立体几何高考真题大题

立体几何咼考真题大题

1. （2016高考新课标1卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60：

（I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃

19

【解析】

试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法

试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面

AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F .

以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz .

由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 ,

DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ).

由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC .

又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF .

由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角，

向量n ,再利用cos （n,m ）

求二面角.

n ||m

|

N C E F =60 .从而可得 C (—2,0,

).

所以 E C =(1,0, ^/3), EB =(0,4,0 ), A C =(-3,—4,73), AB =(—4,0,0 ). 设n =（x, y, z ）是平面B C E 的法向量,则

I n -E C = 0 I X + \/^z = 0

{ —，即 \ [斤庄=0 [4y =0

所以可取n=（3,o, J 卜

设m 是平面A BCD 的法向量，则竺~0

[m AE =0

同理可取m =（0，Q ）•则co s （n ，m =品一瞬 故二面角E - EC-直的余弦值为—更9

19

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明 ，空间中线面位置关

系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系

，其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面 ，该类题目难度不 大，以中档题为主.第二问一般考查角度问题 ，多用空间向量解决.

2 . （ 2016高考新课标 2理数）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O ,

5

AB =5,AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF =-, EF 交 BD 于点 H .将

4

ADEF 沿 EF 折到 A D E F 位置，OD’= J 10.

（I ）证明：D H 丄平面ABCD ； （n ）求二面角 B —DA —C 的正弦值.

2/95

【答案】（I ）详见解析；（n ）三旦

D

25 【解析】

试题分析：(I)证AC//EF ，再证D 'H 丄OH ,最后证DH 丄平面ABCD ； (n) 用向量法求解.

AE CF AC 丄 BD ,

AD =CD ，又由 AE =CF 得

DO =B0 =V A B 2 - AO 2

由 EF //AC 得 空=肇 二丄.所以 OH =1 , DH =DH =3 .

DO AD 4

于是 OH =1 , DH +OH 2=32 +12=10=DO 2 , 故D H 丄OH . 又 D H 丄 EF ，而 OH c EF = H , 所以DH 丄平面ABCD .

HF 的方向为x 轴的正方向，建立空

间直角坐标系

H -xyz .

则 H (0,0,0 ), A(—3,—2,0 ), B(0,-5,0), C(3,—1,0 ), D'(0,0,3 ), AB = (3,—4,0),

AD'=(3,1,3).设mNxjy’z,)是平面ABD'的法向量，则

[3x , -4y 1 =0

Qx , +y 1 +3z 1 = 0’

~

■

'

I n F AC = 0

所以可以取m=(4,3,-5 ).设n =(x 2, y 2,z 2 )是平面ACD 的法向量，则« --------------

i n ”AD ，= 0

即严二0

.3x 2 +y 2 +3Z 2 =0

试题解析：(I)由已知得 CD ，故

AC / /EF I .

因此 E F H ,

从而 EF 丄D H

由 AB =5

AC =6 得

AC =(6,0,0 ),

I m ”AB =0

{ — —~ ，即

[m ・AD ，= 0

(n)如图，以 H 为坐标原点,

■

・

im n 所以可以取n=(0 ,J,1\.于是cosmn ：＞=

— ImH n|

sincm’^N 9!

25

因此二面角B - D A —C 的正弦值是 2^95 25

②a // b, a ± a ? b ± a ； 常

用来证明线线垂直.

求二面角最常用的方法就

是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量， 然后通过两个

平面的法向量的夹角得到二面角的大小， 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是

钝角.

3. （2016高考山东理数）在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆0的直径，EF 是上底面 圆O 的直径，FB 是圆台的一条母线.

（I ）已知 G,H 分别为EC FB 的中点，求证： GH//平面 ABC （n ）已知 EF =FB =1AC =273 AB =BC 求二面角 F -BC -A 的余弦值.

2 ， I 答案】（I ）见解析；（n ）" 7

【解析】

试题分析：（I ）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平面ABC 平行；（n ）立体几何

中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立 空间直

角坐标系求解；解法二则是找到 解.

-1 4

考点：线面垂直的判定、二面角.

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有:

①判定定理； 线面垂直的性质,

NFNM 为二面角F-BC-A 的平面角直接求

7ii

H