第一讲向量的加减法和共线

第一讲：向量的加减法和共线

知识要点：

1向量、有向线段、向量的摸、零向量、相等、单位向量；

2 向量加法、减法、数乘向量；

3 向量共线：向量共线定理和三点共线定理；

4 向量分解、向量分解定理、平面向量的基底、标准基、向量坐标表示；

5 向量数量积：夹角计算

6 向量数量积坐标公式和两个向量垂直的坐标公式

7 几个不等式：三角形边长不等式，柯西不等式：

问题精选

1.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不括端点A 、C ），则AP = （ ）

A.(),(0,1)AB AD λλ+∈

B. (),(0,1)AB AD λλ-∈ C 2(),(0,)2AB BC λλ+∈ D. 2(),(0,)2

AB BC λλ-∈ 2.向量b a ,的夹角平分线上的一个单位向量为（ ）

A ．b a +

B ．|

|b a b a ++ C ．||||b b a a + D ．| |||| |||||b a a b b a a b ++ 3已知Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ是不共线的四点，若存在一组正实数123λλλ，，，使得

123OA OB OC 0λ+λ+λ= ，

则三个角AOB,BOC,COA ∠∠∠ （ ） A ．都是钝角 B ．至少有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至多有两个钝角

4,a b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，,t R t ∈为何值时，

1,,()3

a t

b a b + 三向量的终点在一直线上？

5（当定理）A 、B 、C 三点共线，O 为AB 外一点，设OA mOB nOC =+ ，求证：

1m n +=.

6知O 为△ABC 内一点，证明：O 是△ABC 的重心的充要条件是：

0OA OB OC ++=

7如图，在三角形ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC,AM

与BN 相交与点P,求:AP PM 的值。

8.在五边形ABCDE 中，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K

和L 分别是MN 和PQ 的中点，求证：14

KL AE = .

N M P C B A

9已知ABC ∆的面积为142cm ，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且

::2:1AD DB BE EC ==,AE 和CD 交于P,求APC ∆的面积。

10已知点L 、M 、N 分别在ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且

,BL CM l m BC CA

==，AN n AB

=，若0AL BM CN ++= .求证：m n l ==

11（2011清华）已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222

a b c xa yb zc ==--=-++= 则222

x y z ++ 的最小值为( ) 4

3A1B C D 232

解：由(1,1)xa yb zc ++= 得3331()122211222

y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于22

2222

()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y -

z 三个变量，变形232(1)y z y z x ⎧-=-⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+ 222228242(1)343()3333

x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 12 （2011

北大）已知向量,OA OB 夹角，而且满足：2,1,,(1)OA OB OP tOA OQ t OB ====- ,PQ 在0t 处取得最小值。问当0105

t <<

时，夹角的取值范围。

13(选作）△ABC 中，O 为外心，H 为平面内一点，则H 是△ABC 的垂心

<=>OH OA OB OC =++

（思考）用向量知识求cos7cos 47cos87cos327++++ 的值。