第一讲向量的加减法和共线
向量及线性运算
按照向量与数的乘积的规定，
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
习题7-1.2
四、小结
向量的概念
（注意与标量的区别）
向量的加减法
（平行四边形法则）
由三角形两边之和大于第三边的原理有
三、向量与数的乘法
结合律：
（2）分配律：
数与向量的乘积符合下列运算规律： 两个向量的平行关系
证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得
.定理是建立数轴的理论依据
给定一个点及一个单位向量，就确定了一个数轴。 设点o及单位向量i确定了数轴ox, 如图 对于轴上任一点P,对应一个向量，
大小相等且方向相同的向量.记作
4
负向量：
5
大小相等但方向相反的向量.
6
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
空间两向量的夹角的概念：
01
02
设有两个向量a,b,任取空间一点O,
称为向量a与b的夹角。
向量的共面
向量的平行（共线）
二、向量的加减法
[1] 加法：
添加标题
1
（平行四边形法则）
添加标题
2
特殊地：若
添加标题
3
‖
添加标题
4
分为同向和反向
添加标题
5
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
添加标题
6
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
第一讲平面向量的概念及其线性运算
第一讲 平面向量的概念及其线性运算一、 知识精选1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何意义．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、 例题精讲 例1、 疑难辨析 1．零向量的问题(1)0的模为0，没有方向．( )(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂直．( ) 2．共线向量的判断(1)若a∥b ，b∥c ，则a∥c .( ) (2)a 和λa 共线，方向相同．( )(3)A 、B 、C 三点共线的充要条件是对不在直线AB 上的任意一点O ，存在实数t 使得OC →＝tOA →＋(1－t )OB →.( )3．平面向量线性运算的应用(1)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )(2)O 为△ABC 重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0.( )(3)四边形ABCD 为平行四边形的充要条件是AB →＋CD →＝0.( )例2、 (1)[2012·石家庄模拟] 如图4－25－1，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12(2)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b例3、(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．三、 课后追踪巩固双基,提升能力一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：由减法的三角形法则知EF →＝OF →－OE →. 答案：B2．(2013·德州调研)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∴N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案：A3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确解析：∵BC →＋BA →＝2BP →， ∴BC →－BP →＝BP →－BA →，即PC →＝AP →， ∴P 、A 、C 三点共线． 答案：B4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心 解析：由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；NA →＋NB →＋NC →＝0，知，N 为△ABC 的重心． 答案：C5．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →，∴CD →＝14CB →＝14(a －b )，∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：B6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ＞0)，AC →＝μAF →(μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9 B.72 C ．5D.92解析：由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →⇒AD →＝λ2AE →＋μ2AF →，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号． 答案：D 二、填空题7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为__________． 解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2 (舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)8．(2013·无锡质检)设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__________.解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±49．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a __________0，b __________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP →＝aOP →1＋bOP →2，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0.答案：＞ ＜ 三、解答题10．(2013·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC 中，点D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →、AE →、AF →、BE →、BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解析：(1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)由(1)可知，BE →＝23BF →，所以B ，E ，F 三点共线．11．(2013·临沂模拟)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解析：依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →， ∴A ，P ，D 三点共线．即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．。
第1讲 平面向量的概念及加减运算(教师版)
第1讲 平面向量的概念及加减运算一、考点梳理考点1 基本概念既有大小，又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.|AB →|叫AB →的模或AB →的绝对值，表示向量AB →的长度.(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a∥b . ①规定：零向量与任一向量平行． 例1．（1）下列物理量中不是向量的有( )①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度． A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．（2）一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又|AB →|＝|CD →|，①在四边形ABCD 中，AB ∥CD .①四边形ABCD 为平行四边形． ①AD →＝BC →，①|AD →|＝|BC →|＝200 km.（3）判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反； (5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系． (3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【变式训练1】．在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的解析：由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.【变式训练2】．在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2) 在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(图略)． 【变式训练3】．如图所示，①ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解析：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF =12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.考点2 向量的加法 三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．例2．（1）如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .解析：在平面内任取一点O (如下图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边做①OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .2（2）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________. 解析： (1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0（1）BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解析：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. 【变式训练1】．(1)如图①所示，求作向量和a ＋b .(2)如图①所示，求作向量和a ＋b ＋c .解析：(1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图①所示．(2)方法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作▭OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，再以OD ，OC 为邻边作①ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．【变式训练2】．(1)化简：①BC →＋AB →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.(2)如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： ①OA →＋OE →； ①AO →＋AB →； ①AE →＋AB →.解析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．(1)①BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；①AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.(2)①由题图知，OAFE 为平行四边形，①OA →＋OE →＝OF →； ①由题图知，OABC 为平行四边形，①AO →＋AB →＝AC →； ①由题图知，AEDB 为平行四边形，①AE →＋AB →＝AD →.【变式训练3】．化简：(1)AB →＋CD →＋BC →. (2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)． (3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. 解析：(1)AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →.(2)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →.(3)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.考点3 向量的减法 相反向量(1)我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . (2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0. 