无约束问题的最优化条件ppt课件
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无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
运筹学与最优化方法 第5章无约束最优化PPT课件
注意： f(x) ≥f(x*)+ ▽Tf(x*)(x-x*), x. 故 f(x*) ≤f(x)， x. （ 由于▽Tf(x*) =0）
5.2 最速下降法
在迭代点 x(k) 取方向 d(k)= －▽f(x(k) )
精确一维搜索
最 速 下降法：梯度方向函数值变化最快的方
向
3
第五章 无约束最优化
5.2 最速下降法（续）
5
第五章 无约束最优化
Newton法： （续）
当▽2f(x(k)) 正定时，有极小点：
x(k+1)=x(k)-[▽2f(x(k)) ]-1 ▽f(x(k))
——Newton迭代公式
实用中常用 ▽2f(x(k)) S= -▽f(x(k)) 解得s(k)
x(k+1)=x(k)+s(k)
k=k+1
x(1), ε >0, k=1
x(i+1)=x(i)+αid(i) , i=1,2, …,k
求得λk , x(k+1)=x(k)+λkd(k)
特点：可改善局部收敛性，当d(k)为函数上升方向时，可向负方 向搜索，但可能出现± d(k)均非下降方向的情况。
8
第五章 无约束最优化
5.3 Newton法及其修正 二、 Newton法的改进： （续）
(3)Goldstein-Price方法(G-P法)：
主要缺点： (1)局部收敛 (2)用到二阶Hesse阵，且要求正定 (3)需计算Hesse阵逆或解n阶线性方程组，计算量大
7
第五章 无约束最优化
5.3 Newton法及其修正 二、 Newton法的改进： (1)为减小工作量，取m（正整数），使每m次迭代使用同一个
5.2 最速下降法
在迭代点 x(k) 取方向 d(k)= －▽f(x(k) )
精确一维搜索
最 速 下降法：梯度方向函数值变化最快的方
向
3
第五章 无约束最优化
5.2 最速下降法（续）
5
第五章 无约束最优化
Newton法： （续）
当▽2f(x(k)) 正定时，有极小点：
x(k+1)=x(k)-[▽2f(x(k)) ]-1 ▽f(x(k))
——Newton迭代公式
实用中常用 ▽2f(x(k)) S= -▽f(x(k)) 解得s(k)
x(k+1)=x(k)+s(k)
k=k+1
x(1), ε >0, k=1
x(i+1)=x(i)+αid(i) , i=1,2, …,k
求得λk , x(k+1)=x(k)+λkd(k)
特点：可改善局部收敛性，当d(k)为函数上升方向时，可向负方 向搜索，但可能出现± d(k)均非下降方向的情况。
8
第五章 无约束最优化
5.3 Newton法及其修正 二、 Newton法的改进： （续）
(3)Goldstein-Price方法(G-P法)：
主要缺点： (1)局部收敛 (2)用到二阶Hesse阵，且要求正定 (3)需计算Hesse阵逆或解n阶线性方程组，计算量大
7
第五章 无约束最优化
5.3 Newton法及其修正 二、 Newton法的改进： (1)为减小工作量，取m（正整数），使每m次迭代使用同一个
无约束优化课稿PPT课件
Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:
(1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’ 时,显示最终结果.默认值为’final’. (2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取 值为正整数. (3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.
X1
X2
x1
第2页/共21页
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2 ) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
第3页/共21页
f 0.298
搜索过程 min f (x1 x2 ) 100 (x2 x12 )2 (1 x1)2
x1 x2 f
-1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
第4页/共21页
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
返回
无约束优化问题的基本算法
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
⑵ 计算f X k ；
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
f X k ，
(x k )T k )T x k
x k (f k )T H k H k f k (x k )T (f k )T x k
(1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’ 时,显示最终结果.默认值为’final’. (2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取 值为正整数. (3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.
