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三角函数的图像变换
三角函数的图像变换和衷高级中学 丁连英一、 教学目标：1、 知识与技能（1）通过图象揭示 y=Asinx 、 y=sin ωx 、y=sin(x+φ) 与 y=sinx 的图象间的关系;（2）进一步研究由Α变换、φ变换、ω变换构成的综合变换，作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；（3）理解并掌握Α、φ、ω的变化对函数图象的形状及位置的影响; 2、 过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，结合电脑多媒体动画的演示，发现规律，总结提练，加以应用；正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习.几何画板动画的演示阐述Α、φ、ω的变化对函数图象的影响. 3、 情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点: （1）y=Asinx 、 y=sin ωx 、y=sin(x+φ) 与 y=sinx 的图象间的关系.（2）由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝Asin （ωx +φ）的图像. （3）Α、φ、ω的变化对函数图象的形状及位置的影响. 教学难点: （1）ω对y=A sin(ωx +φ)的图象的影响规律的概括;（2）由函数y ＝sin x 的图像得到函数y ＝Asin （x +φ）的图像这一思维过程中相位变换时图像的平移量。
教学手段:多媒体辅助教学(教学软件:flash;几何画板)二、教学过程 (一)创设情境,温故求新复习“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？在物理和工程技术的很多问题中很多常见一些复杂的三角函数问题，形如 y=Asin(ωx+φ) ,它的图像我们也可以用五点作图法作出,今天我们再来研究用另一种方法来作出它的图像. （二）探究发现 建构概念提出问题：例一．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
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《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移，得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+→（3）纵向伸缩：sin () →A sin ()（4）纵向平移：A sin () →A sin () + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x－)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x－),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x－),最后将图象左移得函数y= sin x.【例2】将y = f (x)·cos x的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得y = 2sin2 x－1，再将2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）得令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.因为2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移1个单位得sin(2 x－),左移得sin2x.三、翻折变换使> 0平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(-x)左移而得.其实，x或y的系数变-1，也对应着两种不同的图象变换：由x→- x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) →-f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换-3x→3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解）又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为≤ x ≤【解析2】 的减区间为≤≤即是 ≤ x ≤【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f (x )的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f (x )减区间的主解≤ x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f (x )减区间的通解.【思考】 本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．ABxy P O且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．123米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数AB xyPO20 40 60 80 100 120180 204060 80 100120 140 160 Ot (天)y (天) 20 4060 8011018060 Oz (元) 150140 160 50 4020 10 853图(1)图(2)（180，92）140 160100 120 t (天)关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)48436134360x x x ∴-==+=-+<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得12626626x x =-=+，． 124610CD x x ∴=-=≈．y O BCD 1 M x2 4AyOBCD 1 Mx2 4 A E FN1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得1643x =-（舍），264313x =+≈．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：1132613k =-<（舍去）， 26432667518k =++++=≈．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．11826x =-（舍去），2182623x =+≈． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ Py B A OC x（2）令4y =，则有212244x x -++= 解得12422422x x =+=-，21422x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知2112222x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元CB A DH ENM GF时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．30m3B1B2B 4B5B5A4A 3A 2A 1A 图(1)1B5B3BO图(2)yl答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
