一维方势阱
16-3 一维势阱和势垒问题
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
一维方势阱
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
一维无限深势阱的能量
一维无限深方势阱的能量班级：姓名：学号：一维无限深方势阱的能量一、 引言：222220202()d E x d m dx d U x E x d ψ⎧-ψ=ψ<<⎪⎪⎨⎪-ψ+=ψ≥⎪ （1） （2）9/10m-020406080100120140160文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
在中国古代，文案亦作" 文按"。
公文案卷。
《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。
"《晋书·桓温传》:"机务不可停废，常行文按宜为限日。
" 唐戴叔伦《答崔载华》诗:"文案日成堆，愁眉拽不开。
"《资治通鉴·晋孝武帝太元十四年》:"诸曹皆得良吏以掌文按。
"《花月痕》第五一回:" 荷生觉得自己是替他掌文案。
"旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。
《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。
"文案音译文案英文:copywriter、copy、copywriting文案拼音:wén àn现代文案的概念:文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。
量子力学3.2一维方势阱
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程好吧，今天我们来聊聊一维有限深方势阱的能量本征值，听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单有趣。
想象一下你在一个很大的游乐场，四周围着高高的围墙，只有一个小门能进出。
这就是我们的势阱，里面的小子可以尽情玩耍，但出不去，真是像被困在了“笼子”里。
好啦，势阱的高度就是这围墙的高度，势阱的深度就是游乐场的“深度”。
这个“深度”可不是说人掉进去就会淹死，而是说在这个区域内，粒子能量的状态会发生变化。
像我们的小子，如果他的能量低于围墙的高度，那他就只能在这个游乐场里转悠。
想象一下，你有个小朋友，他拼命想往外跑，可是墙太高了，根本出不去。
他只能在里面玩各种游戏。
那么这个游乐场里有多少个不同的游戏呢？这就要说到能量本征值了。
每一个能量状态都对应着一个游戏，越高的能量对应着越刺激的游戏。
粒子在这个势阱里，就像个小孩子，能量越高，玩得越欢。
能量低的时候，玩得不开心，越过围墙根本不可能。
简单来说，能量本征值就是粒子在这个势阱里“玩”的规则和限制。
说到这里，咱们就得动手算一算了，别担心，这个算式并不复杂。
想象你在算一个简单的数学题。
我们用一个数学模型来描述这个势阱，叫做薛定谔方程。
听起来像个高深的名词，但其实就是一个公式，让你知道在这个“游乐场”里，粒子的行为如何。
我们把这个势阱的边界设定为某个值，这样粒子就只能在这个范围内活动。
计算的过程有点像拼图，边边角角都得对上。
你能得到一些特定的能量值，嘿，这就是本征值，像是每个游戏的入场券。
哇，终于到了关键时刻。
算出来的结果像是一个个数字的密码，每个数字背后都有一个小故事。
比如，第一个能量本征值就像你在游乐场里第一个能玩的游戏，简单但充满乐趣；第二个能量本征值就像升级了，难度加大，但挑战更刺激。
你会发现，随着能量的增加，粒子能“玩”的游戏越来越多，仿佛整个游乐场的乐趣都被打开了。
但别以为这就完事了，咱们还得考虑势阱的深度。
越深的势阱，粒子“玩”的方式也会不同。
2-6 一维无限深方势阱
nπ nπ A sin x , 2 ψn x 2a 0,
其中 n 1, 2,
x a x a
(25)
， 这里我们补写了波函数阱外部分， 它恒等于零。 薛定谔方程是个线性方程，
因此有个未确定的常数因子 A 。可以利用归一化条件来确定这个常数的模
px Et
是方程(3)的解。 现在， 我们通过求解方程来得到这个解。
从物理上考虑， E 代表粒子的动能，因此我们推测 E 0 才有意义。先假设 E 0 ，令
k
则方程(4)化为
2mE
2
(5)
d2 ψ x k 2 ψ x 0 dx 2
这是个二阶微分方程，对于确定的 E （或 k ）值，两个线性无关的解可选为
A 0, cos ka 0 B 0, sin ka 0
由此可知，满足要求的 k 值为
(19) (20)
ka
相应的能量本征值为
nπ , n 1, 2, 2
(21)
En
当 n 为奇数时，取第一组解
π2 2n2 8ma 2
nπ x, 2a nπ x, 2a x a
(22)
ψn x B cos
(6)
eikx 和 eikx
二者对应同一个能量值，因此能量 E 是二重简并的。将(7)式添上时间因子 e
i Et
(7)
eit ，得
(8)
e
i kx t
和e
i kx t
