矩阵分析(课堂PPT)

i 是特征根，其重数（代数重复度） di
故
f (i ) f (i ) L f (di 1) (i ) 0
f (Ji ) 0 f ( A) 0
定义：已知 ACnn，在 A 的零化多项式中，
次数最低且首项系数为1的零化多项式称为
的最A小多项式，通常记为
m。( )
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
0 2 0 0
0 f (1)
0
0
0
1
3 2
f '(1) 0
0
1 2
f (1) 1 0 2
f (1) 4 f ' (1)
3 f ' (1)
2 f ' (1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f ' (1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
an (PJP1)n an1(PJP1)n1
L a1(PJP1) a0I
(PJP1)n PJ n P1
P(an J n an1J n1 L a1J a0I )P1
Pf (J )P1
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
2 0 5
求 f ( A)。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1)
1
3
0
0
证明：A PJP1
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(
i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
多项式为
[m1(), m2(),L , mr ()] 即为 m1(), m2(),L , mr () 的最小公倍式
0O
O
i
1
i
E
H
0
Jik (i ) (i E H )k
ik E c1kik1H ck2ik2H 2 L
c H di 1 k (di 1) di 1 ki
H 2是把Ｈ中的１向上平移一行，类推之。
n
ak ik
k 0
n
k 0
ak
J
k i
(i
)
n
akc1kik1 L
k 0 n
akik O
0 di di
d1 d2 L dr
J1
J
J2 O
O
J
r
有
m() ( 0 )dr
结论：A的最小多项式是A的最后的一个不变因子。
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2,L , Ar ) ， m1(), m2(),L , mr () 分别为子块
A1, A2,L , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
Jordan表示。其中
i
Ji
(i
)
1
i O
O
(i 1, 2,L , r) 1
i di di
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki
L
ik O
O
c di 1 kdi 1 ki
M
c1 k1 ki ik
di di
注
i
Ji
(i
)
1
i O
O
i
1
i di di
i
O
0 1
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有 f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
k 0
O
n di 1 k di 1 a c k k i
k 0
M
n
ak c1k ik1
k 0
n
akik
k 0
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
M
f '(i )
f (i )
di di
总结:设 A PJP1 f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
Ak
A2k O
Ark
f
( A1
)
f
(
A)
f ( A2 ) O
f ( Ar )
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2,L , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ),L , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0 L 1 L
0 0O O
0OO
O0
0
0
L
1
L
Odi di
0
0
因此有
m() ( i )di
同理若
对应初等因子
0 1
Ji
0 O
O 1
( 0 )di
i 1, 2,L , r
Pdiag( f (J1), f (J2 ),L , f (Jr ))P1
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) L
f (i ) O
O
(di
1 1)!
f
(
di
1)
(i
)
Байду номын сангаас
M
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
第六章 矩阵函数 §1矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1 L a1A a0I
为 A 的矩阵多项式。
设
A1
A
A2
O
Ar
A1k
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们 考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i
Ji
1
i O
O
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()