专题相似三角形的几种基本模型及练习

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相似三角形的常见模型

初中数学︵九年级︶培优篇初中数学︵九年级︶培优篇【基本模型】①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，//DEBC ，则ADE ABC △△∽，AD AE DEAB AC BC．②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；③模型拓展2：如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC CDAC AB BC．初中数学︵九年级︶培优篇【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．初中数学︵九年级︶培优篇【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长；（3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．初中数学︵九年级︶培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB∽△CJD ⇔A B JA C D JC【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（） A ．8B ．10C ．12D ．14初中数学︵九年级︶培优篇【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AEA F EBFC，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ ＝14CE 时，EP ＋BP 的值为（）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD的中点．求AN:NC的值．初中数学︵九年级︶培优篇【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BEEG的值为（） A ．12B ．13C ．23D ．34【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长．（2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．初中数学︵九年级︶培优篇【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，C E，则CD 的长为______．初中数学︵九年级︶培优篇【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点．（1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．初中数学︵九年级︶培优篇【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，AF BE ⊥与点F ．（1）求证：2AE FE BE ；（2）求A F C 的大小；（3）若DF=1，求△ABF 的面积．初中数学︵九年级︶培优篇结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，GF AHBC AM【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上．（1）求正方形DEFG 的边长；（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．初中数学︵九年级︶培优篇【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示．（1）求矩形纸片较长边EH 的长；（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．初中数学︵九年级︶培优篇 ②拓展：（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（） A.15B ．215C ．17D ．217初中数学︵九年级︶培优篇【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝ACAB．（1）求证 △ACD ∽△ABC ；（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ．（1）求证：AD E CD B ∽；（2）求证：=2A E EF ；（3）若FHB C 的长．初中数学︵九年级︶培优篇②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．初中数学︵九年级︶培优篇【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（） A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．（1）求证：EB ＝GD ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．初中数学︵九年级︶培优篇【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：1132DN BM BC ；（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为；（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1M B M C ，N Q ，求EF 的长．初中数学︵九年级︶培优篇补充：其他常见的一线三等角图形【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．初中数学︵九年级︶培优篇【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当A P D △是直角三角形时，PD 的值为（）A ．23或67B ．83或247C ．83或307D ．103或187初中数学︵九年级︶培优篇【变式8-2】（2022秋•温州校级月考）【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC ，45HD HF ，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．。

(完整版)专题：相似三角形的几种基本模型及练习

专题：相似三角形的几种基本模型(1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型"的相似三角形。

“A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型（2)如图：其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形。

ABCD E12AABBCC DD EE12412（3） “母子" （双垂直)型射影定理:由_____________ ，得____________ __,即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _；由_____________ ，得____________ __，即______________ _。

“母子” （双垂直）型 “旋转型”(4)如图：∠1=∠2,∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

（5）一线“三等角”型“K ” 字（三垂直）型(6）“半角”型图1 ：△ABC 是等腰直角三角形,∠MAN=12∠BAC ，结论：△A BN ∽△MAN ∽△MCA ； ABEADCAB CDEAACCDEE B EA CD12A B C D 图2图1旋转N M60°120°E DCA 45°EDC B A图2 ：△ADE 是等边三角形， ∠DAE=12∠BAC ，结论：△A BD ∽△CAE ∽△CBA; 应用1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为（ ) A ．3B ．4C ．5D ．62．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是（） A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABDD ．不存在图3 图4 图53．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点， DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有（ )对.A.4 对 B 。

相似三角形12种基本模型证明

相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。

在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。

相似三角形一般用比例关系表示。

下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。

证明：三角形的三个角之和为180度。

如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。

2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。

由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。

因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。

3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。

4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。

5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。

由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。

6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。

专题全等三角形六种基本模型(学生版)

