气体动理论c

1. 判断以下论述是否正确“最概然速率相同的两
种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同”。
f (v) = 4 π
m
3/ 2
v2
− mv2
e 2kT
2 π kT
3
=
4 π
m 2kT
2
v2
−m
e 2kT
v2
vp =
2kT m
=
4 π
vp−3v 2
−( v )2
e vp
正确
2. 计算在热平衡状态下，气体分子速率大小介于
假设 1= m′v2 m′ i R∆T
2
M2
∆T = Mv2 iR
由于 M H2 < M He，且 iH2 > iHe
∆THe > ∆TH2
6. 已知平衡态下的N个粒子系统，其速率 分布曲线如图，
求 (１) 速率在v0 →2 v0间的粒子数; N/2 (２) 速率分布函数的极大值为多少?
1 2
f m (v)(2v0 )
⇒
dε k
=
mvdv
f (v) d v = 4π(
m
3
)2
− mv2
e 2kT
v2
dv
2πkT
= 4π(
m
3
)2
− mv2
e 2kT
v2(
1
)d( 1 mv 2 )
2πkT
mv 2
= 4 π(
m
3
−εk
) 2 e kT
2 π kT
∴
f
(ε k )
= 2 (kT )−32 π
− εk
e kT
1 mv 2
vp
−
vp 100
和vp
+
vp 100
之间的分子数占总分子数的百分率.
f (v) =
4 π
vp−3v 2
−( v )2
e vp
∆N = f (v)∆v，其中∆v = vp
N
50
取v = vp
∆N = f (v)∆v = N
4
π
vp−3
⋅
vp2
⋅
e
−vp vp
2
vp 50
=
4 e−1 1 = 1.66%
=1
∴
fm
(v)
=
1 v0
f (v) fm (v)
o
v0
2v0 v
7. 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克 斯韦速率分布曲线， 从图上数据求出氢气和氧气 的最概然速率（习12-16）
f (v)
vp (H2 ) = 2000m/s
o
∴ vp (O2 ) = 500m/s
2000 v / m ⋅s−1
8. 有一体积为V 的房间充满双原子理想气体，冬
天室温为T1 ，压强为p0 。现将室温经供暖器提高
到温度 T2 ，因房间不是封闭的，室内气压仍为
p0 。试证：室温由T1 升高到 T2 ，房间内气体的
内能不变。
E = m′ i RT M2
pV = m′ RT M
9.计算一定量气体在平衡状态时最概然平动动能。
2
(4) 5 RT —1摩尔气体分子的内能
2
(5) m' 5 RT — mm′千克气体的内能
M2
5. 容器中装有理想气体，容器以速率v运动， 当容器突然停止，则容器温度将升高。
若有两个容器，一个装有He，另一装有H2 气，如果它们以相同速率运动，当它们突然停
止时，哪一个容器的温度上升较高。
设容器中气体质量为m′
π 50
3. 分子数 N ，分布函数 f（v） . 求
（1） 速率在 v1 ~ v2 间的分子数；
（2）速率在 v1 ~ v2 间所有分子速率之和 ； （3）速率在 v1 ~ v2 间所有分子的平均速率.
∫ （1） v2 Nf (v)dv v1
∫ （2）
v2 vNf (v)dv
v1
(3)
∫ v2 vf (v) d v v1
分析：由
f (v) = 4π(
m
) e v 3 2
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− mv2 2kT
2
2πkT
求动能分布函数
dN N
=
f (ε k )dε k
参考P207注解，得（推导过程见下页）
f (εk ) =
2
(kT
)−32
− εk
e kT
π
εk
∂f (ε k ) = 0 ∂ε k
⇒
ε kp
=
1 2
kT
解：
εk
=
1 2
mv 2
∫ v2 f (v) d v v1
4. 某刚性双原子理想气体，温度为T，在平衡状
态下，下列各式的意义：
3 kT , 2 kT , 5 kT , 5 RT , m′ 5 RT 2 2 2 2 M2
(1) 3 kT —分子的平均平动动能
2
(2) 2 kT —分子的平均转动动能
2
(3) 5 kT —分子的平均总动能
2 1 m32
dεk
2
εk