几何结构之折叠、旋转(讲义及答案).

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中考经典几何题讲义系列：旋转、翻折问题

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∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。
2
设 AB＝x，则 AE＝EF＝ 2 x，
∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB 2x+x 2 1。故选 B。 AB x
4. （广东河源 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别在边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合．若∠A＝75º，则∠1＋∠2＝【】
∴BC=CM。
设 CF=x，D′F=DF=y，则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在 Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°= DF y 3 ，∴ x 3-1 y 。
FM 2x y 3
2
∴ CF x 3-1 。故选 A。 FD y 2
3. （江苏连云港 3 分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5° 角的正切值是【】
A．150º
B．210º
C．105º
D．75º
【答案】A。
【考点】折叠的性质，平角的定义，多边形内角和定理。
【分析】根据折叠对称的性质，∠A′＝∠A＝75º。
根据平角的定义和多边形内角和定理，得
∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。
（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则 CD=

几何结构之折叠、旋转(讲义)

几何结构之折叠、旋转（讲义）➢ 知识点睛1. 折叠（轴对称）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）（3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；B A 1FED (B )CA②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．GFE D CBAONM FE CBA D BOA C P Q B'C'（4）应用，作图（构造）核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．特征举例：①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与旋转中心旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角；对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；旋转会产生圆（圆弧）．（3）常见组合搭配旋转会出现相似的等腰三角形；旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；60°C'B'CBAC'B'CBA相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．（4）应用，作图（构造）当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；旋转方向不确定需要分类讨论；常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时只需保留研究目标即可）➢ 精讲精练1. 小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD ，折痕MN 分别与边AD ，BC 交于点M ，N ，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A ，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN =5．②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于点E ，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN ，BB′⊥MN ．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是______________．ABCD MNB'A'DCBA B'MA'N图1 图2DCBANMB'图32. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为______．FEDCBA3. 如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=AD =10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG =_______．ABC D EG HM NB'N M ED CB AC图1图2图34. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A′处，若EA′的延长线恰好过C ，则 sin ∠ABE 的值为_______．DC BAEA′D'A'F E D C BA第4题图第5题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =BC =15，点E 是AD 边上一点，连接BE ，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF ，把△DEF 沿EF 折叠，使点D 落在直线E A′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，AE 的长为____________．6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3，点F 在边AC 上，且AF =1，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则当点P 落在线段AB 上时，线段PB 的长为______________．PFEC B A 7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（） A ．13B ．152C ．272D ．12CB ACB A8. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点P 在线段AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为_____________．DCBADCBA9. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8 cm ，BC =20 cm ，O 是BC 的中点，沿过O的直线翻折．若点B 恰好落在AD 上，那么折痕的长度为________．DADA10.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明．（2）若AB=AD，以过点P的直线为对称轴，将四边形ABCD折叠，使点B，C分别落在点B′，C′处，且线段B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）．②如果∠C=60°，那么APPB为何值时，B′P⊥AB．图1 图211.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD．过点C作CD的垂线，点E是该垂线上一点，且满足△ACE≌△BCD，连接DE，DE与AC相交于点F．下列结论：①△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE；②若BC=2，则(C四边形ADCE)min=；③若∠BCD=25°，则∠AED=65°；④DE2=2CF·CA；⑤若AB=AD=2BD，则AF=53．其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．FAB DEEDBA第11题图第12题图12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．若AB=3，BC=4，则BD=__________．13.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE．上述结论中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．314.如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，C分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为__________．DAC B DACB15. 如图，△ABC ，△BDE 都是等腰直角三角形，BA =BC ，BD =BE ，AC =4，DE=BDE 绕点B 逆时针方向旋转α（0°＜ α＜360°），连接AD ，CE ，记直线AD ，CE 的交点为P ．（1）以下结论中：①△ABD ≌△CBE ；②∠APC =90°；③点P 始终在以AC 为直径的圆上运动．其中正确的是_______．（2）当点E 恰好落在线段AD 上时，①画出对应图形；②此时AD =___________．ED C B A AB C16. 一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为________．EDC B A【参考答案】1. ①②③④2. 2583.4.5. 26.7. A8. 32或949. 或10. （1）四边形ABCD 为平行四边形，理由略；（2）①图略；②当AP PB =时，B′P ⊥AB ． 11. ①②③④ 12. 5 13. C14.15. （1）①②③（216. 60°或15°几何结构之折叠、旋转（随堂测试）1. 如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论：①EF ；②S 四边形OEBF :S 正方形ABCD =1:4；③BE +BF OA ；④在旋转过程中，设BE =x ，则S △BEF +S △COF =212x x -+；⑤OB ·OG =12(AE 2+CF 2)．其中正确的是__________（填正确结论的序号）． OF E DCBAMN(P )G2. 如图，正方形ABCD 的边长是9，点F 是CD 边上一点，CF =4，点E 是AB边上的一个动点．将正方形沿EF 折叠，则当点D 的对应点D ′落在线段BC 上时，线段AE 的长为_________．F DA【参考答案】1.①②③⑤2. 211。