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

中考中相似三角形的常见模型及典型例题

1.相似的基本模型：
（1）A字、8字；（3）角平分线；（5）一线三等角；（7）内接矩形；
2.基本辅助线：
（2）反A、反8；（4）旋转型；（6）线束模型；（8）相似比与面积比。
（1）作平行线构造A字、8字；（2）作垂线构造直角三角形相似
3.基本问题类型：
（1）证明相似；
（2）求线段长；
（1）若点P在线段CB上，且BP=6，求线段CQ的长；（2）若BP=x，CQ=y,求y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围。
例 9 如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC上,且BD=CD，
AD与BE相交于点F. （1）求证：△ABD≌△BCE；（2）求证：△ABE∽△FAE；
（3）当AF=7，DF=1时，求BD的长。
（量得BN=70cm）
C
C
DME
DME
A PN F
B
A PN F
B
1.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
A
M
EN
H
KG
∟
B Q DPC
B
E
DF C
E
AB AC BC
B
C （2）公共边平方=共线边之积：AC 2 AE • AB
反A字型【模型2】反“A”字型＆反“8”字型
（Ⅱ）DE拉下来经过点C，又称之为母子型，为相似常考模型：
A
A
E
B
C
AC2 AED • BC
AC2 CD • CB
AD2 BD • CD

相似三角形常见模型(总结)1

相似三角形第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

相似模型【相似模型一: A 字型】特征模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】特征模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】特征模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】特征模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】特征模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。

相似三角形中的基本模型 (共21张PPT)

连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .

初中数学经典几何模型08-相似三角形中的基本模型(含答案)

初中数学经典几何模型专题08相似三角形中的基本模型【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。

复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。

【模型】一、“8”字型及其变形模型展示：(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ABCD＝OAOC＝OBOD.(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ABCD＝OAOD＝OBOC.图1图21、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为____.2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.【模型】二、“A ”字型及其变形模型展示：(1)如图1，DE ∥BC ⇔△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.(2)如图2，∠AE D ＝∠B ⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC.(3)共边共角模型，如图3，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC ＝AC AB ＝CD BC.图1图2图31、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A .已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝____.2、如图，已知BE ，CD 是△ABC 的两条高，连接DE ，求证：△ADE ∽△ACB .3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB＋1CD＝1EF.【模型】三、“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.【模型】四、“子母(双垂直)”型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.1、如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .如果AC ＝3，AB ＝6，那么A D 的值为()A .32B .92C .332D ．332、如图，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB .证明：△AEF ∽△ABE .【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型模型展示：(1)“三垂直”模型如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.【基础训练】1.（2019浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝2.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．54.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：95.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．7.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）（二）填空题1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．3.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．4.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．5.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【巩固提升】1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP 绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．3.如图①，在R t△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．4.阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．5.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B 重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．7.已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．8.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．专题08相似三角形中的基本模型答案【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。

相似三角形模型专题精品

5
A
E
B
F
D
C
练2. 如图在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______
1:3
1:9
9:1
练3. 如图,在▱ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC, ∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是( ) A. 2:3 B. 4:9 C. 1:4 D. 1:9
6. 过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AE：ED=2AF：FB。
C
A
B
F
D
E
G
已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求：的值。
8字型反8字型（蝴蝶型）相似三角形判定的基本模型二（平行）（不平行）
迁移拓展知识提升
P
（3）当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.
注意运用转化的数学思想
迁移拓展知识提升
（4）以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使 ∠SOT = ∠BDC,OT边交BC的延长线于点T, 若BT=4.8,求AK的长。
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
P
Q
M3
A
B
C

专题07 相似三角形的五种模型(学生版)

专题07 相似三角形的五种模型相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。

模型一、A 字型A 字型（平行）反A 字型（不平行）例.如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【变式训练1】已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF•CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC•CF ＝BC•CE ，求证：BD 2＝DE•BA ．ABC ∆,E F ,AB AC AE AB AF AC =AEF ABC ∆∆:D BC AD EF G EG FG BD CD=【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．Rt ABC∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=AD BAC∠BC D D CA AB EDEAD M BM DE F BM AC GEFDF模型二、8字型与反8字型相似例.如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．【变式训练1】如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．【变式训练2】如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值【变式训练3】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．模型三、AX型（A字型及X字型两者相结合）例.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．【变式训练2】如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【变式训练3】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．CEBECDCEME模型四、共边角模型（子母型）例.在中，，垂足为，求的长【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于 .【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是 .【变式训练3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP的长．Rt ABC V 90,ACB CD AB ∠=︒⊥,8,2D AD DB ==CD模型五、手拉手模型例.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为 .【变式训练1】如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是 .【变式训练2】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE ＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．【变式训练3】已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；课后训练1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为 .2.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AFFC 为 .V BF AEABCD Y E F BC CD AE AF BD G H ABCD Y3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则．4.如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为．5.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC =DF CG ．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC =37，求AF FG 的值．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE =23，求FE EG的值．ABCD F BC AD E :1:3DE AD =EF DC G :DEG BGC S S ∆∆=7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．Rt ABC V 90ACB ∠=︒30CAB ∠=︒AB ABD E AB CE AD F BCFD CD AB M 6AB =BM MN AC ⊥N 111BC AD MN+=ABCD A AE BC ⊥E DE F DE AFE B ∠=∠ADF DEC ∆∆∽8AB =AD =AF =AE9.如图1，在矩形中，于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，，求的值．ABCD AE BD ⊥E BE BC AE CD =g g P AD PE EC ⊥AE AB DE AP =g g ABCD E BC DE B BF DE ⊥F BF CD G CG CE =BD BE=DG =cos DBG ∠。