向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义， 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .如图①，理解向量加、减法的平行四边形法则：在①ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .例3．（1）在①ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →解析：由题意可知AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →．答案：D（2）化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0解析：答案：D解法一：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →－BD →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(BA →－BD →)＝AD →＋DA →＝0． 解法二：AC →－BD →＋CD →－AB →＝AC →＋DB →＋CD →＋BA →＝(AC →＋CD →)＋(DB →＋BA →)＝AD →＋DA →＝0．【变式训练1】．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，OD →＝c ，则OB →＝解析：由于OB ＝DB －DO →，而DB →＝AB →－AD →＝a －b ，DO →＝－OD →＝－c ， 所以OB →＝a －b ＋c .【变式训练2】．化简：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →. 解析：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．(1)解法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.解法二：原式＝AB →＋MB →－OB →－MO →＝AB →＋(MB →－MO →)－OB →＝AB →＋(OB →－OB →)＝AB →＋0＝AB →. (2)解法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.解法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.二、课堂检测1．下列物理量：①质量；①速度；①位移；①力；①加速度；①路程．其中是向量的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 C 解析 ①①①①是向量． 2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D3. 下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确． 4. 设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 5. 下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA → D.AB →＋BC →＝AC →答案C 解析：对于C ，①AB →与BA →方向相反，①AB →＋BA →＝0.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C7. a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A8．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C 解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →. 9. 在①ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a 答案B ①BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ，①AB →＝－BA →＝－a －b . 10. (多选)若a ，b 为非零向量，则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |，则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同答案ABD 当a ，b 方向相同时，有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |；当a ，b 方向相反时，有|a |＋|b |＝|a －b |，||a |－|b ||＝|a ＋b |，故A ，B ，D 均正确．10. 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.12. 如图，在①ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________.11 答案0 因为D 是边BC 的中点，所以BE →－DC →＋ED →＝BE →＋ED →－DC →＝BD →－DC →＝0.13. 设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4 解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 14. 已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________． 答案 [2,6) 根据题意得||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，即2≤|a －b |＜6.15. 如图所示，P ，Q 是①ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 ①AP →＝AB →＋BP →，AQ →＝AC →＋CQ →，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →.又①BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反，①BP →＋CQ →＝0，①AP →＋AQ →＝AB →＋AC →，即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.。
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算第一课时【课件】
= + +
= +
( + = )
= + +
( + + = )
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
规定：零向量与任意向量平行
练习
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向
量的模就越大．( √
)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不
是共面向量．( × )
(3)零向量是长度为 0，没有方向的向量．( × )
果的向量.(如图)
D1
() +
() + +
() ( + + )
() + +
C1
A1
B1
M
G
D
A
解：(1) + ＝
(2) + + 1 = + 1 = + 1 = 1
1
1
(3) ( + + 1 ) = =
3
3
1
(4) + + 1 ＝.
2
C
B
12. 向量共线定理
՜ ՜ ՜ ՜ ՜
՜
对任意两个空间向量 ， ( ≠ ), //
՜
՜
⇔ 存在实数，使 = 。
12. 方向向量
第一讲向量及其线性运算
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则 三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零 一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
2）.
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一：向量的基本概念①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三：向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且1.λμ+=①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ=+++． 【题型目录】题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一： 平面向量的概念【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.【例2】下列命题中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；AB 与CD 是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误.故选：A【例3】有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ①若a b ≠，则a ，b 不是共线向量；①若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ①若m n =，n k =，则m k =；①有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5，若a b ≠也有可能a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，AB DC =，则AB ，DC 不一定相等，所以四边形，若m n =，n k =，则m k =，①正确；，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，综上，错误的是①①①，共3个. 【例4】设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若a 与0a 平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以①错；①错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量； ①若,a b 满足||||a b >，且a 与b 同向，则a b >①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ①若,a b b c ∥∥，则a c ∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误； 向量有方向，不能比较大小，故①错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故①错误； 当0b =时，可满足,a b b c ∥∥，但a 与c 不一定平行，故①错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A ．【例6】下面关于向量的说法正确的是（ ） A ．单位向量：模为1的向量B ．零向量：模为0的向量，零向量没有方向C ．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D ．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD 均正确， 故选：ACD ．【例7】下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若a b ∥，则a 与b 的方向相同或相反 C ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥ D ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ，根据向量的概念判断，对于BCD ，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A 错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故，若b 为零向量，则a 与c 可能不是共线向量，故，对任一非零向量a ，||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同，所以错 ；B 选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C 选项，规定零向量的方向是任意的，所以C 对；D 选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D 错 2.下列命题中正确的个数是（ ）①若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ①若向量a 与向量b 平行，则a ，b 方向相同或相反；①若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ①若a b =，则a ，b 是相等向量或相反向量. A ．0 B ．1C ．2D ．3，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则AB 与CD 平行或共线；错误，a 与b 至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知正确； 错误，由a b =，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ，则1AO =，则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为：以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量中，向量12,e e 的方向不一定相同，所以中，向量a 与b 的长度不一定相等，所以0a =，根据零向量的定义，可得0a =，所以C 1a a a a =⋅，可得a a与向量a 同向，a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量，所以故选：CD.6．