结构动力学习题答案(刘晶波)
同济大学2003-2016年结构动力学考博试题分解
同济⼤学2003-2016年结构动⼒学考博试题分解同济⼤学2008年结构动⼒学考博试题同济⼤学2009年结构动⼒学考博试题共5道⼤题1：什么是结构⾃由度；2：有两道题都是关于两⾃由度的计算题：都是采⽤振型叠加法；3：设计⼀个实验⽅案，测定⼀种结构材料的阻尼⽐4：证明瑞利--理兹法计算的结构基频⽐精确解⼤同济⼤学2010年博⼠⽣⼊学考试结构动⼒学⼀、简答题⼀．结构⾃由度⼆．达朗贝尔原理三．⽆阻尼单⾃由度系统在初始条件下做⾃由振动，试写出描述该系统振动的位移解。
设初试位移为u0，初始速度为v0。
四．判断结构动⼒分析中直接数值积分的稳定条件。
⼆、计算题1.计算系统的运动⽅程，并求解⾃振频率。
图 12.图2 中为均质杆，计算：（1）通过均质杆轴向振动⽅程建⽴杆的特征⽅程；（2）应⽤Rayleigh 商原理，采⽤假定振型法求解杆的振动基频。
图 21.介绍获得阻尼系数的两种试验⽅法，写明步骤及公⽰。
2.多⾃由度系统的全部振型为[ ][ d c]，已知[]T[M][ ][ ]I （单位阵），[ ] [F c K] 1 [ d][d] [ 1 d]T 。
其中，[ d ]证明：对应[c]的结构剩余柔度矩阵为为保留振型；[c]为剩余振型；[ d ]为对⾓阵，其对⾓元素为系统保留振型所对应各阶特征值。
3.P 点的简谐位移激励Z( )t Z0 cos(t) ，图中m，c，k，Z0，ω均为已知数，求：1.⽤u t( )推导系统的运动⽅程及固有频率和阻尼⽐；2.⽤W t( )Z t( )u t( )推导系统的运动⽅程。
图 36.两层框架结构如图4 所⽰，已知m1=m2=1kg，K1=2000，K2=4000，ω=50rad/s，阻尼都为0.05。
1.求所有振型及⾃振频率；2.求系统Rayleigh 阻尼；3.⼴义质量、⼴义刚度、⼴义阻尼；4.⽤振型叠加法求稳态响应。
图 41. 如图 5，按集中质量建⽴单元质量矩阵。
图 52. 写出等截⾯欧拉梁弯曲⾃由振动⽅程。
结构动力学
p
图 1 静力荷载作用简支梁
p(t)
惯性力
图 2 动力荷载作用简支梁
以这种方式抵抗结构加速度的惯性力，是结构动力学问题与静力学问题区别的更重要特征。 一般来说， 如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部外荷载的一个重要部分， 解题时必须 考虑问题的动力特性。 2. 阻尼就是使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。 当结构的阻尼小鱼结构的临界阻尼时， 一般结构的自由振动振幅不断衰减， 最后振幅降为 0， 结构停止振动。当结构的阻尼大于临界阻尼时，结构的自由振动不会出现震荡，结构的振幅 直接降为 0。 典型结构体系的真实阻尼特性是很复杂和难确定的， 因此通常采用自由振动条件下的具有相 同衰减率的等效粘滞阻尼比ε来表示实际结构的阻尼。并且在建立结构的运动方程时，考虑 阻尼对于结构的作用，采用阻尼与速度的乘积作为结构的阻尼力。
பைடு நூலகம்
1. 答：结构动力问题在以下两个重要方面不同于静力问题。 一、根据定义，动力问题具有随时间变化的性质。由于荷载和反应随时间变化，显然动力问 题不像静力问题那样具有单一的解，而必须建立相应于反应过程全部时间的一系列解答； 二、下图叙述了静力问题和动力问题第二个、并且更重要的问题。如果图 1 所示的简支梁承 受静荷载 P，则它的弯矩、剪力和挠曲线形状直接依赖于给定的荷载，而且可根据力的平衡 原理求得。如果图 2 所示的荷载是动力荷载，则梁所产生的位移将于加速度有联系，而这些 加速度又产生与其反向的惯性力， 梁的弯矩和剪力不仅要平衡外荷载还要平衡由于梁的加速 度所引起的惯性力。
清华结构动力学_刘晶波（全10章总结）
t
(d) 地震荷载
1.3 结构动力计算的特点
1、动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问 题复杂且要消耗更多的计算时间。
2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间 迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又 产生重要影响。
p
p(t)
惯性力
(a) 静力问题
(b) 动力问题
静力问题和动力问题受力的区别
结构静力反应和动力反应不同的外因： 荷载不同 （是否随时间变化）
静荷载： 大小、方向和位置不随时间变化或缓慢变化的荷载。 例如：结构的自重、雪荷载等。
动荷载： 随时间快速变化或在短时间内突然作用或消失的荷载。
荷载随时间变化是指其大小、或方向、或作用点随时 间改变，
作用点随时间变化的荷载称为移动荷载。
(b) 与集中质量法相比，有限元 法中的广义坐标也采用了真实的物 理量，具有直接、直观的优点，这 与集中质量法相同。
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程）
运动方程是进行结构动力分析的基础
