3-2 行列式的性质与计算

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线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算§2.1 行列式的性质考虑111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =将它的行依次变为相应的列，得112111222212n n Tnnnna a a a a a D a a a =称T D 为D 的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记111212122212n n T n n nnb b b b b b D b b b =则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==1212()12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.例如 123123086351.351086=- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即111211112112121212n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++=111211212n i i in n n nna a a a a a a a a +111211212n i i in n n nna a ab b b a a a . 证: 由行列式定义1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑12121212()()1212(1)(1).n n in i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i jr kr D D +=，即111211212i jnr kr i i in n n nna a a a a a a a a +=11121112212n i j i j in jn n n nna a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式2324311112321311(1)(2)3234113104251113D --=-解: 211231231232123223240188(1)323408620425425r r r r r r D +↔-----=------=43324130858412321232018801880058620058621430303729r r r r r r -++------==143[1(1)58]28629=-⨯-⨯⨯=. 41212,3,4666611111111131113110200(2)66113111310020111311130002ii i r r r r i D=+-=∑===6(1222)48=⨯⨯⨯⨯=.此方法称为归边法. 例2: 计算n 阶行列式12111111(1)(2)111(0,1,2,,)n n n i a x a a a ax a D D a aaxa i n ++==+≠=解: (1)1112132,3,11111000000i r r ni nn a a a D a a a a -=+---=2211111110010001nna a a a a -=+-(箭形行列式)11223122,3,,1111000iinc c i ia n i nna a a a a a a +==++∑=2312122111(1)(1)nnn n n i i iia a a a a a a a a a a ===++=+∑∑(2) 注意到行列式各行元素之和等于(1)x n a +-,有12,3,,(1)(1)(1)i c c ni nx n a a a x n a x a D x n aax+=+-+-+-=11[(1)]1a a x a x n a ax=+-12,3,,100[(1)]i r r i na a x a x n a x a-=-+--=1[(1)]()n x n a x a -=+--.例3: 设111111111111,kk kk k n n nkn nna a a a D c cb bc c b b =11111,kk kka a D a a =11121,nn nnb b D b b =证明:12.D D D =证: 对1D 作行运算i j r kr +, 把1D 化为下三角形行列式:1111110;kk k kk p D p p p p ==对2D 作列运算i j c kc +, 把2D 化为下三角形行列式:1121110.nn n nk q D q q q p ==先对D 的前k k 行作行运算i j r kr +, 然后对D 的后n 列作列运算i j c kc +, 把D 化为下三角形行列式:1111111111,k kk k n nkn nnp p p D c c q c c q q =故, 111112.kk nn D p p q q D D =⋅=.思考练习1.计算行列式111222122512123714(1)(2)(2)5927124612n n n n a a a n a a a n D D n a a a n+++-+++--==≥-+++-2.证明1111111112222222222a bb c c a a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c ++++++=+++ 3. 证明2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)4(2)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a ab ac aeb b b b bd cdde abcdef c c c c bf cf efd d d d +++-+++-==+++-+++ 4.计算行列式2324323631063abcda ab a bc a b c dD a a b a b c a b c da ab a bc a b c d++++++=++++++++++++答案134152217341.(1)29571642c c D ↔------=3243422152215220113011311(3)390030003000333r r r r r r -++--⨯⨯-⨯---====112122,3,,111111,2(2)0,2111i c c ni nn a n a n a a n D n a n -=+-+--=⎧==⎨>⎩+- 2.左边=21111111111111222222222222c c a b b c c a a bc a c a a b b c c a a b c a c a a b b c c a a b c a c a -++++-++++=+-+++++-+ 32111111111122222222222222c c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c a b c a c ++-+-=+-=+-+-+- 21312341,2152215220216011301130216012012r r r r r r r r +----------==2312121111111222222222c c c c c c a b a c b a c a b a c b a c a b a c b a c -+↔+--=+-=-=+--1112222a b c a b c a b c . 3. 证(1)左边111111111abcdef -=--213111102020r r r r abcdef ++-=23111020002r r abcdef ↔-=-4.abcdef = (2)左边12222,3,42214469214469214469214469i c c i a a a a b b b b cc c cd d d d -=++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b c cd d --++==++=右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，002320363a bcda ab a bc D a a b a b ca ab a bc +++=++++++4332r r r r -=-0002003a b c d a a b a b c a a b a a b +++++43r r -=0002000a b c da ab a bc a a b a++++4a =§2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：111213212223313233a a a a a a a a a 222321232123111213323331333133a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n －1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原来的顺序构成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ；而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式 111213212223313232a a a a a a a a a 中元素ij a 的余子式为1112233132a a M a a =元素23a 的代数余子式为23232323(1)A M M +=-=-四阶行列式11102511230301x ---中元素x 的代数余子式为3232111(1)0515001A +-=--=二、行列式按行（列）展开定理 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即11221122(1,2,,)(1,2,,)i i i i in inj j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n =++==++=或证（1）元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 11212221200n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行;将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iinn n nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000nn n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++1122j j j j nj nj D a A a A a A =++同理有.推论 n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即112211220()0()i s i s in sn j t j t nj nt a A a A a A i s a A a A a A j t ++=≠++=≠或证考虑辅助行列式1111121222112j j n j j nn nj njna a a a a a a a D a a a a i j =列列1122).t j t j t nj nt a A a A a A j t =++≠按第列展（该行列式中有两列对应元素相等.而10D =，所以1122)0j t j t nj nt a A a A a A j t ++≠=（.关于代数余子式的重要性质1,,0,;n ki kj ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑ 1,,0,;nik jk ij k D i j a A D i j δ==⎧==⎨≠⎩∑1,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩，其中在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n 阶行列式换成n 个（n －1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式123410123110125D =---.解: 31412122210031461217c c c c D-------=()22122211146217+=⨯------按第行展()()122(1)111121146217r r ÷÷--⨯⨯---=1112146217=--21311002135239c c c c ----=()113521139+=⨯⨯---按第1行展3522439==---.例5 已知4阶行列式414243443402222,..075322ij ij D M M M M M a =+++--求的值其中为的余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.414243441424344441424344111(1)1M M M M A A A A A A A A +++=-+++=-⋅+⋅+-⋅+⋅3040222207001111=---3407222111=--34014111002=342811=28=-.例6: 计算n 阶行列式00001000000020(1)(2)0000001000n n x y x y D D x y n y xn ==-解：11111212111(1)nn n D a A a A a A =++按第列展1110000000000000(1)(1)000000000000n x y y x y x y x y x y y xx y++=-+-1(1)n n n x y +=+-.11111212111(2)nn n D a A a A a A =++按第列展1110000200(1)(1)!00200001n n nn n n ++=-=---.例7: 计算四阶行列式4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.解: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得 22[()()]a b a bD a b a b a b a b +-=+---+4222a b =.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde )12111112111()(2)n n i j j i n n n n n x x x D x x n x x x ≤<≤---==-≥∏, 其中1()i j j i n x x ≤<≤-∏表示所有可能的())i j x x j i -<（的乘积. 证: (用数学归纳法)2n =时,2211211,D x x x x ==-结论正确; 假设对n -11n -范得蒙行列式结论成立，以下考虑n 阶情形.21311222221331111121222133111111000n n n nn n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------ 2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------112()n i i x x ==-∏按第列展提取公因子 2322223111n n n n n x x x x x x ---1()i j j i n x x ≤<≤=-∏.例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式1111437516949256427343125D -=- 解：对照范德蒙行列式，此处12344,3,7,5x x x x ====-所以有14()i j j i D x x ≤<≤=-∏213141324243()()()()()()x x x x x x x x x x x x =---⋅--⋅-(34)(74)(54)(73)(53)(57)10368=----⋅---⋅--=.第三环节：课堂练习练习:已知4阶行列式1424344411713180,..21435125ij ij D A A A A A a -=+++-求的值其中为的代数余子式解: (方法1) 直接计算4(1,2,3,4),.i A i =的值然后相加（略）(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算. 14243444142434441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅ 它是D 中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 142434440.A A A A +++=。