第10讲立体几何翻折与旋转问题(解析版)待定

第10讲立体几何翻折与旋转问题1．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：取BD 的中点E ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥．BD ∴⊥面AEC ．BD AC ∴⊥，故①正确．设正方形边长为a ，则AD DC a ==，AE EC ==． AC a ∴=．ADC ∴∆为等边三角形，故②正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，以E 为坐标原点，EC 、ED 、EA 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则(0A ，0，)2，(0B ，2-，0)，(0D ，2，0)，C ，0，0)．(0AB =，，)，2(2DC =，，0)． cos AB <，12DC >=， AB ∴<，60DC >=︒，故③正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，故④不正确．故选：C ．3．矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABC ∆与ADC ∆沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为( )A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[0,]2πD ．2[0,]3π 【解答】解：由题意，初始状态，直线AD 与直线BC 成的角为0，DB =时，AD DB ⊥，AD DC ⊥，AD ∴⊥平面DBC ，AD BC ⊥，直线AD 与直线BC 成的角为2π， ∴在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为[0，]2π．故选：C ．4．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =．将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直【解答】解：如图，AE BD ⊥，CF BD ⊥，依题意，1AB =，BC =AE CF =BE EF FD ==A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则BD AE ⊥，BD ∴⊥平面AEC ，从而BD EC ⊥，这与已知矛盾，排除A ；B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME BD ⊥，AEM ∴∠就是二面角A BD C --的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确；C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除CD ，由上所述，可排除D故选：B ．5．在Rt ABC ∆中，2C π∠=，1AC =，BC D 是AB 边上的动点，设BD x =，把BDC ∆沿DC 翻折为△B DC '，若存在某个位置，使得异面直线B C '与AD 所成的角为3π，则实数x 的取值范围是( )A ．0x <<B 2x <<C ．0x <D 2x << 【解答】解：把BDC ∆沿DC 翻折，形成了一个圆锥．过点C 作//CE AB ，则AB 与B C '所成的角等于CE 与B C '所成的角，设AB 与BC 所成的角的大小为θ，设BCD α∠=．则30230θα︒<<+︒，23060α+︒>︒，15α∴>︒，135BDC ∴∠<︒．BCD ∆中，sin sin BC BDBDC α=∠，∴sin sin15sin sin135BDC α︒=>=∠︒，x ∴>，又2x <．∴2x <<．故选：B ．6．如图，在Rt ABC ∆中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是( )A ．(0B ．2]C ．D ．(2，4]【解答】解：由题意得，AD CD BD ===，BC x =，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．BC DE ⊥，BC AD ⊥，BC ∴⊥平面ADE ， BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，AE ∴AD =在ADE ∆中：12>12<+③0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当△1B CD 与ACD ∆在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒， 130CBD BCD B CD ∴∠=∠=∠=︒，60A ∴∠=︒，tan60BC AC =︒，此时1x ==综上，x 的取值范围为(0，故选：A ．7．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆、CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到△1A BE ，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行B ．//CD 平面1A BEC ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直D ．1BC A B ⊥【解答】解：连结CE ，当平面1A BE 与平面BCE 重合时，BC ⊂平面1A BE ，∴平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线，故A ，C 可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ，使得BF CD =，连结EF ，则当平面1A BE 与平面BEF 重合时，BF ⊂平面1A BE ，故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线，即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线，//CD ∴平面1A BE ，故B 可能成立．若1BC A B ⊥，又11A B A E ⊥，则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线， 1A B CE ∴<，设11A B =，则经计算可得CE =与1A B CE <矛盾，故D 不可能成立．故选：D ．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点．将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值不可能为( )A ．9π B ．6π C ．5π D ．3π 【解答】解：如图所示，把△A CM '继续旋转，一直旋转到平面ABC 里面，这时A '在A ''位置，这时2999AMN A MN πππ∠=+==∠''，4599A MB πππ''∠=-=，此时，A MB ∠''是直线A M '和BM 所成的最小角，592ππ>不成立，θ∴的取值不可能为9π．故选：A ．9．在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD∆沿BD翻折到△1C BD位置，且使得三棱锥1C ABD-体积最大，则AD长为()A．2B．52C．3D．4【解答】解：如图，ABC∆为等腰直角三角形，且斜边5AC=，则2AB BC==，设(05)AD x x=<<，则15CD C D x==-，则BD==．要使三棱锥1C ABD-体积最大，则平面1C BD⊥平面ABC，再设1C到平面ABC的距离为h，则1111sin224BD h BC C Dπ=，可得2(5)2xh-=115225sin242224ABDS AB AD x xπ∆===．∴三棱锥1C ABD-体积2222(5)15255223424525525()()xx xV xx x--+==-+-+．当52x=时，25x x-+有最大值254有最小值52，此时V有最大值为12548．AD∴长为52．故选：B．二．填空题（共7小题）10．将边长为2，锐角为60︒的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是②③④．（将正确的命题序号全填上）①//EF AB；②EF是异面直线AC与BD的公垂线；③//CD平面EFG；④AC垂直于截面BDE．【解答】解：设AD的中点为M，连接FM，则//AB FM，FM与EF相交，∴与AB为异面直线，故①错误；EF由ABC ADC∆≅∆可得BE DE=，⊥，EF BD∴⊥，同理可得EF AC∴是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确；EF由中位线定理可得//∴平面EFG，故③正确；CDFG CD，//⊥，∴⊥，同理可得：DE ACAB BC=，BE AC∴⊥平面BDE．故④正确．AC故答案为：②③④．11．在ABC∠=︒，D是边AC上一点，将ABD ∆中，已知AB=BC=45ABC∆沿BD折起，得到三棱锥A BCD=，则x的取值范围-，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x为．【解答】解：ABC∠=︒，ABC∆中由余弦定理得：已知AB=BC=45AC AB BC cocB ==ABC ∆为等腰直角三角形，如下图a 所示．ABD ∆沿BD 折起，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上时，如图b ，AM ⊥面BCD ，MN ，AN 都于BD 垂直，折叠前在图a 中AM BD ⊥于N 点，在图a 中过A 作1AM BC ⊥于1M ，动点D 与C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，这时M 接近1M ，在图b 中，AB 是Rt AMB ∆的斜边，所以BM AB <，1BM BM AB ∴<<，1Rt ABM ∆中，112BM BC =BM x ∴=∈，；故答案为：．12．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是 ①②④ ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．【解答】解：①取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则1//MF DA ，//BF DE ，∴平面//MBF 平面1A DE ，//MB ∴平面1A DE ，故D 正确由1A DE MFB ∠=∠，112MF A D ==定值，FB DE ==定值，由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-∠，所以MB 是定值，故①正确． ②B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球上，故②正确，若③成立，则由DE CE ⊥，可得DE ⊥面1A EC1DE A E ∴⊥，而这与11DA A E ⊥矛盾故③错误．④取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则平面//MBF 平面1A DE ，可得④正确；故正确的命题有：①②④，故答案为：①②④．13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点，将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值可能为 ②③④ （填上正确的所有序号） ①9π②7π③6π④3π【解答】解：如图，设A '在平面BMC 上的射影为A ''，则由题意知，点A ''在直线CM 的垂线A A '''上，要使A M MB '⊥，则A M MB ''⊥，因此只需考虑其临界情况，即当A M MB ''⊥时，点A 与点A ''关于直线CM 对称，4AMD A MD BMC π''∴∠=∠=∠=，又AM MC =，AMC ∴∆是以MAC ∠为底角的等腰三角形，24CAM MCA πθ∴∠+∠==，8πθ∴=．因此当8πθ时，有A M MB '⊥，θ∴的取值可能为7π，6π，3π．故答案为：②③④．14．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD ∆折起得到△1A BD ，且点1A 在平面BCD 上的射影O 落在BC 边上，记二面角1C A B D --的平面角的大小为α，则sin α的值等于34．【解答】解：CD BC ⊥，又1CD AO ⊥，1A O BC O =，CD ∴⊥平面1A BC ，1CD A B ∴⊥．又11A B A D ⊥，1A B ∴⊥平面1CA D ．1CA D ∴∠是二面角1C A B D --的平面角．在Rt △1ACD 中，13sin 4CD A D α==．故答案为：3415．已知ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =M 为AB 的中点，现将ACM ∆沿CM 折成三棱锥P CBM -，当二面角P CM B --大小为60︒时，ABPB【解答】解：如图，取BC 中点E ，连接AE ，设AECM O =，再设2AC =，由90C ∠=︒，tan A BC=在Rt MEC ∆中，可得tanCME ∠Rt ECA ∆中，求得tan 2AEC ∠=， cot AEM ∴∠90CME AEM ∠+∠=︒，有AE CM ⊥． PO CM ∴⊥，EO CM ⊥，POE ∠为二面角P CM B --的平面角为60︒，2AE ==1sinOE CME =⨯∠，PO ∴=．在POE ∆中，由余弦定理可得PE == 222PE CE PC ∴+=，即PE BC ⊥．则2PB PC==．在Rt ACB ∆中，求得AB =∴ABPB=16．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为43π；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为．【解答】解：已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，如图：2AB =，1AD =，1CD =，AC ∴BC ，BC AC ∴⊥，取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，当三棱锥体积最大时，∴平面DCA ⊥平面ACB ，OB OA OC OD ∴===，1OB ∴=，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：43π．由题意，A ，B ，C ，D 均在外接球上，AC BC =BC AC ⊥，AB ∴为直径，1OB R ∴==， 1OD ∴=，过E 作OE AC ⊥，则2OE =， 1OD =，∴，∴三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为1132⨯．故答案为：43π．三．解答题（共15小题）17．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC∆折起，使点C 到达点P的位置，且PF BF⊥．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则12AE AD=，12BF BC=，由于四边形ABCD为正方形，所以EF BC⊥．由于PF BF⊥，EF PF F=，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH EF⊥于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH EF⊥，则PH⊥面ABFD，故PH DH⊥．在三棱锥P DEF-中，可以利用等体积法求PH，因为//DE BF且PF BF⊥，所以PF DE⊥，又因为PDF CDF∆≅∆，所以90FPD FCD∠=∠=︒，所以PF PD ⊥，由于DEPD D =，则PF ⊥平面PDE ，故13F PDE PDE V PF S -∆=，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ，所以DA ⊥面PEF ，所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a =在PDE ∆中，PE ，所以2PDE S ∆=，故3F PDE V -=，又因为2122DEF S a a a ∆==，所以23F PDE V PH a -==，所以在PHD ∆中，sin PH PDH PD ∠=即PDH ∠为DP 与平面ABFD ．18．如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且DE ，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，⋯⋯⋯⋯⋯（1分）由翻折的不变性，2,PD PF CF DE ====，DF =，又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）又PEEF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） AD ⊂平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）222PE PF EF +=，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得7PH PO =．在直角POH ∆中，sin PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）19．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点．以EF 为折痕把DEF ∆折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点．（1）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接CE ，由题意知，四边形ABCE 为正方形，连接BE 交AC 于O ，连接OG ，所以O 为BE 中点，又因为G 为PB 中点，所以//OG PE ，因为E ，F 分别为AD ，CD 中点，所以//AC EF ，因为OGAC O =，PEEF E =，AC ，OG ⊂平面ACG ，PE EF ⊂平面PEF ，所以平面//GAC 平面PEF ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：(0A ，0)，C 0，0)，B0)，(2P 2，1)，G ，，1)2， 32(4AG =，324，1)2,(2AC =,2,0),2(2AP =，322，1),设平面PAC 的法向量为(n x =,y ,)z ,20202AC n x AP n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =-,(1n =,1-,所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为2||2||||10AG n AG n ⋅==⋅⋅20．已知D ，E 分别为边AB ，AC 上的一点，//DE BC 且||(01)||AD AB λλ=<<，如图所示，将ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，使A 点位于1A 点的位置，连接1A A ，1A B ，1A C ．（1）当12λ=时，记平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，证明：1l AA ⊥；（2）若ABC ∆为直角三角形，2ABC π∠=，且将ADE ∆沿DE 折成直二面角，求当λ为何值时，平面1A BC与平面1A DE 所成的二面角为3π．【解答】解：（1）证明：当12λ=时，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，所以1||||||A D AD BD ==，所以190AA B ∠=︒，所以11AA A B ⊥，又1||||||A E AE EC ==，同理可得11AA AC ⊥，而111A BA C A =，且都在平面1A BC 内，所以1AA ⊥平面1A BC ，又BC 在平面1A BC 内， 1AA BC ∴⊥，//DE BC ，BC 在平面1A BC 内，DE 不在1A BC 内， //DE ∴平面1A BC ，又平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，//DE l ∴， //BC l ∴，1l AA ∴⊥；（2）90ABC ∠=︒，DE AB ⊥，∴以D 为坐标原点，DE ，DA ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设||1AB =，||2BC a =，则||AD λ=，故(0D ，0，0)，(0A ，λ，0)，(0B ，1λ-，0)，(2C a ，1λ-，0)，11(2,0,0),(0,0,),(2,0,0),(2,1,)E a A BC a AC a λλλλ==--，设平面1A BC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1202(1)0m BC ax m AC ax y z λλ⎧==⎪⎨=+--=⎪⎩，可取(0,,1)1m λλ=-，设平面1A DE 的一个法向量为(0,1,0)n =，平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为3π，∴||||1cos 3||||2(m n m n λπλλ===， 22210λλ∴+-=，解得λ． 21．如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，满足1AD =，DE AB ⊥．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --为直二面角，连接1A B ，1A C ．（1）求二面角1C A B D --的余弦值；（2）线段1A E 上是否存在点P ，使得直线CP 与平面1A BC 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，BD DE ⊥，1A D DE ⊥，二面角1A DE B --为直二面角，190A DB ∴∠=︒，即1A D BD ⊥，以D 为原点，DB 、DE 和1DA分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(2C ，0)，1(0A ，0，1)，(0E0)，∴1(2A B =，0，1)-，11(2AC =，1)-，设平面1A BC 的法向量为(m x =，y，)z ，则1100m A B m A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20102x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =，则y ，2z =，∴(1m =，2)， BD DE ⊥，1A D DE ⊥，且1A D 、BD ⊂面1A BD ，1A DBD D=，DE ∴⊥面1A BD ，∴平面1A BD 的法向量为(0n =，1，0)，13cos ,||||4433m n m n m n ∴<>===⨯，二面角1C A B D --为锐二面角，故二面角1C A B D --的余弦值为14．（2）设线段1A E 上存在点(P x ，y ，)z 满足题意，且11([0,1])A P A E λλ=∈，则(x ，y ，1)(0z λ-=1)-，0x ∴=，y =，1z λ=-，即点(0P，1)λ-，∴1(2CP =-，-1)λ-，由（1）知，平面1A BC 的法向量为(1m =，2)，而CP 与平面1A BC 所成的角为60︒sin 60|cos CP ∴︒=<，12(1)2||||||||CP m m CP m λ-+-+->===，解得43λ=或8[05∉，1]，故不存在点P 满足题意．22．已知直角三角形ABC 中，6AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，点D ，E 分别是边AC ，AB 上的动点（不含A 点），且满足AD AE =1)．将ADE ∆沿DE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，连结AB 、AC （图2)．()I 求证：AD ⊥平面BCDE ；()II 求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【解答】证明：()6I AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，AB ∴=AD ABAE AC==， ADE ABC ∴∆∆∽，90ADE ABC ∴∠=∠=︒，即AD DE ⊥．平面ADE ⊥平面BCDE ，且平面⋂平面DE =，AD ⊆平面ADE ，AD ∴⊥平面BCDE ．解：()II 设DE x =，则2AE x =，AD =，)221392ABC ADE BCDE S S S x x ∆∆∴=-=⨯⨯=-四边形．)()2311199332A BCDE BCDE V S AD x x x -∴=⋅=-=-四边形，(0x <<．令333()9(0)2f x x x x=-<，则2()93f x x '=-，令()0f x '=得x =当0x <<时，()0f x '>x <<()0f x '<．()f x ∴在上单调递增，在上单调递减，∴当DE =，即AE =，3AD =时，四棱锥A BCDE -体积最大．此时12A BCDE V -=⨯=23．等边三角形ABC 的边长为3，点D ，、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B 、1A C ．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）求1A E 与平面1A BC 所成角的正弦值．（3）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由题知在图1中，在ADE ∆中，1AD =，2AE =，则2222cos 3DE AD AE AD AE A =+-=，即得：DE =，所以222AE AD DE =+，即得90ADE ∠=︒，则在图2中，有1A D DE ⊥，BD DE ⊥，二面角1A DE B --的平面角190A DB ∠=︒，即得1A D BD ⊥，1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，且BD ，DE ⊂平面BCDE ，BDDE D =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）解：由（1）知：1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，BD DE ⊥，所以以D 为空间直角坐标系的原点，以DB 、DE 、1DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．则(0D ，0，0)，1(0A ，0，1)，(0E 0)，(2B ，0，0)，1(2C ，∴3(2BC =-，1(2BA =-，0，1)，1(0A E =1)-，令平面1A BC 的法向量为(,,)n x y z =，由130220n BC x y n BA xz ⎧=-+=⎪⎨⎪=-+=⎩，得(1n =，2)，记1A E 与平面1A BC 所成角为θ，则1sin |cos ,|14143nA E θ=<>==++． 1A E ∴与平面1A BC 所成角的正弦值为．（3）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒．令BP BC λ=，则113(2,,1)2PA BA BP λ=-=-，而平面1A BD 的一个法向量为(0m =，1，0)，则由113||2||||PA m m PA =，解得56λ=， ∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．24．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ==，D ，E分别是AC ，AB 上的点，CD BE ==将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得A B A C ''==．（1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ；（2）求A B '与平面A CD '所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取BC 中点O ，连结OD ，OE ，A B AC '='，O 为BC 中点，AO BC ∴'⊥，132BO BC ∴==，A O '在OCD ∆中，2222cos 5OD CD OC CD OC OCD =+-∠=．OD ∴ 在△A OD '中，22235A O OD A D '+=+='，AO OD ∴'⊥，BCOD O =，AO ∴'⊥平面BCD ，AO '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面BCD ．（2）解：以O 为原点，在平面BCDF 内过O 作BC 的垂线为x 轴，OB 为y 轴，OA '为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)，∴(0CA '=，3，(1DA '=-，2，设(n x =，y ，)z 是平面A CD '的法向量，则3020n CA y n DA x y ⎧'=+=⎪⎨'=-++=⎪⎩，令1x =，得(1n =，1-，(0A B '=，3，，设A B '与平面A CD '所成角为θ，则||sin ||||5n A B n A B θ'==='cos θ==A B '∴与平面A CD '．25．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形32AB AC ==，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2CD BE ==．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得23A B A C '='=．（1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ；（2）求A B '与平面A CD '所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在图1中，易得3OC =，AC =，AD =，连结OD ，OE ，在OCD ∆中，由余弦定理可得0cos45OD OC CD ，由翻折不变性可知2A D '=， 222A O OD A D ''∴+=，A O OD '∴⊥．同理可证A O OE '⊥，又ODOE O =，A O '∴⊥平面BCDE ．∴平面A BC '⊥平面BCD ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥．以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．则(0O ，0，0)，(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)CA '=，(DA '=-．设平面A CD '的法向量为(n x =，y ，)z3020n CA y N DA x y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩⇒(1,1,n =-，又(0,3,A B '=．cos ,n A B <'>==．A B ∴'与平面A CD '． 26．已知如图一Rt ABC ∆，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 在BC 上，且3BF FC =，G 为DC 中点，将ADE ∆沿DE 折起，BEF ∆沿EF 折起，使得A ，B 重合于一点（如图二），设为P ，（1）求证：EG ⊥平面PDF ；（2）求二面角C PF E --的大小．【解答】（1）证明：如图一，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE DC ⊥，DE PD ⊥，又2DE =，2225DF DC CF =+=，由3334BF FC CB ===，故3PF =，所以222PD DF PF +=，故PD DF ⊥，又DEDF D =，DE ，DF ⊂平面DEFC ，所以PD ⊥平面DEFC ，又EG ⊂平面DEFC ，故EG PD ⊥，如图，以直线DE ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， (2E ，0，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，2)，(1F ，2，0)，(0G ，1，0)， (2,1,0),(1,2,0)EG DF =-=，220EG DF =-+=，故EG DF ⊥，又PD DF D =，DP ，DF ⊂平面PDF ，故EG ⊥平面PDF ；（2）解：设平面PCF 的法向量为(,,)m x y z =， (1,0,0),(1,2,2)CF FP ==--，由0220CF m x FP m x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，得(0,1,1)m =，设平面PEF 的法向量为(,,)n a b c =，则(1,2,0)EF =-，由20220EF n a b FP n a b c ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩，得(2,1,2)n =，由122cos ,223m n +<>==，结合图象知二面角为钝角，故二面角C PF E --为135︒．27．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且满足2AE BDEC DA==（如图①)，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （如图②)．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P （不包括端点），使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长，若不存在，请说明理由．x ⎰【解答】（1）证明：由题意可知11A D =，12A E =，60DAE ∠=︒，DE ∴= 22211A D DE A E ∴+=，1A D DE ∴⊥，二面角1A DE B --成直二面角，即平面1A DE ⊥平面BDE ，平面1A DE ⋂平面BDE DE =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）由（1）可知DE BD ⊥，以D 为原点，以DB ，DE ，1DA 为坐标轴建立空间坐标系D xyz -，如图所示，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0A ，0，1)，1(2C，0)，则3(2BC =-，0)，(2DB =，0，0)，令(01)BP BC λλ=<<，则3(22DP DB BP λ=+=-，0)，即3(22P λ-，0)，∴13(22A P λ=-，1)-，由（1）知(0n =，1，0)为平面1A BD 的一个法向量，则111cos ,||||(2n A P n A P n A P <>===，解得56λ=，即13(4A P =，1)-，152A P∴=．∴线段BC上存在点P使得直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒，且152A P=．28．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA==（如图1)．将ADE∆沿DE折起到△1A DE的位置，使二面角1A DE B--成直二面角，连结1A B、1A C（如图2)．（1）求证：1A D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）正ABC∆的边长为3，且12AD CEDB EA==1AD∴=，2AE=，ADE∆中，60DAE∠=︒，由余弦定理，得DE ==2224AD DE AE +==，AD DE ∴⊥．折叠后，仍有1A D DE ⊥二面角1A DE B --成直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCDE 又平面1A DE ⋂平面BCDE DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥ 1A D ∴⊥平面BCED ；（2）假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒ 如图，作PH BD ⊥于点H ，连接1A H 、1A P 由（1）得1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED 所以1A D PH ⊥1A D 、BD 是平面1A BD 内的相交直线，PH ∴⊥平面1A BD由此可得1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，即160PA H ∠=︒设(03)PB x x =，则cos602xBH PB =︒=，sin 60PH PB =︒在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，所以12xA H =，在Rt △1DA H 中，11A D =，122DH x =-由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=解之得52x =，满足03x 符合题意所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．29．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面BCED ；（Ⅱ）若点P 在线段BC 上，52PB =，求直线1PA 与平面1A BD 所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：因为等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==，所以1AD =，2AE =．在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE 因为222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥．因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED ．又平面1A DE ⋂平面BCED DE =， 1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，所以1A D ⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1PH A D ⊥．又1A DBD D =，所以PH ⊥平面1A BD ．所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角．设PB x =，(03)x ，则2xBH =，PH x =．在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，所以112A H x =，在Rt △1A DH 中，122DH x =-．由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=．解得52x =，满足03x ，符合题意．所以在线段BC 上存在点，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．30．如图，ABC ∆中，2AB =，1BC =，90ABC ∠=︒，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折到△A DE '的位置，使平面A DE '⊥平面BCED ．（1）当D 为AB 的中点时，设平面A BC '与平面A DE '所成的二面角的平面角为(0)2παα<<，直线A C '与平面A DE '所成角为β，求tan()αβ+的值；（2）当D 点在AB 边上运动时，求四棱锥A BCED '-体积的最大值．【解答】解：（1）作CF DE ⊥于F ，连接A F '，则CF ⊥平面A DE '， CA F β∴∠'=，在矩形BCFD 中，1CF BD ==，1DF BC ==，在Rt △A DF '中，A F '=，tan CF A F β=='，作//A P DE '，//DE BC ，//A P BC ∴'，平面A BC '⋂平面A DE A P '='，A P A D '⊥'，A P A B '⊥'，4BA D πα∴∠'==，1tan(3αβ+∴+=+ （2）设A D x '=，(0,2)x ∈，则2xDE =，2BD x =-， ∴四棱锥A BCED '-体积3(1)(2)1423212xx x x V x +--==， 24312xV -∴'=，令0V '=，可得x =递增，在，2)递减，x ∴时，四棱锥A BCED '-． 31．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面:BCED（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==，1AD ∴=，2AE =，在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE222AD DE AE +=，AD DE ∴⊥，拆叠后有1A D DE ⊥，二面角1A DE B --是直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCED ，又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，1A D ∴⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ，如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H ，1A P ，由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCDE ，PH ⊂平面BCED ，1A D PH ∴⊥，又1A DBD D =，PH ∴⊥平面1A BD ，1PA H ∴∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，直线1PA 与平面1A BD ， 160PA H ∴∠=︒，设(03)PB x x =，则2xBH =，PH =，在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，∴112A H x =，在Rt △1A DH 中，111,22A D DH x ==-，由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=，解得52x =，满足03x ，符合题意，∴在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ，此时52PB =．。