运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
fs = fs (u ,u&)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
2.2 运动方程的建立
1. 利用牛顿（Newton）第二定律
F = ma
单质点体系的受力分析
F = p(t) − fD − fs ma + f D + f s = p(t)
a = u&& fD = cu& fs = ku
结构动力学4-1
(−ω 2 [M ] + [K ]){φ }sin(ωt + θ ) = {0}
因为sin(ωt + θ)为任意的，可以消去，因此，
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
2
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自 振频率的关系 ，称为运动方程的特征方程。 由特征方程可解得自振频率ω和振型{φ}。
1
k22=1800
k23=－600
(c)
(d)
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
1.0 u 1=1 u3 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 运动方程的特征方程：
0⎤ ⎡ 2. 0 0 ⎢ 0 1. 5 0 ⎥ [M ] = ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 .0 ⎥ ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 3000 − 1200 ⎢− 1200 1800 − 600⎥ [K ] = ⎢ ⎥ ⎢ 0 − 600 600 ⎥ ⎦ ⎣
算例1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间 刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。 结构模型及各刚度元素：
1.0 600 1.5 1200 2.0 1800 (a) (b) u1 1 k11=3000 k12=－1200 k13=0 u2 k21=－1200 u 1=1 u3 k31=0 k 32=－600 1 k 33=600 u2=1 u3=1
结构动力学6-2(上网)
∑u
n =1
∞
n ( x, t )
=
∑φ
n =1
∞
n ( x) q n (t )
在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两 ∞ 式求得： ′ M ( x, t ) = ∑ EI ( x )φn′( x ) qn (t )
n =1
′ ′ V ( x, t ) = ∑ [EI ( x )φn′( x )] qn (t )
振型阻尼系数Cn用振型阻尼比ζn表示
C n = 2ζ nω n M n
则有阻尼振型运动方程为
p n (t ) && & q n (t ) + 2ζ nω n q n (t ) + ω n q n (t ) = Mn
2
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程， 求得qn(t)后，同样可以求u(x,t)、M(x,t)和V (x,t)等。
∑
n =1 ∞
φn (ξ )
n
4
(1 − cos ωn t )φn ( x ) nπx (1 − cos ωn t ) sin L
梁中弯矩：
M ( x, t ) = EIu′′( x, t ) =
2 p0 L3 = 4 π EI
2 p0 L3
∑
n =1
φn (ξ )
n4
π
4
∑
n =1
∞
φn (ξ )
2 2
nπ ωn = 2 L
6.4 梁的动力反应分析
算例1 2、建立振型坐标的方程 振型质量：M n
=
φn ( x) = sin
∫
L
L
0
m( x)φ n ( x)dx = m
结构动力学习题解答
（4）
将（4）式代入方程（3）可以求得：
A= h
(ω
2
n
−ω
2 2
)
= + 4n ω 2 nω
2 2
6F
；
L 6 K − mω
(
2 2
)
+ 9C ω
2
2
α = arctg
ω n −ω
2
2
= arctg
3Cω 6 K − mω 2
；
（２） 求 f (t ) = δ (t ) 的解； 将 f (t ) = δ (t ) 代入方程（1）得
∑ M ,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤： （1）设系统的广义坐标为 θ ，写出系统对于坐标 θ 的动能 T 和势能 U 的 表 达 式 ； 进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
ωn =
=
1 rA
；
1.8 已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为 L，质量为 m，两弹簧刚度皆为 K，阻尼系
