材料力学超静定(2)

§6-3 扭转超静定问题
扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例题 6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶 矩Me作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆 两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。
1
例题 6-5
(b) MA MB
1. 有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立 解： 的静力平衡方程
3
例题 6-5
3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程
M ea M B l GI p GI p
求得
M ea MB l
可由平衡方程求得为

M ea M eb M A Me M B Me l l
4
例题 6-5
(c)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
M eb TAC M e M B M A l TAC a M eab 从而有 C GIp lGIp
图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位， 其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2， 且 t2>t1，从而产生约束力如图中所示。
l
由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3 个，故为三次超静定问题。
36
现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束， 则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。
2. 把AD杆视为梁AC的“多余”约束，相应的“多余”未 知力为FN。位移(变形)相容条件为梁的A截面的挠度wA等于 杆的伸长量DlDA(图b)，即wA=DlDA。
18
3. 求wA和DlDA wA是由荷载产生的wAq(图c)和FN产生的wAF (图d)两部 分组成，
例题 6-7
w Aq
7qa 4 12 EI
相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角等于零， 即
B B
3. 查关于梁位移公式的附录Ⅳ可得
20 10
B
3 B
3
N/m 4 m M B 4 m 24EI 3 EI
3
B
30 10 N 3 m 2 m 5 m 2 m M
w B w Bt w BFBy w BM 0
B Bt BFBy BM B 0
38
ΔBx ΔBt ΔBFBx 0 w B w Bt w BFBy w BM 0 B Bt BFBy BM B 0
(e)
FB
(f)
29
FC
*II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均 匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的约束力和内 力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。
30
(1) 支座不均匀沉陷的影响
图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生 沉陷DA 、DB 、DC，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直 线上时(即沉陷不均匀时)，支座约束力和梁的内力将不同 于支座均匀沉陷时的值。而支座均匀沉陷时梁的约束力和 内力，由于支座沉陷量与梁的跨度相比是微小的，故可认 为与支座无沉陷时相同。
从而解得“多余”未知力
3 FB ql 8
所得FB为正值表示原来假设 的指向(向上)正确。固定端 的两个约束力利用相当系统 由静力平衡条件求得为
5 1 2 FA ql ，M A ql 8 8
14