中考几何综合变换旋转翻折对称

中考几何综合变换一．折叠类问题折叠问题的思考方式：折叠问题会出现在特殊三角形，平行四边形，矩形以及正方形中，一般在矩形和正方形中出现较多。

1.当折叠图形有直角时，一定并且可以构造出一线三等角模型，通过相似和全等来寻找线段之间的关系从而求解。

2.折叠问题一定会伴随着勾股定理出现，如果求线段长，可以设线段为x，通过折叠前后图形全等，在一个rt△中利用勾股定理建立方程思想，从而求解。

如果复杂，需要用到上面说的一线三等角来转化线段，进而利用勾股定理。

3.利用对称的性质：对应点连线所形成的线段一定被折痕垂直平分，可以通过此性质，延伸出多种做题方式（1）利用垂直，以及正方形，矩形中的垂直，构造双垂直模型，即射影定理，母子相似（2）利用中点，可以构造中位线，用中位线定理（3）利用中垂线的性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等。

4.注：如果题目中出现对称的字眼，其本质也是折叠。

1.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE 的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．二.旋转类旋转类题目一般伴随着手拉手模型和半角模型，在我之前的资料中有半角模型的收录。

1.其第一问通常是证明三角形全等，给出特殊条件，如旋转角为30 60 902.其第二问一般是将特殊条件取消，证明三角形相似，证明过程和1一样，都是手拉手sas3.其第三问往往是最难得题型，可以问当。

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。

新高考数学之立体几何综合讲义第10讲立体几何翻折与旋转问题(解析版)

第 10 讲立体几何翻折与旋转问题
一．选择题（共 9 小题）
1．把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论： ① AC BD ；② ADC 是正三角形；③ AB 与 CD 成 60 角；④ AB 与平面 BCD 成 60 角．则其中正确结论的个数是 ( )
A．1 个
B．2 个
BC DE ， BC AD ， BC 平面 ADE ，
BC AE ， DE BC ，
C．3 个
D．4 个
【解答】解：取 BD 的中点 E ，则 AE BD ， CE BD ．
BD 面 AEC ．
BD AC ，故①正确．
设正方形边长为 a ，则 AD DC a ， AE 2 a EC ． 2
AC a ．
ADC 为等边三角形，故②正确．
ABD 为 AB 与面 BCD 所成的角为 45 ，
A． 1 4
B． 2 4
【解答】解：补成正方体如图：
C． 3 4
由于 EF ，故截面为平行四边形 MNKL ，可得 KL KN 1 ；
又 KL / / BC ， KN / / AD ，且 AD BC ；
KN KL ，
S四边形MNKL
NK
KL( NK 2
KL
)2
1， 4
当且仅当 NK KL 时取等号．
DB 2 时， AD DB ， AD DC ，
AD 平面 DBC ， AD BC ，直线 AD 与直线 BC 成的角为，
2 在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围（包含初始状态）为 [0 ， ] ．
2 故选： C ．
4．已知矩形 ABCD ， AB 1 ， BC 2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )

专题35 几何图形翻折与旋转【热点专题】(含答案解析)

专题35几何图形翻折与旋转【热点专题】几何图形的翻折与旋转问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效．同样的翻折与旋转类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同．（1）旋转后的图形与原图形是全等；（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；题型一：点、线旋转（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）【例1】1．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（4）或（﹣4）C ．（﹣2）或（2）D ．（2，﹣2，（2021·江苏扬州市·中考真题）【例2】2．如图，一次函数y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30︒交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）AB ．C ．2D题型二：面的旋转（2021·辽宁大连·中考真题）【例3】3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到A B C ''△，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为（）A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-（2021·四川巴中·中考真题）【例4】4．如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ．若BQ ：AQ ＝3：1，则AM ＝__________．题型三：三角形翻折问题（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）【例5】5．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198B ．2C ．254D ．74（2021·重庆中考真题）【例6】6．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．题型四：四边形翻折问题【例7】7．如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则ADDF的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719（2021·四川自贡市·中考真题）【例8】8．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将BMA △沿BM 对折至BMN ，连接DN ，则DN 的长是（）A ．52B ．958C ．3D ．655（2021·湖北黄石·中考真题）9．如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A 点的坐标是()1,0-，现将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90︒，则旋转后点C 的坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3-C ．()2,2-D ．()3,2-（2021·湖南益阳·中考真题）10．如图，Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，将ABC 绕A 点顺时针方向旋转角9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB ' 的面积之比等于_______．（2021·江苏苏州·中考真题）11．如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．（2021·四川成都市·中考真题）12．如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．（2021·新疆·中考真题）13．如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE 按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分别交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．（2021·四川绵阳·中考真题）14．如图，点M 是ABC ∠的边BA 上的动点，6BC =，连接MC ，并将线段MC 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MN ．（1）如图1，作MH BC ⊥，垂足H 在线段BC 上，当CMH B ∠=∠时，判断点N 是否在直线AB 上，并说明理由；（2）如图2，若30ABC ∠=︒，//NC AB ，求以MC 、MN 为邻边的正方形的面积S ．（2021·山西·中考真题）15．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，BC =部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．（2021·山东日照·中考真题）16．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF △绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______．（2）小王同学继续将BEF △绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF △旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE V 的面积为______．（2021·辽宁阜新·中考真题）17．下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ，G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G ．则将图形1G 绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形2G ．（2）在图2中分别画出．．．．G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G ．将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形2G ．（3）综上，如图3，直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，如果图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用α表示），可以得到图形2G ．18．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．参考答案：1．C【分析】先求出点A 的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A ′的坐标．【详解】过点A 作AC OB ⊥于点C ．在Rt △AOC 中，222AC OA OC =-．在Rt △ABC 中，()22222AC AB CB AB OB OC =-=--．∴()2222OA OC AB OB OC -=--．∵OA ＝4，OB ＝6，AB ＝，∴2OC =．∴AC =∴点A 的坐标是(2,．根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90°时，点A 的对应点A ′的坐标为()2-；将△AOB 绕原点O 逆时针旋转90°时，点A 的对应点A ′′的坐标为()2-．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a ，b ）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b ，-a ），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b ，a ）．2．A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB 的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y x=的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y y=0，则x=，则A（，0），B（0），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x，解得：x∴AC x）+故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．3．C【分析】由旋转的性质可得CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，进而可得45AA C '∠=︒，然后问题可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：CA B CAB α''∠=∠=，90,ACA AC A C ''∠=︒=，∴ACA ' 等腰直角三角形，∴45AA C '∠=︒，∴45AA B α''∠=︒-；故选C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4．25【分析】连接OQ ，OP ，利用HL 证明Rt △OAQ ≌Rt △ODQ ，得QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，设CP =x ，则BP =3-x ，PQ =x +34，在Rt △BPQ 中，利用勾股定理列出方程求出x =95，再利用△AQM ∽△BQP 可求解．【详解】解：连接OQ ，OP ，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OA =OD ，∠OAQ =∠ODQ =90°，在Rt △OAQ 和Rt △ODQ 中，OQ OQ OA OD =⎧⎨=⎩，∴Rt △OAQ ≌Rt △ODQ （HL ），∴QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，∵BQ：AQ=3：1，AB=3，∴BQ=94，AQ=34，设CP=x，则BP=3-x，PQ=x+3 4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：(3-x)2+(94)2=(x+34)2，解得x=9 5，∴BP=6 5，∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，∴△AQM∽△BQP，∴13 AM AQBP BQ==，∴1 63 5AM=，∴AM=2 5．故答案为：2 5．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用全等证明QA=DQ，CP=DP是解题的关键．5．D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=12AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．6．【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠，∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒，∴B BFD ∠=∠，∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴152DE BC ==，∵AF ＝EF ，∴AEF △是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =，∴tan 60CF AF ==︒∴AG =∴四边形ADFE 的面积为122DE AG ⋅⨯=，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键．7．C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP=OF 可得出△OEF ≌△OBP （AAS ），根据全等三角形的性质可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∵90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE ﹣EF =4﹣x ．又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC ﹣BP =3﹣x ，∴AF =AB ﹣BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即（1+x ）2+32=（4﹣x ）2，解得：x =0.6，∴DF =4﹣x =3.4，∴1517AD DF =．故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．8．D【分析】延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，根据折叠的正方形的性质得到NE CE =，在Rt MDE 中应用勾股定理求出DE 的长度，通过证明MDE NFE ∽，利用相似三角形的性质求出NF 和DF 的长度，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长MN 与CD 交于点E ，连接BE ，过点N 作NF CD ⊥，∵6AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =，∴2AM =，4DM =，∵将BMA △沿BM 对折至BMN ，四边形ABCD 是正方形，∴90BNE C ∠=∠=︒，AB AN BC ==，∴Rt BNE Rt BCE ≌(HL)，∴NE CE =，∴2EM MN NE NE =+=+，在Rt MDE 中，设DE x =，则628ME x x =-+=-，根据勾股定理可得()22248x x +=-，解得3x =，∴3NE DE ==，5ME =，∵NF CD ⊥，90MDE ∠=︒，∴MDE NFE ∽，∴25EF NF NE DE MD ME ===，∴125NF =，95EF =，∴65DF =，∴DN =，故选：D ．【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅助线是解题的关键．9．B【分析】在网格中绘制出CA 旋转后的图形，得到点C 旋转后对应点．【详解】如图，绘制出CA 绕点A 逆时针旋转90°的图形，由图可得：点C 对应点C '的坐标为(-2，3)．故选B ．【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转．10．9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得32AC AB =，再根据旋转的性质可得,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，从而可得1AC AB AC AB ==''，然后根据相似三角形的判定可得CAC BAB ''~ ，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：在Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，32AC AB ∴=，由旋转的性质得：,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，1AC AB AC AB ∴==''，在CAC '△和BAB ' 中，AC AB AC AB CAC BAB ''''⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，CAC BAB ''~∴ ，294CAC BAB AC S AB S ''⎛⎫== ⎪⎝⎭∴ ，即CAC '△与BAB ' 的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．11．245【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA∠=∠∴'sin ''sin 'A P BC B OA BOA A O OB ∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．12．1【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE =5，从而求得OA 及OC ；由AD ∥BC ，易得△AOE ∽△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’⊥EF ，3A E AE '==∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°，CD =AB =4，AD ∥BC∵∠AOE =∠ADC ，∠OAE =∠DAC∴△AOE △ADC ，∴12OE CD OA AD ==，∴OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE +=，∴OE =5，∴OA在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC =，∴OC =令BF =x ，则FC =8-x ，∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ，∴37OA AE OC FC ==，即7AE =3FC∴3(8-x )=7×3解得：1x =,∴BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN ⊥EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+-，解得：m =3，则NF ，∵EF =∴MF∴MN故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．13【分析】过点E 作EP ⊥BD 于P ，将∠EDM 构造在直角三角形DEP 中，设法求出EP 和DE 的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∠A =∠BCD =∠ADC =90°，AB =BC =CD =DA =1，BD =．∵△DAE 绕点D 逆时针旋转得到△DCF ，∴CF =AE ，DF =DE ，∠EDF =∠ADC =90°．设AE =CF =2x ，DN =5x ，则BE =1-2x ，CN =1-5x ，BF=1+2x ．∵AB ∥DC ，∴~FNC FEB ∆∆．∴NC FC EB FB =．∴1521212x x x x-=-+．整理得，26510x x +-=．解得，116x =，21x =-（不合题意，舍去）．∴1221233AE x EB x ===-=，．∴DE ===过点E 作EP ⊥BD 于点P ，如图所示，设DP =y，则BP y =．∵22222EB BP EP DE DP -==-，∴)2222233y y ⎛⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解得，y =∴3EP ===．∴在Rt △DEP中，sin 3EP EDP ED∠==sin 5EDM ∠=．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（1）点N 在直线AB 上，见解析；（2）18【分析】（1）根据CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，得到90B C ∠+∠=︒，可得线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即可得解；（2）作CD AB ⊥于D ，得出45MCN ∠=︒，再根据平行线的性质得到45BMC ∠=︒，再根据直角三角形的性质计算即可；【详解】解：（1）结论：点N 在直线AB 上；∵CMH B ∠=∠，90CMH C ∠+∠=︒，∴90B C ∠+∠=︒，∴90BMC ∠=︒，即CM AB ⊥．∴线段CM 逆时针旋转90︒落在直线BA 上，即点N 在直线AB 上．（2）作CD AB ⊥于D ，∵MC MN =，90CMN ∠=︒，∴45MCN ∠=︒，∵//NC AB ，∴45BMC ∠=︒，∵6BC =，30B ∠=︒，∴3CD =，MC =∴218S MC ==，即以MC 、MN 为邻边的正方形面积18S =．【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．15．（1）EF BF =；见解析；（2）AG BG =，见解析；（3）223．【分析】（1）如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，根据平行四边形的性质可得//AD BC ，根据平行线的性质可得PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠，利用AAS 可证明△PDF ≌△BCF ，根据全等三角形的性质可得FP FB =，根据直角三角形斜边中线的性质可得12EF BP =，即可得EF BF =；（2）根据折叠性质可得∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，FC =FC′，可得FD =FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D ，根据三角形外角性质可得∠CF C′=∠FDC′+∠FC′D ，即可得出∠C′FB =∠FC′D ，可得DG//FB ，即可证明四边形DGBF 是平行四边形，可得DF =BG =12AB ，可得AG =BG ；（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，根据平行四边形的面积可求出BH 的长，根据折叠的性质可得A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，根据'A B CD ⊥可得A ′B ⊥AB ，即可证明△MBQ 是等腰直角三角形，可得MQ =BQ ，根据平行四边形的性质可得∠A =∠C ，即可得∠A ′=∠C ，进而可证明△A ′NH ∽△CBH ，根据相似三角形的性质可得A ′H 、N H 的长，根据NH //MQ 可得△A ′NH ∽△A ′MQ ，根据相似三角形的性质可求出MQ 的长，根据S 阴=S △A′MB-S △A′NH 即可得答案．【详解】（1）EF BF =．如图，分别延长AD ，BF 相交于点P ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴PDF C ∠=∠，P FBC ∠=∠,∵F 为CD 的中点，∴DF CF =，在△PDF 和△BCF 中，P FBC PDF C DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDF ≌△BCF ，∴FP FB =，即F 为BP 的中点，∴12BF BP =，∵BE AD ⊥，∴90BEP ∠=︒，∴12EF BP =，∴EF BF =．（2）AG BG =．∵将ABCD Y 沿着BF 所在直线折叠，点C 的对应点为'C ，∴∠CFB =∠C′FB =12∠CFC′，'FC FC =，∵F 为CD 的中点，∴12FC FD CD ==，∴'FC FD =，∴∠FDC′=∠FC′D ，∵'CFC ∠=∠FDC′+∠FC′D ，∴'1'2FC D CFC ∠=∠，∴∠FC′D =∠C′FB ，∴//DG FB ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//DC AB ，DC =AB ，∴四边形DGBF 为平行四边形，∴BG DF =，∴12BG AB =，∴AG BG =．（3）如图，过点M 作MQ ⊥A ′B 于Q ，∵ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，'A B CD ⊥于点H ，∴BH =50÷5=4，∴CH 2=，A ′H =A ′B -BH =1，∵将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，点A 的对应点为'A ，∴A ′B =AB ，∠A =∠A ′，∠ABM =∠MBH ，∵'A B CD ⊥于点H ，AB //CD ，∴'A B AB ⊥，∴∠MBH =45°，∴△MBQ 是等腰直角三角形，∴MQ =BQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，∴∠A ′=∠C ，∵∠A ′HN =∠CHB ，∴△A ′NH ∽△CBH ，∴'CH BH A H NH =，即241NH=，解得：NH =2，∵'A B CD ⊥，MQ ⊥A ′B ，∴NH //MQ ，∴△A ′NH ∽△A ′MQ ，∴''A H NH AQ MQ=，即125MQ MQ =-，解得：MQ =103，∴S 阴=S △A′MB-S △A′NH =12A ′B ·MQ -12A ′H ·NH =12×5×103-12×1×2=223．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．16．（1）2，30°；（2【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒ ，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠==如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆ 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠ ，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒，故答案为：2，30︒；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又 BE AB BF DB ==ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOH AOB ∠=∠ ，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30︒．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，AB = 30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒，BE ∴=2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒ ，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，DE ∴30DEA ∠=︒ ，12DG DE ∴==由（2）可得：AE BE DF BF ==，AE ∴=ADE ∴∆的面积1122AE DG =⨯⨯=⨯；如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1122228AE DG =⨯⨯=⨯⨯=；【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．17．（1）O ，180；（2）图见解析，()0,1，90；（3）22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．【详解】解：（1）由图象可得，图形1G 与图形2G 关于原点成中心对称，则将图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；故答案为：O ，180；（2）1G ，2G 如图；由图形可得，将图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，故答案为：()0,1，90；（3）∵当G 关于y 轴的对称图形为1G ，关于x 轴的对称图形为2G 时，1G 与2G 关于原点（0,0）对称，即图形1G 绕O 点顺时针旋转180度，可以得到图形2G ；当G 关于y 轴和直线1y x =+的对称图形1G ，2G 时，图形1G 绕()0,1点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形2G ，点（0,1）为直线1y x =+与y 轴的交点，90度角为直线1y x =+与y 轴夹角的两倍；又∵直线1:22l y x =-+和2:l y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，夹角为α，∴当直线1:22l y x =-+和2:l y x =所夹锐角为α，图形G 关于直线1l 的对称图形为1G ，关于直线2l 的对称图形为2G ，那么将图形1G 绕22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭点（用坐标表示）顺时针旋转2α度（用α表示），可以得到图形2G ．故答案为：22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，2α．【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．18．（Ⅰ）点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案．（Ⅱ）由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ，易证得△OBP ∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E ∽△C′QA ，由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+，即可求得t 的值：【详解】（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6．在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ．∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1=t 2=－．∴点P 的坐标为（6）．（Ⅱ）∵△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，∴△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP ．∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC ．∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°．∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ ．∴OB BP PC CQ =．由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--．∴2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）．（Ⅲ）点P 6，6）．过点P 作PE ⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°．∴∠PC′E+∠EPC′=90°．∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A ．∴△PC′E ∽△C′QA ．∴''=PE PC AC C Q．∵PC′=PC=11－t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6－m ，∴AC '==．∴．∵6116=--t t m ，即6116-=-t t m 6=t ，即．将2111m t t 666=-+代入，并化简，得2322360-+=t t ．解得：12t t ==∴点P ，6）或（113+，6）．。

