【运筹学】最大流问题课件
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最大流与最小费用流PPT课件
第6页/共36页
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
《运筹学最大流问题》课件
解决方案：可以通过建立最大流模型，求解出最优的运输路径，从而提高物流运输效率，降低运输 成本。
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
图论最大流问题.ppt
则 t S ，否则存在s到t的一条可增路，矛盾。 因此，S ，则任意 x S, y S 的边(x,y)有
若 ( x, y)是向前边，fx y cxy; ( y, x) 是后前边，
f yx 0 由定理1， max w min c(S, S )
c(S, S) c(e)
e( S ,S )
网络N中容量最小的割 (S* , S* ) 称为N的最小割。
不难证明，任何一个可行流的流量w都不会超过 任一割的容量，即
w c(S, S)
例如，图2中，若 S {s},(S, S ) {(s, v3 ),(s, v2 )} c(S, S ) 4 3 7.
二、可行流与最大流
1. 定义
在实际问题中，对于流有两个显然的要求：一是 每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧 的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量 和汇点的净流入量必相等。因此有定义如下。
定义2 网络N中每条边都给定一个非负实数fij满足 下列条件
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E， (2)守恒条件
过修改，使得整个网络的流值增大。 定义3 设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一
条路，若P满足下列条件： (1)在P上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即
0≤fij<cij； (2)在P上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即
0<fij≤cij。则称P为(关于可行流f的)一条可增广路 径。
a
第1条可增路s,c,b,t, =2
(1,0) s (2,0)
(1,0)
第2条可增路s,a,b,c,d,t,
(2,0)
t
c (2,0) b
(1,0)
(1,0)
若 ( x, y)是向前边，fx y cxy; ( y, x) 是后前边，
f yx 0 由定理1， max w min c(S, S )
c(S, S) c(e)
e( S ,S )
网络N中容量最小的割 (S* , S* ) 称为N的最小割。
不难证明，任何一个可行流的流量w都不会超过 任一割的容量，即
w c(S, S)
例如，图2中，若 S {s},(S, S ) {(s, v3 ),(s, v2 )} c(S, S ) 4 3 7.
二、可行流与最大流
1. 定义
在实际问题中，对于流有两个显然的要求：一是 每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧 的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量 和汇点的净流入量必相等。因此有定义如下。
定义2 网络N中每条边都给定一个非负实数fij满足 下列条件
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E， (2)守恒条件
过修改，使得整个网络的流值增大。 定义3 设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一
条路，若P满足下列条件： (1)在P上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即
0≤fij<cij； (2)在P上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即
0<fij≤cij。则称P为(关于可行流f的)一条可增广路 径。
a
第1条可增路s,c,b,t, =2
(1,0) s (2,0)
(1,0)
第2条可增路s,a,b,c,d,t,
(2,0)
t
c (2,0) b
(1,0)
(1,0)
运筹学-15最大流
• 截量=2+6+20=10
v2 (5,5) v4
(2,2)
(4,3)
V1
[0, ]
(6,6)
(7,0)
(10,8)
(2,0)
v3 [1,+] (2,2) v5
(8,5)
v6
(5,5)
最小截的容量影响总运输量的提高
• 某河流中有几个岛屿,从两岸及各岛屿之间的 桥梁联系情况如图所示.在一次敌对的军事行 动中,问至少要炸毁几座桥梁?哪几座桥梁?才 能完全切断两岸的交通联系.
1.标号过程(找增广路1)
1)v1标[0, ]
v1(V1,V2),u12= x12 =2, 不标号; v2 (5,5) v4
v1(V1,V3),u13=10, x13 =6, 标号;[+4, v1]
v1无
(2,2)
V1 (6,6)
[0, ) (10,6)
(4,3) (7,0)
(2,2)
(8,3)
• 也可以从“汇”处 看,它的最大流为
5+5=10
最 • 两家工厂v1,v2生产一种商品，商品通过如
大
图的网络运送到市场v8,v9,v10.试用标号法确 定从工厂到市场所能运送最大运量。
流
应
用
例
有两个起
题
点，三个
终点？
最
大
流
应
用
例
增加一个起点vs，一个终点 vt 。
题
vsv1的最大流量为什么定为30 它后面流量的总和
第6章 图与网络分析
第4章 网络的最大流
Maximal Flow Algorithm
最大流问题
• 一 现实用途： • 输油管网络；（油流量） • 公路交通网络；（车流量） • 通讯信息系统网络；（信息流量） • 输气管网络；（天然气流量） • 二 最大流问题可以转化为网络最小费用流问
v2 (5,5) v4
(2,2)
(4,3)
V1
[0, ]
(6,6)
(7,0)
(10,8)
(2,0)
v3 [1,+] (2,2) v5
(8,5)
v6
(5,5)
最小截的容量影响总运输量的提高
• 某河流中有几个岛屿,从两岸及各岛屿之间的 桥梁联系情况如图所示.在一次敌对的军事行 动中,问至少要炸毁几座桥梁?哪几座桥梁?才 能完全切断两岸的交通联系.
