冲激响应求解举例
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) d t m−1
+L+ b1
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
§205 冲激响应和阶跃响应 优质课件
dr t
et
2
dt 2
dt
r t
d
子系统交换 dt
d 2rˆt
drˆt
et dt 2
dt
4 3
rˆt
2 rt
4
d
3
dt
X
求冲激响应的几种方法
方法1：冲激函数匹配法求出0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3: 齐次解法求冲激响应
dt
υ C t aut
代入方程得 RCa t RCbut aut t
得出 所以
RCa 1 即 a 1 RC
υC 0
υC 0
a
0
1 RC
1 RC
把C 0 代入C t
Ae
1 RC
t
2
A2
1
2 1
2
2
二．阶跃响应
1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
H
r t
ut
gt
H
系统的输入 et ut ，其响应为 rt gt 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ut ，所以除了齐次解外，
d e(t) dt
2e(t )
，求h(t)
。
hˆ(t) A1e t A2e 3t u(t) hˆ0 1 hˆ0 0
将边界条件代入 h t
hˆ(t)
式
1
微积分讲座---Z2.9 冲激响应的定义和求法
第二章 连续系统的时域分析
例1 如图所示LTI系统，求其冲激响应。
解：(1)先列写系统的微分方程 积分器的输出为x(t)，列出左端加法器的方程：
x(t)=-3x(t) 2x(t) f (t) x(t)+3x(t) 2x(t)=f (t)
右端加法器方程： y(t)=-x(t) 2x(t) 合并整理： y(t) 3y(t) 2 y(t)=-f (t) 2 f (t)
4
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
(2)求h1(t)，满足如下方程
h1(t
) 3h1(t) h1 (0 )
2h1(t h1(0 )
)
0
(t
)
由系数匹配法：
h1(0+) = h1 (0-) = 0 h1’(0+)- h1’(0-)=1, 即：h1’(0+)= 1
其特征根为-1和-2，特解为0，设定解为：
h1(t)=C1et C2e2t , t 0
代入初始值可求得：
h1(t) (et e2t ) (t)
5
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
(3)求h(t)，满足如下方程 h(t) h1(t) 2h1(t)
计算h1’(t)： h1(t) (et e2t ) (t) (et 2e2t ) (t) (et 2e2t ) (t)
应，记为h(t)。
h(t)隐含的条件：
f(t)=δ(t)
h(0-)=h’(0-)=0 (对二阶系统)
基本信号：冲激函数δ(t)
基本响应：冲激响应h(t)
2
2.2 冲激响应与阶跃响应
第二章 连续系统的时域分析
2. 求法
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t ) = dh1(t) 1 + 2h1(t ) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
(
)
第 8页
3535页页f1f2f2f2f2t1t1t12t1t12f1f2t1t1t1f1f2t1t1f1tf2t1r12阴影部分面积阴影部分面积3636页页3f1f23737页页4p85219b3838页页dtdf3939页页4040页页图示线性时不变系统是由三个子系统组成已知总系统的分别为所示求子系统的冲激响应4141页页也应为矩形波此题的关键是利用了两个不同宽度的矩形波的卷积结果是梯形波
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
各种响应的解法
uS
解:系统转移算子为: 系统转移算子为: u2 1 p +1 1 1 1 H( p) = = = = + p us 2 p +1 2 4 p + 1 2 1+ 1+ p 电路的微分方程为: 电路的微分方程为: 2u′ (t) + u2 (t) = u′ (t) + us (t) 2 s 冲激响应为: 冲激响应为:
16
2.4
卷 积 积 分
卷积积分的意义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质
17
卷积积分的意义
用δ(t)表示任意信号 t)表示 表示任意信号
f (t) = ∫
∞ ∞
f (τ )δ (t τ )dτ
即任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和 可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和. 来表示. 也就是任意信号可以用函数 δ(t) 来表示.