X1
X2
x1
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唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2 ) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
第3页/共21页
f 0.298
搜索过程 min f (x1 x2 ) 100 (x2 x12 )2 (1 x1)2
x1 x2 f
-1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
第4页/共21页
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
返回
无约束优化问题的基本算法
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
⑵ 计算f X k ；
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
f X k ，
(x k )T k )T x k
x k (f k )T H k H k f k (x k )T (f k )T x k
《无约束优化方法》课件
收敛性分析
分析迭代点是否收敛到最优解，以及收敛速度的快慢。
04 算法实现和案例 分析
MATLAB实现
介绍MATLAB在无约束优化方 法中的应用，包括函数优化工 具箱的使用和自定义算法的实
现。
演示如何使用MATLAB求解无 约束优化问题，如最小二乘问
题、非线性规划问题等。
介绍MATLAB中常用的优化算 法，如梯度下降法、牛顿法、 拟牛顿法等，并给出相应的代 码实现。
04
总结Python在无约束优化方法中的优缺点，并给出相应的改进建议 。
案例分析：简单的二次函数优化
介绍二次函数优化的基本 概念和方法，包括最优解 的求解和性质分析。
演示如何使用MATLAB或 Python求解该问题，并 给出相应的代码实现和结 果分析。
ABCD
给出具体的二次函数优化 问题，如最小化f(x)=x^2 在区间[a,b]上的最小值。
深度学习优化
结合深度学习技术，对高维非线性问题进行 优化，解决复杂的问题。
目标函数
需要最小化或最大化的函数
约束条件
对目标函数的限制条件，无约束优化问题没有约束条件
02 无约束优化方法 简介
梯度法
总结词
基本、直观、简单
详细描述
梯度法是最早的无约束优化方法之一，它基于函数的梯度信息，通过沿着负梯 度的方向搜索来寻找最优解。由于其简单直观，被广泛应用于各种优化问题。
牛顿法
控制工程
用于系统优化、控制器设计和系统稳 定性分析，提高控制系统的性能。
无约束优化方法的未来发展方向
混合整数优化
将整数约束和连续变量优化结合起来，解决 更复杂的优化问题。
多目标优化
考虑多个目标函数，寻求多目标之间的平衡 ，满足多方面的需求。
分析迭代点是否收敛到最优解，以及收敛速度的快慢。
04 算法实现和案例 分析
MATLAB实现
介绍MATLAB在无约束优化方 法中的应用，包括函数优化工 具箱的使用和自定义算法的实
现。
演示如何使用MATLAB求解无 约束优化问题，如最小二乘问
题、非线性规划问题等。
介绍MATLAB中常用的优化算 法，如梯度下降法、牛顿法、 拟牛顿法等，并给出相应的代 码实现。
04
总结Python在无约束优化方法中的优缺点，并给出相应的改进建议 。
案例分析：简单的二次函数优化
介绍二次函数优化的基本 概念和方法，包括最优解 的求解和性质分析。
演示如何使用MATLAB或 Python求解该问题，并 给出相应的代码实现和结 果分析。
ABCD
给出具体的二次函数优化 问题，如最小化f(x)=x^2 在区间[a,b]上的最小值。
深度学习优化
结合深度学习技术，对高维非线性问题进行 优化，解决复杂的问题。
目标函数
需要最小化或最大化的函数
约束条件
对目标函数的限制条件，无约束优化问题没有约束条件
02 无约束优化方法 简介
梯度法
总结词
基本、直观、简单
详细描述
梯度法是最早的无约束优化方法之一，它基于函数的梯度信息，通过沿着负梯 度的方向搜索来寻找最优解。由于其简单直观，被广泛应用于各种优化问题。
牛顿法
控制工程
用于系统优化、控制器设计和系统稳 定性分析，提高控制系统的性能。
无约束优化方法的未来发展方向
混合整数优化
将整数约束和连续变量优化结合起来，解决 更复杂的优化问题。
多目标优化
考虑多个目标函数，寻求多目标之间的平衡 ，满足多方面的需求。
四常用无约束最优化方法(精品PPT)
（3）用终止准则检测是否满足：若满足，则打印最优
解 X k 1 ，f ( X k1 ) ，结束；否则，置 k k 1，转
（2）．
，
最速下降法算法流程如图4.2所示．
Company Logo
最速下降法算 法流程如图所 示．
图4.2
开始 选定X0
f0 f (X0) g0 g(X0)
X ls(X 0 ,g0 )
Company Logo
§4.1 最速下降法
对于问题（4.1）为了求其最优解，按最优化算法的基
本思想是从一个给定的初始点
X
出发，通过基本迭代公
0
式 X k1 X k tk Pk，按照特定的算法产生一串
点列{X k } ，如果点列收敛，则该点列的极限点为问题
（4.1）的最优解．
一、最速下降法基本原理
1个迭代点
X
k
，即
1
X k1 X k tk f ( X k ) ，
其中步长因子 tk 按下式确定
也可记为
fin
t