解题技巧：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题压轴题五种模型全攻略(解析版)

专题07解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一矩形中的折叠问题】 (1)【考点二菱形中的折叠问题】 (13)【考点三正方形中的折叠问题】 (20)【考点四矩形、菱形、正方形折叠后求周长、面积问题】 (28)【考点五矩形、菱形、正方形中旋转问题】 (36)【典型例题】【考点一矩形中的折叠问题】例题：（2023上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD 中，将ADE V 沿AE 折叠，点D 刚好落在对角线AC 上的点F ．(1)若8AB =，6BC =，求DE 的长．(2)若AE EC =，求证：2AC BC =．【答案】(1)3DE =(2)证明见解析【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出10AC =，再由折叠的性质，得到6AF =，DE EF =，90EFC ∠=︒，进而得到4CF =，设DE EF x ==，利用勾股定理列方程求解，即可求出DE 的长；【变式训练】1．（2023上·山东菏泽·七年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ．若125∠=︒，则2∠的度数为（）A．20︒B【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，折叠性质，直角三角形额特征量，根据性质计算即可．【详解】∵矩形纸片ABCDA．5B．13 2【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设8A G DG a'==-，求得AE=∵=EG CG ，∴设EG CG a ==，CF x =，∴8DG a =-，12BF x =-，由折叠的性质知AE A E '=，BF ∵=EG CG ，90D A '∠=∠=︒，【答案】52或10【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论∵四边形ABCD 为矩形，GH ∴四边形AGHD 为矩形，∴5AD GH ==，GH AB ⊥∵点F 在线段AB 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为矩形，GH ∴四边形AGHD 为矩形，∴5AD GH ==，GH AB ⊥∵点F 在线段AB 的垂直平分线上，【答案】263或13104【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长BE 的值，构造出直角三角形，一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键．【详解】解：∵在矩形，此时12MF BC ==，∵13GF =，∴在GMF △中，2GM GF =∴5GM =，∵3=GA ，，在GAF 中，2AF GF =-即410BN =，∴410EN BN BE x =-=-在EFN 中，22EF EN FN =+()22241010x x=-+，)如图①，当点E 是BC 中点时，求CG 的长；)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：CG )如图③，在矩形ABCD 中，当点F 落在矩形对角线AC 上时，BE 的长是【答案】(1)43CG =∵E 是BC 的中点，∴BE EC =，∵ABE 沿AE 折叠后，得到∴3AF AB ==，AFE ∠∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB DC ∥,∴,BAH CHA ABC ∠=∠∠=∵E 是BC 的中点，∴BE EC =，又AEB HEC ∠=∠，由折叠得BE EF =,AF ∴53FC AC AF =-=-设BE x =，则,EF x EC =在Rt EFC △中，2EF +即()22224x x +=-，(1)求CF CD的值；(2)四边形EFDB '的面积为________；∴30B ND '∠=︒，∵B E CD '∥，∴30NDF B ND '∠=∠=︒，即DF 旋转的角度为30︒，故答案为：30．【考点二菱形中的折叠问题】【答案】43【分析】如图所示，延长ME 交DC AMD CDM EMB N ==∠∠，∠∠，∠折叠的性质可得AMD DME =∠∠，程即可得到答案．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键【变式训练】1．（2023下·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，将边AB 沿AF 折叠得到,AB AB ''交CD 于点E ，当E 为CD 中点时，EFC ∠的大小为（）A ．28︒B ．75︒C ．40︒D ．30︒【答案】D 【分析】延长AE 交BC 的延长线于点H ，过点A 作AI BH ⊥于点I ，可证ADE HCE ≌△△，故CH AD BC AB ===，即2BH AB =，即可求解．【详解】解：延长AE 交BC 的延长线于点H ，过点A 作AI BH ⊥于点I∥，∵AD BC∠=∠，∴D ECH∵E为CD中点，=，∴DE CE【答案】3【分析】连接AC、BD，根据题意得出再由已知条件根据含30度直角三角形的性质求出【详解】解：连接AC、BD，如图所示：四边形ABCD是菱形，∴⊥，AC BD将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点=，∴=，AF OFAE EO∴、F分别为AB、AD的中点，E（1）DEF∠=（2）若点E是AB的中点，则【答案】90︒/90度【分析】（1）由翻折可得120A ∠=︒ ，2AB =，60DCM ∴∠=︒，2CD =，112CM CD ∴==，DM =(1)求证：四边形CEFG 是菱形；(2)若8AB =，10AD =，求四边形CEFG 的面积．【答案】(1)见解析；(2)20．【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到BCE BFE ≌，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，进而求得EF 和DF 的值，从而可以得到四边形CEFG 的面积．【详解】（1）证明：∵BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，∴BCE BFE ≌，∴BEC BEF ∠∠=，FE CE =，∵FG CE ∥，∴FGE CEB ∠∠=，∴FGE FEG ∠∠=，∴FG FE =，∴FG EC =，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵CE FE =，∴四边形CEFG 是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，BC BF =，∴90BAF ∠=︒，10AD BC BF ===，∴6AF =，∴4DF =，设EF x =，则CE x =，8DE x =-，∵90FDE ∠=︒，∴()22248x x +-=，解得，x =5，∴CE =5，∴四边形CEFG 的面积是：5CE DF ⋅=4⨯=20．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【考点三正方形中的折叠问题】(1)求线段AB 和线段CF 的长；(2)连接EQ ，EQ =【答案】(1)8AB CF ==，(2)65【分析】（1）由对角线为8由折叠可知AE PE BQ =，∴90BFE FBQ ∠+∠=︒，∵90BFE GEF ∠+∠=︒，∴FBQ GEF ∠=∠，∴()ASA EGF BCQ ≌，【变式训练】1.（2023下·天津北辰·八年级校联考期中）如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使边,AB CB 均落在对角线BDA．15︒【答案】C【分析】根据四边形ABCD角平分线，由此即可求解．【详解】解：∵四边形【答案】5【分析】连接AE，根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接过点G 作GM AD ⊥故MG AB =，由翻折变换的性质得∵90AFG DAE ∠+∠=∴AFG AED ∠=∠，【答案】49 13【分析】证ABF≌6013AM=，得出AG四边形ABCD为正方形，12AB AD CD∴===由折叠的性质可知，BF AE∴⊥，AM GM=90BAM ABM∴∠+∠=【答案】（1）1；（2）23-；（3）97或2【分析】（1）由正方形的性质得90BAD ∠=︒，再由折叠的性质得：BAE ∠=可求解；（2）证ANF 是等腰直角三角形，得45AFN ∠=︒，则45AFD AFM ∠=∠=︒当DF2CF=时，CF= ，JK DF【考点四矩形、菱形、正方形折叠后求周长、面积问题】【答案】6.5/162/132【分析】首先根据矩形的性质可得得 2.5C D CD '==，C ∠获得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， 2.5AB =，4BC =，∴ 2.5CD AB ==，4AD BC ==，90C A ∠=∠=︒，根据题意，沿对角线BD 折叠，点C 落到C '处，∴ 2.5C D CD '==，90C C '∠=∠=︒，∴C D AB '=，在ABE 和C DE ' 中，90AEB C ED A C AB C D '''∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(AAS)ABE C DE ' ≌，∴AE C E '=，∴C ED '△的周长 2.54 6.5C D C E DE C D AE DE C D AD ''''=++=++=+=+=．故答案为：6.5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明ABE C DE ' ≌是解题关键．【变式训练】【答案】12∵四边形ABCD 是菱形，【答案】133【分析】由菱形的性质可得AC BD ⊥，120BAD ∠=︒∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BAD BCD ∠=∠∴cm 132OA AB ==，BAC ∠(1)求DE的长；(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)318(2)4AG AB ==，5AE =，所以1143522GM ⨯⨯=⨯⨯所以125GM =，(1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若8cm AB =，16cm BC =【答案】(1)见解析Y沿直线BE折叠，使点A的对应点F落在(1)如图1，将ABCDY是矩形：(2)如图2，若ABCD①按（1）中操作进行，求证：四边形ABFE是正方形；②在矩形ABCD中折叠出一个菱形DEBF，并使菱形DEBF以【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，正方形的判定，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．【考点五矩形、菱形、正方形中旋转问题】(1)四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；(2)若BC长为2，则AB的长为【答案】(1)四边形BEHC是平行四边形，证明见解析(2)3【分析】（1）依据题意可得到FE∠=∠，然后依据AAS证明FHE CED四边形BEHC 为菱形，BE BC ∴=．由旋转的性质可知BC EC =．BE EC BC ∴==．EBC ∴△为等边三角形．60EBC ∴∠=︒．【变式训练】1．（2023上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG ．(1)如图①，若在旋转过程中，点E落在对角线①求证：MA MC=；②求MF的长；(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线面积．【答案】(1)①见解析；②15 4②如图所示，同①得：27AH=，∴87PE=+，∴1222 BEG GPES S==⨯⨯的面积是综上：BEG【点睛】本题考查的是四边形综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定，需要注意进行分类讨论．2．（2021下·江苏南京在边AB，AD上，连接可得AF OD ∥，△ABD 和△AEG 是等边三角形，从而得到AF =OD ，进而得到四边形AODF 是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：90BDF ∠=︒和90BFD ∠=︒，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】（1）证明：连接AF ，∵四边形AEFG 是菱形，∴AE EF FG GA ===，在GAF 和EAF △中，AG AE GF EF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()GAF EAF SSS ≅ ，∴GAF EAF ∠=∠，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD AB =，在DAF △和BAF △中，AD AB DAF BAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAF BAF SAS ≅ ，∴DF BF =．（2）解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，【类比探究】如图2，将正方形AEFG绕点A旋转任意角度.(1)请你判断图1中得到的线段BE和DG的关系是否仍然成立，并说明理由；(2)当点H在直线AD左侧时，连接AH，存在实数m满足等式m AH DH BH⋅+=，请求出由；(3)若5AE=，正方形AEFG在绕点A旋转过程中，当点F，H重合时，请直接写出线段AB=，1四边形ABCD和四边形AEFG由（1）可知(SAS ABE ADG ≌∴,,ABE ADH AD AB ∠=∠=∴(SAS)ADH ABN ≌，∴BAN DAH AN AH ∠=∠=，，90DAN BAN ∠+∠=︒，∵5AE=，四边形AB=，1∴==，AEF1EF FG∠=∠直线BE与DG交于点H，且点∴点B、E、F在同一直线上，5,1，四边形==AB AE∴==1EF FG直线BE与DG交于点∴点B、E、F在同一直线上，。

中考数学专题讲义折叠与旋转类

折叠与旋转类联想融通：把折叠、旋转放在动态几何里，你觉得会和你过去做过的题目有什么相同？什么不同？动态几何中出现了折叠、旋转、自然会用他们的性质，如折叠问题一定会用其全等的性质，更用其对称点连线被折痕垂直平分的性质；旋转问题一般也会用旋转角相等。

动态几何要研究规律性，故与过去不同之处应该是引入函数吧。

解法归一：用轴对称、旋转的性质，别的与其他动点无异。

动态几何中出现了折叠、旋转、自然会用他们的性质，如折叠问题一定会用其全等的性质，更用其对称点连线被折痕垂直平分的性质。

其中较难题目更是如此，切记！和折叠一样，动态几何中的旋转，一般也用旋转角相等，对应点与旋转中心三点可连成等腰三角形。

一、几何图形的折叠与旋转类、例28-1-1 已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．图28-1-1①图28-1-1②（1）如图28-1-1①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标为____________________；（2）如图28-1-1②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．交流分享：（1）略；（2）折叠出角平分线，用一线三角相似；（3）不仅又多一个相似的直角三角形，还产生了一个等腰三角形。

例28-1-2 （1）如图28-1-1①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（-8,0），直线BC 经过点B （-8,6）C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P 、Q 。

（1）四边形OABC 的形状是______，当α=90°时，BPBQ的值是____；（2）①如图（2），当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值；②如图（3），当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求△OPB ′的面积；（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0°<α≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

几何结构之旋转及基本的解三角形(讲义及答案).