+ (C1 2C2 )δ (t)+ (C1et + 4C2e2 t )ε (t)
10
例 2.8
方法一:用直接求解法 方法一:
将上述三个等式及f (t) = δ (t) 代入原微分方程,经整理 代入原微分方程,
此例说明了用直接法的步骤: 此例说明了用直接法的步骤: 比较方程两边系数,解得: 比较方程两边系数,解得: 确定冲激响应的形式; 确定冲激响应的形式; 将冲激响应代入原方程, 3 将冲激响应代入原方程, B1 = 1 B0 = 1 C1 = 2 C2 = 用待定系数法确定其系数. 用待定系数法确定其系数. 系统的冲激响应为: 故,系统的冲激响应为:
对于任意信号为输入信号的零状态响应: 对于任意信号为输入信号的零状态响应:
§2.4冲激响应和阶跃响应
C0
dn r(t dtn
)
C1
dn1 r(t d t n1
)
Cn1
d r(t dt
)
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t d t m1
)
Em1
d e(t) dt
Em e(t )
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
解的形式相同。
①与特征根有关
设特征根为简单根（无重根的单根）
n
h(t )
Ai
e
i
t
u(
t
)
i1
②与n, m相对大小有关
•当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
•当n m时，ht 中应包含 t ；
•当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
X
二．阶跃响应g(t)
第 5
页
1．定义
§2.4 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应 •阶跃响应
一．冲激响应h(t)
第 2
页
1．定义
系统在单位冲激信号 (作t) 用下产生的零状态响应，称
为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
ht
H
X
第
2. 冲激响应求解
3
页
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
dt
t
g(t) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
t
－
,对因果系统：t
0
X
§2.3 冲激响应和阶跃响应
§2.3 冲激响应和阶跃响应通信与信息工程学院江帆系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
一．冲激响应)(t δ)(t h 1．定义)(t δh(t)=T[{0},δ(t)]例2-3-1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。
h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。
积分得[h’(0+) -h’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1∫+−00)(dt t h考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h’(0-) = 1对t>0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。
故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t-e-3t)ε(t)例2-3-1续例2-3-2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。
根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)h’(0-) = h(0-) = 0先求h’(0+)和h(0+)。
由方程可知，h(t) 中含δ(t)故令h(t) = aδ(t) + p1(t) [p i(t) 为不含δ(t) 的某函数] h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)代入式(1)，有aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ] + 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = -3，c = 12所以h(t) = δ(t) + p1(t) （2）h’(t) = δ’(t) -3δ(t) + p2(t) （3）h”(t) = δ”(t) -3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+) –h(0-) = –3对式(4)从0-到0+积分得h’(0+) –h’(0-) =12故h(0+) = –3，h’(0+) =12微分方程的特征根为–2，–3。
用冲激函数匹配法求冲激响应
用冲激函数匹配法求冲激响应一、引言冲激响应是线性时不变系统的重要特性之一，它描述了系统在接受一个单位冲激信号时的输出响应。
在信号处理、控制系统等领域中，冲激响应的求解是非常重要的问题。
本文将介绍一种常用的方法——冲激函数匹配法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
二、冲激函数匹配法原理1. 线性时不变系统首先，我们需要明确什么是线性时不变系统。
线性时不变系统是指其输入与输出之间存在线性关系，并且其特性参数（如增益、相位等）与时间无关。
这类系统可以用微分方程或差分方程来描述。
2. 冲激函数接着，我们需要介绍什么是冲激函数。
在信号处理中，冲激函数通常指单位冲击函数，记作δ(t)。
它满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$$$$\delta(t)=0, t\neq 0$$$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$$其中第三个条件称为采样定理。