下列说法中正确的是（ ）A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A 正确； 对于B 中，向量//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，所以B 错误；对于C 中，在四边形ABCD 中，若向量//AB CD 、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C 错误；对于D 中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D 正确. 故选：AD.7．下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点，则当AB DC =时，，故且,AB DC 同向，故AB DC =，故C ，当a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故D 错误；8．下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b = D ．向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．【详解】对于C ，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D ，向量AB 与BA 互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB 正确． 故选：AB ．题型二： 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．AB B ．0C ．BCD ．AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解：AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选：B【例2】化简下列各式： (1)AO OB CA CB ++-； (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0；(2)0【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（1）()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=；（2）()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1，则AB AD +为（ ） A．1 BC ．3D ．根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 212AB A AD C +==，故选：B.【例4】在ABC 中，M 是BC 的中点，则AB AC +等于（ ） A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算．【详解】如图，作平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，则2AB AC AE AM +==. 故选：C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OC HG FH ++=（ ）A ．OB B ．ODC ．OFD ．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选：A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则OA OB OC OD +++=（ ） A ．4OM B ．3OM C ．2OM D ．OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解：在OAC 所以1()2OM OA OC =+，即2OA OC OM +=．在OBD 中，因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OM OB OD =+，即2OB OD OM +=． 所以4OA OB OC OD OM +++=． 故选：A ．【例7】若74AB AC ==，，则BC 的取值范围是（ ）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311， D ．(311)， 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量,AC AB 共线时取得最值，即可求得答案74AB AC ==，，且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时，BC 取得最小值，|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时，BC 取得最大值，|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时，BC 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，BC 的取值范围是[]311，， 故选：C【例8】已知ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）AC AB =-①AB CA BC AB -=-；①AB CA CA BC -=-；①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==，故①分别为,,AB BC AC 的中点，32AB ， 23AB CA AB AC AE AB -=+==， 23BC AB BC BA BF BA -=+==，所以AB CA BC AB -=-，故①成立；对于①，23CA BC CA CB CD AB -=+==， 所以AB CA CA BC -=-，故①正确；①，AB AC CB AB CA BC -==≠-，故①不成立故答案为：①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC - C ．AB D ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+．故选：A.2．下列能化简为PQ 的是（ ） A ．QC QP CQ -+ B ．()AB PA BQ ++C ．()()AB PC BA QC ++- D ．PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，A 选项正确. B 选项，()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+，B 选项正确.C 选项，()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=，C 选项正确. D 选项，()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠，D 选项错误. 故选：ABC3. 在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4. 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则下列向量与AB DC +不相等的是（ ） A ．2EF B ．AC DB + C ．EB EC + D ．FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====， 因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确，因为,DC DA AC AB AD DB =+=+，所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+，所以B 正确，因为,DC DE EC AB AE EB =+=+，所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+，所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+， D 错误， 故选：D5．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ） A ．AB BC CA +=B ．AB AD BD -=C．AB AD AC+=D．BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB AD AC+=，C错误；根据三角形法则可得BC CD BD+=正确，所以D正确.故选：D.6．在四边形ABCD中，AB DC=，若AD AB BC BA-=-，则四边形ABCD是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【分析】由AB DC=，可得四边形为平行四边形，又BD AC=，从而即可求解【详解】解：在四边形ABCD因为AB DC=，所以四边形AD AB BC BA-=-，即BD AC=，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结论中正确的是（）A．AB BC CA-=B．1()3AG AB AC=+C．0AF BD CE++=D．0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．【详解】解：如图：，2AB BC AB CB EB AC-=+=≠，即选项为ABC的重心，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+，即选项，1()02AF BD CE AB BC CA++=++=，即选项C正确；，122()2GA GD GB GC=-=-⨯+，即0GA GB GC++=，即选项D正确，8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB++；(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE；(2)0.【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===；（2）EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三：平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量C．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD 是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ， 且AB 与AC 是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线． 故选：AD ．【例2】已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B 则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确； 选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，不存在，故该选项错误；，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，48(72)a b a b λ+=-，解得λ不存在，故该选项错误； 故选：A.【例3】下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线 【答案】ABC选项：根据向量共线的性质，可知A 、选项：a 与b 同向，则a 与b -反向，显然正确; 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠，若a b =，则a 与b 同向， a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB =BC λ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a 与b -反向，C 正确.0λμ==时，a 与b 不一定共线，D 错误.故选：ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时，直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A ，B ，C ，D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“AB CD ∥”无法推出“A ，B ，C ，D 四点共线”；当A ，B ，C ，D 四点共线时，直线AB 与CD 的位置关系为重合，此时，AB CD ∥， 则“A ，B ，C ，D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”，因此“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点，若CB PB PA λ-=，其中λ①R ，则点P 一定在（ ） A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=，PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=，则PC -=λPA ，则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上． 