̇ = 0时 数为 C，求当初始条件 θ 0 = θ 0
结构动力学3-1
临界阻尼记为ccr：
ccr = 2mω n = 2 km
3.2 有阻尼自由振动
u(t)
& u (t ) = [u(0)(1 + ω n t ) + u(0)t ]e
u(0)>-ωn u(0) u(0)
−ω nt
u(0)
u(0) -ω u(0) n t u(0) -ωn u(0)
ui u (t i ) 2πζ ) = = exp(ζω nTD ) = exp( ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ 2
u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
u(t)
ti
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2πζ = = exp(ζω nTD ) = exp( ) 2 ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ
3.2 有阻尼自由振动
（1）当 ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当 ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当 ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： ζ = 0.01 左右
自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。
3.1 无阻尼自由振动
&& & mu(t ) + cu(t ) + ku (t ) = p(t )
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：
结构动力学4-2
N
而 ωn = K n / M n 。
Cn ζn = 2ω n M n
有阻尼体系振型坐标的运动方程可写为如下形式：
pn (t) && & qn qn (t) = , n = 1, 2,L, N Mn
2
上式即为有阻尼单自由度体系在外荷载作用下的标准运 动方程，可以采用在单自由度动力问题反应分析中的 有关方法进行计算。
n
m
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
{u (t )} = ∑ {φ}n qn (t )
n =1
N
运动方程化为N个解耦的关于振型坐标的运动方程：
&& & M n qn (t ) + Cn qn (t ) + Kn qn (t ) = pn (t ) n = 1, 2, L, N
Rdn—相应于n阶自振频率的动力放大系数， 或称振型反应的动力放大系数。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
从以上分析可以看出，对于满足阻尼正交条件的结构体 系,当采用振型叠加法分析时，多自由度体系的动力反 应问题即转化为一系列单自由度体系的反应问题，并 可以考虑初始条件的影响。 此时在单自由度体系分析中采用的各种分析方法都可以 用于计算分析多自由体系的动力反应问题，使问题的 分析得到极大简化，因为求解N个独立的方程比求解一 个N阶联立的方程组要简便得多。
4.3.3 有阻尼体系的振型叠加法
2、不满足阻尼阵正交条件
采用振型展开：
{u} = ∑{φ}m qm (t )
m =1
L
其中L<N，比如：N＝40000，而L＝30 —100。 结构的运动方程为：
结构动力学习题2
结构动力学习题参考答案2.3一根刚梁AB ，用力在弹簧BC 上去激励它，其C 点的运动规定为Z （t ）,如图P2.3. 按B 点的垂直运动u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。
解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。
根据达朗贝尔原理，通过对A 点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力1s f ，2s f ，以及阻尼力D f ，惯性力2M 。
B 点的垂直位移是u ，则有几何关系知2/L 处的位移为2/u 。
根据位移图和受力图可得：02221=⨯-⨯+⨯+L f Lf L f M s D s I 其中.22221....221)(2123131uc f u z k f u k u R f umL L u mL M D s s I =-==⨯=== 代入○1式得： 0)(L 4141ML 3121...=--++L u z k u k u cL u 合并化简得：)(12)123(3M 4221...t Z k u k k u c u =+++2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：)(...t P ku u c u m u =++。
其中u 为E 点的垂直运动。
假定薄刚杆AE 的质量为M,其转动很小。