f
(Xk
tf
(Xk
))
，
X k1 ls( X k , f ( X k )) ． （4.3）
显然，令k 0, 1, 2, 就可以得到一个点列 X0, X1, X2 ，
g( X ) AX b ，(4.5)
因此，
gk g( X k ) AX k b．(4.6)
现在从X k 出发沿 g k 作直线搜索以确定 X k1 ，于是
X k1 X k tk gk ， (4.7) 其中tk 是最优步长因子．
Company Logo
又因式（4.2），有 g( X k1 )T gk 0 ，再利用式
解 X k 1 ，f ( X k1 ) ，结束；否则，置 k k 1，转
（2）．
，
最速下降法算法流程如图4.2所示．
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最速下降法算 法流程如图所 示．
图4.2
开始 选定X0
f0 f (X0) g0 g(X0)
X ls(X 0 ,g0 )
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§4.1 最速下降法
对于问题（4.1）为了求其最优解，按最优化算法的基
本思想是从一个给定的初始点
X
出发，通过基本迭代公
0
式 X k1 X k tk Pk，按照特定的算法产生一串
点列{X k } ，如果点列收敛，则该点列的极限点为问题
（4.1）的最优解．
一、最速下降法基本原理
1个迭代点
X
k
，即
1
X k1 X k tk f ( X k ) ，
其中步长因子 tk 按下式确定
也可记为
fin
t
f
(Xk
tf
(Xk
))
，
X k1 ls( X k , f ( X k )) ． （4.3）
显然，令k 0, 1, 2, 就可以得到一个点列 X0, X1, X2 ，
g( X ) AX b ，(4.5)
因此，
gk g( X k ) AX k b．(4.6)
现在从X k 出发沿 g k 作直线搜索以确定 X k1 ，于是
X k1 X k tk gk ， (4.7) 其中tk 是最优步长因子．
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又因式（4.2），有 g( X k1 )T gk 0 ，再利用式
无约束优化方法PPT课件
2
从点xk出发，沿G某一共轭方向d k作一维搜索,到达xk 1
xk 1 xk ak d k
xk 1 xk ak d k 而在点xk、xk 1处的梯度分别为：
gk Gxk b gk1 Gxk1 b
gk1 gk G xk1 xk akGd k
等式两边同乘 d 0 T 得 d 0 T Gd1 0
d 0 d 1 是对G的共轭方向。
三、共轭方向法
1、选定初始点 x0 ，下降方向d 0 和收敛精度ε，k=0。
2、沿 d k 方向进行一维搜索，得 xk1 xk ak d k
3、判断 f xk1 是否满足，若满足则打印 xk1
xk1 xk k Hf xk
变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和 它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse 矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1 。
由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一 般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。
第二节 最速下降法
优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负 梯度方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。 按此规律不断走步，形成以下迭代算法：
xk1 xk akf xk
以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。
搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子ak
即求一维搜索的最佳步长，既有
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x 1 xTGx bT x c
2 时引出的。 首先考虑二维情况
1 共轭方向
定义1：设G为 n n阶实对称正定矩阵，而 d i , d 为j 在n
从点xk出发，沿G某一共轭方向d k作一维搜索,到达xk 1
xk 1 xk ak d k
xk 1 xk ak d k 而在点xk、xk 1处的梯度分别为：
gk Gxk b gk1 Gxk1 b
gk1 gk G xk1 xk akGd k
等式两边同乘 d 0 T 得 d 0 T Gd1 0
d 0 d 1 是对G的共轭方向。
三、共轭方向法
1、选定初始点 x0 ，下降方向d 0 和收敛精度ε，k=0。
2、沿 d k 方向进行一维搜索，得 xk1 xk ak d k
3、判断 f xk1 是否满足，若满足则打印 xk1
xk1 xk k Hf xk
变尺度法是对牛顿法的修正，它不是计算二阶导数的矩阵和 它的逆矩阵，而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse 矩阵的逆矩阵。并在迭代过程中，使其逐渐逼近H-1 。