可以看出，两个解分别代表向右和向左传播的平面波。参数 k 的含义是波数，两个解对应的 波矢 k 分别为 ke x 和 ke x 。注意，通常将(8)式统一写为 e 可以取正值，也可以取负值。
一维有限深方势阱和势垒贯穿汇编
从一维无限深方势阱 理解有限深方势阱
k2
2mE
2
V (x)
ka n n 1,2,3,
o
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
V (x) 0,
V (x) ,
ax
0 xa x 0, x a
E1
2 2
2ma2
1 2
2 2
ma2
,
微观能量尺度可以选取 2 2
ma2
微观动量尺度
ka = n
-a/2 a/2 x
对于参考书p47页说明
a)不在讨论为什么势能对称，波函数也对称了。 b) 公式29和30实质上是利用
c) 估计一下公式32的数值大小？ d)纵轴取决于势阱高度，横轴取决于能量，此处
是势阱内部动能。我们让动能变化，看看什 么时候能冲破势阱束缚。
公式右面=
U0 22
U0
2 2
2
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
dx2
V0 2
(x)
E2 (x),
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
2 2m
d
23 (x)
dx2
E3
( x),
xa
令：
k
2
Байду номын сангаас
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
V
V0
d
21(
dx2
x)
k
21
(
x)
0,
x0
I
d
一维方势阱中粒子的能量本征值
王雅楠
赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000
摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子，
关键词：
1一维势场中粒子的能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为
（1）
在上式中， （实数值）； 为能量本征； 为相应的能量本征态。
由此可解得：
对于第一组解， 为偶数；对于第二组解， 为奇数。由此可得体系的能量为：
3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值
3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值
3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值
结论
参考文献：
定理四：设 ，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开。
定理五：对于 有限的阶梯形方位势 能量本征函数 及其导数 必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。
定理六：对于一维粒子，设 与 均为方程（１）的属于同一能量 的解，则 － ＝常数（与 无关）。
3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值
所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大
一种情况是一维非对称无限深方势阱，即
质量为 的粒子只能在 的区域内自由运动，势能函数为：
定态薛定谔方程为：
当 和 时，
；
当 时，
令
代入薛定谔方程得：
此方程的通解为：
由于阱壁无限高，所以
定理七：设粒子在规则势场 中运动（ 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。
2方势
方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值 , , ，…的波函数 ， ，
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
10
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)
2 2 最低能量 E1 2m a2 0 经典粒子，可以有 E 0
局域化越强，即 a 越小，则 E1 越大。 En 非均匀分布 2 2
En En 1 En 2ma
2
(2n 1)
n ( x)
正交性和完备性
* m n dx mn 0 a
15
三、 一维谐振子(1)
1、能量本征方程
简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时 粒子的势能可以表示为 V ( x) Kx 2 2 例如，双原子分子中两原子之间的势能
V ( x) V0 K ( x a)2 2
V 二、态叠加原理（2）
粒子在势阱中可能的态和能量为
2 n x 2 2 2 sin( ), 0 x a; n n ( x) a n 1, 2,3, , a E En 2 2 m a 0, x 0, x a.