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三角函数图象变换课例提要本课例通过让学生使用TI-92PLS 图形计算器对不同几组三角函数解析式、图象的对比、观察、分析，同时教师 进一步通过儿何画板的动画辅助演示，再让学生观察、分析，猜想、进而由学生归纳出三角函数的三种变换屮：振幅变换、 周期变换、平移变换的一般待点，从而逐步加深对函数图象的初等变换的认识.主题词三角变换观察动画演示教学过程：一、新课引入：师：前面我们学习了正弦函数y=sinx 的图彖和性质，请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间？生：定义域：R,值域：，奇函数，单增区间：［ 2 2 ］单减区间：［ 2 2 ］/ = 2sh xjr = 3ii — jyr = 3h(x+—)师：回答的很好，那么形如2 4函数的定义域、值域、奇偶性、周期及单调区间乂如何呢？ (一片茫然，没冇学生回答)师：大家别着急，今天我们就要來学习它们的图彖和性质，并通过它们的图象和性质进一步來探究它们的图象与y=sinx 图彖会有什么样的关系.二、动手实验：下面请大家用图形计算器在同一处标系分别输入以下几组三角函数的图彖，并观察每一组图象的定义域、值域、周期、 单调区间及其再观察每一•纽图彖和互Z 间的关系、特点，然后进行小组讨论、交流.y = sh JTJ =nn =—x 第二组： 2/ = « X』=2sh y =扌五 X第三纽:第一组:4(教师巡视，同时指导学生注意输入中经常出现的几个问题：窗口调节.弧度与度的单位转换、及其如何利用U 在同一坐标系同时画图和利用功能键・5进行追踪和如何利用其它键进行的放人等等.)三. 师生交流:师: 从下列第一组图1,你冇什么体会?师: y =2 sn x 』 的定义域.值域. 周期分别是多少?生: V = 2 311 X 的定义域：XGR, 值域：yE [—2, 2],周期：应该与y 二sinx 的-•样还是刘师: 不错，那么 呢？生: 的定义域xeR, 值域：炸[一],-],周期：H师: 很好，那么它们三者之.间的图象有什么关系呢?生: 好象它们之间有一定的伸缩关系师: 能不能再说得貝体一点吗?生: 仲缩倍数是不是与2和二有关呢?师：大家探究和分析的很好，是不是这样呢？不过别着急.下面请大家先看大屏幕儿何画板的动画演示（老师心喜：他们能够说出“伸缩”二字，而且发现与2和二有关，只是猗想不知是否正确，此时，利用动画演示有助于验证他们的猜想）AW = sir(XgW = 2sin RDC ：拖动点c,请大家观察图象上D、E的运动，在横坐标相同的条件下，纵坐标的变化，同时注意必比值的变演示1r*)演示2：拖动点B,观察图象y=sinx与y=Asinx图象，当A发生变化时，点D. E的纵处标的变化，同时注意»・比值的变化.（改变A的值，整体对比y=sinx与y二Asinx的关系）进一步引导，观察，启发:师：通过上述大家的实验、和我刚才的儿何训板演示，你乂有什么体会?生：函数y=l/2sinx 的图象可看作把y = sinx, xER±所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得（横坐标不变），函数 y=2sinx 图彖可看作把y=sinx, x£R 上所有点的纵坐标缩短到原來的2倍而得（横坐标不变）师：太好了，冋答完全正确.（演示进-步巩固了他们的猜想）教师总结：一般地，尸Asinx, （xGRA>0 MA11）的图象可以看作把止弦曲线y=sinx ±的所有点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（O<A<1） 到原来的A 倍得到的.我们把这种变换简称为振幅变换.<A<1）到原来的A 倍得到的.我们把这种变换简称为振幅变换.〈p>/ = sh=sm 2兀» =咼一囂 第二组： 2师生交流:师：和第一组一样，你们有什么体会?生： 2与F 少看不出來，反正它们的周期显然不一样.（学生从图形计算器屏幕看到的的确如此，它们的周期明显不一样）师:是的,他们的图彖差别太大,但是可以看出一个周期较小,一个较大.师：92 X 的定义域：R,值域:[-1, 1],和y=sinx 的都一样，周期是多（教师想通过周期的不一样來突破周期变换）现在我给大家演示两个动画3.WO ■sing演示1：拖动点A （A、B,它们分别在各口的图象上）在纵坐标相同的条件下，观察A、B的横坐标的变化，以及卞■ 的比值的变化.（对比y=sinx与y=2sinx的关系）演示2：拖动点B,改变W的值，再观察上述的变化.（改变W的值，进一步观察y=sinx与尸sinWx的图象关系）（该环节的演示要慢，要让学生注意观察比值的不变特点）师：通过上述你的实验、和儿何画板的动画演示，你又冇什么体会?进一步引导,生：函数y = sin2x, xFR的图象，可看作把y = sinx, xER上所有点的横坐标缩短到原来的[倍（纵坐标不变）而得到的函数y=sir）2 , xwR的图象，可看作把y = sinx, x^R上所冇点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到（的确难得，他们能发现影响周期的最是W 了，这样也为下一节课周期的教学作好准备）师：大家已经能通过第一组的变换特点，类比的方式得到它们Z间的关系，真的很不错.那么谁能把y=sincox图彖与y=sinx的图象作比较，说出它们之间的关系吗？生：函数y=sin wx, xWR （w>0 H. w 11）的图象.，可看作把y=sinx所有点的横坐标缩矩（s> 1）或仲长（0< w<l）到原1來的八倍（纵坐标不变）（鼓励学生用自己的语言來归纳，总结）师：有进步.总结：一般地，函数y=sinco X, xGR（3>0且311）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（3>1）或伸长（0〈3 1第三纽.：htx) = slnl x-〈1）到原來的二倍（纵坐标不变）.我们把这种变换简称为周期（或者伸缩）变换.师：它们的定义域、值域.周期分别是多少？以及它们的图象关系又冇如何关系?生：定义域：XWR,值域：y e [-1,1],周期：2^,图象似乎与我们以前学过的具有平移关系.（因为髙一学习过一些简单的平移,学生对平移的说法可以很快的提出）师：冋答的十分正确.那么大家再用功能键7追踪，观察它们的平移的方向和平移的单位有什么特点?9(x) = sln（由于学生的图形计算器的单位是幅度,追踪的结果是一个数，不会带有下的单位，让学生注意进行换算,儿分钟后）师：请大家看我用儿何画板的动画演示4.演示1：拖动点C,观察变化.（观察平移的单位）演示2：拖动点B,改变B的值，观察平移的方向.