1.标号过程(找增广路1)
1)v1标[0, ]
v1(V1,V2),u12= x12 =2, 不标号; v2 (5,5) v4
v1(V1,V3),u13=10, x13 =6, 标号;[+4, v1]
v1无
(2,2)
V1 (6,6)
[0, ) (10,6)
(4,3) (7,0)
(2,2)
(8,3)
• 也可以从“汇”处 看,它的最大流为
5+5=10
最 • 两家工厂v1,v2生产一种商品，商品通过如
大
图的网络运送到市场v8,v9,v10.试用标号法确 定从工厂到市场所能运送最大运量。
流
应
用
例
有两个起
题
点，三个
终点？
最
大
流
应
用
例
增加一个起点vs，一个终点 vt 。
题
vsv1的最大流量为什么定为30 它后面流量的总和
第6章 图与网络分析
第4章 网络的最大流
Maximal Flow Algorithm
最大流问题
• 一 现实用途： • 输油管网络；（油流量） • 公路交通网络；（车流量） • 通讯信息系统网络；（信息流量） • 输气管网络；（天然气流量） • 二 最大流问题可以转化为网络最小费用流问
运筹学课件 最短路、最大流、邮路共51页PPT
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将
运筹学课件第四节最大流问题
第九页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十页，编辑于：九点 二十九分。
第十二页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十三页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十四页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十五页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十六页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第一页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第三页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第四页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第五页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第六页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第七页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第八页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十四页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十五页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十六页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十七页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十八页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十七页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十八页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第十九页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十一页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十二页，编辑于星期三：九点 二十九分。
第二十三页，编辑于星期三：九点 二十九分。
运输网络最大流问题ppt课件
(s,1) (4,3) (4,t)
24
s, v1,v2,v3
v4,t
(2,4) (3,t)
14
s, v1,v2, v4
v3,t
(1,3) (4,3) (4,t)
25
s, v1,v2,v3,v4
t
(3,t) (4,t)
15
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
一、引言
1.应用背景 在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。 例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水
μ ( 1 , v 2 v ) ( 3 , , v 6 v ) ( 6 , , v 7 v )μ (3v ,v2)
μ 是一个增广链 显然图中增广链不止一条
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
我们把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做 D=（V，A，C）。
弧的容量： 是对网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通过能力， 记为c (vi,vj)或简写为cij 。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
13 (5)
运筹学 最大流与最小费用流ppt课件
图 1 所示网络等价于图 2 所示的单源单汇网络。
x1
,2
6 ,1
1 ,1
2,2
v1
5 ,1
4,0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3,0
1,0
1,0
3 ,1
4,4
2 ,1
s
6,0
2,2
,0
,6 t
s
,4
x2
v 4 5,3
3,2
y2
,0
6,4
v3
图2
y3
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。 定义 5 设 N (V , E, c, s, t ) 是一个网络， f 是一个流，若不存在 流 f ' ，使
定义 3
eN ( A)
f (e)
eN ( A)
设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称 f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A) eN ( A)
为流入 A 的净流量。 注 2： （1）流入、流出任何中间点的净流量为 0； （2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集 Y 的净流量。
'
( ,) i j A iS , jS
uij 为割 ( A, A)
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则： （1） Val f
eN ( A)
x1
,2
6 ,1
1 ,1
2,2
v1
5 ,1
4,0
y1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3,0
1,0
1,0
3 ,1
4,4
2 ,1
s
6,0
2,2
,0
,6 t
s
,4
x2
v 4 5,3
3,2
y2
,0
6,4
v3
图2
y3
二、最大流与最小割
最大流问题是一类应用极为广泛的问题， 例如在交通运输网络中 有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中有现金流， 通讯系统中有信息流，等等。 定义 5 设 N (V , E, c, s, t ) 是一个网络， f 是一个流，若不存在 流 f ' ，使