由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的，它对于一 般尺度的梯度起到改变尺度的作用，因此H又称变尺度矩阵。
第二节 最速下降法
优化设计追求目标函数值最小，若搜索方向取该点的负 梯度方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。 按此规律不断走步，形成以下迭代算法：
xk1 xk akf xk
以负梯度方向为搜索方向，所以称最速下降法或梯度法。
搜索方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子ak
即求一维搜索的最佳步长，既有
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x 1 xTGx bT x c
2 时引出的。 首先考虑二维情况
1 共轭方向
定义1：设G为 n n阶实对称正定矩阵，而 d i , d 为j 在n
最新第4章无约束优化方法PPT课件
机械优化设计19第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第四节第四节共轭方向及共轭方向法共轭方向及共轭方向法??共轭方向的形成共轭方向的形成??格拉姆格拉姆斯密特向量系共轭化的方法斯密特向量系共轭化的方法20第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第四节第四节共轭方向及共轭方向法共轭方向及共轭方向法10g1221第四章第四章无约束优化方法无约束优化方法第五节第五节共轭梯度法共轭梯度法共轭梯度法
第机四械章优化设无计约束优化方法
第七节 坐标轮换法
基本思想：
每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一
，
维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮 探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。
目的：将一个多维的无约束最优化问题，转化为一系
列的一维问题来求解。
第机四械章优化设无计约束优化方法
第六节 变尺度法（拟牛顿法）
DFP算法：
例 ： 用 D F P 算 法 求 fx 1 ,x 2 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 2 x 1 x 2
，
的 极 值 解 。
H k 1 H k E k H k s s k T k s y k T k H y k k T y H ky k k T y H kk (k 0 ,1 ,2 , )
设法构造出一个对称正定矩阵 来H 代k 替 ，并 在迭G代( x过k )程1 中使 逐渐逼近 H,那k 么就简化G了(牛xk )顿1 法的计算，并且保持了牛顿法收敛快的优点。
变尺度法的
迭代公式：
x k 1 x k k H k fx k ( k 0 ,1 ,2)
第机四械优章化设无计约束优化方法
3)沿方向d k作，一维搜索得xk 1 xk k d k ; 4)判断收敛：若满足 f ( x(k 1) ) , 则令x* xk 1，f ( x* ) f ( xk 1),
第机四械章优化设无计约束优化方法
第七节 坐标轮换法
基本思想：
每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行 一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一
，
维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮 探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。
目的：将一个多维的无约束最优化问题，转化为一系
列的一维问题来求解。
第机四械章优化设无计约束优化方法
第六节 变尺度法（拟牛顿法）
DFP算法：
例 ： 用 D F P 算 法 求 fx 1 ,x 2 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 2 x 1 x 2
，
的 极 值 解 。
H k 1 H k E k H k s s k T k s y k T k H y k k T y H ky k k T y H kk (k 0 ,1 ,2 , )
设法构造出一个对称正定矩阵 来H 代k 替 ，并 在迭G代( x过k )程1 中使 逐渐逼近 H,那k 么就简化G了(牛xk )顿1 法的计算，并且保持了牛顿法收敛快的优点。
变尺度法的
迭代公式：
x k 1 x k k H k fx k ( k 0 ,1 ,2)
第机四械优章化设无计约束优化方法
3)沿方向d k作，一维搜索得xk 1 xk k d k ; 4)判断收敛：若满足 f ( x(k 1) ) , 则令x* xk 1，f ( x* ) f ( xk 1),
无约束最优化的直接方法 最优化理论与算法 教学PPT课件
若f ( y( j) jd ( j) ) f ( y( j) ),则令
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
y( j1) y( j)
j:= j
3. 若j<n,则置j:=j+1,转步2,否则,进行步4.
