三重积分的计算法球面坐标
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
计算三重积分详细方法
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdyd, z 其中
是由z曲 x2面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D :x2y24
或
02,
D:
0r2.
o•(r,)
yy
xx
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r,
02 ,
•M (x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x ,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d v rdd rd, z
z
rd
dr r dz
于是，
o
y
f(x,y,z)dxdydz
x d
f (r c o ,r ssi,z n )r d dr d . z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
z
R
任取一 [0,2],过 z
轴作半平面，得
04.
在半平面上，任取一
[0, 4],
x
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
球面坐标计算三重积分的fai
球面坐标是三维空间中描述点的位置的一种方法，它使用了半径 r、极角θ 和方位角φ，球面坐标经常用于计算球面上的函数值，尤其在物理学和工程学领域。
在球面坐标系中进行三重积分计算时，我们需要了解如何将三维空间内的函数表示为球面坐标系内的函数，以及如何对球面坐标系内的函数进行积分。
在本文中，我们将介绍如何计算三重积分的 f本人。
第一步，将三维空间内的函数表示为球面坐标系内的函数。
球坐标系中一个点的坐标可由三个参数来确定，即 r、θ 和φ。
函数在球面坐标系内的表示通常需要将其转换成球面坐标系内的 r、θ 和φ 的函数。
这通常需要进行一些代数运算和三角函数的转换。
对于一个常见的球面坐标系内的函数f(r, θ, φ)，我们需要将其转换成球坐标系内的 r、θ 和φ 的函数f(r(θ, φ), θ, φ)。
第二步，确定积分的上下限。
在三重积分中，确定积分的上下限是十分重要的。
在球面坐标系内进行三重积分时，确定 r、θ 和φ 的取值范围是需要考虑的问题。
通常情况下，r 的取值范围是[0, ∞)，θ 的取值范围是[0, π]，φ 的取值范围是[0, 2π]。
但在具体问题中，可能会有不同的取值范围。
第三步，进行积分运算。
在确定了函数在球面坐标系内的表示和积分的上下限之后，我们可以开始进行积分运算。
按照球面坐标系内的积分公式和上下限进行积分运算，得到所需的三重积分的值。
通过以上三步，我们可以计算出三重积分的 f本人。
需要注意的是，在实际问题中，对于复杂的函数和积分上下限的确定可能需要更多的代数运算和数学技巧。
因此在进行具体计算时，需要仔细分析问题，理清思路，确保计算的准确性。
球面坐标系计算三重积分的 f本人需要将函数表示为球面坐标系内的函数，确定积分的上下限，进行积分运算。
在实际问题中可能需要更多的数学技巧和分析能力，但掌握了基本的方法和步骤，我们就可以顺利地解决球面坐标系的三重积分计算问题。
在进行球面坐标系内的三重积分计算时，除了上文提到的三个基本步骤外，还有一些注意事项和常见问题需要我们在实际计算中加以重视和解决。
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
2
D2 : x2 y 2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
3.5 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分
三、小结
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
三重积分的计算方法
关于三重积分，是数一的内容。
三重积分核心也就是选对三重积分三大类方法，做什么题适合什么样的方法比较简便。
先总结关于三重积分的方法三重积分的计算方法：总结三种坐标形式1.直角坐标法①先一后二（先对z求积分，再对xy求积分）需要注意的是，在对xy积分的时候，积分区域是在xoy上面的投影②先二后一（先对xy积分，再对z积分）这里对z的积分的时候，积分区域是垂直z轴平面所截的区域适合先二后一：①被积函数：只含有x，y，z其中一个②积分区域：用 z=z0 截取后面积易求直角坐标系下求三重积分“先二后一”2.柱坐标{x=rcosθy=rsinθz=z公式∭Ωf(x,y,z)=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzx2+y2=r2注意：什么时候适合柱坐标①被积函数：出现x2+y2②积分区域：积分区域在xoy面上能用极坐标表示用柱面坐标计算三重积分3.球坐标{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=zcosφ,公式∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdθdzx2+y2+z2=r2注意：什么时候适合球坐标①被积函数出现x2+y2+z2②积分区域是一个球或者是一个锥体θ就是投影在xoy的角度范围，φ就是过原点，引一条射线,向下转，转出积分区域范围就是φ的范围用球面坐标计算三重积分4.一些常见积分区域的几何图形① z=x2+y2② z=x2+y2③ z=a−x2−y2④ z=a−x2−y25.更换三重积分的次序这里常见的是两种问题，一种是累次积分交换次序，另一种是计箅累次积分，计算累次积分通常也是通过交换累次积分次序来进行.交换三重累次积分次序本应像二重累次积分一样，先画域，然后再重新定限，然而，这里画域往往比较困难，通常利用二重积分交换次序逐步实现三重累次积分交换次序。
三重积分在球坐标系下的计算
0
0
0
4 t f (r2 )r2dr 0
2
1
lim
t0
t
5
f (x2
x2 y2z2t2
y2
z2 )dxdydz
4 t f (r 2 )r 2dr
lim t0
0
t 5
lim
t0
4
f (t2 5t 4
)t
2
lim
t0
4
f (t2 5t 2
)