故选：A ．【例7】在①ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-，即34λ=，14μ=-. 故答案为：34；14-.【例9】在ABC 中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．38【答案】C 【解析】4AC AD =，14AD AC ∴=，则14BD AD AB AC AB =-=-， 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭，由于P 为BD 上一点，则//BP BD ，设BP k BD =，则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.【例10】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC ANμ=， 1344AP AM ANλμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选：B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+，则AMN BCNS S =△△（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC =， 所以MN ①BC ，又因为 M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离， 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =，从而可求解.【详解】解：()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ，D ，C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =． 3.设12e e ，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则 A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ， 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =. 4.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC =，则DP =( )A ．1144AB AC + B ．1144AB AC -- C ．1144AB AC - D ．1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点，①12AP AC =,①3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选：B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=( ) A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+，CA =+3(CD CB -)，即有CD =﹣1322CA CB +， 因为CD CA CB λμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3. 8.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+， M 、O 、N 三点共线，122m n ∴+=，2m n ∴+=.故选：C.9.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．38 D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =，4BC =，∴14BD BC =， ∴14AD AB BD AB BC =+=+，O 为AD 中点， ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，AO AB BC λμ=+， ∴1128AB BC AB BC λμ+=+，∴12λ=，18μ=， ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点，①2OB OC OD +=，①20OA OB OC ++=，①0OA OD =+，即AO OD =.11．设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+，2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+，【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理：2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+， 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型题型四：由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+，+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形 ，结合AD BC =，即可判断四边形【详解】解：因为113e ,5e AB CD ==，所以35AB CD =-，所以//AB CD AB CD ≠，AD BC =，所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选：C.【题型专练】1．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2323OA OC OD OB +=+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =，结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+，① 2()3()OA OD OB OC -=-，① 23DA CB =，① 四边形ABCD 一定是梯形． 故选：B.2．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ，AD BC ≠可得答案【详解】由已知得，2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= ， 故//AD BC ，由AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形.故选：C.3．在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选：D ．4．下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是（ ）A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形 C ．若AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为菱形D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．【详解】AD BC =，则AD 13AD BC =，则//AD BC 若AB DC =，四边形ABCD AB AD =，即AB 若AB DC =，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，即AC 故选：ABC ．。
向量加减法运算及其几何意义公开课PPT课件
A．0 B．3 C． 2 2 D． 2
练习2化简 PM PN MN 结果是 0
2021/12/31
高高一一、、一科数学专用课课件件
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练习3 则（
Da，）b为非零向量，且|a-
b|=|
a|+|
b|，
A．a与b方向相同 C．a =－b
B．a = b D．a与b方向相反
练习4向量 a ,b的模分别是3，4，求
2021/12/31
高高一一、、一科数学专用课课件件
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例3 : 化简 (AB - CD)-(AC - BD)
解: (AB - CD) -(AC - BD)
= AB - CD - AC + BD
= AB + DC + CA + BD
= (AB + BD)+(DC + CA)
= AD+ DA = 0
表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示. 如 a , AB
3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等. (正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向
量202可1/1以2/3在1 不改变它的大小和高高方一一、、向一的科数前学专提用下课课件件,移到任何位置.)
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向量的减法运算及其几何意义
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
a a 实数 的相反数记作 。
： 思考 （2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2
于平面MAB内的充要 条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化 来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运 算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重 要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条 直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式， 说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面 向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD, BC 表示 EF .
空间向量的运算
A1
An 1
A1
An1
A2
An
A2
An
A3
A4
Байду номын сангаас
A3
A4
注意：首尾相接的若干向量构成一个封闭
图形，则它们的和为零向量．
一、空间向量的加法和减法
2.空间向量的减法：与平面向量类似，a与b的 差定义为a＋(－b )，记作a－b，其中－b是b 的相反向量.
b
OA－OB=BA B
b
a－b
a
O
a
A
向量减法的三角形法则
AC1
D
x 1.
A
C1 B1
C B
例2：已知平行六面体
D1
A求B满CD足-下A1列B1各C1式D1的，x的值A。1
⑶AC AB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
解：(3) AC AB1 AD1 A
B
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
四、空间向量的数量积
3.空间向量数量积的性质
①|a|＝ a a
求模，距离
②a⊥b⇔a·b＝0 证明或判断垂直关系
③cos〈a，b〉＝ a b (a≠0，b≠0) ab
求角
例1 已知平行六面体 ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
求AC1的长.
AC1 18
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
课堂训练
4.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点E 是上底面的中心，化简下列向量表达式：
高考数学复习第4章平面向量第1讲平面向量及其线性运算
向量－b 的和的 减法
运算叫做 a 与 b
的差
三角形法则
运算律 a－b＝a＋(－b)
(续表) 向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__； (2)当λ>0 时,λa 的
数乘 求实数λ与向量 a 的积的运算
方向与 a 的方向相 同；当λ<0 时,λa 的 方向与 a 的方向相
量的个数为( B )
A.1
B.2
C. B.
4.如图 4-1-1，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ (D )
图 4-1-1
A.0
B.B→E
C.A→D
D.C→F
考点 1 平面向量的基本概念
例 1：(1)(多选)下列命题正确的有( ) A.若|a|＝|b|，则 a＝b B.若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 C.若 a＝b，b＝c，则 a＝c D.若 a∥b，b∥c，则 a∥c
选 A.
答案：A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量 a 与|aa|的关系： |aa|是与 a 同方向的单位向量.
λ(μa)＝___λ_μ_a___； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
反；当λ＝0 时,λa
＝____0____
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b＝λa.