定义 3
eN ( A)
f (e)
eN ( A)
设 f 是 网 络 N 的 一 个 流 ， AV ， 则 称 f (e) 为流出 A 的净流量，称 f (e) f (e)
eN ( A) eN ( A)
为流入 A 的净流量。 注 2： （1）流入、流出任何中间点的净流量为 0； （2）流出发点集 X 的净流量等于流入收点集 Y 的净流量。
'
( ,) i j A iS , jS
uij 为割 ( A, A)
N 的最小割。
注 4：割是从 A 到 A 的有向弧组成的
最大流与最小割的关系：
定理 1 设 f 是 N 的流， ( A, A) 是一个割，则： （1） Val f
eN ( A)
运筹学课件4.6 最大流问题
v5
)
vs
(1,3)
) 4 , 4 (
(0 ,1 )
vt
第三次迭代：最优解
v2
(4,4)
v4
( 5, 5)
,5 )
(2,2)
(1,4)
[vs ,1]
v1
v3
(1, 2
[ 0, ]
(2
(0,1)
v5
)
vs
(1,3)
) 4 , 4 (
(0 ,1 )
vt
四、确定网络中最大流的方法
最大流时始节点的净流出量 最大流时终节点的净流入量 最小割集的容量
割集：某连通图G上的一个边的集合。
割集容量：指割集中所有边的容量之和。 最小割集：割集中容量最小的割集。 最小割集最大流定理：网络最大流等于所有割
集中的最小割量。 标号法求得最小割集
一个简单的例子v2a1 Nhomakorabeav1
a4
a3
a2
v4
a5
Sv1 v3
v3
再看例4-2
习题
第一版：
(2,2)
[ 0, ]
(2
(0,1)
,5 )
2)
(0,4)
vs
(2,3)
4) , (3
( 5, 5)
[v5 ,1] vt
[v3 ,1]
(0 ) ,1
v1
v3 [v4 ,1]
v5
v2
(4,4)
v4
( 5, 5)
,5 )
(2,2)
(1,4)
[vs ,1]
v1
v3
(1, 2
[ 0, ]
(2
(0,1)
运筹学第7章最大流问题 PPT
(3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点 都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的 增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过， 表明这时的可行流就是最大流，算法结束。
调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后 向边流量减少l(vt)。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
(v3,1)
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0)
[, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[v2,v44]
(3, 2)
(5, 2)
vs [v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
网络的总流量。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可 行流。
所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。
一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于不饱和的，其间隙为 δij=cij-fij
最大流问题实际上是一个线性规划问题。
调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后 向边流量减少l(vt)。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
(v3,1)
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0)
[, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
[v2,v44]
(3, 2)
(5, 2)
vs [v4, 3]
(2, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
网络的总流量。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可 行流。
所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可 行流。
一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的， 否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于不饱和的，其间隙为 δij=cij-fij
最大流问题实际上是一个线性规划问题。
运筹学课件 最大流及最小费用流42页PPT
运筹学课件 最大流及最小费用流
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。
15(最大流问题)PPT课件
21.03.2021
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32
现在我们把一个网络看成是一 个自来水管网络，煤气管网络，电 力线网络或公路网络，铁路网络， 水运交通网络等，都可以归纳成一 个运输问题，称为网络流，值得关 心问题是在这样一个网络中最大流 为多少？
21.03.2021
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33
定义（流）若对网络N，函数f满足如下 条件：
（1）0 fij Cij (i,j)E(N) （2）f-(vi) = f+(vi) iV(N) 则称f为N的一个网络流，简称流。
（1） 起点标号（∞） （2） 选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向
收点检查
（a）如果弧是前向弧且有fij＜cij，则vj标号 θj=cij﹣fij
（b）如果弧是后向弧且有fij﹥0，则vj标号θj=fij
21.03.2021
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20
当收点已得到标号时，说明已找到增益路径，依 据v的标号反向追踪得到一条增益路径。当收点不能得 到标号时，说明不存在增益路径，计算结束
示该边所代表的链路把物质从i送到j的数量上限)。
满足以上特性的有向图称为流量网络。
21.03.2021
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2
设源点与汇点分别是物质流中惟一的出发地和目 的地。
进入中间点物质总量必须等于离开物质总量，这 个条件称为能量守恒要求。
如果用xij来标记通过边(i,j)传输量，则：
21.03.2021
21.03.2021
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11
增益路径法性能退化
2次得到最大流量值方法：
沿路径1→2 →4 对流量0进行增益。 沿路径1→3 →4 对流量0进行增益。
增益路径法依赖于路径生成次序，生成次序不恰 当，会对该方法效率产生巨大的影响。
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应当如何输水使得流量最大？
v2
5
10
3
v1
1
8
5
v4
11 3
v6
17
v3
3
v5
6.4.1 基本概念与基本定理
定义1 给定一个有向图D(V, A), 在V中 指定一个点作为发点，记为Vs；指定另外 一个点作为收点，记为Vt ；其余的点称为 中间点。
定义2 对于有向图D(V, A)中的每一个 弧(Vi, Vj), 对应有一个值c(Vi, Vj), 称为弧的 容量。对于赋权的有向图D(V, A, C) ,特称 为网络, 记为D(V, A, C)。