几何结构之折叠、旋转（讲义）>知识点睛L 折叠（轴对称）的思考层次<1）全等变换：对应边相等、对应角相等.<2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线.（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）（3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；②两次折叠往往会出现特殊角：45。

, （4）应用，作图核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形. 特征举例：① 折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；② 对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线. 2.旋转思考层次<1）全等变换：对应边相等、对应角相等.（2）对应点与旋转中心旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角：对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；60。

，90。

（构旋转会产生圆（圆弧）•（3）常见组合搭配旋转会出现相似的等腰三角形：旋转60。

会出现等边三角形；旋转90。

会出现等腰直角三角形;相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型•（4）应用，当题U （背景）中出现等线段共端点时,会考虑补全旋转构造全等.（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素：旋转方向不确定需要分类讨论；常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作.（有时只需保留研究U 标即可）作图（构造）＞精讲精练1小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD. 折痕MN 分别与边AD. 交于点M, N,沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A, B 的对应点分别为点』，他得到了以下结论：①如图1,当点落在DC 的中点处时，BN=5.②如图2,当点B 落在CD 上时，延长NB 咬.AD 的延长线于点£,△NEM 为等腰三角形.③如图2,当点5蔣在QD 上时，连接此时*夕二MN,阳丄MN.④如图3,先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点歹落在MN 上，则其中正确结论的序号是 ___ .ZACB=90\ 点将^CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在 AB 边上的点F 处.若AC=8, AB=10,则CD 的长为 ___________ .图3 D, E 分别在AC, BC2 如图，在△ABC 中, 上，且ZCDE=ZB.如图1,在矩形纸片ABCD 中，AB=^yl3. AD=\Q.点E 是 CD 的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点£重合，如图2,折痕为MN,连接ME, NE ；第二次折叠纸片使点N 与点£重合，如图3,点B 落在夕处，折痕为 HG,连接 HE,则 tanZEHG 二 .A 图1 图2如图，在矩形ABCD中，AB=6, BC=10,将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在/鬼，若EV 的延长线恰好过C,则 Sin Z ABE 的值为 • 如图，一点，点F 是CQ 边上一点，连接EF,把△DEF 沿EF 折叠，使点 D 落在直线上的点D 处,当点D 蔣在BC 边上时，人£的长为 .如图，在 RtAABC 中，ZC=90^ ZA=60。

第4讲与直角有关的折叠旋转尖子班讲义

与直角有关的折叠、旋转（讲义）一、知识点睛1．折叠与旋转都是 _______ ，变换前后 ________ 、 ______ 都相等，从而实现条件的转移．2．基本图形中有直角，要考虑直角如何使用——看作关系，看作，看作_____ 等；如果直角被转移，关注转移之后直角的情况（被转移，被分割，或者跟其他几何特征结合），考虑如何用直角的性质解决问题．3．变换过程中产生直角：折叠过程中，对称轴 __ 对应点所连的线段（从而产生直角）；旋转过程中，由特殊的边、角关系产生直角．1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将 BC 向 BA 方向翻折过去，使点 C 落在 BA 上的点 C ′处，折痕为 BE ，则 EC 的长度是（）A ．5 3B ．5 3 5C ．10 5 3D ． 5 3第 1 题图如图，在正方形纸片直线折叠，使点 C 落在 EF 上，落点为 N ，折痕交 CD 边于点 M ，BM 与 EF 交于点 P ，再展开．则下列结论：①CM ＝DM ；②∠ABN ＝30°；③AB 2 3CM 2； ④△ PMN 是等边三角形．其中正确的有（）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4 个3. 把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕是EF ．若 BF ＝4，CF ＝2，则∠ DEF ＝．精讲精练第 2 题图ABCD 中， E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，沿过点 B 的 2.第 3 题图第 4 题图4. 如图， CD 是Rt △ABC 斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD 折叠， B 点恰好落在 AB 的中点 E 处，则∠ A 等于 ____ ．5. 如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上， CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△ AFE ，延长 EF 交边 BC 于点 G ，连接 AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3. 其中正确的结论有（）个．第 8题图第 9 题图9. Rt △ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边 BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m （0<m <180）度后，如果点 B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么 m ＝ ______ ．6. 动手操作：在矩形纸片 C ．3 D ． 4ABCD 中，AB=3，AD=5. 如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A 处，折痕为 PQ ，当点 A 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P 、Q 也随之移动 . 若限定点 P 、 Q 分别在 AB 、AD 边上移动，则点 A 在BC 边上可移动的最大距离为.7. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=90°，∠ACB=30°，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 15°后得到 △AB 1C 1，B 1C 1交 AC 于点 D ，如果 AD=2 2，则 △ABC 的周长等于．8. 如图，在 Rt △ABC 中， ACB=90°， A=30°，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后得到△ EDC ，此时点 D 在AB 边上，斜边 DE 交AC 边于点 F ，则 n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A ．30，2B ．60，2C ．60， 3D ． 60， 3D 第 5 题图 EC 1210. 如图，P 是等边△ ABC 内一点， AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．A11. 如图，正方形 ABCD 中有一点 P ，且 PA=1，PB=2，PC=3，求 APB 的度数．12. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC=30°，∠ ADC=60°， AD=CD ．求证：BD 2=AB 2+BC 2．13. 如图，一个牧童在小河的南 400m 的A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西800m 北 700m 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河B14. 如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，求PB+PE 的最小值．15. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ______ cm．第15 题图第16 题图 1 第16 题图216. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形的桌布．铺成图 1 时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm；铺成图 2 时，四周垂下的部分都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 ______ cm．17. 勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图案，它可以验证勾股定理．在下面的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠ BAC=30°，AB=4．作△ PQR使得∠ R=90°，点H在边QR 上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．QB三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1. 全等变换，对应线段、对应角2. 垂直，距离，高；3. 垂直平分二、精讲精练1．B 2．C 3．60° 4．30°5．C 6．2 7．6+2 3 8．C 9．80°或120° 10．150°，证明（略）11．135°证明（略）12．（略）13．1700m，证明（略）14．5 证明（略）15．15 16．40 2+80 17．27+13 3与直角有关的折叠、旋转（随堂测试）1. 将直角边长为5cm的等腰直角△ ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C，′ 求图中阴影部分的面积．' BDDB D BAEC ECC ．2D ． 12. 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=2，AD=1，沿过点 B 的直线折叠，使点 A落在边 CD 上的点 A ′处，折痕交边 AD 于点 E ．（1）求∠DA ′E 的大小；（2）求△ A ′BE 的面积．参考答案】25 3 1.62. （1）60°，（2） 4 2 3与直角有关的折叠、旋转（作业）1. 如图，有一块矩形纸片 ABCD ， AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得 AD 边落在AB 边上，折痕为 AE ，再将△ AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为F ，则 CF 的长为（）'C7.A．3B．2 D．2 3第 6 题图两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，则此时两直角顶点C，C 间的距离是若绕长直角边中点M 转动，如图，∠A＝30°，AC＝10，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF 为折痕，∠ BAE=30°，AB= 3 ，折叠后，点 C 落在AD 边上的C1 处，处，则BC 的长为（）3. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B落在点 F 处，折痕为AE，且EF=3．则AB 的长为（） A ．3B．4 C．4. 第 2 题图第 3 题图如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为点G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（）ABCD 中，AB=4，BC=8，将上5.A． 4 33B．6 C．185D．365如图所示，已知在三角形纸片∠BCA=90°．在AC 上取一点A 与BC 延长线上的点 D 重合，则DE 的长度为（AB=6，A．6 B．3 3ABC 中，BC=3，E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，）C．2 3 D．36.并且点 B 落在EC1 边上的B1AF第 5 题图C．3B8. 如图，把一正方形纸片ABCD 沿MN 折叠使得B点恰好落在AD 边的中点 E处，试说明△ AME 的三边之比为3:4:5．9. （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值是___ ；（2）如图2，∠AOB=45°，P 是∠ AOB 内一定点，PO=10，Q、R 分别是OA、OB 上的动点，求△ PQR 周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）BB图19. 如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3．（1）求∠ APB的度数；（2）求AB2；（3）求梯形ABCD 的面积．44111.C2. D3. C4. C5. C6. 57.略 2）5 2 2 ；（3） 15+6 2参考答案】8.（1） 5 ；（ 2）10 2 9.（1）135°；。

解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点(解析版)