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中 的某一状态，而是以某种概率处于其中的某 一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些 分立状态的叠加，即 ( x) cn n ( x)
d2 2m 1 2 ( x) 2 ( Kx E ) ( x) 0 2 dx 2
0
a
x
1 E /( x m ， 令 K m， 2 )
d 2 2 得到 ( ) 0 2 d
16
三、一维谐振子(2)
2、能量本征方程的解
, 有 当 时， 其解 ~ e / 2 ( ) Ae u( ) 能量本征方程的解可表示为 u ( ) 为待求函数，代入能量本征方程，有 其中，
§251一维无限深方势阱
4
联立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出 , 再由（2.5.4）可给出能谱。
，
2.5一维方势阱
二、在 x a / 2 区，取 ( x ) sin kx ，解取有奇宇称 的情况 同样，利用波函数对数微商在x a / 2 连续条 件得：
ctg
2 .5 .7
在x
a/2
区，薛定谔方程是：
k 0
2
d
2
dx k
2
x a/2 2 .5 .2
2mE /
2
2.5一维方势阱
其解为 A sin kx B co s kx
一、在 x a / 2 区，取 ( x ) cos kx ，解取有偶宇称 的情况 利用 x a / 2 处波函数对数微商的连续条件都可得
n (x)
2
2.5一维方势阱
由图可以看出，在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概 率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越 小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱 内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 n 的增大，起伏变化越来频繁。
而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。 由图可以推断，只有当量子数 n 很大时，粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。
同样，作 （2.5.6）和 3 （2.5.7）式相 应曲线，他们 2 的交点表示波 函数其宇称时 1 相应的能谱。 所得结果见右 图。
mU 0a 2
2 2
ctg
1
/2 2
3
4
由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 2 2
/4
2
时，即当 U 0 a
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
一维势阱
， n = 1, 2, 3, …
试计算n = 1时，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率．
解：找到粒子的概率为
3a / 4
2 2 x ( x) 1 ( x) d x sin d x a a a/4 a/4
* 1
3a / 4
2 x ) 3 a 1 cos( 1 1 a 4 a dx a 2 π 4
0,
讨论：
2 k 2 22n2 ① 粒子的能量 E n , n 1,2,3, 2 2 2 a
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1 2 0 2 a
2 2
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
3 n 3
4
n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分 布 2
1
n 1
0 2
2
x a n2 x a
a x
0 n3 3
2
0 4 0
2
n4
x a
n时
量子经典
|n | 2
n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n ( x)
h 2 En ( x ) n 2 8ma
2 n n ( x) sin x a a
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 n n ( x ) sin ( x ) a a
0
a
x
例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性：
§第三章 一维问题 §31 一维定态的一些特例 1, 一维方势阱问题
§第三章 一维问题§3.1 一维定态的一些特例1, 一维方势阱问题，Landau 与Pauli 的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。
但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。
研究一维 Schrodinger 方程，其中位势为(3.1a) 于是定义在整个x 轴上的 Schrodinger 方程现在分为三个区域：第I 区a x -≤，第II 区a x <，第III 区a x ≥。
由于I 区和III 区中()+∞=x V （无穷位势问题见讨论i,），为使 Schrodinger 方程成立，这两个区域中的波函数()x ψ必须为零 —— 即有边界条件()0=x ψ()a x ≥。
说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。
于是坐标波函数求解只须对第II 区进行，(3.1b)有时，这里的边界条件被简单地写作()()ψx =0x =a 1。
但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。
参见下面有关讨论。
显然，在第II 区x <a 内方程通解为1 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v 的脚注。
()()122ψx =Asin kx +α2mE k =⎧⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩这里出现两个待定系数A 、α和一个待定参数k （它的数值将决定阱中粒子的能量）。
为了确定它们，利用两个边界条件()ψ±a =0（加上总几率归一条件，一共也是三个），即()()sin ka +α=0sin -ka +α=0⎧⎪⎨⎪⎩ 由此得n α=ka =π2，n =1,2,3, 。
最后，阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b)这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。