专题训练(三) 相似三角形的五种基本模型

专题训练(三)相似三角形的五种基本模型►模型一“X”字型1．如图3－ZT－1，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中的相似三角形有()图3－ZT－1A．0对B．1对C．2对D．3对2．2018·杭州西湖区一模如图3－ZT－2，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得CD＝BC.(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的长．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD 交AB于点G.(1)填空：图中与△CEF相似的三角形是________(写出图中与△CEF相似的所有三角形)；(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．图3－ZT－3►模型二“A”字型4．如图3－ZT－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长．图3－ZT－45．如图3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C－A－B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t(s)(0＜t＜8)．(1)求AB的长；(2)当△BDE是直角三角形时，求t的值．图3－ZT－5►模型三子母型6．如图3－ZT－6所示，点D在△ABC的边AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2 3.求证：△ACD∽△ABC.图3－ZT－67．如图3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB 于点F.求证：AC2＝AD·AF＋CD·EF.图3－ZT－78．如图3－ZT－8，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.(1)△AEF与△ABE相似吗？说明你的理由．(2)BD2＝AD·FD吗？请说明理由．图3－ZT－8►模型四旋转型9．已知：如图3－ZT－9，△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.图3－ZT－910．如图3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，点A，D在直线CE的同侧，直线AE，BD交于点F.(1)当点B，C，E在同一直线上，且∠BAC＝60°时(如图(a))，则∠AFB＝________°.(2)当点B，C，E不在同一条直线上时(点F不与点A，B重合)，如图(b)或图(c)．①若∠BAC＝α，则在图(b)中，求∠AFB的度数(用含α的式子表示)．②在图(c)中，①中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠AFB等于什么？写出推理过程．图3－ZT－10►模型五一线三等角型11．如图3－ZT－11，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．图3－ZT－11详解详析1．[解析] D ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ， ∴△EDC ∽△CBP ，故有3对相似三角形．故选D.2．解：(1)证明：∵BE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABE ＝∠CBE . ∵CD ＝BC ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝∠ABE . 又∵∠AEB ＝∠CED ， ∴△AEB ∽△CED . (2)∵BC ＝4，∴CD ＝4. ∵△AEB ∽△CED ， ∴CE AE ＝CD AB ，即CE 1＝42， ∴CE ＝2.3．[解析] (1)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF 相似的三角形；(2)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：(1)△DAF ，△BEA ，△GF A(2)答案不唯一，选证△DAF ∽△CEF . 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BE ∥AD ，∴∠1＝∠E ，∠2＝∠D ，∴△DAF ∽△CEF .4．[解析] 利用两角分别相等的三角形相似得到△AED 与△ABC 相似，由相似得比例式求出AE 的长即可．解：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC ，∴AE AB ＝ADAC .∵AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4， ∴AE 10＝48，∴AE ＝5. 5．解：(1)由勾股定理，得AB ＝62＋82＝10(cm)． (2)当点D 在AC 上运动时，∠DEB ＝∠C ＋∠CDE ＞90°， ∴△BDE 不可能是直角三角形．若点D 在AB 上，如图①，当∠BED ＝90°时，△BDE 是直角三角形，则BE ＝t ，AC ＋AD ＝2t ，∴BD ＝6＋10－2t ＝16－2t .∵∠BED ＝∠C ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴BE BC ＝BD AB， ∴t 8＝16－2t 10，解得t ＝6413；如图②，当∠EDB ＝90°时，△BDE 是直角三角形，则BE ＝t ，BD ＝16－2t . 在△BDE 和△BCA 中，∵∠BDE ＝∠C ，∠B ＝∠B ， ∴△BDE ∽△BCA ， ∴BE AB ＝BD BC， ∴t 10＝16－2t 8，解得t ＝407. ∴当△BDE 是直角三角形时，t 的值为6413或407.6．[解析] 首先利用已知得出AD AC ＝ACAB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．