解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点【考点导航】目录【典型例题】1【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】【典型例题】【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·九年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是边AB上一点，以DE 为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．(1)∠DEF=；(2)若点E是AB的中点，则DF的长为．【答案】 90° 2.8【分析】(1)由折叠得∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF，再根据平角的定义可得结论；(2)首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠AED=∠DEG，∠BEF=∠HEF∴∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF∵∠AED+∠DEG+∠HEF+∠BEF=180°×180°=90°∴∠DEG+∠HEF=12即∠DEF=90°故答案为：90°；(2)∵四边形ABCD是菱形∴AD⎳BC，DC⎳AB，AB=BC=CD=DA=2∴∠B+∠A=180°∵∠A=120°∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°∵点E为AB的中点，且AB=2∴AE=BF=12AB=12×2=1.∵点A与点G重合，∴∠DGE=∠A=120°∵点B与点H重合∴∠EHF=∠B=60°又AE=EG，BE=EH，AE=BE∴EG=EH∴点G与点H重合∵∠DGE+∠FHE=∠DGE+∠FGE=100°+80°=180°∴B，G，D三点在同一条直线上过点D作DO⊥BC，交BC的延长线于点O，如图，∵DC⎳AB∴∠DCO=∠B=60°，DC=AB=2∴∠CDO=30°∴CO=12DC=12×2=1.在Rt△DCO中，OD=DC2-OC2=22-12=3由折叠得，BF=FH，AD=DH=2设BF=x，则FC=2-x∴DF=DF+GF=2+x，FO=FC+CO=2-x+1=3-x在Rt△DFO中，DF2=FO2+DO2∴(2+x)2=(3-x)2+(3)2解得，x=0.8∴DF=2+0.8=2.8故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的F处，若∠BAE=15°，则∠FDC的大小为．【答案】22.5°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AFE=75°，可得∠C，根据AF=AD，求出∠AFD，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】解：∵菱形ABCD沿AE折叠，B落在BC边上的点F处，∴AD=AB=AF，∠AEB=90°=∠AEF，∠FAE=∠BAE=15°，∴∠B=∠AFE=75°，在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE=75°，∠C=180°-∠B=105°，∵AF=AD，∴∠ADF=∠AFD=180°-75°2=52.5°，∴∠DFB=∠AFE+∠AFD=127.5°，∴∠FDC=∠DFB-∠B=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了菱形中的翻折问题，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．2(2023春·八年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，E，F分别是边AB，BC上的点，将△EBF沿EF折叠，使点B的对应点B'落在边AD上，若AE=AB'，则CF的长为．【答案】4-23##-23+4【分析】根据菱形性质和∠B=60°，可得BC=AB=4，AD⎳BC，∠BAD=120°，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，然后利用含30度角的直角三角形可得1 24-AE=32AE，得AE=23-2，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=AB=4，AD⎳BC，∴∠BAD=120°，如图，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，如图所示：∴PQ=AB'，B'Q=AP，∵AE =AB '，AG ⊥EB '，∴EG =B 'G =12EB '，∠AEG =30°，由翻折可知：BE =B 'E ，BF =B 'F ，∴BE =B 'E =AB -AE =4-AE ，∴EG =B 'G =124-AE ，∵EG =AE ⋅cos30°，∴124-AE =32AE ，解得AE =23-2，∴PQ =AB '=AE =23-2，在Rt △ABP 中，∠B =60°，AB =4，∴BP =12AB =2，∴AP =23，∴B 'Q =AP =23，∴CF =BC -BF =4-BF ，QF =BF -BP -PQ =BF -2-23-2 =BF -23，在Rt △B 'QF 中，根据勾股定理，得：B 'Q 2+QF 2=B 'F 2，∴(23)2+(BF -23)2=BF 2，解得BF =23，∴CF =4-BF =4-23，故答案为：4-23．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3(2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习)如图，菱形纸片ABCD ，AB =8，∠B =60°，将该菱形纸片折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点B 处，折痕与边BC 、BA 分别交于点M 、N ．则CM 的长为．【答案】2.4【分析】过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出CE 和B ′E ，设BM =x ，则B ′M =x ，用x 表示出ME ，然后在Rt △B ME 中，利用勾股定理得出方程进行解答．【详解】解：过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =8，AB ∥CD ，∵B 是CD 的中点，∴B′C=4，∵∠B=60°，∴∠B′CE=∠B=60°，∠CB′E=30°，∴CE=2，∴B′E=42-22=23，设BM=x，则ME=BC+CE-BM=8+2-x=10-x，由折叠的性质知：B′M=BM=x，在Rt△B ME中，B′M2=B′E2+ME2，∴x2=232+10-x2，解得：x=5.6，8-x=2.4，即CM的长为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2023·湖南长沙·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=3，则BC的长为．【答案】33【分析】连接OD，由O是矩形ABCD中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到OB=AB，由矩形的性质得到BD=2OB=2AB=6，由勾股定理求出AD的长即可．【详解】解：连接OD，∵O是矩形ABCD中心，∴B，O，D共线，∵△ABE沿BE翻折到△OBE，∴OB=BA，∵四边形ABCD是矩形，O是它的中心，∴BD=2OB=2AB=2×3=6,BC=AD，∵∠BAD=90°，∴AD=BD2-AB2=62-32=33，∴BC=AD=33．故答案为：33【点睛】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．【变式训练】1(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末)如图，长方形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠时点B落在点F处，连接FC，若∠DAF=16°，则∠DCF=度．【答案】37【分析】由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，求出∠BAE=∠FAE=37°，可得到∠AEF=∠AEB=53°，求出∠CEF=74°，求出FE=CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF=53°，即可得出∠DCF的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，∵∠DAF=16°，∴∠BAE=∠FAE=12×90°-16°=37°，∴∠AEF=∠AEB=90°-37°=53°，∴∠CEF=180°-2×53°=74°，∵E为BC的中点，∴BE=CE，∴FE=CE，∴∠ECF=12×180°-74°=53°，∴∠DCF=90°-∠ECF=37°；故答案为：37．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出∠ECF的度数是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一动点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为．【答案】32或3【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB= EF，AB=AF=3，可计算出CF=2，设BE=x，则EF=x，CE=4-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x ．②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形．【详解】解：当△CEF 为直角三角形时，有两种情况：当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=32+42=5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴∠AFE =∠B =90°，当△CEF 为直角三角形时，只能得到∠EFC =90°，∴点A 、F 、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴EB =EF ，AB =AF =3，∴CF =5-3=2，设BE =x ，则EF =x ，CE =4-x ，在Rt △CEF 中，∵EF 2+CF 2=CE 2，∴x 2+22=4-x 2解得：x =32；②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，∴BE =AB =3．故答案为：32或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3(2023·安徽合肥·统考一模)如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点P 恰好在边BC 上．(1)写出图中与∠CEP 相等的角；(2)若AD =5，AB =4，则折痕AE 的长为．【答案】 ∠DAP 和∠APB 552【分析】(1)根据矩形的性质得到∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，由此得到∠DAP +∠PED =180°，即可证明∠DAP =∠CEP ，再由平行线的性质得到∠DAP =∠APB ，则∠APB =∠CEP ；(2)由矩形的性质得到AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，利用勾股定理求出BP =3，则CP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理得DE 2=4-DE 2+22，解得DE =52，则AE =AD 2+DE 2=552．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，∴∠DAP +∠PED =180°，∵∠CEP +∠PED =180°，∴∠DAP =∠CEP ，∵AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴∠APB =∠CEP ；故答案为：∠DAP 和∠APB ；(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，∴BP =AP 2-AB 2=52-42=3，∴CP =BC -BP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理DE 2=CE 2+CP 2，∴DE 2=4-DE 2+22解得DE =52，∴AE =AD 2+DE 2=52+52 2=552，故答案为：552．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，灵活应用所学知识是解题的关键．4(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交BE 于点G ，连接CG ．(1)判断四边形CEFG 的形状，并说明理由．(2)若AB =6，AD =10，求四边形CEFG 的面积．【答案】(1)见解析(2)203．【分析】(1)由翻折得∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，根据FG ∥CE ，可得∠FGE =∠BEC ，从而∠FGE =∠BEF ，FG =FE ，故FG =EC ，四边形CEFG 是平行四边形，即可得证；(2)在Rt △ABF 中，利用勾股定理求得AF 的长，可得DF =1，设EF =x ，则CE =x ，DE =3-x ，在Rt △DEF 中，用勾股定理列方程可解得CE ，在Rt △BCE 中，即可求出答案．【详解】(1)证明：(1)∵△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，∴△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF=BF2-AB2=8，∴DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+(6-x)2=x2，解得x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=103×2=203．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5(2023春·全国·八年级专题练习)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，现进行如下折叠：(1)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在BC边上，此时折痕BE的长为；(2)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在矩形内部，且恰好使点E、A 、C三点在同一直线上，此时折痕BE的长为．【答案】3210【分析】(1)根据折叠的性质，可得出三角形ABE是边长为3的等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE 的长；(2)根据三角形的面积公式可得出EC=BC=5，再根据勾股定理求出DE，AE，最后再根据勾股定理求出BE即可．【详解】解：(1)由折叠可得，AB=A′B，AE=A′E，∠ABE=∠A′BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°=∠BA′E，∴∠ABE=∠A′BE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=32+32=32，故答案为：32；(2)由折叠可得，AB=A′B=3，∠A=∠BA′E=90°，∵点E、A′、C三点在同一直线上，∴S△EBC=12BC•AB=12EC•A′B，∴EC=BC=5，在Rt△DCE中，由勾股定理可得，DE=EC2-DC2=52-32=4，∴AE=AD-DE=5-4=1，在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=32+12=10，故答案为：10．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点．有一定的综合性．6(2023春·全国·七年级专题练习)如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．(1)折叠后，DC的对应线段是，CF的对应线段是；(2)若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；(3)若AB=8，DE=10，求CF的长度．【答案】(1)BC′，C′F；(2)50°，80°；(3)6【分析】(1)根据折叠的性质即可得出；(2)由折叠的性质可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；(3)根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF= BE=10，继而可求得CF=BC-BF．【详解】(1)由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；故答案为：BC′，C′F．(2)由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°-50°-50°=80°；(3)∵AB=8，DE=10，∴AE=BE2-AB2=6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC-BF=16-10=6．【点睛】本题考查了矩形折叠的性质，平行线的性质定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相关知识．7(2023春·广东河源·八年级统考开学考试)如图，将一张长方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与x轴重合，OC与y轴重合，点D为AB边上的一点(不与点A、点B重合)，且点A(6，0)，点C (0，8)．(1)如图1，折叠△ABC，使得点B的对应点B1落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标．(2)如图2，折叠△ABC，使得点A与点C重合，折痕交AB与点D，交AC于点E，求直线CD的解析式．【答案】(1)D(6，5)；x+8．(2)直线CD的解析式为y=-724【分析】(1)根据勾股定理求得AC=10，设AD=n，则BD=8-n，根据折叠的性质得出B1D=BD=8-n，CE=CB=6，AB1=10-6=4，在Rt△AB1D中，利用勾股定理得出关于n的方程，解方程求得n的值，即可求得D的坐标；(2)设AD=m，则BD=8-m，根据折叠的性质CD=AD=m，在Rt△CBD中，利用勾股定理得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得作出直线CD的解析式．【详解】(1)解：∵点A(6，0)，点C(0，8)，∴OA=BC=6，OC=AB=8，∴AC=OA2+OC2=10，设AD=n，则BD=8-n，由折叠的性质可知B1D=BD=8-n，CE=CB=6，∴AB1=10-6=4，由折叠的性质可知CD=AD=n，在Rt△AB1D中，AB21+B1D2=AD2，∴42+(8-n)2=n2，解得n=5，∴AD=5，(2)解：设AD =m ，则BD =8-m ，根据折叠的性质可知CD =AD =m ，在Rt △CBD 中，CB 2+BD 2=CD 2，∴62+(8-m )2=m 2，解得m =254，∴AD =254，∴D 6，254，设直线CD 的解析式为y =kx +8，代入D 6，254 得，254=6k +8，解得k =-724，∴直线CD 的解析式为y =-724x +8．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用等，求得D 的坐标是解题的关键．【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM 为折痕，点B 落在对角线AC 上的点E 处，则∠EMC 的度数为()A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°【答案】C【分析】根据正方形的性质可得∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，再由折叠可得∠AEM =∠B =90°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，由折叠得：∠AEM =∠B =90°，∴∠EMC =∠AEM -∠ACB =90°-45°=45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·八年级专题练习)如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A 处，连接A C，则∠BA C=°．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出∠CBD，再根据折叠的性质得A B=BC，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠CBD=12根据折叠可知，AB=A B，∴A B=BC，=67.5°．∴∠BA C=∠BCA =180°-45°2故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．2(2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中)已知：如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将△DCE沿DE折叠至△DFE，延长EF交AB于点G，连接DG(1)求∠GDE的度数：(2)求AG的长度【答案】(1)∠EDG=45°(2)6【分析】(1)根据△DCE沿DE折叠至△DFE，可得∠DFE=∠DFG=90°,DC=DF，证明Rt△DAG≌Rt△DFG HL可得∠ADG=∠FDG，根据对折可得∠CDE=∠FDE，即可得出∠GDE的度数；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，在Rt△BEG中，勾股定理即可求解．【详解】(1)∵将△DCE沿DE折叠至△DFE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAG=∠DFG=90°，在Rt△DAG与Rt△DFG中，DF=DA DG=DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG HL，∴∠ADG=∠FDG，由对折得∠CDE=∠FDE，∴∠EDG=∠EDF+∠GDF=12∠ADC=45°；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，∵BE=2CE，∴BE=8，EF=CE=4，在Rt△BEG中，82+12-x2=4+x2，解得：x=6．∴AG=6．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．3(2023春·江苏·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1)求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段AG的长为2【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE =∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明RtΔDGA≅RtΔDGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】(1)证明：如图1：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，∴∠DFG =∠A =90°，DA =DF ，在Rt △DGA 和Rt △DGF 中，DG =DG DA =DF ，∴Rt △DGA ≌Rt △DGF (HL )，∴∠3=∠4，∴∠EDG =∠3+∠2=12∠ADF +12∠FDC ，=12(∠ADF +∠FDC )，=12×90°，=45°；(2)证明：如图2所示：∵ΔDEC 沿DE 折叠得到ΔDEF ，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE ，∠DEF =∠DEC ，∴∠5=∠6，∵∠FEC =∠5+∠6，∴∠DEF +∠DEC =∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC ，即∠5=∠DEC ，∴BF ∥DE ；②解：设AG =x ，则GF =x ，BG =6-x ，∵正方形边长为6，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE =12×6=3，∴GE =EF +GF =3+x ，在Rt △GBE 中，根据勾股定理得：(6-x )2+32=(3+x )2，解得：x =2，即线段AG 的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】1(2023·全国·九年级假期作业)如图1，菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，∠ABC =60°，将菱形ABCD 沿EF ，GH 折叠，使得点B ，D 两点重合于对角线BD 上的点P (如图2)．若AE =2BE ，则六边形AEFCHG 的面积为cm 2．【答案】133【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，∠BAD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，，由折叠的性质可得EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2，可证四边形AEPG是平行四边形，可得AG= EP=2cm，DG=4cm，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠BAD=∠BCD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，∴OA=12AB=3cm，∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=60°,∴OB=62-32=33cm∴BD=63cm．∵AE=2BE，∴AE=23×6=4cm，BE=13×6=2cm，∵将菱形ABCD沿EF，GH折叠，∴EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2cm，∴EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC=60°，∴∠BEF=∠60°=∠PEF，∴∠BEP=∠BAD=120°，∴EP∥AD，同理可得：GP∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，∴AG=EP=2cm，∴DG=4cm，∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD-S△BEF-S△GDH=12×6×63-34×22-34×42=133cm2，故答案为：133．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，求出DG的长是本题的关键．【变式训练】1(2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A.2B.2C.4D.42【答案】D【分析】首先由正方形ABCD 面积为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，则可得图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D =AB +BC +CD +AD ，继而求得答案．【详解】解：设折叠后A ,D 的点分别为A ,D ，EF 与AB ,CD 分别交于点M ,N ，如图所示，∵正方形ABCD 面积为2，∴AB =BC =CD =AD =2，由折叠的性质：A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，∴图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D=AM +BM +BC +CN +DN +AD=AB +BC +CD +AD=42．故选:D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2(2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习)如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知CE =3,AB =8，则阴影部分的面积为．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，由勾股定理得，CF =4，AF 2=AB 2+BF 2，即AD 2=82+(AD -4)2，解得，AD =10，∴BF =6，CF =4，图中阴影部分面积=S △ABF +S △CEF =12×6×8+12×3×4=30cm 2．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023春·天津西青·九年级校考阶段练习)如图，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到菱形AB C D ，使点D 落在对角线AC 上，连接DD ，B D ，则下列结论一定正确的是()A.DD =1B D B.∠DAB =90°2C.△AB D 是等边三角形D.△ABC≌△AD C【答案】D【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，由旋转的性质可得AD= AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，由“SAS”可证△ABC≌△AD C ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，∵将菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB C D ，∴AD=AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，∴AB=AD ，BC=C D ，∠ABC=∠AD C ，∴△ABC≌△AD C SAS，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式训练】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x 轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA B C (点A 与点C重合)，则点B 的坐标是()A.36,32D.62,36C.32,62B.32,36【答案】B【分析】延长B C 交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B DO=90°，进而求得OD,DB 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，延长B C 交x轴于点D，∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60°，∴∠COB=∠AOB=30°，∠CBA=60°∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，∴∠C OC=60°，则∠OB C=12∠C B C=30°，AB=CB∴∠B OD=60°∴∠B DO=90°，在Rt△CDO中，OC=B C=26∴CD=12OC=6，OD=3CD=3×6=32∴DB =36，∴B 32,36，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上．EF与CD交于点P,则PE的长是．【答案】3-1【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出AC=23，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE=23-2，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE的长【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，∴OB=12AB=1∴OA=3OB=3,∴AC=23由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴CE=AC-AE=23-2,∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴PE=12CE=3-1故答案为：3-1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．3(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；(1)求证：3DG=CF；(2)如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中(1)中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)CF=3DG，(1)中的结论不变．理由见解析．【分析】(1)延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=32DG即CF=2FN=3DG；(2)过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．【详解】(1)如图1，延长EF交CD于M点，∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC⎳GF⎳AB,DM⎳GF∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=12MF,根据勾股定理，得FN=32 DG，∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=3DG；(2)如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS)∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN ∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF +∠GNC =240°-∠DGN -∠DNG ,∵∠DGN +∠DNG =180°-∠GDN =60°∴∠NGF +∠GNC =180°∴NC ⎳GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF =GN ，则GN =3DG ，∴CF =3DG ，结论(1)不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023·江苏无锡·校考一模)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE =B ′E ，则AE 的长为．【答案】4110【分析】根据旋转不变性得到AB ′=AB =5，设AE =CE =x ，在Rt ΔADE 中结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，∴AB ′=AB =5，∵DE =B ′E ，∴AE =CE ，设AE =CE =x ，∴DE =5-x ，∵∠D =90°，∴AD 2+DE 2=AE 2，即42+5-x 2=x 2，解得：x =4110，即AE 的长为4110(也可以写作4.1)，故答案为：4110．【点睛】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长．解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是解决问题的关键．【变式训练】1(2023·江苏南京·校联考三模)如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转，使点B 落在对角线AC 上的B 处，延长AD 交A D 于点E ．若AB =3，BC =4，则DE 的长为．【答案】1【分析】如图所示，连接A A ，A C ，CE ，由矩形的性质和勾股定理得到AC =5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质得到A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，证明S △AAC =S △ACE ，则可得AE =AC ⋅A B CD=5，则DE =AE -AD =1．【详解】解：如图所示，连接A A ，A C ，CE ，∵在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质可得A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，∴A D ∥B C ，A B ⊥AC ，∴S △AAC =S △ACE ，∴12AC ⋅A B =12AE ⋅CD ，∴AE =AC ⋅A B CD=3×53=5，∴DE =AE -AD =1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，证明S △AAC =S △ACE ，利用等面积法求出AE 的长是解题的关键．2(2023春·江苏淮安·八年级统考期中)如图，将矩形ABCD 绕点B 旋转得到矩形BEFG ，点E 在AD 上，延长DA 交GF 于点H .(1)求证：△ABE ≅△FEH ；(2)连接BH ，若∠EBC =30°，求∠ABH 的度数．【答案】(1)见解析；(2)15°．【分析】(1)根据矩形的性质得出AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，根据旋转的性质得出FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，再证明△ABE ≅△FEH AAS 即可；(2)根据矩形的性质得出∠HEB =∠EBC =30°，由全等三角形的性质得出∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，再计算即可得出答案．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，由旋转性质，得：FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，∴AB =FE ，∠BAE =∠EFH ，∵在矩形BEFG 中，GF ∥BE ，∴∠AEB =∠FHE ，在△ABE 和△FEH 中，∠AEB =∠FHE∠BAE =∠EFH AB =FE，∴△ABE ≅△FEH AAS ，(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠HEB =∠EBC =30°，∵△ABE ≅△FEH ，∴BE =EH ，∴∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，∵∠BAH =90°，∴∠ABH =90°-∠EHB =15°，即∠ABH 的度数为15°．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键．3(2023春·福建三明·八年级统考期中)在长方形ABCD 中，AB =5，BC =3，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转α0°<α<90° ，得到长方形AEFG ．(1)如图1，当点E 落在CD 边上时，延长ED 交FG 于点M ，求证：EM=AE ；(2)如图2，当GC =GB 时，求α的值；(3)如图3，当点E 落在线段CF 上时，AE 与CD 交于点N ，求△ADN 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)60°：(3)125.【分析】(1)只需要证明△EFM ≌△ADE 即可得到答案；(2)连接DG ，证明△CDG ≌△BAG ，得到△ADG 为等边三角形，从而可以得到答案；(3)连接AC ，证明△ABC ≌△AEC ，得到∠EAC =∠BAC =∠ACD ，从而得到CN =AN ，再根据勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：(1)由旋转的性质得：BC =EF ，∠B =∠FEA∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠D =∠FEA =90°，BC =AD =EF∵∠FEM +∠AED =90°，∠DAE +∠AED =90°∴∠FEM =∠DAE∴△EFM ≌△ADE (HL )∴EM =AE(2)如图所示，连接DG∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠BCD =90°，AB =CD∵GC =GB∴∠GCB =∠GBC∴∠DCG =∠ABG∴△CDG ≌△BAG∴DG =AG由翻折的性质可得：AD =AG∴AD =AG =DG∴△ADG 为等边三角形∴∠DAG =60°∴∠DAE =30°∴∠BAE =60°∴α=60°(3)如图所示，连接AC由矩形的性质和翻折的性质可得：AB =AE ，∠AEF =∠B =90°∵∠AEF =∠B =90°∴∠AEC =∠B =90°又∵AB =AE∴△ABC ≌△AEC (HL )∴∠EAC =∠BAC∵AB ∥CD∴∠BAC =∠ACD∴∠EAC =∠ACD∴NC =AN设DN =x ，则NC =AN =CD -DN =5-x 在直角三角形AND 中，AN 2=DN 2+AD 2∴x 2+32=5-x 2解得x =85∴S △ADN =12AD ∙DN =125【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东珠海·九年级统考期末)如图，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形A BC D ，BC与C D 相交于点E，连接BD，B D 相交于点F．(1)填空：∠D EC=度；(2)求证：四边形BED F是菱形．【答案】(1)45(2)见解析【分析】(1)根据正方形的性质求出相关角度，再根据角度之间的关系求出∠D EC即可．(2)先证出四边形BED F是平行四边形，再连接AE，构造全等三角形证邻边相等即可．【详解】(1)解：∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(2)解：连接AE．∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(方法不唯一，直接写由(1)得也可以)在正方形A B C D 中，∠B D C =45°∴∠D EC=∠B D C∴D F∥BC，即D F∥BE．同理∠DBC=∠D EC=45°，∴D E∥BF．∴四边形BED F是平行四边形在Rt△AD E和Rt△ABE中AD =AB AE=AE。

