矩阵分析(课堂PPT)
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矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
矩阵分析课件(2-1)
定义2.1.6. 称（2.1.3）式中右边的
对角形 - 矩阵为A （）的smith标准形， 称d1 ( )，d 2 ( ), ..., d r ( )为A （）的不变 因子。
上述定理说明，任何 - 矩阵（ A ）都 与它的smith标准形等价。
引入符号：
ri：表示矩阵的第i行；Ci：表示矩阵的第i列；
如果A1 ( )中至少有一个元素不为0，不妨设 左上角元素不为0，对A1 ( )重复A( )的讨论过 程， ； 最后将对角形中主对角线上元素变为 首系为1，因此，有 d1 ( )
. d r ( ) A( ) ， 0 . 0 其中d（ 的且d （ | di （ j ）是首1 i ） 1 ） ( j 1, 2, , r； i 1, 2, , r - 1).
r （或 Ci） rj (或C j )：表示互换矩阵的第i , j i 两行（或两列）；
Cri (或CCi )：表示矩阵的第i行（或列）乘常数C；
（） ri rj：表示将矩阵的第i行乘上 （）后
加到第j行上；
（）C i C j：表示将矩阵的第i列乘上 （）后
加到第j列上。
验证可知： 1 P ( i , j ) P ( i , j )，P ( i (c )) P ( i ( ))， c -1 P ( i , j( （） )) P ( i , j(- （） )).
-1 -1
与线性代数中的证明类似，可以证明：
定理2.1.2： 对一个m n的 - 矩阵A （）
定理2.1.4 任意一个非零的n阶 - 矩阵A( ) 都等价于一个对角矩阵，即 d1 ( ) ... d r ( ) A( ) （2.1.3） 0 ... 0 其中r 1, d i ( )是首系为1的多项式且 d i ( ) | d i 1 ( )，（i 1, 2...r - 1）。
矩阵分析第5章课件
例：取n维线性空间的分量全为1的向量 e=(1,…,1)T为例. 易见 ‖e‖=1; ‖e‖2=n; ‖e‖1=n. 它们之间的大小关系是: ‖e‖<‖e‖2<‖e‖1. 命题:对n维线性空间的任意向量x成立 ‖x‖ ‖x‖2 ‖x‖1 n‖x‖ n‖x‖2 n‖x‖1 n2‖x‖ … 证:‖x‖= max{|x1|,…,|xn|} (i=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 ((|x1|+…+|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 n max{|x1|,…,|xn|} = n‖x‖
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
矩阵分析课件
一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算的性质刻画
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
0
1
]
5 向量的长度 定义： || || = ( , ) 性质： || k || =k || || ；
Cauchy 不等式：
， [Vn(F)；(，)], | (，) | || || || || 。 || ＋|| || || ＋|| ||
如果
W1=L{1，2，…， m }，
W2=L{1，2，…， k}，
则 W1＋W2=L{1，2，…，m，1，2，…， k }
3 、维数公式
子空间的包含关系： W1 W1 W2 W1 W2 Vn ( F ) W2
dimW1W2 dim Wi dimW1＋W2 dimVn（F）。
子空间的“和”为“直和”的充要–条件 ： 定理1· 8 设 W=W1＋W2，则下列各条等价： （ 1） W=W1W2 （ 2） X W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （ 3） W中零向量的表示是惟一的 （ 4） dim W =dimW1＋dimW2
例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A AT =A } ， W2={B BT= –B }， 证明Rn×n=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.6-1
T
−1
15
∴ BA=E, 即T是满秩的线性变换.
⇐ T (α , α , S (α 1 , α 2 ,
1 2
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
−1
∴ TS = ST = I. 例： 设T 是n维线性空间V 的线性变换， T 在V的一个基
§3.6 线性变换的矩阵
取V 的基 α1 , α 2 , 表示，有
, α n , V中任意向量β可由基线性
β = (α 1 , α 2 ,
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎛ n ⎞ n T 的坐标 ⎢ 2 ⎥ 唯一确定， ( β ) = T ⎜ ∑ kiα i ⎟ = ∑ kiT (α i ), ⎢ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦ T由它在基上的作用 T(αi) 唯一确定，自然地得到
1
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎢ 2⎥, ,α n ) 即β由它在基 α 1 , α 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦
,α n 下
线性变换与矩阵的联系.