证明：∵AD AC ＝22 3＝33，AC AB ＝2 36＝33，∴AD AC ＝AC AB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .7．[解析] 根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠ADC ＝90°，推出△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到AC AB ＝ADAC ，即AC 2＝AD ·AB ，由于AB ＝AF ＋FB ，等量代换得AC 2＝AD ·(AF＋FB )＝AD ·AF ＋AD ·FB .通过△ACD ∽△EBF ，根据相似三角形的性质得到AD EF ＝CDFB，于是得到AD ·FB ＝CD ·EF ，即可得到结论．证明：∵CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC， ∴AC 2＝AD ·AB . ∵AB ＝AF ＋FB ，∴AC 2＝AD ·(AF ＋BF )＝AD ·AF ＋AD ·BF . ∵EF ⊥AB 于点F ，∴∠ADC ＝∠EFB ＝∠ACB ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B ， ∴△ACD ∽△EBF ， ∴AD EF ＝CD BF， ∴AD ·BF ＝CD ·EF ，∴AC 2＝AD ·AF ＋AD ·BF ＝AD ·AF ＋CD ·EF . 8．[解析] (1)△AEF 与△ABE 相似，首先根据等边三角形的性质，可得AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，即可证明△ABD ≌△BCE ，即可以求得∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ＝60°＝∠BAE ，再根据∠AEF ＝∠BEA ，即可证明△AEF ∽△BEA ；(2)易证△ABD ∽△BFD ，即可得BD 2＝AD ·DF .解：(1)△AEF 与△ABE 相似．理由如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°. 在△ABD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△BCE (SAS)，∴∠BAD ＝∠CBE .又∵∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠CBE ＋∠ABE ＝60°， ∴∠AFE ＝∠BAC .在△AEF 和△BEA 中，∵∠AEF ＝∠BEA ，∠AFE ＝∠BAE ， ∴△AEF ∽△BEA . (2)BD 2＝AD ·DF .理由如下：在△ABD 和△BFD 中，∵∠BDF ＝∠ADB ，∠FBD ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△BFD ， ∴BD FD ＝AD BD， ∴BD 2＝AD ·FD .9．[解析] (1)先利用相似三角形的性质得∠BAD ＝∠CAE ，则∠BAD ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，从而得到结论；(2)先利用△ABD ∽△ACE 得到AD AE ＝AB AC ，再利用比例的性质得AD AB ＝AEAC ，而∠DAE ＝∠BAC ，根据相似三角形的判定方法可得到结论．证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC . (2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ， ∴AD AB ＝AE AC，而∠DAE ＝∠BAC ，∴△DAE ∽△BAC . 10．解：(1)60(2)①∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△EDC ，∴∠ACB ＝∠ECD ，BC DC ＝ACEC ，∴∠BCD ＝∠ACE ，BC AC ＝DCEC ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴∠CBD ＝∠CAE ，∴∠AFB ＝180°－∠CAE －∠BAC －∠ABD ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝∠ACB . ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝α， ∴∠ACB ＝90°－12α，∴∠AFB ＝90°－12α.②不成立，∠AFB ＝90°＋12α.推理过程如下：∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△EDC ，∴∠ACB ＝∠ECD ，BC DC ＝ACEC ，∴∠BCD ＝∠ACE ，BC AC ＝DCEC ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴∠CBD ＝∠CAE ， ∴∠BDC ＝∠AEC ，∴∠AFB ＝∠BDC ＋∠CDE ＋∠DEF ＝∠CDE ＋∠CED ＝180°－∠DCE . ∵EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ＝α，∴∠DCE ＝90°－12α，∴∠AFB ＝180°－(90°－12α)＝90°＋12α.11．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.∵∠EDF ＝60°，∴∠BED ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠CDF ＝120°， ∴∠BED ＝∠CDF ， ∴△BDE ∽△CFD .(2)由(1)知△BDE ∽△CFD ， ∴BE CD ＝BD CF. ∵BC ＝6，BD ＝1， ∴CD ＝BC －BD ＝5， ∴BE 5＝13， ∴BE ＝53.。

【重点突围】2023学年九年级数学上册专题提优训练(人教版) 相似三角形的基本六大模型(解析版)