中考数学专题复习专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)

中考专题33 中考专题几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。

(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

(3)对应点到对称轴的距离相等。

(4)对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

【经典例题1】(2020年•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【标准答案】A【答案剖析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

旋转与折叠(讲义及答案)

➢课前预习旋转与折叠（讲义）1.我们知道，含30°角的直角三角形的三边之比是: :．含45°角的直角三角形的三边之比是: : ．请你利用上面结论，在横线上补全下列直角三角形的边长．2.观察图形，回顾轴对称的性质：（1）全等变换：对应边，对应角；（2）对应点所连的线段被对称轴．3.作图：（1）在图1 中，分别作出线段AB 绕点A 顺时针旋转90°和逆时针旋转90°的图形．（2）在图2 中，分别作出线段AB，AC 绕点A 顺时针旋转90°的图形．图1 图21➢ 知识点睛1. 旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个点称为，转动的角度称为．、和称为旋转三要素．2. 旋转的性质①旋转是全等变换，旋转前后，；②对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心的连线所成的角等于．3. 如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形，这条直线叫做．折叠是一种轴对称现象，是对称轴． 4. 折叠的性质①折叠是全等变换，折叠前后，；②折叠前后对应点所连的线段被对称轴．➢ 精讲精练 1.如图，在网格纸中有一 Rt △ABC ．以点 A 为旋转中心，分别画出△ABC 顺时针旋转 90°，180°的三角形．第 1 题图第 2 题图2.如图，在网格纸中有一 Rt △ABC ．（1）将△ABC 以点 C 为旋转中心，顺时针旋转 180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；（2）将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转 90°，画出旋转后对应的△AB 2C 2．旋转会出现等腰三角形．3.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD= ．第3 题图第4 题图4.如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC 的度数为．5.如图，在△ABC 中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°第5 题图第6 题图6.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且∠ AOB = 110 °，∠BOC=145°．将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△ADC，连接OD，则∠AOD 的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°7.如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A.33B.3C．6D．3第7 题图第8 题图8.如图，在三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时停止转动，则B 点转过的路径长为．（结果保留π）9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°．D 为AB 边上一点，将△ABC 沿CD 折叠，若点B 恰好落在AC 边上的点E 处，则∠ADE 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．55°10.如图，在Rt△ABC 中，∠B=30°．把△ABC 的边AC 对折，使点C 与点A 重合，折痕交BC 边于点D，交AC 边于点E，连接AD．若AE=4cm，则△ABD 的周长为．33312. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 边上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，若AD⊥DE，则线段DE 的长为．13. 如图，在△ABC 中，∠CAB=∠B=30°，AB= 2 ，点D 在BC边上，把△ABC 沿AD 翻折，使AB 与AC 重合，得到△AB′D，则△ABC 与△AB′D 重叠部分的面积为．14. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 边上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 边的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E，F，则线段B′F的长为．第13 题图第14 题图第11 题图第12 题图11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10．将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C′处，若折痕交AC 于点E，则EC 的长为．3 3 3【参考答案】 ➢ 课前预习1. 1: :2，1:1:2. （1）相等，相等（2）垂直平分3. 作图略➢ 知识点睛1. 定点，旋转中心，旋转角旋转中心，旋转方向，旋转角度2. ①对应边相等，对应角相等；②相等；等于旋转角3. 成轴对称；对称轴；折痕所在直线4. ①对应边相等，对应角相等；②垂直平分➢ 精讲精练1. 略2. 略3. 35°4. 85°5. C6. B7. B8.3π 3 9. C 10. 16 + 8 11. 5 - 5 12. -1 13. 3 - 3 214.9 - 3 3223。

中考几何模型模型之旋转+折叠(培优打印)(2)

专题01手拉手模型一、方法突破问题一：构成手拉手的必要条件．当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等．条件：如图，OA=OB，OC=OD（四线共点，两两相等），∠AOB=∠COD（夹角相等）结论：△OAC≌△OBD（SAS）证明无需赘述，关于条件中的OA=OB，OC=OD，有时候会直接以特殊几何图形的形式给出，比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形．1．等边三角形手拉手（1）如图，B、C、D三点共线，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P：结论一：△ACD≌△BCE（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N：结论二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD结论三：△MNC是等边三角形．（4）记AD、BE交点为P，连接PC：结论四：PC平分∠BPD（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．2．正方形手拉手如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG：结论一：△BCE≌△DCG结论二：BE=DG，BE⊥DG证明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．问题二：条件与结论如何设计？设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的结论那样；设计二：如果题目已知△ABC≌△ADE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，AB AD BD==．AC AE CE问题三：如何构造手拉手？如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数量关系，则先有位置关系．二、典例精析例二：如图，点P在等边ABCPA=，PC=，8∆的内部，且6PB=，将线段PC绕点C顺时针旋转60︒得到P C'，连接AP'，10则sin PAP'∠的值为．例三：如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60︒得到线段AQ，连接BQ．若6PB=，PA=，8PC=，则四边形APBQ的面积为．10三、中考真题演练1．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=30ABD∠=︒，点E是边AB的中点，过点E作EF AB⊥交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF∆绕点B按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AE DF=；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将BEF∆绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF∆旋转至D、E、F三点共线时，则ADE∆的面积为．2．（2021•贵港）已知在ABC∆中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC∆绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF∆，连接AE，CF．（1）如图1，当90BAC∠=︒且AB AC=时，则AE与CF满足的数量关系是AE CF=；（2）如图2，当90BAC∠=︒且AB AC≠时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD OA=，连接DE，当5AO CF==，6BC=时，求DE的长．4．（2021•通辽）已知AOB ∆和MON ∆都是等腰直角三角形()2OM OA <<，90AOB MON ∠=∠=︒．（1）如图1，连接AM ，BN ，求证：AM BN =；（2）将MON ∆绕点O 顺时针旋转．①如图2，当点M 恰好在AB 边上时，求证：2222AM BM OM +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若4OA =，3OM =，请直接写出线段AM 的长．6．（2020•沈阳）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．（1）如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；（2）如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．（3）当120α=︒时，若6AB =，BP =D 到CP 的距离为2或2．3旋转的性质一、方法突破旋转，是三大几何变换中考察最多、难度最大的那个，平移、对称从图像观察角度来说直接显然，对应的结论也很容易用到．而旋转，变换得到的图形相对复杂些，有时候解题的突破口隐藏得更深，导致无从下手．本篇将从基本的性质开始，到一些常见的模型，最后说说关于构造旋转能给我们带来什么，全方位了解旋转在中考题中的考察．一、旋转的基本性质如下图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ．性质一：对应边相等结论：AB =AD ，AC =AE ．补充：当然还可以得到BC =DE ，但这并没有什么用，因为BC 与DE 并没有特殊位置关系．性质二：对应角相等结论：∠B =∠D ，∠C =∠E ，∠BAC =∠DAE ．补充：如果不是特殊角，此性质并没有什么用，但由性质二可以推性质三．性质三：旋转角都相等结论：∠BAD =∠CAE =∠BFD ．补充：∠BAD =∠CAE 易证，∠BAD =∠BFD 可用“8字”模型证明：∵∠BAD +∠B =∠BFD +∠D ，且∠B =∠D ，∴∠BAD =∠BFD ．且第三组对应边往往用得最多．二、典例精析【中考真题-关于三角形的旋转】1．（2019·眉山）如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB =，12BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到ADE ∆，使得点D 落在AC 上，则tan ECD ∠的值为．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．（2019·内江）如图，在△ABC 中，AB =2，BC =3.6，∠B =60°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为()A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.63．（2019·阜新）如图，在ABC ∆中，AC BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60︒，得到ADE ∆．若2AB =，30ACB ∠=︒，则线段CD 的长度为．4．（2019·包头）如图，在ABC ∆中，55CAB ∠=︒，25ABC ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕A 点逆时针旋转70︒得到ADE ∆，连接EC ，则tan DEC ∠的值是．5．（2018·镇江）如图，ABC ∆中，90BAC ∠>︒，5BC =，将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90︒，点B 对应点B '落在BA 的延长线上．若9sin 10B AC ∠'=，则AC =．6．（2019·山西）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，10AB AC cm ==，点D 为ABC ∆内一点，15BAD ∠=︒，6AD cm =，连接BD ，将ABD ∆绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点为点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为cm ．【中考真题-关于四边形的旋转】7．（2017·吉林）如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D '''．若点B 的对应点B '落在边CD 上，则B C '的长为．7题图第8题图第9题图第10题图8．（2019·梧州）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是．9．（2018·陇南）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置，若四边形AECF 的面积为25，2DE =，则AE 的长为()A ．5B C ．7D10．（2019·贺州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是CD 的中点，AF 平分BAE ∠交BC 于点F ，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得ABG ∆，则CF 的长为．三、中考真题演练1．如图，在AOB ∆中，1AO =，32BO AB ==．将AOB ∆绕点O 逆时针方向旋转90︒，得到△A OB ''，连接AA '．则线段AA '的长为()第1题图第2题图第3题图第4题图A ．1B ．2C ．32D ．3222．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，若将AB 绕点A 逆时针旋转60︒，使点B 落在点B '的位置，连接BB '，过点D 作DE BB ⊥'，交BB '的延长线于点E ，则B E '的长为()A ．31-B ．232-C ．233D ．4333．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转55︒得到ADE ∆，若70E ∠=︒且AD BC ⊥于点F ，则BAC ∠的度数为()A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒4．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到△AB C ''，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则sin BB C ∠''的值为()A ．35B ．45C ．55D ．2555．如图，AOB ∆中，4OA =，6OB =，27AB =，将AOB ∆绕原点O 旋转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是()第5题图第6题图第7题图第8题图A ．(4,2)或(4,2)-B ．(234)-或(23-4)C ．(23-2)或(232)-D ．(2,23)-或(2-，23)6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到△A B C ''，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为()A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-7．如图，OABC 的顶点(0,0)O ，(1,2)A ，点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ．将ODA ∆绕点O 顺时针旋转得到△OD A ''，当点D 的对应点D '落在OA 上时，D A ''的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为()A ．(230)B ．(25，0)C ．(231+，0)D ．(251+，0)8．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，7AB =，4AD =，将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转后得△A B C ''，当A B ''恰好经过点D 时，△B CD '为等腰三角形，则(AA '=)A 21855B ．23C 13D 14专题04旋转之从全等到相似一、方法突破在手拉手模型中，我们可以看成是两个相似的等腰三角形作共点旋转，由等腰条件可得一组全等三角形．若△ABC 与△ADE 非等腰，则可得到旋转型相似，取直角三角形为例．如图，Rt △ABC ∽Rt △ADE ，连接BD 、CE ，可得：△ADB ∽△AEC ，（利用两边对应成比例且夹角相等）且旋转的性质，旋转角都相等依然成立，如下右图，∠BAD =∠EAC =∠EFB ．二、典例精析【旋转全等】1.（2019·枣庄）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．【从全等到相似】2.（2019·鞍山）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是ABC ∆内一点，连接AD ，BD ．在BD 左侧作Rt BDE ∆，使90BDE ∠=︒，以AD 和DE 为邻边作ADEF ，连接CD ，DF ．（1）若AC BC =，BD DE =．①如图1，当B ，D ，F 三点共线时，CD 与DF 之间的数量关系为．②如图2，当B ，D ，F 三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若2BC AC =，2BD DE =，45CD AC =，且E ，C ，F 三点共线，求AFCE的值．【旋转相似】3.（2019·襄阳）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，30BAC DEC ∠=∠=︒，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若1BD =，5AD =，则CFEF=．【旋转相似】4.（2019·东营）如图1，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE ∆绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当0α=︒时，AEBD=；②当180α=︒时，AEBD=．（2）拓展探究试判断：当0360α︒<︒ 时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决CDE ∆绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．三、中考真题演练【旋转相似】1.（2019·宿迁）如图①，在钝角ABC ∆中，30ABC ∠=︒，4AC =，点D 为边AB 中点，点E 为边BC 中点，将BDE ∆绕点B 逆时针方向旋转α度(0180)α ．（1）如图②，当0180α<<时，连接AD 、CE ．求证：BDA BEC ∆∆∽；（2）如图③，直线CE 、AD 交于点G ．在旋转过程中，AGC ∠的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将BDE ∆从图①位置绕点B 逆时针方向旋转180︒，求点G 的运动路程．【旋转相似】2.（2019·河南）在ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α=︒时，BDCP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α=︒时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α=︒时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．专题05相似之K 字型相似一、方法突破同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作为问题，而“K 字型相似”更多地作为一种方法来运用，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依然三个问题：（1）三垂直模型的构成；（2）什么条件下考虑构造三垂直．（3）构造三垂直能带来什么；问题一：三垂直模型的构成△ABC 是等腰直角三角形，一条直线过点C ，分别过A 、B 向该直线作垂线，垂足分别为D 、E ，则△ADC ≌△CEB．证明：D E DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→△ADC ≌△CEB （AAS ）【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？等腰——可得一组对应边相等；直角+作垂直——可得两组角对应相等．【弱化条件】（1）如果没有等腰？依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．如图，有△ADC ∽△CEB ．特别地，若点C 为BD 中点，则△ADC ∽△CEB ∽△ACB ．（2）如果没有直角？直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型二、典例精析1.（2018·遵义）如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若2DG =，6BG =，则BE 的长为．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图问题二：什么条件下考虑构造三垂直？根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就再好不过了．那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜着的．2.（2018·临安区）如图直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连AE 、CE ，则ADE ∆的面积是()A ．1B ．2C ．3D ．不能确定3.（2019·河池）如图，在平面直角坐标系中，(2,0)A ，(0,1)B ，AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90︒而得，则AC 所在直线的解析式是．4.如图，在平面直线坐标系中，直线AB 解析式为12y x =，点M （2，1）是直线AB 上一点，将直线AB 绕点M 顺时针旋转45°得到直线CD ，求CD 解析式．5.如图，在平面直线坐标系中，直线AB 解析式为12y x =，点M （2，1）是直线AB 上一点，将直线AB 绕点M 顺时针旋转α得到直线CD ，且3tan 2α=，求直线CD 解析式．问题三：构造三垂直能带来什么？这其实本身不应该是一个问题，而是对前文的思考．三垂直是如何帮助我们解决问题的？构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算．继续看看相关的练习题：6.（2017·扬州）如图，已知点A 是反比例函数2y x=-的图像上的一个动点，连接OA ，7.若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90︒得到线段OB ，则点B 所在的反比例函数表达式为．7.（2019·宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB =∠B =30°，OA =2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是()A ．()1,23-+B ．()3,3-C ．()3,23-+D ．()3,3-三、中考真题演练1．（2017·苏州园区模拟）如图，已知A （0，3）、B （4，0），点C 在第一象限，且AC =，10BC =，则直线OC 的函数表达式为_______________．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．（2019·十堰）如图，正方形ABCD 和Rt AEF ∆，5AB =，4AE AF ==，连接BF ，DE ．若AEF ∆绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S ∆=．3．（2019·无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =，D 为边AB 上一动点（B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 面积的最大值为_______．4．（2019·沈阳）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE =4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接FG 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB =5，CF =2，则线段EP 的长是__________．5．（2016·河南）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC 、PD ．若DPC ∆为直角三角形，则BE 的长．专题07对称、折叠问题对称，我们熟知的三大几何变换之一，几何题中往往都有它的身影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．本文从基本性质说起，到一些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．一、从性质说起关于对称的性质：（1）对应角相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．性质一：对应角相等由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下1-3题：1．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ∆，则CDE ∠=︒．第1题图第2题图第3题图第4题图2．（2019·邵阳）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，36B ∠=︒，AD 是斜边BC 上的中线，将ACD ∆沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E ，则BED ∠等于()A ．120︒B ．108︒C ．72︒D ．36︒3．（2018·兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为()A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒4．（2018·毕节市）如图，在矩形ABCD 中，3AD =，M 是CD 上的一点，将ADM ∆沿直线AM 对折得到ANM ∆，若AN 平分MAB ∠，则折痕AM 的长为()A ．3B ．C ．D ．65．（2019·辽阳）如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将BCP ∆沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，BC =，则线段AB 的长是()A ．8B ．C ．D ．10第5题图第6题图第7题图第8题图6．（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD 中，2AD =．将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将B ∠沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB =7．（2018·遵义）如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若2DG =，6BG =，则BE 的长为．8.（2019·朝阳）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ∠=︒，90BED ∠=︒，若2DE =，则FG 的长为．性质三：对称点连线被对称轴垂直且平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函数，但终可求线段长．1．（2018·襄阳）如图，将面积为ABCD 沿对角线BD 折叠，点A 的对应点为点P ，连接AP 交BC于点E ．若BE =AP 的长为．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图2．（2018·青海）如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30OAB ∠=︒，B 点的坐标为(0,2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是()A ．4)B ．(2，C ．D ．3．（2019·淮安）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，H 是AB 的中点，将CBH ∆沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan HAP ∠=．4．（2017·资阳）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，点E 是CD 的中点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 折叠，使点D 落在点F 处，则线段CF 的长度是()A ．1B ．2C ．23D ．35．（2019·重庆）如图，在ABC ∆中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把BDC ∆沿BD 翻折，得到BDC '∆，DC '与AB 交于点E ，连结AC '，若2AD AC ='=，3BD =，则点D 到BC '的距离为()A.2B ．7C D 专题08矩形中的对称、折叠问题涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样．比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键．1．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，将BCD ∆沿BD 折叠，得到BED ∆，BE 交AD 于点F ，3AB =．:1:2AF FD =，则AF =．第1题图第2题图第3题图第4题图2．（2019·天水）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin EFC ∠的值为．3．（2018·泰安）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A '处，若EA '的延长线恰好过点C ，则sin ABE ∠的值为．4．（2019·鞍山）如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且13AM AD =，13BN BC =，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '，当点C '恰好落在直线MN 上时，CE 的长为．5．（2019·莱芜区）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，BC =，E 为CD 边上一点，将BCE ∆沿BE 折叠，使得C 落到矩形内点F 的位置，连接AF ，若1tan 2BAF ∠=，则CE =．第5题图第6题图第7题图第8题图6．（2018·大连）如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 为AD 上一点，且30ABE ∠=︒，将ABE ∆沿BE 翻折，得到△A BE '，连接CA '并延长，与AD 相交于点F ，则DF 的长为．7．（2019·锦州）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN∆沿MN 所在直线折叠，得到△A MN '，连接A C '，则A C '的最小值是．8．（2019·泰安）如图，矩形ABCD 中，36AB =，12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是．9．（2018·南宁）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为()A ．1113B ．1315C ．1517D ．171910．（2018·兴安盟）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，M 为AD 上一点，将ABM ∆沿BM 翻折至EBM ∆，ME 和BE 分别与CD 相交于O ，F 两点，且OE OD =，则AM 的长为．专题09正方形中的对称、折叠问题正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．一、典例精析1．（2019·兰州）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM =)A ．12B ．22C ．31-D ．21-第1题图第2题图第3题图第4题图【长度的计算——勾股定理】2．（2019·青岛）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD =4，则CF 的长为．【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】3．（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若5DE =，则GE 的长为．4．（2019·上海）如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将ABE ∆沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么EDF ∠的正切值是．。