第一节 向量及其运算(知识梳理)
第一节向量及其运算复习目标学法指导1.平面向量的实际背景及基本概念(1)向量的物理背景与概念向量的概念.(2)向量的几何表示零向量、单位向量、向量模的概念.(3)相等向量、平行向量、共线向量的概念.2.平面向量的线性运算(1)①向量加法的定义及几何意义.②向量加法的交换律和结合律.(2)①相反向量的概念.②向量减法的定义及几何意义.(3)①向量的数乘运算.②向量数乘运算的几何意义. 1.熟记概念,对于概念中的前提条件引起重视.2.解决向量的概念问题要注意两点,一是考虑大小,更要考虑方向;二是考虑零向量的特殊性.3.向量的线性运算,要在所表达的图形上多思考、多联系相关几何图形.一、平面向量的有关概念1.向量的有关概念(1)定义既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法①用字母表示:如a,b,c等;②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如AB u u u r,CD u u u r等.(3)模向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或|AB u u u r|,|CD u u u r|.2.特殊向量相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01.概念理解(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.2.与零向量有关的结论(1)零向量与任意向量为共线向量;(2)0·a=0.二、平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb概念理解(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:AB u u u r-AC u u u r= CB u u u r.三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 1.概念理解(1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.(2)注意定理中a ≠0的条件. 2.与共线向量相关联的结论(1)若a,b,c 均不为零向量,则平行具有传递性. (2)在a(a ≠0)方向上的单位向量:a a.(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤: 第1步:三点构造两个向量; 第2步:证明两向量之间成倍数关系.1.如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,则向量a-b 可表示为( C )(A)3e 2-e 1 (B)-2e 1-4e 2 (C)e 1-3e 2 (D)3e 1-e 2解析:由题图可知a=-4e 2,b=-e 1-e 2, 则a-b=e 1-3e 2. 故选C.2.设两个非零向量e 1和e 2,且e 1与e 2不共线,AB u u u r =e 1-e 2, BC u u u r=3e 1+2e 2,CD u u u r=-8e 1-2e 2,则下列三点共线的是(D )(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:AB u u u r =e 1-e 2,AC u u u r =AB u u u r + BC u u u r=4e 1+e 2, 因为AC u u u r=-12CD u u u r,且有公共点C,所以A,C,D 三点共线.故选D.3.在△ABC 中,点M,N 满足AM u u u u r =2MC u u u u r ,BN u u u r =NC u u u r .若MN u u u u r =x AB u u u r +y AC u u u r,则x= ,y= . 解析:由题中条件得MNu u u u r =MC u u u u r +CN u u u r=13ACu u u r+12CB u u u r =13AC u u u r +12(AB u u u r -AC u u u r)=12AB u u u r -16ACu u u r=x AB u u u r +y AC u u u r,所以x=12,y=-16. 答案:12 -16考点一 平面向量的基本概念 [例1] (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB u u u r =DC u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b. 其中正确命题的序号是( )(A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④(2)设a,b 都是非零向量,则“a=2b ”是“a a=b b”成立的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)下列与共线向量有关的命题:①相反向量就是方向相反的向量;②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为.(填序号)解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.②正确.因为AB u u u r=DC u u u r,所以|AB u u u r|=|DC u u u r|且AB u u u r∥DC u u u r,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则AB u u u r∥DC u u u r且|AB u u u r|=|DC u u u r|,AB u u u r与DC u u u r方向相同,因此,AB u u u r= DC u u u r.③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=-b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.解析:(2)因为aa =bb,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有关系.因此“a=2b”是“aa =bb”成立的充分不必要条件.故选A.解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④正确.答案:(1)A (2)A (3)①②③(1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.下列命题中正确的个数为( B )①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.故选B.考点二平面向量的线性运算[例2] 下列各式不能化简为PQ u u u r的是( )(A)AB u u u r+(PA u u u r+ BQ u u u r)(B)(AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)(C)QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r(D) PA u u u r+AB u u u r-BQ u u u r解析:选项A,AB u u u r+(PA u u u r+BQ u u u r)= AB u u u r+BQ u u u r+PA u u u r=AQ u u u r+PA u u u r=PQ u u u r;选项B,( AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)=(AB u u u r+BA u u u r)+(PC u u u r-QC u u u r)=PQ u u u r;选项C,QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r=QC u u u r+CQ u u u r- QP u u u r= PQ u u u r;选项D,PA u u u r+ AB u u u r-BQ u u u r=PB u u u r-BQ u u u r得不到PQ u u u r.故选D.三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.在三棱锥O-ABC中,若D为BC的中点,则AD u u u r等于( C )(A)12OAu u u r+12OCu u u r-OBu u u r(B)12OAu u u r+12OBu u u r+OCu u u r(C)12OBu u u r+12OCu u u r-OAu u u r(D)12OB u u u r +12OC u u u r +OA u u u r解析:如图根据向量加法三角形法则,AD u u u r =12(AC u u u r +AB u u u r )=12(OC u u u r -OA u u u r +OB u u u r -OA u u u r),所以AD u u u r =12OC u u u r+12OB u u u r-OA u u u r.故选C.考点三 共线向量定理及应用 [例3] 设两个非零向量a 与b 不共线, (1)若AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b 和a+kb 同向. (1)证明:因为AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 所以BD u u u r =BC u u u r +CD u u u r=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5AB u u u r. 