粘弹性材料在结构控制中的应用研究

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5. 粘弹性阻尼器的单元刚度矩阵和控制力向量
_
设若时间间隔为 ∆t ， t = i∆t ， ∆ u 表示粘弹性阻尼器两端节点的相对位移， h 为粘弹
性阻尼材料的厚度，则在粘弹性阻尼器上的剪应变为：
_
γ (t) = γ (i∆ t) = ∆ u / h
(9)
图 1 高分子聚合物的分子结构
1 国家自然科学基金资助项目（59678046） -1-
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而耗散。 粘弹性材料的弹性和粘性表现为当它们受到拉伸的外力作用时，一方面材料的分子链将
会受到拉伸，另一方面还将产生分子与分子之间的链段的滑移。当外力去除后，被拉伸的分 子链要恢复原位，释放外力所作的功，这就是粘弹性材料的弹性。这部分分子所作的功转化 为热能而耗散在周围的环境中，从而把部分机械振动能量转化为热能。
j=1
在（5）式中设,
3000 试验值
G1
=
( ∆t
)α
A0 Γ(2
−
α
)
e
−β
[∫
τdγ
+θ
(T
−T0
)]
2000
(7)
1000
理论值
P(N)
则（5）式可写成:
0
τ (i∆t) = (G0 + G1 )γ (i∆t) + G1F (i∆t)
(8)
由(8)式得粘弹性阻尼材料的应力-应变关系曲
线为一椭圆图型。图 9 是 G0 、 A0 、θ 、 β 、α 分
∆
_
u+
G1 AF
(i∆t)
(12)
每一次只分析一个方向（如 x 方向）的振动，如 ∆u 表示粘弹性阻尼器节点沿 x 方向的相对
位移，则有：
∆u = [−Cx ,Cx ]{u1 } u2 T = [B]{u}
(13)
[ ] 式中 B = ⎡⎣−Cx ,Cx ⎤⎦ 对于斜支撑 CX 为斜支撑的方向余弦。对于人字型支撑 CX 取 1。
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粘弹性材料在结构控制中的应用研究1
朱必永
武汉理工大学 （430070）
E-mail：hkzby4570@sina.com
摘 要：粘弹性材料是建筑结构抗震抗风中一种十分有效的耗能材料,由粘弹性材料制成的
粘弹性阻尼器是建筑结构抗震抗风被动控制应用最为广泛的一种耗能阻尼器装置。本文对影
分数导数模型，该模型考虑了温度、频率和应变幅值对粘弹性阻尼器性能的影响，本且非常 适合于有限元的分析计算。
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粘弹性阻尼材料的应力-应变关系的分数导数模型为[2]:
−
τ (t) = G0γ (t) + G1 Dα [γ (t)]
(1)
式中：τ (t) 、γ (t) 分别为粘弹性阻尼材料的应力、应变。
的侧移为 ∆ , Pl 为支撑的轴力，则：
响粘弹性材料力学性能的因素进行了试验研究；建立了适合于建筑结构抗震抗风被动控制动
力计算的有限元计算模型，推导了粘弹性阻尼器与钢支撑的组合刚度矩阵。最后将理论结果
与试验结果进行了对比，验证了理论推导的正确性。
关键词：粘弹性材料，粘弹性阻尼器，耗能装置，结构控制
1. 引 言
随着我国国民经济的发展和科学技术的进步，高强、轻质建筑材料在建筑结构中的广 泛应用，使得结构的刚度和阻尼不断降低，建筑结构对地震激励更加敏感。要减小建筑结构 的地震反应，除了研究建筑结构承重体系本身的抗震设计构造之外，在结构上设置一些耗能 装置，通过耗能材料的非线性变形来增大结构阻尼、消耗地震能量，实现减小主体结构的地 震反应，从而对结构震动进行有效抑制，是一种行之有效的方法。在这些耗能材料中，以 粘 弹 性 材 料 最 为 人 们 所 关 注 ，因 为 由 这 种 材 料 制 成 的 阻 尼 器 与其他耗能减震装置相比 具有以下优点[1]：（1）只要在微小干扰下结构开始震动，它就能马上耗能。因此，即使在弹 性小幅震动的情况下它也起制震作用。这使它既能抑制结构的地震反应，又避免了其他耗能 阻尼器存在的阻尼器初始刚度如何与结构侧移刚度相匹配的问题。（2）它的“力-位移”滞 回曲线近似于椭圆型，因此它的耗能能力很强。