定义：设 α 1 , α 2 ,
, α n是数域F上n 维线性空间V的一个基，
, T (α n ) 可由基 α 1 , α 2 ,
T (α 1 ) , T (α 2 ) ,
由线性变换的定义易知，T 是V 的线性变换. ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) A ⎢1 ⎥ i i = 1, 2, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) Aei ⎣ ⎦ T ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , , T (α n ) )
−1
15
∴ BA=E, 即T是满秩的线性变换.
⇐ T (α , α , S (α 1 , α 2 ,
1 2
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
−1
∴ TS = ST = I. 例： 设T 是n维线性空间V 的线性变换， T 在V的一个基
§3.6 线性变换的矩阵
取V 的基 α1 , α 2 , 表示，有
, α n , V中任意向量β可由基线性
β = (α 1 , α 2 ,
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎛ n ⎞ n T 的坐标 ⎢ 2 ⎥ 唯一确定， ( β ) = T ⎜ ∑ kiα i ⎟ = ∑ kiT (α i ), ⎢ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦ T由它在基上的作用 T(αi) 唯一确定，自然地得到
1
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎢ 2⎥, ,α n ) 即β由它在基 α 1 , α 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦
,α n 下
线性变换与矩阵的联系.
定义：设 α 1 , α 2 ,
, α n是数域F上n 维线性空间V的一个基，
, T (α n ) 可由基 α 1 , α 2 ,
T (α 1 ) , T (α 2 ) ,
由线性变换的定义易知，T 是V 的线性变换. ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) A ⎢1 ⎥ i i = 1, 2, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) Aei ⎣ ⎦ T ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , , T (α n ) )
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵分析课件
引理 设 矩阵 A 的左上角元a11 0， 并且 A 中至少有一个元素不能被它整除，那 么一定可以找到一个与 A 等价的矩B ， 它的左上角元素也不为零，但是次数比a11
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
矩阵分析4ppt课件
矩阵函数f ( At)，类似,我们可以得到
f ( t)1
定理1 若对任一方阵X，幂级数
C m
X
m0
f ( At) P
f (2t)
P1
f
(nt
)
5. 矩阵函数
第四章 矩阵函数及其应用
2)当A不能与对角形矩阵相似，这时，A必可与约当
标准形相似
J1(1)
第四章 矩阵函数及其应用
定理1
若对任方阵X，幂级数 Cm X m都收敛，和为定f (X ) Cm X m,
m0
m0
X1
则当X为分块对角形矩阵X
X2
时，即有
X
k
f (X1)
定理1 若对任一方阵X，幂级数
C m
X
m0
f ( X ) f ( X )2
Am
m0
和也不改变。
1)若方阵级数
A 绝对收敛，则他它一定 收敛敛，且任意交换各 的次序所得的新 级次序收敛敛，和也不改变 m
m0
4. 矩阵幂级数
第四章 矩阵函数及其应用
方阵级数的收敛性质：
2)方阵级数 Am绝对收敛的充要条件， m0
是对任意一种方阵范数 ，
正项级数 Am收敛。 m0
f ( X k )
5. 矩阵函数
第四章 矩阵函数及其应用
定理2
若 f(z)
m
Cm z (
z
矩阵分析第8章课件
A
P1
Er 0
0 0
Q1
A
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形
式证:对任W意C减rr 号, Z逆CA(-nr)C(mnr)m,,X令CAr-(=mrQ),WYYCXZ(nPr)r
其中 AA-A=A
PAA-AQ=PAQ=
Er 0
00
上P式AQ左WY 边XZ =PAQ
证:我们知道:对每个ACmn,R(A),N(A)都是Cm, Cn的子空间, dim R(A)= rank A, dimN(A)=n-rank A. xR(AA-),x=AA-z=AyR(A) R(AA-)是R(A)子空间.因 dimR(A)=rank A=rank AA-=dimR(AA-), 故由下列命题即得R(AA-)=R(A).
这是(SAT)-1=T-1A–1S-1推广
(SAT)(T-A–S-)(SAT)=SAA–AT=(SAT)
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ④ AA-,A-A都是幂等矩阵,即其平方等于自己的 矩阵;并且 rank A=rank(AA-)=ramk(A-A).