因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。
一维有限深方势阱能量本征方程的数值解与近似解析解
一维有限深方势阱能量本征方程的数值解与近似解析
解
答：
一、数值解
1、采用数值方法解决一维有限深方势阱能量本征方程，可以以有限差分法、单点法、蒙特卡洛方法等多种算法来解决；
2、其中有限差分法是指以差分替代微分，将微分方程式转化为若干个差分方程式；
3、单点法是基于极小化条件来获得数值解，它采用优化方法将本征方程式转化为某个函数的最小值的问题，从而求得本征值和本征函数；
4、蒙特卡洛方法是通过随机变量的抽样来求期望，它是以概率的角度来解决能量本征方程的离散形式的计算，它的概率解法可以不仅得到本征值，而且可以给出本征函数的解析解；
二、近似解析解
1、可以采用近似解析解来解决一维有限深方势阱能量本征方程；
2、一般情况下，可以采用有限元方法求解，它将本征方程式利用一阶元微元离散表示，然后再采用有限元方法来求解；
3、此外，可以利用Laplace变换技术来求解本征方程，它先将微分方程变换为整体的积分方程，然后利用Laplace变换后的形式求解；
4、还可以采用Bayly法、Lanczos法和Tricomi法等数学变换技术来求得本征值和本征函数的解析解。
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其定态薛定谔方程为：
2
2m
d2 dx2
E
2
2m
d2 dx2
U0 (x)
E
x a x a
当U0 时，根据波函数的连续性和有限性
条件得： 0
x a
令： 2mE 2
2.5.1
2.5一维方势阱
则薛定谔方程可简写为：
d 2
2.5一维方势阱
显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方 势阱的特例得出。
当U0 0 时，可得
En
n2 2h2
8ma2
n 1, 2,3,
这正是阱宽为 a的一维无限深势阱
的能谱公式。
一、在 x a / 2 区，取 (x) cos kx，解取有偶宇称 的情况
利用 x a / 2 处波函数对数微商的连续条件都可得
k t g ka k
2
引入 ka ; ka
2
2
2.5.3
2.5.4
2.5一维方势阱
可将（2.5.3）是改写为
tg
2.5.5
（2.5.7）式相 3
ctg
应曲线，他们 2 的交点表示波
函数其宇称时 1 相应的能谱。
所得结果见右 图。
1 /2 2
3 4
由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 2 2
mU 0 a 2 22
2
/
4 时，即当U0a2
2 2
2m
时，曲线才有交点，
才出现奇宇称态解。
同样，利用波函数对数微商在x a / 2 连续条 件得：
ctg
2.5.7
同样，联立（2.5.6）--（2.5.7）式，解 出 , ，再由（2.5.4）可给出能谱。
（2.5.5）--（2.5.7）都是超越方程，可用图解 法求出能谱。
2.5一维方势阱
在 平面
中分别就 （2.5.5）与 （2.5.6）式作 相应的曲线， 曲线的交点表 示具有偶宇称 是相应的能谱。 如右图。
另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得
2
2
a2 4
(k 2
k2 )
mU 0 a 2 22
2.5.6
联立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出 , ， 再由（2.5.4）可给出能谱。
2.5一维方势阱
二、在 x a / 2 区，取 (x) sin kx ，解取有奇宇称 的情况
2a
B 0, sina 0, n , (n是偶数) E
2a
带入（2.5.1）得体系的能级：
n2 2 2
En 8ma2
n 1, 2,3,
O
n 4 E4 16E1
n 3 E3 9E1
n 2 E2 4E1
2 2 n 1 E1 2ma2
a
x
2.5一维方势阱
在x 时， 有界的解是：
(
x)
Aekx
Bekx
x a/2 x a / 2
在 x a / 2 区，薛定谔方程是：
d 2
dx2
k 2
0
k 2mE / 2
x a/2 2.5.2
2.5一维方势阱
其解为 Asin kx Bcos kx
内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 n
的增大，起伏变化越来频繁。
而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。
由图可以推断，只有当量子数n 很大时，粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。
2.5一维方势阱
粒子的最低能量状态称为基态，就是n 1
的状态，基态能量为
2 2
E1 8ma2 0
此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方 势阱内粒子所具有的最低能量。
2.5一维方势阱
归一化以后的波函数为：
n
1 sin n (x a)
a 2a
0
x a x a
我们把粒子只能束缚在空间的有限区域，在 无穷远处波函数为零的状态称为 束缚态
2.5一维方势阱
§2.5.2一维有限深方势阱
求解势场U(x) 为
U (x)
U
(x)
0
x a/2
U0 x >a/2
的薛定谔方程。
U0
-a/2 0 a/2
x
0
讨论 E U0 的情况：在 x a / 2区，相应的薛定谔方
程是：d 2
dx2
k2
0
x a/2
k 2m(U0 E) / 2
2.5.1
2.5一维方势阱
dx2
2
0
x a
它的解是：
x Asinx Bcosx x a
利用边界条件 0 及 0 ，得
xa
xa
Asina B cosa 0
Asina B cosa 0
2.5一维方势阱
解是：
A 0, cosa 0, n , (n是奇数)
显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分 离的能谱就是量子化了的能级。
E4
n4
E3
E2
E1
x0
n (x)
n3
n2
n 1
xa
x0
xa
n (x) 2
2.5一维方势阱
由图可以看出，在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概 率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越 小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱
3
tg
2
tg
1
2 2 4
2 2 1
1 /2 2 3
4 3 / 2
由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 tg
经过原点，因此无论 U0a2 多么小，两条曲线总有交点， 这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为偶。
2.5一维方势阱
同样，作
（2.5.6）和