在谐波激振中，所有试验都是通过控制剪切位移量的大小完成的。试验时，先固定最大 剪切位移，而后逐步改变激振频率，然后再改变最大剪切位移，重复上面的过程。试验的频 率为 0.5Hz和 2Hz，剪切幅值范围为 0.1mm到 3mm，温度为 150C和 300C。阻尼材料试样的 尺寸为 100×50×6mm。
角为α ，如图 3 所示。粘弹性阻尼材料的应力-应变曲线为一椭圆形，如图 4 所示。
图 2 弹性材料的应力
图 3 应变却滞后于应力图
图 4 粘弹性阻尼材料的应变 -应变滞回曲线
3. 粘弹性阻尼器动力特性的实验分析
本文选用国产的 NZ21 粘弹性阻尼材料，采用电液伺服材料实验机对其力学性能及影响 力学性能的因素进行了实验分析。
{u } = {u1 } u 2 T 表示粘弹性阻尼器单元节点的位移向量。
若设{Pe} 为粘弹性阻尼器节点荷载向量，且仅考虑沿 x 方向作用，则:
{Pe } = [Px1, Px2 ]T
(14)
则由(12)式得：
{Pe } = [B]T ∆P = (G0
+ G1 )
A h
[B]T [B]{u}+ G1 AF (i∆t)[B]T
别为 753、428.42、573.0、0.000129、0.56，频率
f = 2.0Hz ，温度为T = 15o C ，分数导数模型与试
验值得的比较。
-1000
-2000
-3000 -3 -2 -1 0 1 2 3 位移△(cm) 图 9 粘弹性阻尼器力-位移的滞回曲 线试验值和理论值的比较
-4-
(9)式代入(8)式得到剪应力为：
_
τ（ t ) = τ (i∆t ) = (G0 + G1 )∆ u/ h + G1F (i∆t )
(10)
若粘弹性阻尼器材料作用面积为 A，则粘弹性阻尼器沿局部坐标方向的作用力为：
−
∆P = Aτ (i∆t)
(11)
将(9)带入(11)得
∆
−
P
=
(G0
+
G1 )
A h
实验设备采用电液伺服材料实验机（型号：INSTRON. 1341. 英国），实验装置如图 5 所示。实验的粘弹性阻尼器如图 6 所示。为了得到粘弹性材料在动力剪切情况下的性能随频 率和振幅的变化规律，试验均采用正弦激励法，通过施加不同频率的正弦力，控制在不同幅 值的剪切振幅，测得粘弹性阻尼器的剪切位移和恢复力，从而得到粘弹性阻尼器随激振频率 和剪切位移幅值变化的动力特性。
本文对影响粘弹性材料力学性能的因素进行了试验研究，根据建筑结构抗震抗风被动控 制动力计算的特点，建立了有限元计算模型，在此基础上推导了粘弹性阻尼器与钢支撑的组 合刚度矩阵。最后将理论结果与试验结果进行了对比，验证了理论推导的正确性。
2. 粘弹性材料
粘弹性材料是一种同时具有某些粘性液体和 弹性固体特性的高分子聚合物材料，其结构示意图 如图 1 所示。弹性材料虽然能够储存能量，但是它 却不能耗散能量。相反，粘性液体具有耗散能量的 本领，然而却又不能储存能量，因此只有介于粘性 液体和弹性固体之间的粘弹性材料才能二者兼备。 在受到交变应力作用产生变形时，部分能量像位能 那样储存起来，另一部分能量则被耗散转化为热能
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图（7）为频率f=2Hz，温度分别为 150C和 300C，粘弹性阻尼器力-位移的关系曲线图。
图 5 电液伺服材料实验机
图 6 粘弹性阻尼器试验构件
P(N) P(N)
3000 2000 1000
T=15 C T=30 C
0
-1000
-2000
-3000
(16)
[ ] 设粘弹性阻尼器沿一个方向( x 方向)振动的单元刚度矩阵为 Ke ，由(15)式得：
[Ke] =
(G0
+ G1 )
A h
[ B ]T
[B] =
A0 h
(G0
) + G1 Cx2
⎡1 ⎢⎣−1
−1⎤ 1 ⎥⎦
=
K1
⎡1 ⎢⎣−1
−1⎤ 1 ⎥⎦
(17)
其中
K1
=
A0 h
(G0
+ G1)C2x
(15)
由(15)式可以看出粘弹性阻尼器单元荷载向量由两部分组成，公式中前面一项类似于普通弹
性单元所产生荷载向量，后一项为粘弹性阻尼器单元所特有的恢复力向量，即单元的耗能控
制力向量。
设{Pev} 为单元的耗能控制力向量。由(15)式得：