然后在可行流的基础上,寻找增广链.如果找 到,得到新的流量更大的可行流; 如果找不到， 说明当前的可行流就是最大流。
由于可行流的流量不能无限增大，因而总 可以得到最大流。
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第一步：构建一条可行流
v2 33
vs
1
1
51
v1
43 11
22
v4
53
3
0
V1 {vs , v1} V1 {v2 , v3, v4, vt}
v2
44
33
(0, M) vs
1 0
11
52
(vvs,1 3) 2 2
v4
54
3
0
vt
12
v3
算法出现的问题
1. 哪个未检查但标号的点先被检查的问题
(0, M) vs
(-vv12, 1) 4 3 33
2 2
22
52
v1 4 4 (vs, 4)
the Maximum Flow Problem
一、最大流问题(the Maximum Flow Problem)
许多系统包含了流量问题。例如，公路 系统的车辆流，控制系统中的的信息流、 金融系统的现金流。
最大流问题就是指一个出发点最多能发 送多少流量到一个接受点。
最大流问题
• 引例：如下输水网络，南水北调工程， 从vs到vt送水，弧旁数字为管道容量，问
vs
10 5
v2
52
v4
11 6
vt
vs
10 5
v2
52
v4
11 6
vt
6.4.1 基本概念与基本定理
v2 10 58
1
v1
4
83
v3
5 52 23
51 33
v4
11 6
3
30
v6
25
17
v5
6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.1 基本概念与基本定理
V1 {vs , v1, v2}
V1 {v3, v4, vt}
6.4.1 基本概念与基本定理
定义5 容量最大的可行流成为最大流.
6.4.1 基本概念与基本定理
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5
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6.4.1 基本概念与基本定理
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52 23
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11 6
3
3
v6
217
v5
6.4.1 基本概念与基本定理
增广链的形式
6.4.1 基本概念与基本定理
定义4 满足下述条件的流成为可行流 a. 容量限制条件。对任意一弧(Vi, Vj), 均有
0≤f (Vi, Vj) ≤c (Vi, Vj) b. 平衡条件
1. 对于中间点：流入量等于流出量，流量为0； 2. 对于发点: 只有流出量, 流量为可行流的流量 为v(f) 3. 对于收点: 只有流入量, 流量为可行流的流量 为-v(f)
算法出现的问题
2. 一个点已被标号,它的标号是否会改变
(vv1,2 7) 8 3 3 10 (0, M) vs
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 5)
v4
93
5
1
vt
11
(vv13, 6)
如果调整数量不能增大就不改变
算法出现的问题
3. 对已检查的邻点不再进行标号过程
(vv1,2 7) 5 3 3 10 (0, M) vs
6.4.1 基本概念与基本定理
定义3 网络上的流，是指定义在弧集合A 上的一个函数 f = { f (Vi, Vj) }。并称为f(Vi, Vj) 为弧(Vi, Vj)上的流量。
6.4.1 基本概念与基本定理
网络流的两个性质： 性质1 每个弧上的流量不能超过该弧的
最大通过能力即容量。 性质2 中间点的流量为0。
第三步：调整过程
(-vv12, 1) 4 3 33
(0, M) vs
1 1
11
51
v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
v4
53
3 0
vt (v4, 1)
12
v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第三步：调整过程
(-vv12, 1) 4 43
33
(0, M) vs
vt
12
v3
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
(0, M) vs
(-v1, 1)
v2
43
33
1 1
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51
v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
v4
53
3 0
vt (v4, 1)
12
v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第三步：调整过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
vs f (v2 , v4 ) f (v1, v3) f (v2 , v3) 3 21 4
v2 33
1 1 51
v1
43 11
22
v4
53
3
0
vt
12
v3
6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
算法思想: 首先得到一条可行流。
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 2)
1 01
11
5 12
v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
v4
3
534 (v4, 1)
0
vt
12
v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：再标号过程
v2 33
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(0, M) vs
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(vs, 3)
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vt最小截集的获得
(v2, 1)
v4
53
3 0
vt (v4, 1)
24
v3 (-v2, 2)
先检查调整数量最大的点
算法出现的问题
2. 一个点已被标号,它的标号是否会改变
(vv1,2 7) 5 3 3 10 (0, M) vs
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v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 2)
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如果调整数量增大就改变
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6.4.1 基本概念与基本定理
定义1 给定一个有向图D(V, A), 在V中 指定一个点作为发点，记为Vs；指定另外 一个点作为收点，记为Vt ；其余的点称为 中间点。
定义2 对于有向图D(V, A)中的每一个 弧(Vi, Vj), 对应有一个值c(Vi, Vj), 称为弧的 容量。对于赋权的有向图D(V, A, C) ,特称 为网络, 记为D(V, A, C)。
然后在可行流的基础上,寻找增广链.如果找 到,得到新的流量更大的可行流; 如果找不到， 说明当前的可行流就是最大流。
由于可行流的流量不能无限增大，因而总 可以得到最大流。
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第一步：构建一条可行流