证: (AA-)2=AA-AA-=AA-;
(A-A)2=A-AA-A=A-A. rank A=rank (AA-A)rank (AA-)rank A.
rank A=rank(AA-)
同理可证 rank A=rank(A-A).
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ⑤ R(AA-)=R(A),N(A-A)= N(A) 其中,A的值域 R(A)={Ay|yCn} Cm A的核(或A的解空间) N(A)={x|Ax=0} Cn
《矩阵分析》课件
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
《矩阵分析》PPT课件
握时机，以寻求更大的发展。
2.抑制性（机会+劣势）
抑制性意味着妨碍、阻止、影响与控制。当环境提
供的机会与企业内部资源优势不相适合，或者不能相互
重叠时，企业的优势再大也将得不到发挥。在这种情形
下，企业就需要提供和追加某种资源，以促进内部资源
劣势向优势方面转化，从而迎合或适应外部机会。
3.脆弱性（优势+威胁）
（2）现金牛产品（cash cow）， 又称厚利产品。它是指处于低增 长率、高市场占有率象限内的产 品群，已进入成熟期。其财务特 点是销售量大，产品利润率高、 负债比率低，可以为企业提供资 金，而且由于增长率低，也无需 增大投资。因而成为企业回收资 金，支持其它产品，尤其明星产 品投资的后盾。收获战略；适合 于事业部制组织结构；选拔市场 营销型人物来负责。
说明 相对市场份额
以公司在某个领域的市场份额除以该领域最大竞争对手的 市场份额
通常以1.0把相对市场份额分为高低两部分。
市场增长率
可以用经济增长率作为标准，或者用10%。
圆圈反映了一个领域的份额和增长情况，面积反映了企业 从这个领域得到的销售收入占全部收入的比例。
各象限产品的定义及战略对 策 （1）明星类产品 增长较快速，略显资金不足； 一般水平的利润率和负债比 率。 扩大投资战略；采用事业部 形式的组织结构；选拔对生 产技术和销售都很内行的人 负责 。
缺乏具有竞争意义的技能技术。
缺乏有竞争力的有形资产、无形资产、人力资源、组织 资产。
关键领域里的竞争能力正在丧失。
机会 公司面临的潜在机会（O）：潜在的发展机会可能是： 客户群的扩大趋势或产品细分市场。
技能技术向新产品新业务转移，为更大客户群服务。
前向或后向整合。 市场进入壁垒降低。 获得购并竞争对手的能力。 市场需求增长强劲，可快速扩张。 出现向其他地理区域扩张，扩大市场份额的机会。
矩阵分析.ppt
X
x2
，
am X
xn
nm
同理，a X 对X T的导数定义为
a1 X
x1
da X
a2
X
dX T
x1
am X
x1
a1 X
x2
a2 X
x2
am X
x2
bX
daT X
dX
bX
dbT X
dX
aX
;
5
d dX T
aT
X
bX
bT
X
da X
dX T
aT
X
db X
dX T
。
例6
设A
aij
,
mn
X
x1, x2 ,
, xn T ，
求线性向量函数y AX关于向量X T的导数
可微，其导数定义如下：
A' t= aij' t ,同样，At的高阶导数定义为：
A'' t=
A' t
'
,
, An
t
=
n1
A
t
'
。
性质1 设函数矩阵At，Bt都可微，则 1设k任意常数，则kAt' kA' t;
2若At与Bt可以相加，则 At Bt' A' t B' t;
矩阵分析PPT课件
(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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第六章 矩阵函数 §1矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
为 A 的矩阵多项式。
设
A1
A
A2
O
Ar
A1k
0O
O
i
1
i
E
H
0
Jik (i ) (i E H )k
ik E c1kik1H ck2ik2H 2 L
c H di 1 k (di 1) di 1 ki
H 2是把Ｈ中的１向上平移一行，类推之。
n
ak ik
k 0
n
k 0
ak
J
k i
(i
)
n
akc1kik1 L
k 0 n
akik O
0 2 0 0
0 f (1)
0
0
0
1
3 2
f '(1) 0
0
1 2
f (1) 1 0 2
f (1) 4 f ' (1)
3 f ' (1)
2 f ' (1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f ' (1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
an (PJP1)n an1(PJP1)n1
L a1(PJP1) a0I
(PJP1)n PJ n P1
P(an J n an1J n1 L a1J a0I )P1
Pf (J )P1
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有 f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
证明：A PJP1
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(
i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
i 是特征根，其重数（代数重复度） di
故
f (i ) f (i ) L f (di 1) (i ) 0
f (Ji ) 0 f ( A) 0
定义：已知 ACnn，在 A 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为1的零化多项式称为
的最A小多项式，通常记为
m。( )
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
0 di di
d1 d2 L dr
J1
J
J2 O
O
J
r
有
m() ( 0 )dr
结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2,L , Ar ) ， m1(), m2(),L , mr () 分别为子块
A1, A2,L , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
2 0 5
求 f ( A)。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1)
1
3
0
0
k 0
O
n di 1 k di 1 a c k k i
k 0
M
n
ak c1k ik1
k 0
n
akik
k 0
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
总结:设 A PJP1 f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
Jordan表示。其中
i
Ji
(i
)
1
i O