与直角有关的折叠、旋转(讲义及答案)

与直角有关的折叠、旋转（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在长方形ABCD 中，BC =4，CD =3，将该长方形沿对角线BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E ，则EF =________．AB CDEF2. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且∠AOB =110°，∠BOC =145°．将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得到△ADC ，连接OD ，则∠AOD 的度数为________．OABD➢ 知识点睛1. 折叠与旋转都是____________，变换前后______________、_______________都相现______________；同样的，如果基本图形能够提供形、等腰直角三角形等），可以考虑利用旋转思想解决问题．➢ 精讲精练1. 把一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕是EF ．若BF =4，CF =2，则∠DEF =________．D (B )A 1EABFCD'C'G FE DC BA第1题图第2题图2. 如图，已知在长方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE =2CE ，将长方形沿着过点E 的直线翻折后，点C ，D 分别落在边BC 下方的点C ′，D ′处，且点C ′，D ′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB =t ，那么△EFG 的周长为_________．（用含t 的代数式表示）3. 如图，长方形ABCD 中，AB =15cm ，点E 在AD 上，且AE =9cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_______cm ．A'BA DC EGABEC DF第3题图第4题图4. 如图，在长方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内部．将AF 延长，交边BC 于点G ．若1CG GB k=，则ADAB=_________．（用含k 的代数式表示）5. 如图，正方形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，DE =13CD ，将△ADE 沿AE 翻折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，则BGCG=______．G FE D C BA C'B'C AB第5题图第6题图6. 如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=______．7. 把一副三角板如图1放置，其中∠ACB =∠DEC =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边AB =6，DC =7，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，与D 1E 1交于点F ，连接AD 1，则线段AD 1的长为（） A．B ．5C ．4D图1图E CBOA ADB CF E 1D 1 2118. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =50°，点D 在边BC 上，BD =2CD ．把△ABC 绕着点D逆时针旋转m （0<m <180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m =______．9. 探究：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ．若AE =10，则四边形ABCD 的面积为__________．应用：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，AE ⊥BC 于点E ．若AE =19，BC =10，CD =6，则四边形ABCD 的面积为__________．图1图2DAB E CCEBAD图1 图2 10. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，则∠APB 的度数为_________．APC B11. 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且PA =1，PB =2，PC =3．求∠APB 的度数．A B CDP【参考答案】➢课前预习1.7 82.45°➢知识点睛1.全等变换，对应边、对应角，等腰三角形，等线段共端点➢精讲精练1.60°2.3.84.25. 16.20°7. B8.80或1209.100，15210.150°11.135°。

几何结构之旋转(讲义及答案)

A
O
x
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，点 D 在边 BC 上，BD=2CD．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0＜m＜180）度后，若点 B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边上，则 m=________．
A
CD
B
6. 如图，在△ABC 中，∠CAB=55°，∠ABC=25°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 70°得到△ADE，连接 EC，则∠DEC=___________．
连接 AB′，若 AB′=3，则∠B′A′C 的度数为__________． B'
A'
A
B
C
3
9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC= 2 ，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到△MNC，连接 BM，则 BM 的长是_________．
M C
N
B
A
10. 如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边作等边三角形 ABD，C，D 在 AB 的同
3. 如图，在 4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其
旋转中心可能是（） A．点 A C．点 C
B．点 B D．点 D
N1
D M1
A B P1
PC
MN
2
4. 如图，已知 A( 3 ，1)，B(1， 3 )．将△AOB 绕点 O 旋转 150°得到△A′OB′，则此时点 A 的对应点 A′的坐标为____________． y B
（3）旋转的性质：
①全等变换：对应边_________，对应角_________．
②对应点与旋转中心：

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几何结构之折叠、旋转（讲义）
➢知识点睛
1.折叠（轴对称）的思考层次
（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．
（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）
（3）常见组合搭配
①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；
②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．
（4）应用，作图（构造）
核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．
特征举例：
①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；
②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．
2.旋转思考层次
（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．
（2）对应点与旋转中心
旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；
对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角；
对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；
旋转会产生圆（圆弧）．
（3）常见组合搭配
旋转会出现相似的等腰三角形；
旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；
相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．
（4）应用，作图（构造）
当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构
造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；
旋转方向不确定需要分类讨论；
常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时
只需保留研究目标即可）
➢精讲精练
1.小明用不同的方式来折叠一个边长为8 的正方形纸片ABCD，
折痕MN 分别与边AD，BC 交于点M，N，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN=5．
②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于
点E，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN，BB′⊥MN．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是．
图1 图2
图 3
2.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D，E 分别在AC，BC
上，且∠CDE=∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC=8，AB=10，则CD 的长为．
3
3
3.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB= 8 ，AD=10，点E 是
CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点
A 与点E 重合，如图2，折痕为MN，连接ME，NE；第二次
折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．
图1 图2 图3
4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD 沿BE
折叠，点A 落在A′处，若EA′的延长线恰好过C，则
sin∠ABE 的值为．
第4 题图第5 题图
5.如图，在矩形ABCD 中，AB= 4 ，BC=15，点E 是AD 边上
一点，连接BE，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF，把△DEF 沿EF 折叠，使点
D 落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，A
E 的
长为．
6. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3，点F 在
边AC 上，且AF=1，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则当点P 落在线段AB 上时，线段PB 的长为．
7.如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=24，tan C=2，如果将△ABC
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D，那么BD 的长为（）
A．13 B．15
2
C．
27
2
D．12
8.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点P 在线段AB 上．若将
△DAP 沿DP 折叠，使点 A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为．
9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8 cm，BC=20 cm，O 是BC
的中点，沿过O 的直线翻折．若点B 恰好落在AD 上，那么
折痕的长度为．
10.如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠C，点P 在边
AB 上．
（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明．
（2）若AB=AD，以过点P 的直线为对称轴，将四边形ABCD 折叠，使点B，C 分别落在点B′，C′处，且线段B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2 中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作
法和理由）．
②如果∠C=60°，那么AP
为何值时，B′P⊥AB．PB
图1 图2
2
11.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC．D 是AB 上的
一个动点（不与点A，B 重合），连接CD．过点C 作CD 的
垂线，点E 是该垂线上一点，且满足△ACE≌△BCD，连接
DE，DE 与AC 相交于点F．下列结论：①△BCD 绕点C 顺
时针旋转90°得到△ACE；②若BC=2，则(C
四边形ADCE
)min= 4 ；
③ 若∠ BCD=25°，则∠ AED=65°；④ DE2=2CF·CA ；⑤ 若
AB= 3 ，AD=2BD，则AF=
5
．其中正确的结论是
3
（填写所有正确结论的序号）．
第11 题图第12 题图
12.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，将△DCB 绕点C 顺
时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到
△ACE．若AB=3，BC=4，则BD= ．
13.如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，
∠FOG=120°，绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB，BC 于D，
E 两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=
S BDE；③四边形ODBE 的面积始终等于．上述结论中正
3
确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
△
2
4 3
2 14. 如图，矩形 ABCD 中，BC =2，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针
旋转 90°，点 A ，C 分别落在点 A′，C′处，如果点 A′，C′，B 在同一条直线上，那么 tan ∠ABA′的值为．
15. 如图，△ABC ，△BDE 都是等腰直角三角形，BA =BC ，BD =BE ，
AC =4，DE = 2 ．将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转α（0°＜ α＜360°），连接 AD ，CE ，记直线 AD ，CE 的交点为 P ．
（1）以下结论中：①△ABD ≌△CBE ；②∠APC =90°；③点 P 始终在以 AC 为直径的圆上运动．其中正确的是．（2）当点 E 恰好落在线段 AD 上时，①画出对应图形；②此
时 AD = ．
16. 一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转α
（0°＜α＜90°），使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则α的度数为．
5 5
6 【参考答案】
1. ①②③④
2. 25 8
3.
4.
10
10
5. 2
6.
11- 13
2
7. A 8. 3 或 9
2 4 9. 5 cm 或4 cm
10. （1）四边形 ABCD 为平行四边形，理由略；
（2）①图略；②当 AP = PB 3 -1 时，B′P ⊥AB ． 2
11. ①②③④
12. 5
13. C
14.
5 -1
2
15. （1）①②③ （2） + 16. 60°或 15°
5 3 6
2。