清北学堂 2012年暑假数学集训三、四三角函数、数列导学

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1 [cos(α +β )+cos(α -β )] , 2 1 sinα sin β =- [cos(α +β )-cos(α -β )] . 2 cosα cos β =
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一、 、三角函 函数
知识 识点：
1、设 α 是一个 个任意大小的角，α 的终边上任 的 意一点 Ρ 的坐标是 的 原点 ( x, y ) ，它与原 距离是 r r = x 2 + y 2 > 0 ，则 si 的距 in α =
cos
α+β
α−β
函数 f ( x ) = − 3 sin 2 x + sin x cos x 例 2：已知函
⎡ π⎤ （I）求函数 f ( x) 的最小 小正周期； （II）求函 函数 f ( x)在x ∈ ⎢0, ⎥ 的值域. ⎣ 2⎦
解析 析： f ( x) = − 3 sin 2 x + sin x cos x = − 3 ×
s ∴ sinA+cosA ＞
2 2
sinA+cosA A= 2 当 A=45°时， A
当 0＜A＜45° 0 时， sinA ＞0,cosA＞ ＞
2 2
s ∴ sinA+cosA ＞
2 2
∵ 2, 1,
2 7 都大于 . 2 12
∴淘 淘汰（A） 、 （C） ，选（B） sin x cos x 例 4：求 y = 的值域 域. 1 + sin x + co os x ⎛ 2 ⎞ π 2 ⎟ inx+cosx= 2 ⎜ 解析 析： 设 t=si n( x + ). ⎜ 2 sin x + 2 cos x ⎟ = 2 sin 4 ⎝ ⎠ π 因为 为 − 1 ≤ sin( x + ) ≤ 1, 4 所以 以 − 2 ≤ t ≤ 2. 又因 因为 t 2 =1+2 2sinxcosx ,
值 域
[ −1,1]
当 x = 2 kπ +
[ −1,1]
( k ∈ Ζ)
当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时， ymax = 1 ；当 x = 2kπ + π
R
π
2
最 值
时 ， ymax = 1 ； 当
x = 2 kπ −
π
2
( k ∈ Ζ ) 时， ymin = −1 ．
2π
既无最大值也无最小 值
= 3 1 3 sin 2 x + cos 2 x − 2 2 2
1 − cos 2 x 1 + sin 2 x 2 2
= si in( 2 x +
π
3
)−
3 2
（I） T =
2π =π 2
（II）∴ 0 ≤ x ≤
π
2
∴
π
3
≤ 2x +
π
3
≤
4π 3
∴
−
π 3 ≤ sin( 2 x + ) ≤ 1 2 3
( kπ , 0 )( k ∈ Ζ )
对
称
中
心
π ⎞ ⎛ ⎜ kπ + , 0 ⎟ ( k ∈ Ζ ) 2 ⎠ ⎝
⎛ kπ ⎞ , 0 ⎟ (k ∈ Ζ) ⎜ ⎝ 2 ⎠
无对称轴
tan α − tan β （ tan α − tan β = tan (α − β )(1 + tan α tan β ) ） ； 1 + tan α tan β
α+β
2
的 的倍角，因而 而可
① 2 ＋②2 得 2 2+2cos （ α − β） =1；
1 ∴ cos （ α − β） =− . 2
① 2 －②2 得 cos2 α +co os2 β +2cos s（ α + β ）=－1，
即 2cos（ 2 〔 cos 〕 ∴ cos(α + β ) = −1 . α+β） （ α − β） + 1 〕=－1。∴ ……③ = 1 ……… 2 2 α+β α−β 由② ②得 2 cos ………④ cos = 0 …… 2 2 α+β α+β cot 2 −1 1 − ta an 2 α+β 2 2 = = −1 ④÷ ÷③得 cot = 0， ∴ cos(α + β ) = 2 2 α + β 2 α + β cot +1 1 + ta an 2 2 解法 法二：由① ①得 2 sin
（A A）锐角 分析 析 （B）钝角 角 （C） ）直角
7 成立，那么 成 么角 A 是（ 12
）
s sinA A 的单调性 对 A 分类，结合 分 和 cosA 性用枚举法讨 讨论.