O
(i 1, 2,L , r) 1
i di di
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki
L
ik O
O
c di 1 kdi 1 ki
M
c1 k1 ki ik
di di
注
i
Ji
(i
)
1
i O
O
i
1
i di di
i
O
0 1
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0 L 1 L
0 0O O
0OO
O0
0
0
L
1
L
Odi di
0
0
因此有
m() ( i )di
同理若
对应初等因子
0 1
Ji
0 O
O 1
( 0 )di
i 1, 2,L , r
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们 考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i
Ji
1
i O
O
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
AkΒιβλιοθήκη A2k OArk
f
( A1
)
f
(
A)
f ( A2 ) O
f ( Ar )
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2,L , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ),L , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
多项式为
[m1(), m2(),L , mr ()] 即为 m1(), m2(),L , mr () 的最小公倍式
定义： 已知 ACnn和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
为 A 的矩阵多项式。
设
A1
A
A2
O
Ar
A1k
0O
O
i
1
i
E
H
0
Jik (i ) (i E H )k
ik E c1kik1H ck2ik2H 2 L
c H di 1 k (di 1) di 1 ki
H 2是把Ｈ中的１向上平移一行，类推之。
n
ak ik
k 0
n
k 0
ak
J
k i
(i
)
n
akc1kik1 L
k 0 n
akik O
0 2 0 0
0 f (1)
0
0
0
1
3 2
f '(1) 0
0
1 2
f (1) 1 0 2
f (1) 4 f ' (1)
3 f ' (1)
2 f ' (1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f ' (1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
an (PJP1)n an1(PJP1)n1
L a1(PJP1) a0I
(PJP1)n PJ n P1
P(an J n an1J n1 L a1J a0I )P1
Pf (J )P1
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有 f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
证明：A PJP1
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(
i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
i 是特征根，其重数（代数重复度） di
故
f (i ) f (i ) L f (di 1) (i ) 0
f (Ji ) 0 f ( A) 0
定义：已知 ACnn，在 A 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为1的零化多项式称为
的最A小多项式，通常记为
m。( )
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
0 di di
d1 d2 L dr
J1
J
J2 O
O
J
r
有
m() ( 0 )dr
结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2,L , Ar ) ， m1(), m2(),L , mr () 分别为子块
A1, A2,L , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
2 0 5
求 f ( A)。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1)
1
3
0
0
k 0
O
n di 1 k di 1 a c k k i
k 0
M
n
ak c1k ik1
k 0
n
akik
k 0
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
总结:设 A PJP1 f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
Jordan表示。其中
i
Ji
(i
)
1
i O
O
(i 1, 2,L , r) 1
i di di
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki
L
ik O
O
c di 1 kdi 1 ki
M
c1 k1 ki ik
di di
注
i
Ji
(i
)
1
i O
O
i
1
i di di
i
O
0 1
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0 L 1 L
0 0O O
0OO
O0
0
0
L
1
L
Odi di
0
0
因此有
m() ( i )di
同理若
对应初等因子
0 1
Ji
0 O
O 1
( 0 )di
i 1, 2,L , r
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们 考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i
Ji
1
i O
O
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
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f
( A1
)
f
(
A)
f ( A2 ) O
f ( Ar )
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2,L , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ),L , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
多项式为
[m1(), m2(),L , mr ()] 即为 m1(), m2(),L , mr () 的最小公倍式