3. 冲激响应对于一个线性时不变系统，其冲激响应h(t)定义为其接受单位冲激信号δ(t)后的输出响应。
即：$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)x(t-\tau)d\tau$$其中x(t)为输入信号。
4. 冲激函数匹配法冲激函数匹配法是一种常用的求解线性时不变系统冲激响应的方法。
其基本思想是将输入信号x(t)表示为若干个单位冲击函数的线性组合，然后利用线性时不变系统的可叠加性质，将每个单位冲击函数的输出响应相加得到总的输出响应。
具体而言，设输入信号x(t)可以表示为：$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(t-kT)$$其中T为采样周期，a_k为系数。
则有：$$h(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kh_k(t)$$其中h_k(t)为系统接受单位冲击函数δ(kT)后的输出响应。
信号与系统 - 列表法求冲激响应
“列表法”求解冲激响应非齐次微分方程()()()()()()()1110n n n y t a y t a y t a y t F t --'++++=其中()F t 是关于输入()f t 及其导数的函数。
要求该系统的冲激响应，一般做法是用冲击平衡法。
下面也是利用冲击平衡法，但对其做了很大的化简。
以三阶微分方程且其有互异特征根为例。
考虑n m >的LTI 系统()()()()()210y t a y t a y t a y t af t ''''''+++=，其中a 为常数，且其互异特征根分别为123,,λλλ。
求其冲击响应。
由上述条件有()()()()()210h t a h t a h t a h t a t δ''''''+++=于是可设()()()()312t t t h t Ae Be Ce u t X u t λλλ=++=⋅其中312t ttX Ae Be Ce λλλ=++，列表如下注：对应的阶导数意谓：当给出系统是三阶方程时，其三阶系数对应的是的二阶导数，其二阶系数对应的是X 的一阶导数，一阶系数对应的是X 的零阶导数（原X ），零阶系数对应的是0（至于为什么是0，由于时间关系，不详细解答。
提示：与方程右边是否含有()t δ及其相关导数有关。
）计算过程中，上表可省略（不写中间一行）为于是有1、上下行相乘，即2010X a X a X a '''++= （其中a 为()t δ即()f t 的系数）200X a X '+= （其中0为()t δ'即()f t '的系数，此处为0，当方程右边出现()k t δ'时，即为其系数k 。
这里可在第二行末尾补任意位零，则0a 斜乘0，忽略不写）00X = （其中0为()t δ''即()f t ''的系数，即为0，同上）注：当方程三阶时，得到了三个方程，否则继续斜乘（第二行不足则在末尾补零），直到最高阶系数乘上方程零阶导数的系数0a 对应的数（在n m >的情况下为0）。
电路分析中的冲激响应的分析
1 τ
(8 35)
因此，图8－42(f)的波形趋于指数波形
t 0 t0 (8 36)
如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式
(8-36)写为下式
t
h( t )
1
e
ε (t )
(8 37)
从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是
给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)， 即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响 应实际上是这些初始储能引起的零输入响应。 我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds( t ) h( t ) dt
(8 31)
例如图8－33所示e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
ds ( t ) h( t ) dt d[(1 e
最后得到图8-33所示RC串联电路电容电压的冲激响应。
与此相似，可以得到图8-34所示RL并联电路中电感电
流的冲激响应。
图8－33
图8－34
1 h( t ) e RC
t RC
ε (t )
R h( t ) e L
R t L
ε (t )
以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：
h( t )
图8－32 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
2-2冲激响应和阶跃响应
d 3t 3t [ Ae ( t )] 3 Ae ( t ) 2y(0t )) y(0 ) ( 、 dt 3t 3t 3t Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 2 ( t )
A ( t ) 2 ( t )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
h(t ) (3e
2t
6e ) (t ) (t )
3t
2.2.2
阶跃响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单 位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17 所示。
y x (0 ) y(0 ) yx (0 ) y(0 )
零状态响应：令初始状态为零，即
y(0 ) y(0 ) 0
零状态响应 = 齐次解+特解
由系数匹配法定
y(0 )、y(0 )
§２.2 冲激响应和阶跃响应
主要内容： 一、冲激响应的概念及求解 二、阶跃响应的概念及求解 重点：
数字电子技术第三版课件冲激响应例题
(2 B0 2C1 C2 ) (t ) (t ) 4 (t ) 5 (t )
B1 (t ) (3B1 B0 ) (t ) (2 B1 3B0 C1 C2 ) (t )