行列式定义性质与计算

定义
二阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的总和。
计算方法
用代数余子式展开，然后进行简单的代数运算。
例子
对于二阶行列式
二阶行列式的计算方法
``` |ab| |cd|
二阶行列式的计算方法
```
其值为 a*d - b*c。
三阶行列式的计算方法
01
02
定义
计算方法
三阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的总和，共有 6个项，每个项都是不同行不同列的三个元素的乘积。
矩阵除法中行列式的应用
总结词
矩阵除法中，行列式可以帮助我们确定可逆矩阵的逆矩阵。
VS
详细描述
在矩阵除法中，我们经常需要求出可逆矩阵的逆矩阵。这时，行列式可以帮助我们确定逆矩阵。具体来说，对于一个可逆矩阵A，其行列式值|A|不为0，这意味着A 存在逆矩阵。通过使用行列式，我们可以轻松地找到A的逆矩阵。
n阶行列式定义
01
n阶行列式是由n行n列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子式决定。
02
n阶行列式的一般形式为： D=a11a22...ann=(1)^t(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainjn)j 1j2...jn(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainj n)j1j2...jn其中t为P的逆序数，P为排列。
解法
通过将方程组转化为行列式形式，可以求解未知数的值。
步骤
将方程组转化为行列式形式后，根据行列式的性质，通过展开行列式得到未知数的值。
三阶线性方程组的解法
定义
三阶线性方程组是由三个方程组成的，每个方程中包含未知数的三阶线性项和常数项。

