(,1)(,1)x y x y λ--=-，⎩
⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①
1－y 1＝λ(y 2－1) ②
将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2
y 2 ③
解②、③式得y 1＝λ，y 2＝
1λ
，且有x 1x 2＝－λx 22
＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1
2x ．
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22
． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22
，－1)．
所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12
)－2(14x 22－14x 12)＝0
所以FM →·AB →
为定值，其值为0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2|AB||FM|．
|FM|＝
(x 1＋x 22
)2＋(－2)2＝
14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2
＋4＝y 1＋y 2＋1
2
×(－4)＋4
＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
．
因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S ＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ
)3
，
由λ＋1
λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．
例9．如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知
1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；
解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，
22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，
，消去x 得：
2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，
．
由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112
y y m
λ+=-，
2222
y y m
λ+
=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--
+ ⎪
⎝⎭
121222y y m y y +=--2424m m =---0=． 点评：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征
的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．
四、圆锥曲线的综合应用问题，往往以解答题的形式进行考查.常以与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，这类以圆锥曲线为载体的解答题，多与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等知识交汇在一起．
例10．设动点P 到点(1
0)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得2
12sin d d θλ=．
（Ⅰ）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（Ⅱ）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定
λ的范围，使
OM ON =0，其中点O 为坐标原点．
y
解：（Ⅰ）在PAB △中，2AB =，即222
121222cos 2d d d d θ=+-，
2212124()4sin d d d d θ=-+
，即122d d -==<（常数），
点P 的轨迹C 是以A B ，
为焦点，实轴长2a =22
11x y λλ
-=-． （Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)
N -，
在双曲线上．即
2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<
，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由22
11(1)x y y k x λλ⎧-=⎪
-⎨⎪=-⎩
得：
2222
(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦
， 由题意知：2
(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()
(1)k x x k λλλλ--+=--．
于是：222
12122
(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．
因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以
2121222
122212(1)0(1)21011310
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒
<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩
．
由①②知，12
23
λ≤<．。