（让学生去发现：从左边移动（B＞0）,从右边移动（B〈0）引导，观察，启发：师：通过上述实验、利儿何画板演示的结果你有什么体会?生：函数y=sin （x+3）, x eR的图象可看作把正弦曲线y二sinx上所冇的点向左平行移动3个单位长度而得到. 函数y = sin（x- °）, x£R的图象可看作把正弦曲线y=sinx ±所有点向右平行移动4个单位长度而得到师：太棒了，回答的十分正确.教师总结：一般地，函数y = sin（x+卩），xGR（其中厂工0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当卩＞0时）或向右（当卩＜0时=平行移动丨少丨个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：“加左”’'减右”），我们把这一变换称为平移变换四、运用反思：1、下列变换中，正确的是A将y = sin2x图象1•.的横坐标变为原來的2倍（纵坐标不变）即可得到y = sinx的图彖B将y = sin2x图象上的横坐标变为原来的-倍（纵坐标不变）即可得到y = sinx的图象C 将y = —sin2x 图象上的横坐标变为原來的二倍，纵坐标变为原來的相反数，即得到y = sinx 的图象D 将y = -3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍,纵坐标扩大到原来的孑倍,且变为相反数,即得到y=sinx 的图象答案:A（可以让学生使川机器来验证口C 的冋答是否正确，尤其是C 和D 的冋答）2靭_劭的BMi 是由”曲如伎却到？2. J/ = «iix->jr = 2sLiijr ->j^ = siQ2x —>^ = fin （2jt-—）师：大家可以选择变换路径 3（山于前面都是单一的变换，可以提示学生先选择变换路径）生：即把y=sinx 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象的纵坐标不变，横坐标缩 短为原来的1/2,然后把图象上的所有点向右移动3个单位. 师：有不同意见吗？生：是的，基本就是这样.生：是啊 （全体学生感到纳闷，老师为什么这样问呢.）师:好吧，请大家用计算器实验,看看他说的是否正确?我输入图象看，平移的数据似乎不对，到底是多少呢?师:一定是向右平移3个单位吗?2、 jr=lg2x^y=lg(2x+4)（由丁•学生的图形计算器的单位是幅度，追踪的结果是一个数，不会带有的单位，可以让学生进行换算来冋答，但 是几何画板町以动态变化和计算）生：我知道了，应该是向右平移6 ,而不是3JF师：不错应该是应该是向右平移6,这是我们经常会犯的错误，一般地，函数的平移是指变暈的变化暈，所以要把 ^ = 2-<2JT -5 > = 2«2(X -5函数 3化为 E 从中可以看出 （这时学生在做次类题口，经常容易犯的错误，应引起足够的重视）五. 小结与思考：今天我们学习了三种三角函数：形如» = *皿R = E十切图彖是由y=sinx 的图象怎么变换得 到，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换. 思考：上述三种三角变换适应于三角函数的图象外，是否也适应于一-般函数的图象的变换吗？请同学们下去通过今天学习的 方法川图形计算器探索、思考下列儿组函数图象的关系3"討hJF 6，所以应该是向右平移6请大家再看我的演示: )（让学生下去动手实践，、探索和验证，也为后期函数图象变换的学习作准备）六、 作业：七、 教学反思：1、本节课是以学生探索为主，教师点拨、启发、引导和利川儿何画板的演示为辅.通过TI-92PLS 图形计算器进行教 学学习和探究活动，获得TI 计算器正弦波函数性质等数学问题的体验；认讲现代信息技术对学习数学知识和探究数学问题 的价值.借助已知知识提出问题，体现教师为主导，学生为主体的原则，整个教学过程为：提出问题—探索—解决问题— 运川反思—提高.2、以前该部分内容的教学通常是通过収值、列表、描点、画图然后静态的让学生观察、总结，鼓后得出它们Z 间图 彖变化的特点，如下图所示.（振幅变换）3.jr = (x-2)^=2(x-2)a（平移变换）不仅教学内容少，而且课时需要多（以前至少需要2课时）、课堂气氛枯燥、学生参与的活动少、学习的枳极性较低.通过信息技术的使用，改变常规教学屮处理方式，利用图形讣算器让学生实验、观察、体会和交流，然后再通过几何画板的辅助教学演示，使得振幅变换、伸缩变换、平移变换变得形象、直观，学生易于理解和掌握，不仅一节课完成了三种变换而且学生的兴趣浓厚、参与活动多、课堂气氛活跃，使课堂教学落到了实处，主体作用得到了真正的体现，综合能力和素质也得到了培养，这充分体现了信息技术具有的优势.3、但值得商榷的是：原來教学的“五点作图法”绘制函数图象，再讨论参数所起的作用，这里用技术马上就画出函数图象，并观察规律得出结论，所以"五点作图法”在技术面前如何处理会更好.。
三角函数图像变换
左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
例1
作函数 y = 3sin(2x+ )的简图 3
分析 ： 因为T=，所以用“五点法”先作长度为一个周期的 闭区
间上的简图 X 3 设：X 2 x 那么： 3 sin( 2 x ) 3 sin X 且 x 3 2 3
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
练习
1. 画出函数Y=Sin（2X+
Y
4 周期的闭区间上的简图。
1
）,X∈R在长度为一个
8
-1
O
8
3 8
5 8
7 8
X
左移π/2个单位长度 2.将y=SinX的图象_____________________
方法1:先平移后伸缩演示
y
3 2 1
y=3sin(2x+ )③ 3
y=sinx
3
5 6
o
5 3
2
3
6
x
-１
-2 -3
y=sin(x+ )① 3 y=sin(2x + )② 3
三角函数的图像变换
三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。
下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。
例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。
A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。
分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。
故选B 。
二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。
例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。
解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。
三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。
即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。