§12行列式的性质与计算

§1.2 行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种特殊的方阵，由一个方阵中的所有元素按照一定规则构成。

行列式具有一些重要的性质和计算方法，以下是关于行列式的性质与计算的介绍。

一、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的独立性。

即对于一个n阶行列式，它的行和列都是n个独立的元素，可以独立进行变换，而不影响其他元素的位置。

2.行列式的行和列具有相同的代数余子式。

即对于一个n阶行列式，它的行代数余子式和列代数余子式都是n阶行列式，可以通过伴随矩阵的方式求得。

3.行列式的行和列具有相同的转置矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行转置矩阵和列转置矩阵都是n阶矩阵，可以通过转置矩阵的方式求得。

4.行列式的行和列具有相同的逆矩阵。

即对于一个n阶行列式，它的行逆矩阵和列逆矩阵都是n阶矩阵，可以通过逆矩阵的方式求得。

5.行列式的行和列具有相同的特征值。

即对于一个n阶行列式，它的行特征值和列特征值都是n个独立的特征值，可以通过特征多项式的方式求得。

二、行列式的计算1.按照定义计算。

行列式的定义是一个由方阵中的元素按照一定规则构成的多项式，可以按照定义直接计算。

2.化简计算。

行列式中的元素可以进行化简和约分，使得计算更加简便。

3.公式计算。

行列式有一些常用的公式，可以通过这些公式进行计算。

4.软件计算。

现在有很多数学软件可以用来计算行列式，例如MATLAB、Mathematica等等。

三、特殊行列式的计算1.二阶行列式的计算。

二阶行列式只有两个元素，可以通过交叉相乘的方式计算。

2.三阶行列式的计算。

三阶行列式有六个元素，可以按照展开式的公式进行计算，也可以通过软件计算。

3.n阶行列式的计算。

对于n阶行列式，可以使用Laplace展开式进行计算，也可以使用软件进行计算。

四、行列式的应用1.在解线性方程组中的应用。

通过求解线性方程组的系数矩阵和常数向量，可以得到方程组的解。

而系数矩阵就是一个n阶行列式，因此行列式在解线性方程组中有着重要的应用。

线性代数行列式的性质与计算

思考：这三种变换的结果分别是什么？
下页
2 1 3 1
例1. 计算行列式 D = 3 1 0 7 1 2 4 2 1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D =
=
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
令Aij=(1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
M32=
A32= (1)3+2M32 = M32
a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44
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范得蒙（Vandermonde）行列式
1
a1 a12 Dn = a1n3 a1n2 a1n1
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1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 a1 a22 a1a2
a2n2 a1a2n3
a2n1 a1a2n2
1
a3 a1 a32 a1a3
a3n2 a1a3n3 a3n1 a1a3n2
1
an a1
an2 a1an
ann2 a1ann3
ann1 a1ann2
a2 a1 a22 a1a2
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (1)1+2 1 3 +1 (1)2+2 1 2 +3 (1)3+2 1 2

线性代数行列式的性质与计算

线性代数行列式的性质与计算线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在各个领域的数学和物理问题中都具有广泛的应用和重要性。