t 2t h(t ) (t ) (t ) 2e (t ) 3e (t )
t
2 t
) (t )
(0 ) 1 其初始值为：h0 (0 ) 0, h0
代入上式有：
C1 C2 0, C1 2C2 1
解得：C1 1,
C2 1
h0 (t ) (e t e 2t )u (t )
根据系统的非时变性质，系统的冲激响应为：
h(t ) B1 (t ) B0 (t ) (C1 C2 ) (t ) (C1 2C2 ) (t ) (C1e t 4C2e 2 t )u (t )
将上述三个等式及f (t ) (t ) 代入原微分方程，经整理
此例的步骤： 比较方程两边系数，解得： • 确定冲激响应的形式； 将冲激响应代入原方程， B1 1 • B C1 2 C2 3 0 1 • 用待定系数法确定其系数。 故，系统的冲激响应为：
(t ) 4h0 (t ) 5h0 (t ) h(t ) h0
t 此例说明了用间接法的步骤： 5(e e2 t ) (t ) 4(et 4e2 t ) (t ) 4 (t ) (t )
• 3利用线性时不变特性求 (t ) (e 8e ) (t ) h(t)。
已知系统的微分方程为
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) 4 f (t ) 5 f (t )
试求其冲激响应h(t)。 解：先求出方程的特征根：1 1, 2 2
冲激响应求解举例
冲激响应求解举例冲激响应是一种常用的数学工具，可以用于求解各种系统的响应特性。
其基本思想是将系统的输入信号视为一个冲激序列，然后通过对系统的冲激响应进行求解，得到系统对于任意输入信号的响应。
下面我们通过一个简单的例子来介绍如何求解冲激响应。
假设我们有一个一阶低通滤波器，其差分方程为：y(n) = 0.5 * x(n) + 0.5 * x(n-1) - 0.2 * y(n-1)其中，x(n)是输入信号，y(n)是输出信号。
我们希望求出该滤波器的冲激响应h(n)，以及对于任意输入信号x(n)，滤波器的响应y(n)。
首先，我们将输入信号x(n)视为一个冲激序列，即：x(n) = δ(n)其中，δ(n)表示单位冲激序列。
代入差分方程，得到：我们可以观察该方程的形式，发现它可以表示为一个递推关系式：我们可以使用变换法解出该递推关系式的通解，然后将初始条件代入求得特解，最终得到冲激响应h(n)。
将该式化简，得到：化简后的表达式可以转换为分式的形式：根据部分分式分解的方法，可以得到：根据Z变换与逆Z变换的对应关系，可以将Y(z)转换为y(n)的表达式：其中，u(n)为单位阶跃函数，表示从0时刻开始一直为1。
这样，我们就得到了该滤波器的冲激响应：现在，我们已经求解出了该滤波器的冲激响应，可以通过卷积运算求解出任意输入信号对应的系统响应。
例如，假设输入信号x(n)为：其中，*表示卷积运算。
代入h(n)和x(n)，得到：y(n) = (0.8 * (0.5)^n - 0.6 * (0.2)^n) * u(n) - (0.8 * (0.5)^(n-5) - 0.6 * (0.2)^(n-5)) * u(n-5)综上所述，通过对于一个简单的一阶低通滤波器的求解，我们介绍了如何使用冲激响应求解系统的响应特性。
该方法适用于各种系统，是一种非常有用的数学工具。
信号与系统分析基础---系统的单位冲激响应与单位样值响应
h2 3h1 3h0 h 1 6
1 3 C1 , C 2 , C 3 1 2 2 1 2 3 hn n n 1 un 2 2 对于求h(n)，边界条件中至少有一 项是n 0的。
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
h( t ) ( A1e t A2e 3t )u( t )
当n m时，ht 中应包含 t ； 当n〈m时，ht 应包含 t 及其各阶导数；
例2
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) 的冲激响应。 求系统 2 dt dt dt 解： 将e(t)→(t)， r ( t) → h ( t)
1 t d vC ( t ) A RC A ( t ) e u( t ) dt RC
t t
1 RC RC Ae u( t ) RCA ( t ) Ae RC u( t ) ( t ) RC 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA ( t ) ( t ) RCA=1 A=1/RC
A1 A2 (t ) 3 A1 A2 (t ) 0 u(t ) (t ) 2 (t )
1 A1 A2 1 A1 2 根据系数平衡，得 3 A1 A2 2 A2 1 2 1 t h( t ) e e 3t u( t ) 2
2 离散系统单位样值响应的确定
一．单位样值响应
( n)
2.4 系统的单位冲激响应与单位样值响应
e
u( t )
1 RC
iC ( t ) C
d vC ( t ) dt 1 R C
2 1 RC t
注意！
u( t ) 1 R
t
i c (t )
e
(t )
1 R
t
电容器的电流在 t=0时有一冲激，这就是 电容电压突变的原因
1 R C
2
方法：奇异函数项相平衡原理
x n
求系统的单位样值响应。
列方程 从加法器出发：
x n 3 y n 1 3 y n 2
n
y n
3
hn
z
1
3
z
1
1
z
1
y n 3 y n
yn 3 yn 1 3 yn 2 yn 3 xn
h1 3h0 3h 1 h 2 3 h2 3h1 3h0 h 1 6
代入hn C 1 n C 2 n C 3 得
2
C1
1 2
, C2
3 2 3
, C3 1
1 2 hn n n 1 un 2 2
2.4 系统的单位冲激响应与单位样值响应
1 连续系统的单位冲激响应的确定
2 离散系统单位样值响应的确定
1 连续系统的单位冲激响应的确定 一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t ) 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t )
H
h(t )
2．一阶系统的冲激响应
求特征根
4 3 0 1 1, 2 3