22
2. Rosenbrock算法
4.若f ( y(n1) ) f (x(k) ),则令 y(1)= y(n+1)
置j=1,转步2.若 f ( y(n1) ) f ( y(1) ),则进行步5.
24
24
12
1 模式搜索法
j x(k )
y( j) f (y( j))
x(2) 0 (1,1) 0 1 (1,1) 0
2 (1,1)
y( j) + ej f ( y( j) + ej) y( j) - ej f ( y( j) - e j)
(5 ,1) 1165 1.64 4 256
( 3 ,1) 1 5 1.02 4 256
给定初始点x(1),放大因子 1,缩减因子 (1,0)
给定初始搜索方向和步长.
14
2. Rosenbrock算法
设第k次迭代的初始点为x(k) ,搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d (n)
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为
1, 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1) 表示. 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动
y(2) y(1) e1
并从y(2)出发,沿e2进行探测.
(1.2)
5
1.模式搜索法
若f ( y(1) e1) f ( y(1) ),则沿 - e1方向的探测失败,令
y(2) y(1)
(1.3)
05工程优化第4章-1无约束最优化方法解析精品PPT课件
利用精确一维搜索，可得
' (k ) f (xk k d k )T d k 0
由此得出
f (xk ) d k
0=f (xk k d k )T d k =f (xk +1)T d k = (d k +1)T d k
最速下降法在两个相邻点之间的搜索方向是正交的。
最速下降法向极小点逼近是曲折前进的，这种现象称为锯齿 现象。
然后再从 x1 开始新的迭代，经过10次迭代，得最优解 x* (0, 0)T
计算中可以发现，开始几次迭代，步长比较大，函数值下 降将较快，但当接近最优点时，步长很小，目标函数值下降很 慢。
如果不取初点为 x0 (2, 2)T 而取 x0 (100, 0)T
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 x22
10 2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0
,
x2
2
,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1 0
0
2x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
假设 f 连续可微，
d k f (xk )
f
(xk
k d k )
min 0
f
(xk
பைடு நூலகம்
dk )
步长 k由精确一维搜索得到。
从而得到第 k+1次迭代点，即
xk1 xk +k d k xk kf (xk )
最速下降法 负梯度方向d k f (xk )是函数值减少最快的方向 ？
无约束优化方法PPT课件-PPT精选文档
1 1 f x a G d 0 1
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
无约束问题的最优化条件PPT课件
.
4) 校正 Hk 产生 H k 1 ，计算 Hk1 Hk Ek , Ek 称为 Hk 的第 k 次校正矩阵.
5) k : k 1， 转 2）
37
.