行列式是一个数，它与矩阵的元素有关，在许多情况下可以通过一些算法进行计算。

一、行列式的性质1.行列式有可加性：若A为n阶方阵，有两列完全相同，则行列式的值为0；若A为n阶方阵，交换两列，行列式的值变号。

2.行列式有因子约束：若A的其中一行或其中一列的元素是两个数之和，则A的行列式等于这两个数的和的行列式之和。

3.行列式有数乘的性质：若将A的其中一行或其中一列的元素都乘以k，则A的行列式等于k乘以这个行列式。

4.行列式对其中一行与另一行的代换变号，对其中一列与另一列的代换变号，换行、换列对行列式无影响。

5.方阵A与其转置矩阵A'行列式相等，即，A，=，A'。

6.若A为可逆的方阵，则，A，≠0；若A的其中一行全为0，则，A，=0。

二、行列式的计算1.二阶行列式的计算：设A为二阶方阵。

2.三阶行列式的计算：设A为三阶方阵a11a12a1A=，a21a22a23a31a32a33.高阶行列式的计算：a)拉普拉斯展开法：以行或列为基准进行展开，逐步减小行列式的阶数，直至计算到二阶行列式。

b)三角形矩阵法：若A为上（下）三角矩阵，则A的行列式等于对角元素的乘积。

c)伴随矩阵法：设A为n阶方阵，A的伴随矩阵的转置矩阵为A*，则，A，=，A*，=A*A^-1d)特征值法：设A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则，A，=λ1λ2…λn.e)克拉默法则：若Ax=b为线性方程组，其中A为n阶方阵，且，A，≠0，则方程组有唯一解x=A^-1b.总之，行列式作为一种数学工具，在线性代数中具有重要的地位和作用。

它不仅可以帮助我们判断矩阵的可逆性，还可以求解线性方程组、计算矩阵的秩、判断矩阵的相似性等。

行列式的性质和计算方法可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的相关知识。

行列式的性质与运算法则

行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。

行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。

一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。

2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。

3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。

4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。

二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。

1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。

2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。

4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。

三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。

1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。

利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。

2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。

Topic3行列式的计算与性质

Topic 33_1 行列式的計算行列式的計算與性質a b c d 即稱為㆒個㆓階行列式，縱者為行，橫者為列。

第㆒列元素為 a、b，第 ㆓列元素為 c、d，第㆒行元素為 a、c，第㆓行元素為 b、d。

a1 b1 a 2 b 2 = a1b 2 − a 2 b1 。

a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 。

a3 b3 c33_2 行列式的降階法任何㆒個 n 階行列式均可依某㆒行 ( 列 ) 為首㊠係數展開，而分解成 n 個 ( n − 1 ) 階行列式的組合。

a 1 b1 c1 a c a b b c a 2 b 2 c 2 = −a 2 1 1 + b 2 1 1 − c 2 1 1 。

a3 c3 a3 b3 b3 c3 a 3 b3 c3a1 a2 a3 a4b1 b2 b3 b4c1 c2 c3 c4d1 b2 c2 d2 b1 c1 d1 b1 c1 d1 b1 c1 d 1 d2 d 3 = a1 b3 c3 d3 − a2 b3 c3 d3 + a 3 b2 c2 d 2 − a 4 b2 c2 d 2 。

b4 c4 d4 b4 c4 d4 b4 c4 d4 b3 c3 d 3 d4㆕階 ( 以㆖ ) 行列式不可直接展開求值，需利用降階法將階數降成㆔階 ( 以㆘ ) 方可展開求值。

降階時的符號規則如㆘： + − + − + −。

㆔階 + − + + − + − − + − + ㆕階 + − + −。

− + − +3_3 行列式的基本性質行列式的行與列互換，其值不變。

a 1 b1 c1 a 1 a 2 a 3 a 2 b 2 c 2 = b1 b 2 b 3 。

a 3 b3 c3 c1 c2 c3㆒次方程組 Topic 3 1行列式㆗，任兩行（列）對調，其值變號。

a 1 b1 c1 b 1 a 1 c1 b1 c1 a 1 a2 b2 c2 = − b2 a2 c2 = b2 c2 a2 。

行列式的性质及求解方法

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式运算法则

行列式运算法则行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要作用。

行列式的计算方法多种多样，其中包括了一些重要的运算法则。

本文将介绍行列式运算法则的相关知识，包括展开定理、性质和计算方法等内容。

1. 展开定理展开定理是计算行列式的重要方法之一。

对于一个n阶行列式，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的求解。

展开定理的具体表达式如下：对于n阶行列式：\[D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]可以通过其中的某一行或某一列展开，得到：\[D=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}\] 或\[D=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}\]其中，$C_{ij}$是代数余子式，定义为去掉第i行第j列后剩余元素构成的n-1阶行列式乘以$(-1)^{i+j}$。

通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的求解，从而简化计算。

2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，这些性质在计算和理论推导中起着重要作用。

下面列举几条常见的性质：（1）行列式与其转置行列式相等：即对于任意n阶方阵A，有$det(A)=det(A^T)$。

（2）行列式的某一行（列）乘以常数k，等于行列式乘以k：即对于n阶行列式D，有$k\cdot det(A)=det(kA)$。

（3）行列式中有两行（列）相等，则行列式为0：即如果行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式的值为0。

