《数值分析简明教程》讲义

第1章绪论
数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下:
第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
显然，误差限 总是正数，且 ，在应用上常常采用如下写法：
例：用毫米刻度的米尺测量一长度 时，如果该长度接近某一刻度 ，则 作为 的近似值时
绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量 ，
2、相对误差及相对误差限
我们把近似值的误差 与准确值 的比值，记作
称为近似值 的相对误差。
实际计算中，由于真值总是未知的，与绝对误差限类似，可以找到一个正数 ，使得：
一、误差的来源
1、模型误差
用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差
在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
3、截断误差（方法误差）
在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差
在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。。
二、绝对误差和wk.baidu.com对误差
4、 插值余项
插值多项式的余项 ，也就是插值的截断误差或方法误差。
定理：设区间［a，b］含有节点 ，而 在［a，b］内有连续的直到n+1阶导数，且 已给，则当 时，对于 ，成立：
例：已知 ， ， ，分别用线性插值及抛物插值求 时的误差各是多少？（|R1（x）|≤0.01125，|R2（x）|≤0.0017）
1、绝对误差秘绝对误差限
设数 (精确值)有一个近似值为 ，记
称e(x)为近似值 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值 偏大，叫做强近似值；当它为负时，近似值 偏小，叫作弱近似值。
准确值 一般是未知的，因而绝对误差 也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的一个上界，即可以找出一个正数 ，
使
称 为 的绝对误差限(或误差限)。
例1：已知 ， ， 求 。（10.723）
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
例1：当有3.1416来表示π的近似值时，它的相对误差是多少？（ ）
定理2 如上形式的近似数 ，若满足
则 至少有 位有效数字。
例2 已知 的近似数 的相对误差限为0.025，最坏情况 是何数？( =1.414213562…) —— =1.4
1.2 数值计算中应注意的若干原则
1、要使用数值稳定的计算公式。
则称 为n次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
2.2插值多项式的存在唯一性
定理：设节点 互异，则在次数不超过n的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 存在且唯一。
2.3 拉格朗日插值多项式
1、线性插值
问题：求作一次式 ，使满足条件
，
从几何图形上看， 表示通过两点 ， 的直线，因此，一次插值亦称线性插值。
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
2.1 引言
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有n+1个互异点 ，对应的函数值分别为 ，若存在一个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点( ),( ),…，( )，即
p( )= ,i=0,1,…,n
那么，函数p(x)称为插值函数，点 称为插值节点，包含插值节点的区间［a,b］称为插值区间,求p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。若p(x)是次数不超过n的多项式,用Pn(x)表示，即
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
1.1 误差的基本概念
除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。 数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。