相似三角形的基本六大模型考点一（双）A 字型相似考点二（双）8字型相似考点三母子型相似考点四旋转相似考点五 K 字型相似考点六三角形内接矩形/正方形考点一（双）A 字型相似1．（2021·山东临沂·三模）如图在△ABC 中 DE △BC 若AE ＝2 EC ＝3 则△ADE 与△ABC 的面积之比为ADEABC S S =故选：A 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质6AF AC∆；AEF ABC上AD与）见解析；（2）见解析）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得Rt ABC中从点C出发出发当有一点到达所在线段的端点时1）求运动时间为多少秒时2）若CPQ的面积为3）当t为多少时为顶点的三角形与ABC相似40Rt CPQ的面积为）分两种情况：△Rt CPQ∽△Rt CPQ∽40为顶点的三角形与ABC相似．用方程的思想解决问题是解本题的关键．AB＝9ADM交直线考点二（双）8字型相似1．（2021·海南海口·九年级期末）如图在▱ABCD中E为CD的中点连接AE、BD且AE、BD交于点F则DEFS△：EFBCS四边形为（）然后求出DEF 和△DEF SS =4BAF S =2ADF S=ABD S 的面积再根据平行四边形的性质可得DBC ABD S S = 然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形是平行四边形//AB DE ∴ AB=CD E 为CD 的中点DEF ∴△△DEF S ∴：(BAF S =设DEF S S = 则4BAF S =EF ：1AF =：2DEF S∴：ADF S EF =：AF 2ADF S S ∴=4ABD BAF ADF S S S S ∴=+=+BD 是平行四边形ABCD DBC ABD SS ∴= 6DBC S S ∴=DEF S ∴：EFBC S 四边形故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键13Rt ABC中⊥作MN CB得,BNM BCA CNM ABD ,可得,BN MN CN BC BD BC,因为1BNCN BC BC ,列出关于即可求出MN 的长．【详解】△MN △BC DB△MN △DB△,BNMBCA CNM ABD ,MNBN MN CN ACBC BD BC 即,23MNBN MN CN BC BC , 又△1BNCN BC BC13MN MN65MN =, 故填：65．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质）求证：ABC△DBE．BC=CE8=6）因为ABC△DBE根据相似三角形的性质可知∠【详解】证明：（1）DBE∴ABC△DBE；2）ABC△DBEDE BE=AC BCBC=CE8AC=6=-=3BE CE BC36【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD AB△CD再证明四边形BECD为平行四边形得到BD△CE根据相似三角形的判定方法由CM△DB可判断△BND△△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB△△AFD则△1=△F再根据平行线的性质得△F=△4△2=△3所以△3=△4加上△NMC=△CMD于是可判断△MNC△△MCD所以MC：MD=CN：CD然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）△四边形ABCD是平行四边形△AB=CD AB△CD而BE=AB△BE=CD而BE△CD△四边形BECD为平行四边形△BD△CE△CM△DB△△BND△△CNM；（2）△AD2=AB•AF△AD：AB=AF：AD而△DAB=△F AD△△ADB△△AFD△△1=△F△CD△AF BD△CE△△F=△4△2=△3△△3=△4而△NMC=△CMD△△MNC△△MCD△MC：MD=CN：CD△MC•CD=MD•CN而CD=AB△CM•AB=DM•CN．若GEC 的面积为可以得到CEF 即可得到ADE ECF ≌ 则答案可证；先证明CEGABG 根据相似三角形的性质得出8ABG S = AG GC BGC S =ABC ABG BCG S S S =+得ABC S △【详解】（1）证明：△四边形//B AD C AD BC =ECF在ADE 和△△()ADE ECF ASA ≌AD CF =BC CF =；（2）△四边形ABCD //AB DC 2AB EC =△CEG ABG△GEC 的面积为22ABGCEG S AB S CE ⎛⎫== ⎪⎝⎭44ABG CEG S S ==⨯△CEGABG 12AG AB GC CE == 11822BGC ABG SS ==⨯8ABC ABG BCG SS S =+=+2212ABCD ABC S S ==⨯=【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质关键是明确题意利用数形结合的思想解答．考点三母子型相似∠=∠若1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图ABC中点D在边AB上且ACD ABC在ABC中BED=︒45Rt CEF中BF DG⊥Rt CEF．Rt CEF 中 32CE3EF =DGEDG 和△中DGE CEF DEG=∠==∠首先利用相似三角形的判定得出BAD ACE ∽ 得B ∠由BAD ACE ∽可证进而得出CD CE = 再由线段之间关系．【详解】（1）证明：AB AC ECA ∠ ACE ∆∽ EAC ∠ACB ∠=ABC ∴△∽△∴AC BC CD AC=2AC BC CD ∴=．（2）解：BAD ACE ∽AEC ∠CED =∠CEAD ABC 的中线2BC CD CD =22CD CD=此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识根据已知得出BAD ACE ∽是解边上点E 在AC）如果DEF与ABC互为母子三角形DE．12C．2或12ABC 中与ADE 互为母子三角形．ABC 中 AD 是中线交于点F 若AGE 与△C ；（2）见解析；（3）AG GF ）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；）根据两角对应相等两三角形相似得出分当,G E 分别在线段△DEF 与ABC 互为母子三角形）AD 是BAC ∠的角平分线 BAD CAD =∠ADE B ∠=∠ ABD ADE ∴∽．