解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B 点取矩得L u L m mL L u k L u c L L t f p 43)4(1214343854)(..22.0⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⨯⨯-⨯-⨯⨯化简合并得：)()()(845.,3,3,M 7)(845337......t P ku u c u m t P L t f P K k C c m L t f P ku u c u M u u O O =++=====++得令2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度ρ，并具有顶部质量M ，应用假定法L x x =()ψ来推导该系统轴向自由振动的运动方程。
假定=AE 常数。
结构动力学总结(总1)
第3章 单自由度体系
第3章 单自由度体系
无阻尼自振频率：ωn＝√(k/m) 无阻尼自振周期：Tn＝2π/ ωn
自振周期Tn（或ωn）是结构的固有特性，与振幅大小 无关（线弹性范围内）。 工程频率：fn＝1/Tn
有阻尼自振频率：ωD＝ωn√(1－ζ 2) 有阻尼自振周期：TD＝Tn/√(1－ζ 2)
h (t ) ← ⎯→ H (iω )
F
时域解法：Duhamel积分 频域解法：Fourier变换
u (t ) = ∫ p (τ )h (t − τ )dτ
0
t
1 u(t ) = 2π
∫
∞
−∞
H (iω ) P(ω )eiωt dω
适用范围：应用了叠加原理，仅适用于线弹性结构结 构体系。
离散Fourier变换，快速付氏变换FFT
T
第4章 多自由度体系（续）
振型的正交性： 对于N个振型和自振频率
{φ}n ,
T
ωn , n = 1,2,L, N
m≠n m≠n
满足正交条件
{φ }m [M ]{φ }n = 0, {φ }m [K ]{φ }n = 0,
T
证明方法，利用特征方程（即自振频率及其振型 满足的方程）证明。
第4章 多自由度体系（续）
第4章 多自由度体系（续）
分别将结构的自振频率代入运动方程的特征方程 得到与自振频率对应的各阶振型
⎧ φ1i ⎫ ⎪φ ⎪ ⎪ 2i ⎪ ωi : {φ}i = ⎨ ⎬ , i = 1, 2, L, N ⎪M ⎪ ⎪φNi ⎪ ⎩ ⎭
振型为结构按某一自振频率自由振动时，不同自 由度位移（振动）的比例关系。 自振频率和振型均属于结构的动力特性。
第4章 多自由度体系
结构动力学1~15
《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤 答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。
因此命名为振型叠加法。
8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。
结构动力学习题解答(三四章)
第三章 多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
图３－１０解：〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标； 〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕 〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕 〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕 〔5〕系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型， 即各阶振型之比：)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕 〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。
结构动力学3-2
u (t ) = u0 sin(ωt − φ )
3.4.2、粘性阻尼体系的能量耗散 u (t ) = u0 sin(ωt − φ ) （1）阻尼引起的能量耗散ED
E D = ∫ f D du = ∫ = c∫
2π / ω 0 2 = πcωu0 2π / ω 0
3.3.6 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
2、半功率点法 (半功率带宽法) 半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
位移放大系数Rd
5
4
记：ωa和ωb分别等于半功
2
率点对应的两个频率。 则阻尼比ζ 可由如下公式计算：
2ζ＝半带宽
1
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2. 等效粘性阻尼比
抗力 抗力
ED
E S0 u0
变形
ED
E S0 u0
变形
(a)
(b)