{Pev} = G1AF (i∆t)[B]T = G1ACx F (i∆t){−1 1}T
应变为
γ（η）=（i − η )γ [(i −1)∆t] + ( η − (i −1)γ (i∆t) ( (i-1)∆t < η < i∆t)
(4)
∆t
∆t
将(4)式代入(1)式得
τ
(t)
=
τ
(i∆t)
=
G0 γ
(i∆t)
+
(∆t)α
A0 Γ(2
−
α
)
−β
e
[∫τ
dt +θ
(T
−T0
)]
[γ (i∆t)
(3)
∫ 上式中 τdγ 为粘弹性材料应变能的积累。温度对粘弹性材料的影响按类似于材料的初始应
变能考虑，θ 为温度影响的等效初始应变能系数。 T0 为参考温度， T 为粘弹性阻尼器的环
_
_
境温度。由（3）式可以看出 G1 随应变能的增加而衰减， β 为衰减系数， A0 为 G1 的初始
值。
在时程分析中，若将两个时间步 (n - 1)∆t和 n∆t 之间的应变按线性插值，则η 时刻的
由于粘弹性材料的动态力学性能不同于弹性材料，所以在交变应力的作用下其应力-应 变曲线与弹性材料的性质不全相同。对于弹性材料施加交变应力之后，弹性材料内部的应力 和应变几乎是同时增加或减小的，也就是说二者的相位相同或很接近，所以弹性材料的应力 -应变曲线为一直线，如图 2 所示。然而粘弹性阻尼材料的应变却滞后于应力，滞后的相位
计算简图形式如图 10 所示。设型钢人 字 型 支撑的单元侧移刚度矩阵系数为 K2 ，单元侧移
[ ] 刚度矩阵为 Ks ，弹性阻尼器与人字型支撑的组合刚度矩阵推导如下：
图 10 粘弹性阻尼器与人字型支撑计算简图
图 11 人字型支撑变形图
根据型钢人 字 型 支撑的特性，型钢人 字 型 支撑计算简图如图(11)所示，单位力做用下
+ F (i∆t) ]
(5)
上式中 F (i∆t) 为应变的原始时间影响，其表达式如下：
F (i∆t) = [(i −1)1−α + (1− i −α )i−α ]γ (0)
i−1
(6)
∑ + [(i − j +1)1−α − 2(i − j)1−α + (i − j −1)1−α ]γ ( j∆t)
4. 粘弹性阻尼器的计算模型
虽然国内外学者对粘弹性阻尼器的结构抗震控制计算提出了各种计算模型，但各种计算 模型都有一定的缺陷：复刚度模型虽然简单适用，仅适用于小应变情况，没有考虑应变幅值
的影响；微段模型考虑了温度的影响，比较精确，但计算过于复杂；Kelvin 模型仅适用于 G′ 较大的粘弹性材料；Maxwell 模型仅适用于 G′ 较小的粘弹性材料。本文对粘弹性材料采用
为粘弹性阻尼器的单元刚度系数。
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6. 粘弹性阻尼器和型钢支撑的组合单元刚度矩阵
粘弹性阻尼器通常是以支撑的形式设置在建筑结构中的。已有的参考文献中，在计算粘 弹性阻尼器对建筑结构地震反应控制时，大都没有考虑支撑刚度的影响。本文认为：支撑和 粘弹性阻尼器作为一个整体设置在建筑结构中，其刚度对粘弹性阻尼器对建筑结构的抗震控 制效果有很大的影响，是一个不可忽略的因素，必须加以考虑。粘弹性阻尼器人字型支撑的
∫ Dα [γ（t)] = 1 d t γ (η) dη (0 < α < 1)
Γ(1−α ) dt 0 (t −η)
(2)
_
这里 Γ( ) 为 gamma 函数。 G0 和 G1 是该模式中的参数，当考虑粘弹性材料承受任意荷载及
温度影响时
_
G1
=
−β [ τdγ +θ (T −T0 )]
A e ∫ 0
-4 -2
0
2
4
位移△(cm)
图 7 粘弹性阻尼器力-位移的滞回曲 线受温度的影响
3000 f=2Hz
2000
f=0.5Hz
1000
0
-1000
-2000
-3000
-4
-2
0
2
4
位移△(cm)
图 8 粘弹性阻尼器力-位移的滞回曲线 受频率的影响
图（8）为温度为 150C，频率分别为 2Hz和 0.5Hz，粘弹性阻尼器力-位移的关系曲线图。 从图中可以看出：无论频率和温度如何变化，粘弹性阻尼器的粘弹性阻尼器的力-位移的关 系曲线始终是椭圆形。在一定范围内，温度越低，频率越大，椭圆形的面积最大，一周内粘 弹性阻尼器消耗的能量最多。