该超静定梁的剪力图和弯矩 图亦可利用相当系统求得， 如图所示。
该超静定梁可否取简支梁为 基本静定系求解？如何求解？ A 点处转角为0
例题 6-7
4. 把wA和DlDA代入位移(变形)相容条件得补充方程：
7qa4 FN a 3 FN l 12 EI EI EA
由此求得
21
7qa 4 A FN 3 12 I l Aa
例题 6-8
试求图a所示等截面连续梁的约束反力FA , FB , FC，并
绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度
7
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面 的扭转角相等。在图b中都用表示（设A端固定）。
Ba Bb
8
( 2)
例题 6-6
Me Tb Ta
3. 利用物理关系由(2)式得补充方程为
Ga Ipa Ta l Tb l ，即 Ta Tb Ga I pa Gb Ipb Gb Ipb
从而有
Bt | x l
l t 2 t1 l
h
，
wBt w | x l
l t2 t1 l
2h
2
至于温差引起轴向位移DBt则为
t1 t 2 ΔBt l t0 l 2
0 ra
空心钢杆横截面上任意点的 切应力为
τ ρb Tb ρ Gb M e ρ = = I pb Ga I pa + Gb I pb
b ra
ra rb
切应力沿半径的变化情况 如图c所示。 由图c可见，在 = ra处，a<b， 这是因为 Ga < Gb 。
40
n0 n n n m m l t 2 t1 d dx h h h
根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分 方程为 2 将此式积分，并利用边界条件
d w d l t 2 t1 2 dx h dx
得
41
dw |x 0 | x 0 0， w | x 0 0 dx l t 2 t1 l t 2 t1 2 x， w x h 2h
1 24 EI ΔA ΔC FB 5ql 3 ΔB 4 2 l
再由静力平衡方程可得
3ql 3 EI ΔA ΔC FA FC 3 ΔB 8 2 l
35
(2) 梁的上,下表面温度差异的影响
它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角Bt和挠度 wBt(见图c)以及轴向位移DBt。
37
如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则 由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下 列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系 统：
ΔBx ΔBt ΔBFBx 0
9
( 3)
例题 6-6
4. 联立求解(1)式和(3)式得：
Ga I pa Gb I pb Ta M e，Tb Me Ga I pa Gb I pb Ga I pa Gb I pb
Me
Tb
( 4)
Ta
10
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为
ρa
Ta Ga M e I pa Ga I pa Gb I pb
M x 0，
故为一次超静定问题。
M A Me M B 0
2
例题 6-5
(c)
2. 以固定端B为“多余”约束，反力偶矩MB为“多余” 未知力。在基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶 矩MB(如图c)；它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角 B=0，利用叠加法可得
Hale Waihona Puke Baidu
BMe BM B
基本静定系
12
基本静定系在原有均布荷 载q和“多余”未知力FB作 用下(图b)当满足位移相容 条件(参见图c、d)
wBq wBB 0
时该系统即为原超静定梁 的相当系统。
若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参 见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为
13
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
6 EI 5 m
25
5m 3 EI
例题 6-8
4. 将B' B''代入位移相容条件补充方程，从而解得
M B 31.80 kN m
这里的负号表示MB的实际转向与图b中所设相反，即 为MB负弯矩。
26
例题 6-8
5. 利用图b可得约束力分别为
FA 32.05 kN FB 66 kN FC 11.64 kN
EI=5×106 N· m2。
22
例题 6-8
1. 该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平衡方程。 解： 故为一次超静定问题。
23
例题 6-8
2. 若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对转动的 约束为“多余”约束，则B截面上的一对弯矩MB为“多余” 未知力，相当系统如图b。
24
例题 6-8
ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
33
其中的wB按叠加原理有(参见图c、d):
w B w Bq w BFB
4
5q2l FB 2l 384EI 48 EI 5ql 4 FB l 3 24 EI 6 EI
3
于是得补充方程 由此解得
34
5ql 4 FB l 3 ΔA ΔC ΔB 24EI 6 EI 2
5
例题 6-6
图a所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为 rb，内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在 刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心 钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应 力沿半径的变化情况。
6
例题 6-6
Me Tb Ta
解：
1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)， 但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
19
例题 6-7
把图d所示外伸梁，视 为由悬臂梁AB(图e)和 简支梁BC(图f)两部分组 成。
( FN a )( 2a ) 2 FN a 2 2 FN a 3 BM , w A1 B a ( ) 3 EI 3 EI 3 EI FN a 3 2 FN a 3 FN a 3 FN a 3 w A2 ＝ ( ) , w AF＝ ＋ ＝ ( ) 3 EI 3 EI 3 EI EI 7qa4 FNa 3 FN l w A w Aq w AF ， Dl DA 12 EI EI EA 20
ra rb
a
ra
(c)
11
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路 与解拉压超静定问题相同。 综合考虑变形的几何方程、 力和变形关系可求解多余未 知力。 求解图a所示一次超静定梁 时可以铰支座B为“多余” 约束，以约束力FB为“多余” 未知力。解除“多余”约束 后的基本静定系为A端固定 的悬臂梁。
31
现按如图a中所示各支点沉陷DB >DC > DA的情况进行分 析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷后的点A1 、C1 的 连线有位移
ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
32
于是，如以支座B1作为“多余”约束，以约束力FB为“多 余”未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图b)在 荷载 q 和“多余”未知力FB共同作用下应满足的位移相容 条件就是
15
例题 6-7
试求图a所示结构中AD杆内的拉力FN。梁AC和杆AD的 材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截面积为A，AC梁的 横截面对中性轴的惯性矩为I 。
16
例题 6-7
1.梁AC共有三个未知力(图b)FN，FB，FC ，但平面仅有两 解： 个平衡方程，故为一次超静定问题。
17
例题 6-7
式中一些符号的意义见图c、d、e。
39
现在先来求Bt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之 间的物理关系。
从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上 表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧 截面的转角d 由图b可知为
上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 d 为负。
27
例题 6-8
绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。
(c)
FS
(d)
28
例题 6-8
超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支 座B为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为wB=0，相当 系统如图(e)所示。又如以支座C为多余约束，FC为多余未知， 位移条件为wC=0，相当系统如图(f)所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。