又2AB AD =ABD ∴与ADE 互为母子三角形．（3）如图当,G E 分别在线段AGE 与CD AD GE AG∴=AG DG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=3DG GF =3AG GF=．AGE 与CD AD GE AG∴=12AG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=DG GF =13AG GF =．3GF考虑全面进行分类讨论避免漏解．考点四旋转相似 1．（2022·吉林长春·九年级期末）在同一平面内如图① 将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起点A 为公共顶点 90BAC AED ∠=∠=︒．如图② 若△ABC 固定不动把△ADE 绕点A 逆时针旋转使AD 、AE 与边BC 的交点分别为M 、N 点M 不与点B 重合点N 不与点C 重合．3 3EC CDECDC=CDE绕点C顺时针旋转AF考点五K字型相似3在ABC中F在BC上BPD∠=又BPD∠=DPC∴∠+∠∠=∠DPC∠=∠设DPC∴∠=∠BPC△△ADP∴∽AD AP∴=BP BC）∠∴∽ABD DFEAB AD∴=DF DEADE是等腰直角三角形DE AD∴=2AB=22∴=4DF∠=EFD45∴∠=∠EFC∴∽EFC DECFC EC∴=EC CD=EC=,CD DF52EC FC CD FC∴=⋅=∴=1FC∴=．CD5【点睛】本题考查相似三角形的综合题在ABC中PE与边BC20n n n得到ADE△CDF再判断出ADC△DCB得到ADE△CDF再判断出ADC△CDB△（3）由(2的结论得出ADE△CDF判断出再利用勾股定理计算出即可．【详解】解：n时即：BC=90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD AB90∴∠+=DCB∴∠=∠A∠=FDE90∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADE∠=∠90A DCB∴△CDBADC△AD AC∴=DC BC()290①∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD ABDCB ABC∴∠+∠=90∴∠=∠A DCB∠=90FDE∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADEDE AD∴=DF DC∠=∠90A DCB∠∴△CDBADC△AD AC n∴==DC BC m②成立.如图90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC又CD AB ⊥90DCB ∴∠+∠A DCB ∴∠=∠90FDE ∠=∠FDE ADC ∴∠+∠+∠即ADE ∠=∠ADE ∴△CDFDE AD DF DC∴= A DCB ∠=∠ 90∠ADC ∴△CDB △AD AC n DC BC m ∴== DE n DF m∴=．()3由()2有ADE △CDF 12DE AC DF BC = 12AD AE DE CD CF DF ∴== 2CF AE ∴=如图4图6 连接EF ．在Rt DEF △Rt CEF中根据勾股定理得CE=25如图5当Rt CEF中根据勾股定理得(2[25 CE+25CE=5如图6当Rt CEF 中根据勾股定理得(2[2CE CE +25CE = 综上：2CE = 考点六三角形内接矩形/正方形1．（2022·山东东营·中考真题）如图在ABC 中点F 、G 在BC 上点E 、H 分别在AB 、AC 上四边是ABC 的高．24△AEF ABC ∽AM 和AD 分别是△AEH ,AM EH DM EF AD BC==AM AD DM AD =-=1CD CB2 2x-=解得30。

(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)

相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）；（2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。

相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。

这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。

本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。

相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。

相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。

平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。

这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。

共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。

这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。

这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。

这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。

位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。

这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。

旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。

镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。

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相似三角形的常见模型

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