3-2 行列式的性质与计算

a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a a (a a ) a
1 1 0 2 0 0 0 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
1 3 2 2 2

r4 r3
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 2
1 3 0
2 2

2
r5 2r3
1 1 2 3 0 2 1 5 0 0 0 0 1 1 0 1
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni a nj a nj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ri krj an1 (ani kanj ) anj anj
0 5 4
4 7 10
1 1 2 3 3 7
3 9 2 14
1 3 5 1 6
解
D 2 3
0 5
4 7
4 4 10 10 2 1 1 2 3 1
0 r2 3r1 2
0 0
1 4 7
0 2 14 10
2 1 6 2
3 5
4 4 10
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
证 用数学归纳法 1 1 D2 x 2 x1 ( x i x j ), x1 x 2 2 i j 1
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（ 1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立 ，
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) 1 x n x1 x n ( x n x1 )

b b b a
b b b a
D b
b b 解 将第 2,3,, n 都加到第一列得
a n 1b a n 1b b a b b b b a b
D a n 1b a n 1b

a ( n 1)b 1 1 1 a (n 1)b b ab
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3.2.2 应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 3 7 3 9 2 14 10 1 3 5 1 6 2
例１ D 2 3 4
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n 2 n 2 x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
bip a jp , b jp aip ,
于是
t D1 1 b1 p bip b jp bnp
1 i j n
t 1 a1 p aip a jp anp
1 i j
n
t 1 a1 p aip a jp anp ,
1 j i n
1 1 j i n
下边说明 （ 1 ） 与(1) 的关系。
t t1
对换与排列的奇偶性的关系
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
例4
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 x1 1 x2
2 x2

1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1

n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
3.2 行列式的性质与计算
3.2.1 行列式的性质
a11 a12 a1n a11 a21 an1 a21 a22 a2 n a12 a22 an 2 T D D an1 an 2 ann a1n a2 n ann T D 行列式 称为行列式 D 的转置行列式.
4 4 10 10
r3 3r1
r4 4r1
1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0
1 1 0 2 0 0 0 2 0 0
0 1 2
2 1 0 1 2
4 5 2
3 5 4 0 2
1 3 2
1 3 1 2 2
0 2
r2 r4

r3 r2
1 3 2 0 4

0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
a b
例2 计算 n 阶行列式
b a b
Hale Waihona Puke Baidu
b b a b

1 1
b a b b b ab
b b b b a b b a b

0
ab
n1 a (n 1)b (a b) .
0
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
例3
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．如果某一行（列） 元素全为0，则行列式为0.
性质3 证明
性质6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
证 把行列式 D det( a ij ) 按第 j 行展开，有
a11 ai1 a j 1 A j 1 a jn A jn a j1 a n1 a1 n a in , a jn
b11 b1n a11 a1k , D1 det(a ij ) , D2 det(bij ) bn1 bnn a k 1 a kk
证明
D D1 D2 .
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
互换行列式的两行（列）,行列式变号. 设行列式
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn
是由行列式 D detaij 变换 i , j 两行得到的,
即当 k i , j 时, bkp akp ; 当 k i , j 时,
11 12 1i 1i 1n
例如
a 21 D a n1
a 22 (a 2 i a 2i ) a2n a n 2 (a ni a ni ) a nn
则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11 a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni
1 1 2 0 0 1 r2 3r1 2 0 4 7 3 5
3 0 2 14 10
1 2 2 1 6 2
4 4 10
4
r2 2r1
1 1 2 0 0 1 0 2 0 7 3 5
3 0 4 14

1 3 2 1 6 2
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 0 设为 D2 q11 qnn . qn1 pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 c i kc j , 把 D 化为下三角形行列式
p11 0 q11 q n1 qnn , pk 1 pkk D c11 c1k c n1 c nk
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 记
性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n


其中1i j n 为自然排列 , t为排列 p1 pi p j pn 的逆序数.
设排列 p1 pi p j pn 的逆序数为t1 , 则有
故
1 1 , t D1 1 a1 p aip a jp anp D.证毕
t t1
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有
D D,
D 0.
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 a1n
a11
a12 a1n
a i 1 a i 2 a in