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V1 {vs , v1} V1 {v2 , v3, v4, vt}
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(vvs,1 3) 2 2
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算法出现的问题
1. 哪个未检查但标号的点先被检查的问题
(0, M) vs
(-vv12, 1) 4 3 33
2 2
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v1 4 4 (vs, 4)
the Maximum Flow Problem
一、最大流问题(the Maximum Flow Problem)
许多系统包含了流量问题。例如，公路 系统的车辆流，控制系统中的的信息流、 金融系统的现金流。
最大流问题就是指一个出发点最多能发 送多少流量到一个接受点。
最大流问题
• 引例：如下输水网络，南水北调工程， 从vs到vt送水，弧旁数字为管道容量，问
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10 5
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6.4.1 基本概念与基本定理
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1
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5 52 23
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6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.1 基本概念与基本定理
V1 {vs , v1, v2}
V1 {v3, v4, vt}
6.4.1 基本概念与基本定理
定义5 容量最大的可行流成为最大流.
6.4.1 基本概念与基本定理
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6.4.1 基本概念与基本定理
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6.4.1 基本概念与基本定理
增广链的形式
6.4.1 基本概念与基本定理
定义4 满足下述条件的流成为可行流 a. 容量限制条件。对任意一弧(Vi, Vj), 均有
0≤f (Vi, Vj) ≤c (Vi, Vj) b. 平衡条件
1. 对于中间点：流入量等于流出量，流量为0； 2. 对于发点: 只有流出量, 流量为可行流的流量 为v(f) 3. 对于收点: 只有流入量, 流量为可行流的流量 为-v(f)
算法出现的问题
2. 一个点已被标号,它的标号是否会改变
(vv1,2 7) 8 3 3 10 (0, M) vs
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 5)
v4
93
5
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vt
11
(vv13, 6)
如果调整数量不能增大就不改变
算法出现的问题
3. 对已检查的邻点不再进行标号过程
(vv1,2 7) 5 3 3 10 (0, M) vs
6.4.1 基本概念与基本定理
定义3 网络上的流，是指定义在弧集合A 上的一个函数 f = { f (Vi, Vj) }。并称为f(Vi, Vj) 为弧(Vi, Vj)上的流量。
6.4.1 基本概念与基本定理
网络流的两个性质： 性质1 每个弧上的流量不能超过该弧的
最大通过能力即容量。 性质2 中间点的流量为0。
第三步：调整过程
(-vv12, 1) 4 3 33
(0, M) vs
1 1
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v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
v4
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vt (v4, 1)
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v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第三步：调整过程
(-vv12, 1) 4 43
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(0, M) vs
vt
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v3
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：寻找增广链——标号过程
(0, M) vs
(-v1, 1)
v2
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v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
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vt (v4, 1)
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v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第三步：调整过程
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
vs f (v2 , v4 ) f (v1, v3) f (v2 , v3) 3 21 4
v2 33
1 1 51
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6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.1 基本概念与基本定理
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
算法思想: 首先得到一条可行流。
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 2)
1 01
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v1 2 2 (vs, 4)
(v2, 1)
v4
3
534 (v4, 1)
0
vt
12
v3 (-v2, 1)
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第二步：再标号过程
v2 33
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(0, M) vs
1 0
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(vs, 3)
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vt最小截集的获得
(v2, 1)
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vt (v4, 1)
24
v3 (-v2, 2)
先检查调整数量最大的点
算法出现的问题
2. 一个点已被标号,它的标号是否会改变
(vv1,2 7) 5 3 3 10 (0, M) vs
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 2)
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如果调整数量增大就改变