一、行列式的性质

1 b ba
1b bb
a (n 1)b
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
例3 计算
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
解从第4行开始，后行减前行:
a r3 r4
b
c
d
0 r2 r3
小结
行列式的性质 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).
计算行列式常用方法：
(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
anj
anj
性质6 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
性质7 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
a b bb b a bb
例2 计算 n 阶行列式 D b b a b
b b ba
解将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
由n阶行列式的定义和性质7，可得：
定理设n阶方阵A=(aij),则有
n
| A | ,当 i j,
(1) aki Akj

§2 行列式的性质与计算

1 2 n

j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn

p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零．比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0

行列式的性质及其运算

1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中 1 i j n 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 p j pi pn 的逆序数为 t1, 则有
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
证明记 D det aij 的转置行列式
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即bij aji i, j 1,2, ,n, 按定义
DT
1 N b1 j1 b2 j2 bnjn
1 N ai1 a1 i2 2 ainn .
又因为行列式D可表示为
下面我们利用行列式性质1及性质3的推论2证明,
奇数阶反对称行列式的值为零.
例2 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证明: 设反对称行列式
0
a12
a13 a1n
a12 0
a23 a2n
D a13 a23 0 a3n
a1n a2n a3n 0 其中 aij a ji (i j时), aij 0(i j时).
a31 a32 a33
3a31
解: 利用行列式性质, 有
2a12 a22 a32
6a11 2a12 10a13
3a11 a12 5a13
3a21 a22
5a23 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32
5a33
3a31 a32 5a33
10a13 5a23 . 5a33
a11 a12 a13
如:
31 22 4 0
12,
12 30 1 3
而
3
1

行列式的性质与计算

行列式的性质与计算行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。

行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。

一、行列式的定义行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。

这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。

行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。

二、行列式的性质1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。

2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。

即，如果i≠j，那么Dij=Dji。

3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。

即，如果k为常数，那么Dk=kD。

4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。

即，如果i=j，那么Dij=0。

5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。

三、行列式的计算行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的计算方法：1.利用定义计算根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。

对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。

利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。

2.利用性质计算利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。

例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。

谈谈行列式的计算方法

谈谈行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组、计算逆矩阵以及求多项式的根等问题。

本文将详细介绍行列式的计算方法。

一、行列式的定义与性质：行列式是一个数，可以用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组的唯一解以及计算矩阵的逆等问题。

设A为一个n阶方阵，其行列式记作，A，或det(A)。

1.一阶行列式：对于一个1×1的矩阵[a]，其行列式定义为，a，=a。

2.二阶行列式：对于一个2×2的矩阵[a b; c d]，其行列式定义为，A，=ad-bc。

3.三阶行列式：对于一个3×3的矩阵[a₁b₁c₁;a₂b₂c₂;a₃b₃c₃]，其行列式定义为，A，=a₁b₂c₃+b₁c₂a₃+c₁a₂b₃-c₁b₂a₃-a₁c₂b₃-b₁a₂c₃。

性质：-行列式与其转置矩阵行列式相同：，A，=，A^T。

-交换矩阵的两行（列）行列式改变符号，交换三行（列）行列式不变。

-一行（列）中有等于零的元素，行列式等于零。

二、行列式的计算方法：1.根据定义计算：根据行列式的定义，可以直接按照计算规则进行计算，但随着阶数的增加，计算量会呈指数级增长，因此不适用于高阶行列式的计算。

2.代数余子式法（拉普拉斯展开）：利用代数余子式法可以将计算一个行列式的问题转化为计算多个较小行列式的和的问题。

对于一个n阶矩阵A，定义它的第i行第j列元素为aᵢⱼ，那么对于任意一个aᵢⱼ，可以定义它的代数余子式M(i,j)为将行i和列j从A中删去后的(n-1)阶行列式，即A的余子矩阵的行列式。

代数余子式M(i,j)用(-1)^(i+j)乘以A的代数余子式C(i,j)得到。

通过拉普拉斯展开定理，行列式等于它的任意一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即：A，=a₁ⱼM(1,j)+a₂ⱼM(2,j)+...+aⱼⱼM(n,j)（其中j为任意列号）3.三角行列式法：对于三角矩阵（上三角或下三角），行列式等于对角线上元素的乘积，即a₁₁a₂₂...aⱼⱼ。