三角函数图像变换总结（范本）
三角函数图像变换总结三角函数图像变换总结篇一：三角函数图像变换小结(修订版) ★三角函数图像变换小结★相位变换：①y?sinx?y?si n(x??)0? 将y?sinx图像沿x轴向左平移?个单位②y?s inx?y?sin(x??)0?将y?sinx图像沿x轴向右平移?个单位周期变换：①y?sinx?y?sinx(0??1)将y?sinx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 1 倍②y?sinx?y?si nx(?1)将y?s inx图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍振幅变换：①y?sinx?y?A sinx的A倍②y?sinx?y?Asinx A倍?0?纵坐标缩短为原来A?1?将y?si nx图像上所有点的横坐标不变， ?A?1?将y?sinx图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的【特别提醒】由y＝sinx的图象变换出y ＝Asin(?x＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(?＞0)或向右（??0）平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的移 |?| 1? 倍(?＞0)，便得y＝sin(ωx＋?)的图象 1 ?倍(?＞0)，再沿x轴向左(?＞0)或向0?右平 ?个单位，便得y＝si n(?x＋?)的图象 ?? |个单位【特别提醒】若由y?s in?x 得到y?si n??x的图象，则向左或向右平移应平移| 1 为了得到函数y?3sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ?? ?上所有的点（） 5? （A）向右平行移动（C）向右平行移动 ?52?5 个单位长度（B）向左平行移动个单位长度（D）向左平行移动 ? 52?5 个单位长度个单位长度（201X·朝阳期末）要得到函数y?sin(2x?（A）向左平移（C）向右平移 (09山东文)将函数y?sin2x的图象向左平移( ). ? 4 ?4 )的图象，只要将函数y?sin2x的图象 ( ) 单位（B）向右平移单位（D）向左平移 ?4 单位单位 ?8 ? 8 ? 4个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A.y?2cs2x B. y?2sin2xC.y?1?sin(2x? 【方法总结】 ? 4 ) D.y?cs2x①将y?f?x?图像沿x轴向左平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a)②将y?f(x)图像沿x轴向右平移a个单位 y?f?x??y?f(x?a) 为了得到函数y?3si n?2x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x? ? ? ???上所有的点（）5? 1212 （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的（C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的（201X四川文）将函数y?s inx 的图像上所有的点向右平行移动 ?10 倍，纵坐标不变倍，横坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（A）y?sin(2x?（C）y?sin( 2?10 ) （B）y?sin(2x?) （D）y?sin( 12 ? 5 )) 12 x? ? 10 x? ? 20 (201X·广州期末)若把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移 ? 4 个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y?sinx的图象,则y?f?x?的解析式为( ) A．y?sin?2x? ??? ???B．?1y?sin2x1 4?2?? C．y?s in?2x? 【方法总结】 ?? ???D．?1y?sin2x1 4?2?? 将y?f?x?图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的y?f(x)?y?f?x 1 倍? (?0) 为了得到函数y?4sin?x? ?? ?? 5? ?的图像，只要把y?3sin?x?? ? ?? ?上所有的点（） 5?34 （A）横坐标伸长到原来的（C）纵坐标伸长到原来的【方法总结】 4343倍，纵坐标不变（B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 34倍，横坐标不变（D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变将y?f?x?图像上所有点的横坐标不变，横坐标变为原来的A倍y?f(x)?y?A f?x ? (A?0) 为了得到函数y?sin?2x? ???? ?的图像，可以将函数y?cs2x的图像（） 6?A 向右平移 ? 6B 向右平移 ?3 C 向左平移?6 D向左平移?3 试述如何由y=sin（2x+ 31π3 ）的图象得到y=sinx的图象3 函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定，（201X重庆理）（6）已知函数y?sin(?x??)(??0,??A. ?=1 ?= ? 6 ? 2 )的部分图象如题（6）图所示，则（） ? 6 B. ?=1 ?= —C.?=2 ?= ? 6? 6 D. ?=2 ?= —（201X天津文）（8）右图是函数y?Asin(?x??)?A?0,??0,?? ?? ?? 2? ?在区间?? ? ??5?? 上的图像为?66?, 了得到这个函数的图象，只要将y?sinx（x?R）的图象上所有的点（） (A)向左平移? 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变(B) 向左平移 ? 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 ? 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变(D) 向左平移?6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变【规律总结】 y?Asin(?x??)的图像（１）相邻的对称轴之间的距离为半个周期；（２）相邻对称中心间的距离是半个周期；（３）相邻的对称轴和对称中心之间的距离为14 个周期。
三角函数图像变换
-3
o
x
1
2
-1
-2
3
y
用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩):
向左平移π/3个单位长度
横坐标缩短到原来的1/2倍
(纵坐标不变)
纵坐标伸长到原来的3倍
(横坐标不变)
y=sinx的图象
y=sin(x+π/3)的图象
第1步:
第2步:
y=sin(x+π/3)的图象