lim 8tf (t 2 ) t0 10t
4 f (0) 5
J ( x, y, z) abcr 2 sin , : 0
(r, , )
0 2
V d x d yd z J dd dr
abc r2 sindd dr
2
abc d
sin d
1 r2 d r 4 abc
0
0
0
3
四、小结
三重积分的计算 （计算时将三重积分化为三次积分） 1 在直角坐标系下的计算
且 关于 yoz 面对称, xzdv 0,
4
则 I ( x y z)2 dxdydz
( x2 y2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
0 2, 0 1, 2 z 投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2 1
I d d
22 (2 z2 )dz
0
f ( x2 y2 )的形式时，采用柱坐标计算三重 积分较方便； (2)当积分域是与球有关的 区域，而被积函数具有
f ( x 2 y2 z2 )的形式时，采用球坐标 系计算三重 积分比较方便； (3)其他平面或抛物面构成的区域，可选用 直角坐标系。
补充：利用对称性化简三重积分计算
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
高等数学利用球坐标计算三重积分
D
xD
y
17
例1. 求由曲面 z x2 y2 与 z 2 ( x2 y2 )
所围立体 的体积 V .
提示: 先求曲面的交线在 xoy 面上的投影域 D.
由
z x2 y2
z 2 ( x2 y2 )
z2 2 ( x2 y2 ) 2 z
消去 z 得D 的边界 x2 y2 1
和
所围成的体积 V 和表面积 S .
解: (1) 易求出
利用二重积分,得
30
(2)
31
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
26
例2 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax内部的那部分面积.
解 由对称性知 A 4A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
z0
V (z2 z1)d D (2 r2 r2)rdrd
z1 x2 y2 o
1y
x
D
2
d
2
2
1r3dr 0
2
18
D
例2. 求球体 x2 y 2 z 2 R2与 x2 y 2 z 2 2Rz
公共部分体积.
解：求两球交线的投影. 由
x2 y2 z2 R2
x2 y2 z2 2Rz 消去 z 得 x2 y2 3 R2 D
dv r2 sin drd d
5
5
例3. 设由锥面
和球面
课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)
9
旋转面方程为 x2 y2 2z,
I 28dz ( x2 y2 )dxdy
Dz
28dz ( x2 y2 )dxdy x2 y22z
28dz 02 d 0 2z r 3dr
282
4z2 dz 4
336。
例 3．一形体 是由平面yz4, z0和圆柱面
x2 y2 16 所围成，已知其上任一点的密度与该
点到 z 轴的距离 成正比，求其质量 m 。
解：密度函数 ( x, y,z)k x2 y2 (k0) ，则 z
m k x2 y2 dxdydz 。
x2 y2 16
yz4
4
在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 16} ，
o 4y
x
10
在柱面坐标下
{(,,z) 02, 04, 0 z4sin } ，
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin
( r ,,)
cos rsin
0
∴ f (x, y,z)dxdydz
f (rsincos,rsinsin,rcos)r2 sindrdd
24
sincos rcoscos rsinsin
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv 利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例6 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
9.5_三重积分计算2
一般地，先对 ，后对r， 一般地，先对z，后对 ，最后对 θ 积分
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数r，
A
x
r
M ( x,
z
y, z )
o
P ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角，θ 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
0
π 2 0
π 2 0
R
x
.
例 4、 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2
2 2
2
r = 2a ,
z=
π x + y = , 4
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
x = r cos θ , 直角坐标与柱面坐标的关系为 y = r sin θ , z = z.
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
柱面坐标的坐标面 动点M( 动点 r, θ, z) z r =常数：圆柱面 常数： 常数 圆柱面S z =常数： 平面Π 常数： 常数 S
‘
= abc ∫ dθ ∫ sin d ∫ 1 r 2 dr =
0 0 0
2π
π
1
π2
4
例7、计算∫∫∫ ( x + y + z ) cos( x + y + z ) 2 dxdydz
极坐标与球面坐标计算三重积分课件
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
极坐标与球面坐标计算三重积分
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
13 3 利用球面坐标计算三重积分
圆锥面的半顶角为 , 以 z 轴为轴.
4
11 (1) 用柱坐标. (2) 用球坐标.