所以AB u u u r,BD u u u r 共线, 又因为它们有公共点B, 所以A,B,D 三点共线. (2)解:因为ka+b 与a+kb 同向,所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b 是不共线的两个非零向量,1,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨=-⎩ 又因为λ>0,所以k=1.(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.(2)a 与b 共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a 与b 不共线.1.设a,b 是不共线的两个非零向量,若OA u u u r=ka+12b,OB u u u r =4a+5b,OC u u u r=-ka+10b,且点A,B,C 三点共线,则k= .解析:AB u u u r =OB u u u r -OA u u u r=(4-k)a-7b,CB u u u r =OB u u u r -OC u u u r=(4+k)a-5b,因为A,B,C 三点共线,所以44k k -+=75--,k=-23. 答案:-232.在△ABC 所在平面内有一点P,如果PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r,则△PAB 与△ABC 的面积之比是 . 解析:因为PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r =PB u u u r -PA u u u r, 所以2PA u u u r +PC u u u r=0,PC u u u r =-2PA u u u r =2AP u u u r ,所以点P 是线段AC 的一个靠近点A 的三等分点. 所以△PAB 与△ABC 的面积之比是1∶3.答案:1∶3类型一平面向量的基本概念1.以下给出了4个命题:(1)两个长度相等的向量一定相等;(2)相等的向量起点必相同;(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.其中正确命题共有( D )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(b-c),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC u u u r=λAM u u u u r+μBD u u u r (λ,μ∈R),则λ+μ等于( B )(A)43(B)53(C)158(D)2解析:根据向量的平行四边形加法法则,AC u u u r =AB u u u r +AD u u u r, 又根据向量的三角形加法法则,AMu u u u r =AB u u u r +AM u u u u r =AB u u u r +12BC u u ur =AB u u u r +12AD u u u r ,BD u u u r =AD u u u r -AB u u u r ,所以AC u u u r =λAM u u u u r +μBD u u u r= λ(AB u u u r +12AD u u u r 0+μ(AD u u u r -AB u u u r )=(λ-μ)AB u u u r +(12λ+μ)AD u u u r, 所以1,11,2λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得4,31,3λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以λ+μ=53. 故选B.类型二 平面向量的线性运算3.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若AC u u u r=a,BD u u u r =b,则AF u u u r等于( B )(A)14a+12b (B)23a+13b (C)12a+14b (D)13a+23b 解析:AF u u u r =AD u u u r +DF u u u r,DE ∶BE=1∶3=DF ∶AB,所以DF u u u r =13AB u u ur ,所以AF u u u r=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b. 故选B.4.在△ABC 中,G 为△ABC 的重心,D 在边AC 上,且CD u u u r =3DA u u u r,则( B )(A)GD u u u r =13AB u u u r +712AC u u u r(B)GD u u u r=-13AB u u u r -112AC u u u r(C)GD u u u r =-13AB u u u r +712AC u u u r (D)GD u u u r=-13AB u u u r+112AC u u u r解析:如图所示,GD u u u r =GA u u u r +AD u u u r,AG u u u r =23×12(AB u u u r +AC u u u r)=13(AB u u ur +AC u u u r ),AD u u u r =14ACu u ur .所以GD u u u r=-(13AB u u u r+13AC u u u r)+14AC u u u r=-13AB u u u r-112AC u u u r. 故选B.5.任意四边形ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 的中点,则EF u u u r= (用向量AB u u u r,DC u u u r表示).解析:因为EF u u u r =EA u u u r +AB u u u r +BF u u u r,EF u u u r =ED u u u r +DC u u u r +CF u u u r ,所以2EF u u u r =AB u u u r +DC u u u r +BF u u u r +CF u u u r +EA u u u r +ED u u u r =AB u u u r +DC u u u r, 所以EF u u u r =12(AB u u u r +DC u u u r). 答案:12(AB u u u r+DC u u u r) 类型三 共线向量定理6.已知O 为△ABC 内一点,且AO u u u r =12(OB u u u r +OC u u u r ),AD u u u r =t AC u u u r,若B,O,D 三点共线,则t 等于( B ) (A)14(B)13(C)12(D)23解析:设E 是BC 边的中点, 则12(OB u u u r +OC u u u r )=OE u u u r,由题意得AO u u u r =OE u u u r,所以AO u u u r =12AE u u ur =14(AB u u u r +AC u u u r )=14AB u u u r +14AD tu u ur ,又因为B,O,D 三点共线,所以14+14t =1,解得t=13, 故选B.7.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,边BC 的中点为D,若2PD u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u ur ,其中λ∈R,则P 点一定在( C )(A)AB 边所在的直线上 (B)BC 边所在的直线上 (C)AC 边所在的直线上 (D)△ABC 的内部 解析:因为D 为边BC 的中点, 所以2PD u u u r =PB u u u r +PC u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u u r=(1-λ)PA u u u r+PB u u u r -PC u u u r, 即2PC u u u r=(1-λ)PA u u u r, 故A,P,C 三点共线,即点P 在AC 边所在的直线上. 故选C.8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA u u u r -4OB u u u r +3OCu u u r=0,则AB BCu u u r u u u r 等于( A )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由OA u u u r-4OB u u u r+3OC u u u r=0,得OA u u u r -OB u u u r =3(OB u u u r -OC u u u r ),即BA u u u r =3CB u u u r, 所以AB u u u r =3BC u u u r, 所以|AB u u u r |=3|BC u u u r|, 所以AB BCu u u r u u u r =3.故选A.。
6.2平面向量的运算第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
故答案为： AC
【点评】本题考查向量加法的运算法则，向量加法的几何意义，向量加法满足交换律．
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
3
AB
1
AC
44
B．
AD
1
AB
3
AC
44
C．
AD
2
AB
1
AC
D．
AD
1
AB
2
AC
33
33
【分析】可画出图形，根据 BD 2CD 即可得出 BD 2DC ，从而得出 AD AB 2( AC AD) ，
解出向量 AD 即可．
【解答】解：如图，
BD 2DC ；
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看 作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．向量的有关性质
（1）一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立．
（2）在 ABC
中，
AB
BC
CA
0
.