y=sin(2x+ π/3)的图象
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
到原来的A倍（横坐标不变）
y=ASin(x+ )的图象
（1）向左( >0)或向右( <0)
平移| |个单位
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
课堂练习:
解:
向右平移π/2个单位长度
第2步: y=sin0.5x 的图象 y=sin(0.5x - ) 的图象
各点的纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
第1步: y=sinx 的图象 y=sin0.5x的图象
找出在确定图象性质时起 关键作用的五个点: 最大值点 (2) 最小值点 (3)与x轴的交点
作三角函数的图象的方法一般有： ；（2）几何法；
x 1 用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象的关键点是：(如图) 最低点y=sinx1
o
y
最高点
曲线与x轴交点
1、函数图象的纵向伸缩变换
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解:法二:
纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍
第3步: y=sin( x - )的图象 y=3sin( x - )的图象
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换（4月23号）图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________ 2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,sin 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
4、由函数R x x y ∈=,s in 4的图像得到R x x y ∈=,sin 的图像，应该是将函数R x x y ∈=,sin 4上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（横坐标不变）而得到的图像。
图像变换三：横向伸缩5、对于函数R x x y ∈=,3sin 的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或“纵”)坐标______（“伸长”或“缩短”）为原来的______（纵坐标不变）而得到的图像。
图像变换四：综合变换6、用两种方法将函数x y sin =的图像变换为函数)32sin(π+=x y 的图像解：方法一：x y sin =−−−−−→−)(x y 2sin =−−−−→−)()32sin(6(2sin ππ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x y方法二：xy sin =−−−−→−)()3sin(π+=x y −−−−→−)()32sin(π+=x y总结：方法一： 先伸缩后平移()A →→ϕω 方法二：先平移后伸缩()A →→ωϕ7、用两种方法将函数x y 2sin =的图像变换为函数)4sin(π+=x y 的图像方法一：x y 2sin =−−−−−→−)(x y sin =−−−−→−)()4sin(π+=x y方法二：x y 2sin =−−−−→−)()42sin()8(2sin ππ+=+=x x y −−−−→−)()4sin(π+=x y 8、函数)32sin(3π+=x y 的周期、振幅、初相为________、_________、__________ 9、已知函数()()R x A x A y ∈>>+=,0,0sin ωϕω的最大值是3，最小正周期是72π， 初相是6π，则这个函数的表达式是__________________ 10、已知()x x f sin 1=，()x x f ωsin 2=()0>ω且()x f 2的图像可以看做是把()x f 1的图像上所有点的横坐标缩小到原来的31倍（纵坐标不变）得到的，则=ω________________ 11把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 的图像向右平移3π个单位，得到的解析式为____________12、为了得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,621s in 4π的图像，只需将函数R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,6s in 4π的图像上的所有点____________13、将函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,52sin 3π的图像上的所有点向右平移10π个单位，得到函数()x f 的图像，则()x f 的解析式为________________14、要得到R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,42cos 3π的图像，只要将R x x y ∈=,2cos 3的图像___________ 15、把函数132s in 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 的图像向左平移6π个单位，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为__________________ 16、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 3πx y 的图像可由函数x y 2sin 3=的图像经过下列哪种变换得到（ ） A.向右平移3π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度C.向左平移个3π单位长度 D.向左平移个6π单位长度17、要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只要将x y 2sin =的图像（ ）A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度C.向左平移个4π单位长度 D.向右平移个4π单位长度18、已知函数242sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y ，求：1函数的周期及单调区间；2函数的图像可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的变换而得到三角函数图象变换复习 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数 3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） （A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 3 （1） 将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R) 5.