三、拟牛顿条件
拟牛顿法设计关键在于 Hk 的构成 为保证 Hk 与 2 f (xk )1 近似并有容易计算的特点， Hk 应该满足如下条件： 1） Hk 对称正定，因为只要 Hk 对称正定，即可保证迭代
方向是下降方向。
38
.
dk Hkf (xk ) T f (xk )dk T f (xk ) Hk f (xk ) 0 T f (xk ) Hk f (xk ) 0 只要 Hk 正定，可保证迭代是下降的。
似程度越好，应加大 hk ，否则相反。
31
.
二. 信赖域算法基本步骤
1）给出初始点 x0 ，令 h0 g0
2）给出 xk 和 hk ，计算 gk 和 Gk 3）解信赖域模型（子问题），求出 dk 4）求 f (xk dk ) 和 rk 的值
5）如果 rk 0.25 ，令 hk1
dk 4
（缩减信赖域半径）
注：按照这种方法选取搜索方向，再加上一维搜索（精确
或非精确）算法的总体收敛性一般可以得到保证，但当 Gk
非正定时候较多时也可能失去牛顿法快速收敛的特点。
26
.
5.4 信赖域法
自动化学院
27
.
一、信赖域算法
1．牛顿法的基本思想
在当前迭代点 xk 附近用二次函数
(k) (d)
f
(xk ) gkT d
)
12 12
12
1
2)方向 d (0 ) (G (x (0 ))) 1 f(x (0 )) 1 , 3 2 T
5 常用无约束最优化方法PPT课件
优 化
又因 g(Xk1)Tgk0，再结合式（5.5）、（5.6）、（5.7）来自方可得法
[A (X ktkgk)b]Tgk0 或 [gktkAkg ]Tgk0
由此解出
tk
g
T k
g
k
g
T k
Ag
k
代入式（5.7）中得到
Xk1 Xk ggkTkTAgkgk gk （5.8）
第 五 章
例5.1 试用最速下降法求函数 f(x1,x2)x1 24x2 2的极小 点．迭代两次，计算各迭代点的函数值，梯度及其模， 并验证相邻两个搜索方向是正交的．设初始点
常 用 无
为 X0 [1,1]T． 解 与式（5.4）比较，得
A
2 0
0 8
约
束 优
梯度表达式是 f(X)f(x1,x2)82xx21
化 方
由 X0 [1， 1]T ，计算出
法
f(x0)124125
2 g0 f (X0)8 || g0 ||8.24621
因为目标函数是二次的，可以使用式（5.8），所以有
束
计算梯度，甚至需要计算Hesse矩阵．一般的经验是，
优
在可能求得目标函数导数的情况下还是尽可能使用间
化
接方法；相反，在不可能求得目标函数的导数或根本
方
不存在导数的情况下，当然就应该使用直接法．
法
5.1 最速下降法
为求问题（5.1）的最优解，按最优化算法的基本思想
是从一个给定的初始点 X 0 出发，通过基本迭代公式
化
无约束优化方法是优化技术中极为重要,它不仅可以直
方
接用来求解无约束优化问题，而且很多约束优化问题
法
也常将其转化为无约束优化问题，然后用无约束优化
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继续迭代,计算可得
d(1) 1 1,11 5,x(2) 10.2.8
f ( x ( 2 ) ) ( 0 . 2 , 0 . 2 ) T , | | f ( x ( 2 ) ) | | 0 . 2 8 2 8 ,
二.算法终止标准
常用的算法终止准则有：
(1) xk1 xk ； (2) f (xk1) f (xk ) ；
5.1 无约束问题的 最优性条件
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1
；.
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化问题的局部极小点， 一般求全局极小点极为困难，仅当问题为凸规划时，局部极小为全局极 小。
二、无约束问题最优性条件
f (x ) 0 ，若 f (x) 为凸函数，则 x 为 f (x) 的最小值点。
证明：......