1 1 x 2 y 2 z 2 z 是球心为 0, 0, , 半径为 的球面. 2 2
复习: x 2 y 2 z 2 Dx Ey Fz G 0 表示一个球面, 球心 为 P
9
z 6 x 2 y 2 的柱坐标方程为 z 6 2 , z x 2 y 2 的柱 z 6 2, 坐标方程为 z , 于是由 , 得 2 6 0 . 从而 z ,
2 , 3 (舍) , 故 z 2 . 这说明, 旋转抛物面 z 6 2 和圆
2 2 2
则得其球坐标方程 r 2a cos .
V r 2 sin drd d
d d
0 0 2
2
2 a cos
0
r 2 sin dr
2 acos
d sin d
0 0
0
r 2dr
1 2 d sin d 8 a 3 cos 3 0 3 0 3 8a 2 d cos 3 sin d 0 0 3 8a 3 2 cos 4 1 d 3 0 4
1 D E F D 2 E 2 F 2 4G . , , , 半径为 r 2 2 2 2 x r sin cos , 2 2 2 把 y r sin sin , 代入球面方程 x y z z , 得该球面 z r cos
3 利用球面坐标计算三重积分
球面坐标 r , , : 0 r , 0 , 0 2 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
坐标系 直角坐标
适用范围
长方体 四面体 任意形体
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域
球面坐标
球形体域 或其中一 部分
体积元素
dxdydz
rddrdz
变量代换
x x y y zz
x r cos y r sin
zz
r2 sindddr
I
2
d
2 d
R
r
2
2 sin2
r
2
x
sindr
o
0
0
0
y
2
2 sin3 d
R r 4dr
4 R4。
0
0
15
9
(2)
x2 y2 z2 dv, : x2 y2 z2 zos
,
0
2
,
0
2
z
x2 y2 z2dv
1
2
d
cos
2 d r r 2 sindr
0
0
•
0
2
7.3.4 利用球面坐标计算三重积分
一、球面坐标
z
设M ( x, y, z)为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个
有次序的数r, ,来确定。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
o
x
z
y
x y P(x,y,0)
1
r为原点到M间的距离。 为有向线段OM与z轴 正向所夹的角。
z
M(r,,) • M(x,y,z)
d
64
5
cos8
8
2 0
8 。
5
11
解法二 用柱面坐标系
z
z2dv
2
1
d
1
rdr
1 r 2
z 2dz
0
2
0
1 1r2
2
1
r
z3 3
dr 1 1r2
1 1r2
0
2
3
1
r[6
1 r2 2
(1 r 2)3 ]drx
o
y
0
4
(
1
1
)
[3
1 r2
(1 r 2)3 ]d(1 r 2)
4
为了把三重积分
中的变量从直角坐
标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r =
常数， =常数， =常数把积分区域
分成许多小闭区域。
z
dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的
六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方形。
5
经线方向的长为 rd, 纬线方向的宽为 rsind,
x r sin cos y r sin sin z r cos
15
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
的三次积分。
当原点在 内时,有
0 r r(, ),0 ,0 2 ,
f (x, y, z)dV
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
7
例如，半径为R的球体的体积
V
dV
2
d
d
R r 2 sindr
0
r
为从正z轴来看自x轴
按逆时针方向转到有向
o
x
xy
z
y
P(x,y,0)
线段OP , 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
M(r,,)
0
,
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
0
0
2 2 R3 4 R3。
33
8
例1 先将积分化为球面坐标的累次积分,
再求其积分值。
R
(1)I dx
R2 x2
dy
R2 x2 y2 ( x2 y2 )dz
R R2 x2
0
z
解 (1) 是以原点为球心,以R
为半径的上半球面与xoy面所围
成的空间区域。
: 0 r R,0 ,0 2
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
3
③点M的直角坐标与
z
球面坐标的关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
M(r,,)
r • M(x,y,z)
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
dv r2 sindrdd
32
0
4
3
(
1 2
)
0
[3
u
u3 ]du
8 。
5
1
12
解法三 截面法
2
z2dv z2dz d
0
Dz
2
z2 (2z z2 )dz
0 2
(2z3 z4 )dz
0
(2 z4
4
1 5
z
5
)
2 0
8 。
5
z 2
o x
y
Dz
y
Dz
o zx
Dz
:
x2
y2
(2z
z2) 13
小结三重积分的计算方法： 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤：
2
sin
cos4
d
。
0
4
10 x
o
y
10
z
例2 求 z2dv, : x2 y2 z2 2z 2
解法一 用球面坐标系
: 0 r 2cos,0 ,0 2
•
2
o
I
2
d
2 d
2cos
r
2
cos2
r
2
x
sin
dr
0
0
0
y
2
2 0
cos2
sin
[r5
5
]2cos 0
向径方向的高为 dr。
z dr
d
r sin
r
于是，小六面体的体积为 o
x
dv r2 sindrdd
d
r sind
rd
d
y
这就是球面坐标系中的体积元素。
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz F(r,, )r2 sindrdd
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos)。