解：当 A=90°时， sinA 和 cosA=1 ；
2 cosA ＞0， ，c 2
A＞ 当 45°＜A＜9 4 90°时 sinA
[ 2kπ − π , 2kπ ] ( k ∈ Ζ )
( k ∈ Ζ ) 上是减函数．
对 称 中 心 对 称 中 心 对 称 对 称 轴 性 π 对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ ) x = kπ + ( k ∈ Ζ ) 2 5、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1） cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ； （2） cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ； （3） sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ； （4） sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ； （5） tan (α − β ) =
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⎡ 2− 3⎤ 所以 以 f ( x ) 的值 值域为： ⎢− 3 , ⎥ 2 ⎦ ⎣
+cosA = 例 3：在△ABC 3 C 中，如果 果等式 sinA+
2 tan α ． 1 − tan 2 α
(1 − cos α ) ⎛α ⎞ 7、半角公式: sin ⎜ ⎟ = ± , 2 ⎝2⎠ (1 + cos α ) ⎛α ⎞ cos ⎜ ⎟ = ± , 2 ⎝2⎠
sin α (1 − cos α ) (1 − cos α ) ⎛α ⎞ = = . tan ⎜ ⎟ = ± sin α (1 + cos α ) (1 + cos α ) ⎝2⎠
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（6） tan (α + β ) =
tan α + tan β （ tan α + tan β = tan (α + β )(1 − tan α tan β ) ） ． 1 − tan α tan β
6、二倍角的正弦、余弦和正切公式： （1） sin 2α = 2sin α cos α ． （2） cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2cos2 α −1 = 1 − 2sin 2 α （ cos 2 α = （3） tan 2α =
cos 2α + 1 1 − cos 2α ， sin 2 α = ） ． 2 2
性 函 质 数 y = sin x
y = cos x
y = tan x
图 象
定 义 域
R
R
⎧ π ⎫ ⎨ x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ⎬ 2 ⎩ ⎭
1
Байду номын сангаас
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( 2 ) sin (π + α ) = − sin α ， cos (π + α ) = − cos α ， tan (π + α ) = tan α ．
os ( −α ) = co os α ， tan ( −α ) = − tan nα ． ( 3) sin ( −α ) = − sin α ， co c (π − α ) = − cos α ， tan (π − α ) = − tan α ． ( 4 ) sin (π − α ) = sin α ， cos
⎞ ⎟． ⎠
sin nα = tan α cos sα
sin α ⎛ n α = tan α cos c α , cos α = ⎜ sin tan α ⎝
3、三角函数的 的诱导公式 式：
s ( 2kπ + α ) = sin α ， cos ( 2kπ + α ) = cos α ， tan ( 2kπ + α ) = tan n α ( k ∈ Ζ) ． (1) sin
(
)
x y y ， cos c α = ， tan α = ( x ≠ 0 ) ． r r x
s 2 α + cos s2 α = 1 2、同角三角函 函数的基本 本关系： (1) sin
n ( sin
2
α = 1 − co os 2 α , cos 2 α = 1 − sin 2 α ) ； ( 2 )
( k ∈ Ζ ) 时， ymin = −1 ．
周 期 性 奇 偶 性
2π
π
奇函数
偶函数
奇函数
π π⎤ ⎡ 在 ⎢ 2 k π − , 2 kπ + ⎥ 2 2⎦ ⎣
单 调 性
在
( k ∈ Ζ ) 上是增函数；在
π 3π ⎤ ⎡ 2 k π + , 2 kπ + ⎥ ⎢ 2 2 ⎦ ⎣
π π⎞ ⎛ 上 是 增 函 数 ； 在 在 ⎜ kπ − , k π + ⎟ 2 2⎠ ⎝ [ 2 kπ , 2 kπ + π ] ( k ∈ Ζ ) 上是增函数． ( k ∈ Ζ ) 上是减函数．
典型 型例题：
（α + β）的值 . 例 1：已知 sin n α + sin β = 1， cos α + cos c β = 0 ，求 cos 也可以 看作是 分析 析：因为 既可 可看成是 α与β的和，也 （ α + β）
得到 到下面的两 两种解法. 解法 法一：由已知 sin α +s sin β =1…………①， + …………②， ， cos α +cos β =0…
⎛α ⎞ ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ 2 tan⎜ ⎟ 1 − tan 2 ⎜ ⎟ 2 tan⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ , cos α = ⎝ 2 ⎠ , tan α = ⎝2⎠ . 8、万能公式: sin α = ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ 1 + tan 2 ⎜ ⎟ 1 + tan 2 ⎜ ⎟ 1 − tan 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 9、辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a 2 +b 2 ≠ 0 ，则取始边在 x 轴正半轴，终边 b a 经过点(a, b)的一个角为β，则 sin β= , cos β= ，对任意的 2 2 2 a +b a + b2 角α.
⎛ ( 5 ) sin ⎜ ⎞ ⎛π ⎞ − α ⎟ = cos α ， cos ⎜ − α ⎟ = sin α ． ⎠ ⎝2 ⎝2 ⎠ ⎞ ⎛π ⎞ + α ⎟ = cos α ， cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ． ⎠ ⎝2 ⎝2 ⎠
π
( 6 ) sin ⎛ ⎜
π
口诀 诀：奇变偶不变，符号 号看象限． 4、正弦函数、余弦函数 数和正切函数 数的图象与 与性质：
asinα +bcosα = (a 2 + b 2 ) sin(α+β).
10、和差化积与积化和差公式 ⎛α + β ⎞ ⎛α − β ⎞ sinα + sinβ =2sin ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟, ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛α − β ⎞ ⎛α + β ⎞ sinα − sinβ =2sin ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛α + β ⎞ ⎛α − β ⎞ cosα + cos β =2cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟, ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛α − β ⎞ ⎛α + β ⎞ cosα − cos β =2sin ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟, ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ （这里有个小口角：一 cos 加一 cos 等于二 cos ；一 cos 减一 cos 等于二 sin ） 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )] , 2 1 cosα sin β = [sin(α +β )-sin(α -β )] , 2