行列式-课件

(1) b (k1 kp kq kn ) 1k1
bpk p
bqkq
bnkn
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
aqk p
a pkq
ankn
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) (1) (k1
DT =
(1) b b (i1i2 in ) i11 i2 2
i1i2 in
binn
(1) a a (i1i2 in ) 1i1 2i2
i1i2 in
anin D 证毕
注1.4 性质1.1表明，行列式中行与列的地位是对等的，因此，凡是对行列式的行成立的性质，对行列式的列也同样成立，反之亦然.
bq1 bq2
bpn ，
bqn
其中i p, q时，bij aij ;bpj aqj , bqj a pj .
bn1 bn2
bnn
§ 1.2 行列式的性质与计算
即有
a11 a12
a1n
aq1 aq2
aqn
det(bij )
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
由行列式的定义有 det(bij )
为了简化行列式的计算，本节首先讨论行列式的性质，然后利用这些性质给出若干计算行列式的典型方法和计算技巧.
1.2.1 行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 *1.2.3 拉普拉斯定理
§ 1.2 行列式的性质与计算
，
1.2.1 行列式的性质
前一节介绍了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊的n阶行列式. 但当n较大时，用定义计算一般的n阶行列式并不容易. 为能简便计算行列式，需要研究行列式的性质. 首先给出行列式的转置行列式及行列式中元素的余子式和代数余子式的概念.

行列式的性质和计算

例
i+ j
4 0 0 1 4 0 0 2 1 3 1 = 22 1 3 = 2×4 1 3 D= 4 3 0 0 0 2 7 4 3 7 4 3 2
= 2×4 ×(15)
例计算解
a11 a12 a1n a22 a2n Dn = 0 a1,n1 a2,n1 ann
Dn = ann
证
不可逆时：当A不可逆时设不可逆时
初等行变换 A R(最后一行的元全为零) →
即存在初等矩阵 E1, E2, ..., Et， A = E1E2 Et R
det R = 0 det A = (det E1 )(det Et )(det R) = 0.
不可逆又A不可逆 AT不可逆不可逆所以 det AT = 0.
2 A ≠ 2A
k An×n = k A ≠ k A .
n
初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式：初等矩阵与任一方阵乘积的行列式：乘积的行列式
det(Eij A) = det A = (det Eij )(det A), det(Ei (c) A) = c(det A) = (det Ei (c))(det A),
det(Eij (c) A) =det A = (det Eij (c))(det A).
对任一初等矩阵 E , det( EA ) = (det E )(det A )
设E1 , E2 ,, Et为初等矩阵，则为初等矩阵， det( E1 E2 Et A) = (det E1 )(det Et )(det A)
1 7 5 r3 + ( 3 )r1 0 10 3 0 15 5 1 7 5 r3 + 3 r3 0 5 2 0 0 1
1 r2 r3 0

行列式的性质与计算行列式的性质有哪些行列式的计算方法

一、行列式的性质有哪些
(1) 行列式行列互换,其值不变；
(2) 互换两行(列),行列式的值变号;
(3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出;
(4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和;
(5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.
(6) 两行(列)成比例,其值为零;
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

二、行列式的计算方法是什么
1.若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

2.化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

3.原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。

但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

行列式性质及其计算方法

行列式性质及其计算方法
目录页
Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的符号变化。以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时，需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法

3-2 行列式的性质与计算

0.
性质4 按行(按列)展开若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,
a11 a12 a22 an 2 b1i c1i b2 i c2 i bni cni a1n a2 n ann
例如
D
a21 a n1
则 D 等于两个行列式之和. a11 b1i a1n a11 a21 b2 i a2 n a21 D
b1 0 0 a4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
r4 r3 r3 r2
D
(a1a4 b1b4 )(a2 a3 b2b3 ).
例
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1
2 Dn x1 n 1 x1
1 x2
2 x2

1 xn
2 xn

n i j 1
1 0 0 an
D 1 1
解
1 c1 ( )c2 a1
1 a0 a1 0 0 0
D
1 ( )cn 1 an
1 (a0 a1 1 )a1a2 an
an .
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
例
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
0 5 2 1 1 1 1 1 例已知4阶行列式 D 1 3 1 3 1 4 1 3 求 A11 A12 A13 A14 , A24 M 34 M 44 .
解
A24 M 34 M 44 0 A14 1A24 1A 34 (1) A44 0 1 1 0
性质1
T 行列式与它的转置行列式相等. D D
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.