在一个循环内实际阻尼力作的功：E D 在一个循环内等效阻尼力作的功：E D
粘
2. 等效粘性阻尼比
ED
粘
= ED
E
粘 D
ω 2 = 2πζ eq ku0 ωn
ζ eq
ED = 2 2π ku 0
ζ eq
ED = 2 2π (ω / ω n ) ku 0
ω 共振： = 1 ωn
1 2 令：ES 0 = ku0 2
ζ eq
ED = 4π (ω / ωn ) E s 0
ζ eq
ED = 4π E S 0
3.4.4 滞变阻尼（复阻尼）理论
ω = π p0 u0 sin φ = 2πζ ( ) ku0 2 ωn
结构动力学5
t
在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件：
τ
&& & mu (τ ) + cu (τ ) + ku (τ ) = p (τ ) = pi + α iτ
u (τ )
τ =0
& = ui , u (τ )
τ =0
& = ui
运动方程的特解:
αi 1 u p (τ ) = ( pi + α iτ ) − 2 c k k
5.1 数值算法中的基本问题
根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson —θ法。 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。
2
+
c ⎞ 2m ⎞ c ⎞ ⎛ ⎛ m ui +1 = pi − ⎜ k − 2 ⎟ ui − ⎜ 2 − ⎟ ⎟ ui −1 2 ∆t ⎠ 2 ∆t ⎠ ∆t ⎠ ⎝ ⎝ ∆t
⎛ 1 ⎞ B = e −ζωn ∆t ⎜ sin ω D ∆t ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ D ⎠
⎧ ⎡⎛ 2 1 ⎪ 2ζ ζ −ζωn ∆t ⎢⎜ 1 − 2ζ +e − C= ⎨ ⎢⎜ ω D ∆t k ⎪ ω n ∆t 1−ζ 2 ⎣⎝ ⎩ ⎤⎫ ⎞ ⎟ sin ω ∆t − ⎛1 + 2ζ ⎞ cos ω ∆t ⎥ ⎪ ⎜ ⎬ D D ⎜ ω ∆t ⎟ ⎟ ⎟ ⎥⎪ n ⎝ ⎠ ⎠ ⎦⎭
& u (τ ) = A1 + (ω D A3 − ζω n A2 )e −ζω nτ cos ω Dτ − (ω D A2 + ζω n A3 )e −ζω nτ sin ω Dτ
MIDAS-时程荷载工况中几个选项的说明
MIDAS-时程荷载工况中几个选项的说明动力方程式如下：在做时程分析时，所有选项的设置都与动力方程中各项的构成和方程的求解方法有关，所以在学习时程分析时，应时刻联想动力方程的构成，这样有助于理解各选项的设置。
另外，正如哲学家所言：运动是绝对的，静止是相对的。
静力分析方程同样可由动力方程中简化(去掉加速度、速度项，位移项和荷载项去掉时间参数)。
0.几个概念自由振动: 指动力方程中P(t)=0的情况。
P(t)不为零时的振动为强迫振动。
无阻尼振动: 指[C]=0的情况。
无阻尼自由振动: 指[C]=0且P(t)=0的情况。
无阻尼自由振动方程就是特征值分析方程。
简谐荷载: P(t)可用简谐函数表示，简谐荷载作用下的振动为简谐振动。
非简谐周期荷载: P(t)为周期性荷载，但是无法用简谐函数表示，如动水压力。
任意荷载: P(t)为随机荷载(无规律)，如地震作用。
随机荷载作用下的振动为随机振动。
冲击荷载: P(t)的大小在短时间内急剧加大或减小，冲击后结构将处于自由振动状态。
1.关于分析类型选项目前有线性和非线性两个选项。
该选项将直接影响分析过程中结构刚度矩阵的构成。
非线性选项一般用于定义了非弹性铰的动力弹塑性分析和在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)的结构动力分析中。
当定义了非弹性铰或在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)，但是在时程分析工况对话框中的分析类型中选择了“线性”时，动力分析中将不考虑非弹性铰或非线性连接的非线性特点，仅取其特性中的线性特征部分进行分析。
只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界在动力分析中将转换为既能受压也能受拉的单元或边界进行分析。
如果要考虑只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界的非线性特征进行动力分析应该使用边界条件>一般连接中的间隙和钩来模拟。
2.关于分析方法选项目前有振型叠加法、直接积分法、静力法三个选项。
这三个选项是指解动力方程的方法。
关于振型叠加法、直接积分法可以参考一些动力方程方面的书籍。
结构动力学3-3w
清华大学土木工程系 2015年秋
1/63
动力系数(Tn)和地震影响系数(Tn)
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
2/63
第3章 单自由度体系