四.最速下降法的收敛速度
定理 6 对极小化问题 min f (x) 1 xTGx ，其中 G 为 n n 对称正定 2
矩阵， 1， n 分别为 G 的最大与最小特征值。设 x* 是最优解，则最
3） 由一维搜索确定步长因子k ，使得
f
(xk
kdk
)min0f(xkdk)
4） 令 xk1 xk k dk ， k k 1，转 2)。
例1:用最速下降法求
f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
的极小值,
0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
解: f ( x ) [ ( 1 4 x 1 2 x 2 , 1 2 x 1 + 2 x 2 ] T , f( x ( 0 ) ) ( 1 , 1 ) T
f (xk )
(3) f (xk ) 。
三、最速下降算法收敛性定理
定理 5 设 f C1 (一阶连续可微), S x f (x) f (x0)
有界，则由最速下降法得到的迭代点列xk 具有如下性质： 1） 数列 f (xk ) 严格单调下降； 2） xk 的任何极限点（聚点） x 都是 f (x) 的驻点，
0.01取初X 始 （ 0） 点 （ 0， 0） T
解: 1)计算
f
(x)
[(14x1
2x2,
点，极小点或者鞍点。
定理 4 若 f (x) : Rn R 是连续可微的凸函数，则 x 是全局 极小点的充要条件是 f (x ) 0 。
证明：必要性由定理 1，充分性则由凸函数定义
f (x) f (x) f (x)T (x x) 可得。
5.2 最速下降法
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5
；.
一. 最速下降法 ➢ 最速下降法又称为负梯度法，由Cauchy于1847年给出。是最为古老但
dk1 f (xk1) f (xk kdk )
k满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk ) dk 0
dkT1 dk 0
5.3 牛顿法
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1
；.
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
又十分基本的一种方法。
➢ 最速下降法解决的是具有连续可微的目标函 数的无约束极值问题。
➢ 优点：迭代过程简单，使用方便。
➢ 最速下降法的基本思想：从当前点xk出发寻找 使得目标函数下降最快的方向，即负梯度方向。
➢ 关于梯度的复习： ☺梯度是一个向量。n元函数f(x1 ,x2 ,…xn)在点x处的梯度为：
|| f(x(0))||2(12(1)2)22
x(1 )x(0 ) f(x(0 )) 0 0 1 1
代入目标函数得：
f(x ( 1 )) f(x (0 ) f(x (0 )) )2 2
令 df(x(1))/d0
0 1
x (1)
1
1
f ( x ( 1 ) ) ( 1 , 1 ) T , || f ( x ( 1 ) ) || 2
(f ,f ,...,f )T x1 x2 xn
☺梯度的方向与函数f 的等值线的一个法线方 向相同，从较低的等值线指向较高的等值线。
☺梯度的方向就是函数f 的值增加最快的方向， 其相反方向就是函数值降低最快的方向。
算法步骤：
1） 给出初始点 x0 Rn ，允许误差 0 ， k 0 ；
2） 计算 dk f (xk ) ，若 f (xk ) ，停，并令 x* xk ，否则转 3）；
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
定理 1（一阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 。 定理 2（二阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 ，
2 f (x ) 0 。（半正定） 定理 3 （二阶充分条件） x 是局部极小点的充分条件是： f (x) 0 ，且 2 f (x ) 正定。 注：使 f (x) 0 的点 x 称为函数的驻点。驻点可以是极大
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
牛顿迭代公式: xk 1 xk Gk1gk . 其中, Gk 2 f (xk ), gk f (xk )
例2:用牛顿法求 的极小值,
f(x ) x 1 x 2 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2
速下降算法的收敛速度至少是线性的，且下面的界成立：
f (xk1) f (x*) ( 1)2 (1 n )2 ， xk1 x* ( 1)
f (xk ) f (x*) ( 1)2 (1 n)2 xk x*
( 1)
其中 1 n G G1 （ 为矩阵 G 的条件数）。
五.算法特点
相邻两次迭代的搜索方向是正交的,迭代点列呈锯齿形前进，迭代点越靠近 最优解附近,目标函数值下降的速度越慢，算法收敛速度慢。