（3）向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
10．化简 AB CD AC BD ．
11．化简 ( AB MB) (BO BC) OM ．
D．正方形
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
a与b平行,
则a,
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量共线的知识点总结
向量共线的知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在坐标系中，向量通常用坐标表示，例如(x, y, z)表示三维向量。
2. 向量的运算向量有加法、减法、数乘等运算。
两个向量的加法是指将两个向量首尾相连，形成一个新的向量；两个向量的减法是指将两个向量首尾相接，并将被减向量反向，形成一个新的向量；数乘是指将一个向量的大小乘以一个标量，得到一个新的向量。
3. 向量的模向量的模是指向量的大小，通常用符号||a||表示，例如向量a的模为||a||。
向量的模可以通过勾股定理得到，即模等于向量各个分量的平方和的平方根。
4. 向量的方向向量的方向是指向量的指向，通常用夹角表示，即一个向量与坐标轴的夹角。
向量的方向可以通过单位向量得到，即将向量除以它的模，得到一个与原向量方向相同，但模为1的向量。
二、向量共线的定义1. 向量的共线定义当两个向量a和b共线时，存在一个实数k，使得b=ka。
也就是说，b可以由a经过缩放得到，它们的方向是相同或者相反的。
如果有多个向量共线，那么它们可以通过一个相同的缩放因子得到。
2. 向量的共线判定判断两个向量a和b是否共线的方法有很多，比如可以比较它们的方向是否相同或者相反，也可以通过求它们的比值是否相等，还可以通过向量的叉乘是否为零来判断。
如果一个向量与另一个向量的叉乘为零，那么它们就是共线的。
三、向量共线的性质1. 共线向量的加法当两个向量共线时，它们的和也是共线的。
因为两个共线向量可以通过一个缩放因子得到，它们的和也可以通过缩放因子得到，因此它们的和也是共线的。
2. 共线向量的数乘当一个向量与一个标量相乘之后，它们依然是共线的。
因为一个向量可以通过一个缩放因子得到，那么它与一个数相乘之后，它的方向不变，只是大小发生变化，因此它们依然是共线的。
3. 共线向量的线性关系当向量a和向量b共线时，它们之间存在线性关系，即存在实数k，使得b=ka。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在平面几何中，平面向量是研究问题的有力工具。
平面向量的加法和减法是其中最基本和常用的运算，它们在求解平面几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法。
一、平面向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
平面向量通常用大写字母加箭头符号来表示，例如`AB→`表示从点A到点B的向量。
向量的起点称为原点，终点则表示向量所在的位置。
向量也可以用坐标表示，其中横坐标和纵坐标分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
二、平面向量的加法向量的加法即将两个向量相加得到一个新的向量。
给定向量`AB→`和`CD→`，它们的加法可以通过将向量的起点与终点相连来实现。
连接起点A和终点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的和，即`AB→`+`CD→`= `AD→`。
三、平面向量的减法向量的减法即将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
给定向量`AB→`和`CD→`，它们的减法可以通过将向量的起点与起点、终点与终点相连来实现。
连接起点A和起点D可以得到向量`AD→`，它就是向量`AB→`与`CD→`的差，即`AB→`-`CD→`= `AD→`。
四、平面向量的运算性质平面向量的加法和减法满足以下性质：1. 交换律：`AB→`+`CD→`= `CD→`+`AB→`2. 结合律：`AB→`+(`CD→`+`EF→`) = (`AB→`+`CD→`)+`EF→`3. 零向量：对于任意向量`AB→`，都有`AB→`+`0→`= `AB→`4. 负向量：对于任意向量`AB→`，存在一个向量`BA→`，使得`AB→`+`BA→`=`0→`五、平面向量的应用举例平面向量的加法和减法在求解平面几何问题中有广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 三角形求面积：已知三角形的两条边向量`AB→`和`AC→`，可以通过向量的叉积求得三角形的面积。
大学__数学专业__空间解析几何__第一章__向量代数
证 必要性 设三矢量 a， b ， c可 以 构成三角形 ABC， 即 有AB a , BC
A B
b, CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0, 即a b c 0
充 分性 设a b c 0 ， 作AB a , BC b, 那 么AC a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的 反矢 量， 因 此 c＝ CA ，所以 a， b ， c可 构成 一个 三 角形 ABC .
平行于同一直线的一组矢量
a // b
零矢量与任何共线的矢量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组矢量 叫做共面矢量. 零矢量与任何共面的矢量组共面.
a
c d
§1.2、向量的加法
定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
a
M
M2
1
a 或 M1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的大小. | a | 或 | M 1 M 2 向量的模长： |, a
向量的大小. | a | 或 | M 1 M 2 向量的模长： |
a
M
M2
特别:
模长为1的向量A OA n OA 1 A1 A2 An 1 An .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则.