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体对任意周期性荷载的反应。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成 Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。
当阻尼比给定时，结构对任一地震的最大位移反应和最 大绝对加速度反应仅由n决定，即
工程中一般习惯采用结构的自振周期Tn＝2/n代替圆频 率，因而
如果改变结构的自振周期Tn就可以得到不同的Sd和Sa，最 后可以得到以结构自振周期Tn为自变量的函数Sd和Sa。 称：Sd—(相对)位移反应谱, Sa—(绝对)加速度反应谱。
28/63
7
离散Fourier变换（DFT）
2. 由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，使得 外荷载变成周期性荷载，如下图所示，原荷载的持续 时间Tp 变成周期性荷载的周期。
离散Fourier变换（DFT）
2. 结构的动力反应也被周期化，对此要加足够多的0点以 增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段[0, Tp]内，结 构的位移能衰减到0。
《结构动力学》教学日志知识资料b
第
24
次
总结复习
知识点串讲
年月日
学生考核成绩记录
序号
项目
出勤
作业
学号
姓名
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
成
绩
/
/
/
/
/
/
/
/
成
绩
1
5
杨金银
2
2
甄一帆
3
4
周叙霖
4
1
史宝红
5
2
李明聪
6
3
桑胜涛
7
4
崔亚歌
8
5
贾世宁
9
6
连娜
10
7
周文丽
11
8
熊治凯
12
9
薛涛
13
0
周翱翔
14
1
赵锦涛
15
2
田里
16
3
孙可锋
17
4
王浩
教研室主任主管教学院（部）长
年月日年月日
教学计划内容
授课实施记录
课内
课外作业、实验
第
1
次
第1章绪论和概述
1.1结构动力分析主要目的
1.2荷载的分类(持时和来源)
1.3动力问题的基本特性
重点：结构动力分析意义及基本概念。
难点：动力问题与静力问题区别与联系。
寻找1-2本国外结构动力学相关的教材，供学习参考。
（自愿上交）
年月日
第
2
次
第1章绪论和概述
1.4离散化主意
1.5运动方程的建立
结构动力学3-2
(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
&& & (mu )udt
m[−ω u0 sin(ωt − φ )][ωu0 cos(ωt − φ )]dt = 0
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析 计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更 为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第3章 单自由度体系
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
制，或说衰减规律可以明显反应出 阻尼比ζ的影响。而动力放大系数同 样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
结构动力学6-1
6.2 梁的自振频率和振型
∂ 2u ∂ 2 ∂ 2u m( x) 2 + 2 [ EI ( x) 2 ] = p( x, t ) ∂t ∂x ∂x
由弯曲梁的偏微分运动方程得到梁的无阻尼自由振动方 程为： 2 2 2 ∂u ∂u ∂
m( x )
∂t
2
+
∂x2Βιβλιοθήκη [ EI ( x )∂x
2
]=0
对以上偏微分方程可以采用分离变量法求解，设解的形 式为：
(转动惯量影响项) (剪切变形影响项) (剪切变形和转动惯量耦合影响项)
r2=I/A—惯性半径；A—梁的横截面积；k’A—梁的有效剪切面 积；k’—截面有效剪切系数；G—材料剪切模量。 对于细长梁可以不考虑铁木辛柯梁方程，但对于深梁，其转 动惯性项和剪切变形不可忽略时则必须考虑。但一般考虑 到与线性位移引起的惯性力相比，转动项仍为小量，往往 予以忽略。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第6章 分布参数体系 （无限自由度体系）
第6章 分布参数体系（无限自由度体系）
前面介绍了结构动力分析中最基本方法，处理的是有限 自由度体系的动力反应问题。 真实结构，质量连续分布。描述和确定连续介质的空间 位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间 坐标x、y、z的连续函数）。 结构体系实际上有无限个动力自由度，这时要精确描述 结构体系的运动状态必须用偏微分方程，其独立自变 量除时间外，还包括空间位置坐标，这时的结构体系 称为分布参数体系。
EI(x)=EI为常数，m(x)=m为常数
a =
4
ω 2m
EI
φ ′′′′( x ) − a 4φ ( x ) = 0