实验四图像变换及图象的频域处理

实验四 图像变换及图象的频域处理
一、实验目的
1、了解离散傅立叶变换和离散余弦变换的基本原理；
2、掌握应用MATLAB 语言进行离散傅立叶变换和离散余弦变换的方法；
3、了解图象在频域中处理方法，应用MATLAB 语言作简单的低通滤波器。

二、实验原理
1、傅立叶变换的基本知识。

在图象处理的广泛应用领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，具体表现在包括图象分析、图象增强及图象压缩等方面。

假设f （x,y ）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：
u=0,1…M -1 v=0,1…N -1 (1)
离散傅立叶反变换的定义如下：
x=0,1…M -1 y=0,1…N -1（3）
F （u,v ）称为f （x,y ）的离散傅立叶变换系数。

这个式子表明，函数f （x,y ）可以用无数个不同频率的复指数信号和表示，而在频率（w1，w2）处的复指数信号的幅度和相位是F （w1，w2）。

例如，函数f （x,y ）在一个矩形区域内函数值为1，而在其他区域为0.
假设f （x,y ）为一个连续函数，则f （x,y ）的傅立叶变换的幅度值（即）显示为网格图。

将傅立叶变换的结果进行可视化的另一种方法是用图象的方式显示变换结果的对数幅值。

2、MATLAB 提供的快速傅立叶变换函数
（1）fft2
fft2函数用于计算二维快速傅立叶变换，其语法格式为：
B = fft2(I)
B = fft2(I)返回图象I 的二维fft 变换矩阵，输入图象I 和输出图象B 大小相同。

（2）fftshift
MATLAB 提供的fftshift 函数用于将变换后的图象频谱中心从矩阵的原点移到矩阵的中心，其语法格式为：
B = fftshift(I)
对于矩阵I ，B = fftshift(I)将I 的一、三象限和二、四象限进行互换。

（3）ifft2
ifft2函数用于计算图象的二维傅立叶反变换，其语法格式为：
B = ifft2(I)
B = ifft2(I)返回图象I 的二维傅立叶反变换矩阵，输入图象I 和输出图象B 大小相同。

其语法)(21010),(),(N
vy M ux j M x N y e y x f v u F +--=-=∑∑=π)(21010),(1),(N vy
M ux j M u N v e v u F MN y x f +-=-=∑∑=π
格式含义与fft2函数的语法格式相同，可以参考fft2函数的说明。

例如4_1，熟悉图象的二维傅立叶正、反变换，及频谱显示的相关操作：
load imdemos saturn2;
figure;imshow(saturn2);title('A');
B = fft2(double(saturn2));
C = fftshift(B);
figure;subplot(1,2,1);imshow(log(abs(B)),[]);title('B');
subplot(1,2,2);imshow(log(abs(C)),[]);title('C');
D=ifft2(C);
figure;imshow(uint8(abs(D))),title('D')；
3、离散余弦变换及MATLAB 实现
假设f （x,y ）是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维离散余弦变换的定义如下：
MATLAB 提供的二维离散余弦变换函数：
1）dct2：用于较大矩阵的二维离散余弦变换，常见调用方法：
B=dct2（A ）
B=dct2（A ，m ，n ）
B 是返回的DCT 的变换系数，m ，n 分别是返回的DCT 变换系数的矩阵的行数和列数。

2）idct2：二维离散余弦逆变换，是dct2的逆变换，格式与dct2函数相同。

举例：
例4-2
I = imread('lena1.tiff');
figure,imshow(I)
J = dct2(I);
figure,imshow(log(abs(J)),[])
J(abs(J) < 10) = 0;
figure,imshow(log(abs(J)),[])
K = idct2(J);
figure,imshow(uint8（K ）,[])
3、简单低通滤波器的设计
一个图象经过傅立叶变换后，就从空域变到了频域，因此我们可以用信号处理中对于频域信号的处理方法对一幅图象进行处理。

比如对图象进行低通滤波等。

虽然在计算机中必定能够模拟一个锐截止频率的理想低通滤波器，但它们不能用电子元件来实现。

实际中比较常用的低通滤波器有：巴特沃思（Butterworth ）滤波器、指数滤波器（ELPF ）、梯形低通滤波器等。

11
00(21)(21)(,)()()(,)cos cos 22N N x y x u y v C u v a u a v f x y N N ππ--==++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑11
00(21)(21)(,)()()(,)cos cos 22N N u v x u y v f x y a u a v C u v N N ππ--==++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑
在实验中我们设计一个理想的低通滤波器。

设计理想的低通滤波器由其定义可知只要设计一个与频域图象大小完全相同的矩阵。

在某一个域值内该矩阵的值为1，其余为0即可。

例：若图象的大小为128*128，则可以这样设计一个低通滤波器：
H=zeros(128);
H(32:96,32:96)=1; %此处的范围是人为取定的，可以根据需要更改。

若图象矩阵I的傅立叶变换是B(已经用fftshift将频谱中心移至矩阵的中心)，则对这幅图象做低通滤波，再做傅立叶逆变换命令为
LOWPASS=B.*H; %此处设变换后的矩阵为LOWPASS，另注意这儿是矩阵的点乘。

C=ifft2(LOWPASS);
Imshow(uint8(abs(C)))
三、实验内容：
1、验证实验原理中的例4_1,例4_2,并分析例4_1的实验结果，即A、B、C图分别是什么图。

2、编写.m文件，实现以下功能：读取图象lena1.tiff，显示这幅图象，对图象作傅立叶变换，显示频域振幅图象。

作傅立叶逆变换，显示图象，看是否与原图象相同。

3、编写.m文件，实现以下功能：设计一个理想低通滤波器，截止频率（分别为
H(100:156,100:156)=1；H(110:146,110:146)=1；H(127:129,127:129)=1三种情况），对图象作低通滤波，再作反变换，观察不同的截止频率下反变换后的图象与原图象的区别。

(对lena1.tiff文件操作,并将原图及3幅低通滤波后反变换之后显示的图像放在一个显示窗口中。

)
4、将图像128px-Baboon24.png转换为灰度图后显示，通过离散余弦变换对其灰度图变换，并将变换系数小于20的值舍掉，再反变换回空域显示其图像，要求将变换前后的两个灰度图显示在同一窗口中。

四、实验报告要求：
1、分析例4_1的实验结果，即A、B、C图分别是什么图。

2、给出实现实验内容2、4所需要的程序。

注意：
认真编写实验内容3中要求的低通滤波器的程序，并保存好，最后一次实验课检查并作为实验成绩的一部分。