空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式

【知识点的认识】

1．空间向量的夹角公式

→

→设空间向量

푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），

→→cos＜푎，푏＞=

→→

푎⋅푏

→→

|푎|⋅

|푏|

=

푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3

푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+

푏32

注意：

→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1

时，푎与푏同向；

→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1

时，푎与푏反向；

→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0

时，푎⊥푏．

2．空间两点的距离公式

设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则

→

퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)

→

d A，B＝|퐴퐵| =

→

퐴퐵

⋅

→

퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―

푧1)2．

【解题思路点拨】

1．求空间两条直线的夹角

建系→写出向量坐标→利用公式求夹角

2．求空间两点的距离

建系→写出点的坐标→利用公式求距离．

【命题方向】

（1）利用公式求空间向量的夹角

→→

例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）

1/ 3

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

→→→分析：由题意可得：

퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―

1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅

→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由

cos＜퐴퐵，퐴퐶

＞=

→→

퐴퐵⋅퐴퐶

→→

可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|

解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），

所以

→→

퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，

→

所以퐴퐵⋅

→→→

퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，

→→

所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=

→→

퐴퐵⋅

퐴퐶

→→

|퐴퐵||퐴퐶|

=

3

32×2=

1

2

，

→→

∴퐴퐶的夹角为 60°

퐴퐵与

故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．

（2）利用公式求空间两点的距离

例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）

A.3

B. 29

C.25

D.5

分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．

解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），

→

→所以

퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|

퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．

故选D．

点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．

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