ab a b
O
a
A
b
B
三角不等式
第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲 空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4. 掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示. 2.几个常见的向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ； 分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1 空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2 空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3 共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4 空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D. 0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】 解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定； 假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A. ；B. ；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面； C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面； 对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是( ) A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0A C A B A A -=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++=，221113AC A B =，∴22111()3()AC A B =，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110A C AB =，故B 正确； 1ACD ∆是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA =，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键． 由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量． 【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7. （池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有； 若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】 解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误； 若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t = ．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC =++，且P ，A ，B ，C 四点共面，∴31148t ++=18t ∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为 ．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得：0PA BC =．由E 是棱AB 中点，可得1()2PE PA PB =+，代入PE BC ，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥， 可得：0PA BC =．E 是棱AB 中点，∴1()2PE PA PB =+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC =+=+=⨯⨯⨯︒=-． 故答案为：1-．10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量 化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又， 所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． （2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解：111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=． B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ=，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a <，b >，再由平方关系求出sin a <，b >的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >， 故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，22121()||||x y y b a b +>=-，即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗2222212222211)y y x y y +=++22121221)||y y x y x y +-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．。
第一讲向量的加减法和共线
第一讲：向量的加减法和共线知识要点：1向量、有向线段、向量的摸、零向量、相等、单位向量；2 向量加法、减法、数乘向量；3 向量共线：向量共线定理和三点共线定理；4 向量分解、向量分解定理、平面向量的基底、标准基、向量坐标表示；5 向量数量积：夹角计算6 向量数量积坐标公式和两个向量垂直的坐标公式7 几个不等式：三角形边长不等式，柯西不等式：问题精选1.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不括端点A 、C ），则AP = （ ）A.(),(0,1)AB AD λλ+∈B. (),(0,1)AB AD λλ-∈ C 2(),(0,)2AB BC λλ+∈ D. 2(),(0,)2AB BC λλ-∈ 2.向量b a ,的夹角平分线上的一个单位向量为（ ）A ．b a +B ．||b a b a ++ C ．||||b b a a + D ．| |||| |||||b a a b b a a b ++ 3已知Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ是不共线的四点，若存在一组正实数123λλλ，，，使得123OA OB OC 0λ+λ+λ= ，则三个角AOB,BOC,COA ∠∠∠ （ ） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至多有两个钝角4,a b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，,t R t ∈为何值时，1,,()3a tb a b + 三向量的终点在一直线上？5（当定理）A 、B 、C 三点共线，O 为AB 外一点，设OA mOB nOC =+ ，求证：1m n +=.6知O 为△ABC 内一点，证明：O 是△ABC 的重心的充要条件是：0OA OB OC ++=7如图，在三角形ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC,AM与BN 相交与点P,求:AP PM 的值。
8.在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：14KL AE = .N M P C B A9已知ABC ∆的面积为142cm ，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且::2:1AD DB BE EC ==,AE 和CD 交于P,求APC ∆的面积。
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第一讲：向量的加减法和共线
知识要点：
1向量、有向线段、向量的摸、零向量、相等、单位向量；
2 向量加法、减法、数乘向量；
3 向量共线：向量共线定理和三点共线定理；
4 向量分解、向量分解定理、平面向量的基底、标准基、向量坐标表示；
5 向量数量积：夹角计算
6 向量数量积坐标公式和两个向量垂直的坐标公式
7 几个不等式：三角形边长不等式，柯西不等式：
问题精选
1.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不括端点A 、C ），则AP = （ ）
A.(),(0,1)AB AD λλ+∈
B. (),(0,1)AB AD λλ-∈ C 2(),(0,)2AB BC λλ+∈ D. 2(),(0,)2
AB BC λλ-∈ 2.向量b a ,的夹角平分线上的一个单位向量为（ ）
A ．b a +
B ．|
|b a b a ++ C ．||||b b a a + D ．| |||| |||||b a a b b a a b ++ 3已知Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ是不共线的四点，若存在一组正实数123λλλ，，，使得
123OA OB OC 0λ+λ+λ= ，
则三个角AOB,BOC,COA ∠∠∠ （ ） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至多有两个钝角
4,a b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，,t R t ∈为何值时，
1,,()3
a t
b a b + 三向量的终点在一直线上？
5（当定理）A 、B 、C 三点共线，O 为AB 外一点，设OA mOB nOC =+ ，求证：
1m n +=.
6知O 为△ABC 内一点，证明：O 是△ABC 的重心的充要条件是：
0OA OB OC ++=
7如图，在三角形ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC,AM
与BN 相交与点P,求:AP PM 的值。
8.在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K
和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：14
KL AE = .
N M P C B A
9已知ABC ∆的面积为142cm ，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且
::2:1AD DB BE EC ==,AE 和CD 交于P,求APC ∆的面积。
10已知点L 、M 、N 分别在ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且
,BL CM l m BC CA
==，AN n AB
=，若0AL BM CN ++= .求证：m n l ==
11（2011清华）已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222
a b c xa yb zc ==--=-++= 则222
x y z ++ 的最小值为( ) 4
3A1B C D 232
解：由(1,1)xa yb zc ++= 得3331()122211222
y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于22
2222
()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y -
z 三个变量，变形232(1)y z y z x ⎧-=-⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+ 222228242(1)343()3333
x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 12 （2011
北大）已知向量,OA OB 夹角，而且满足：2,1,,(1)OA OB OP tOA OQ t OB ====- ,PQ 在0t 处取得最小值。
问当0105
t <<
时，夹角的取值范围。
13(选作）△ABC 中，O 为外心，H 为平面内一点，则H 是△ABC 的垂心
<=>OH OA OB OC =++
（思考）用向量知识求cos7cos 47cos87cos327++++ 的值。