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（ ） （A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π=+ 6.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A. ω=1 ϕ=6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2 ϕ= 6π D. ω=2 ϕ= -6π 7.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ） (A)y=sin(x/2) (B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 8.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-9.5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ）y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx) 11.函数f(x)= 3sin(),24x x R π-∈的最小正周期为（ ）A. 2πB.xC.2πD.4π1．已知函数，则（ ）A ．其最小正周期为2πB ．其图象关于直线对称C ．其图象关于点对称D ．该函数在区间上单调递增2．已知函数f （x ）=cos （x+φ） （0＜φ＜π）在x=时取得最小值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[]B ．[]C ．[，0]D ．[﹣π，]3．将函数f （x ）=2cos2x 的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是（ ）A ．y=2sin2x ﹣2B ．y=2cos2x ﹣2C ．y=2cos2x+2D ．y=2sin2x+2 4．（2011•惠州模拟）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位5．（2009•湖南）将函数y=sinx 的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin （x ﹣）的图象，则φ等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2007•山东）为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（ ） A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度7．（2009•山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．y=2cos 2x B ．y=2sin 2x C ．D ．y=cos2x8．有以下四种变换方式： ①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；②向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数y=cos（）的图象变为函数y=sin（2x+）的图象是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③9．将函数y=cosx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．10．（2012•无为县模拟）将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），则所得函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称11．将函数的图象向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的3倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A．B．C．D．12．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点_________．13．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是_________．14．把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数_________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_________的图象．15．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cos（ωx）的图象，只要将y=f（x）的图象向_________平移_________个单位长度．16．①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，向左平移；③横坐标变为原来的，向左平移；④向左平移，横坐标变为原来的，其中能将y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是_________．17．将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是_________．18．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得图象各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是_________．19．把函数的图象向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的，则其解析式为_________．20．函数y=Asin（ωx+φ）的图象的图象上相邻的最高点与最低点的横坐标的差为2π，则ω=_________．21．直线y=m与函数y=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0）有交点，其中三个相邻交点的横坐标分别为2，4，14，则ω的值为_________．22．（2012•朝阳区二模）函数y=2cosx，x∈[0，2π]的单调递增区间是_________．23．函数y=sin（x+）在[﹣2π，2π]内的单调递增区间是_________．24．函数y=sin（x+）在区间[0，]的最小值为_________25．函数y=sinx，x的值域为_________．26．函数y=3sin （x∈[0，π]）的单调减区间是_________．27．函数的值域为_________．28．函数，x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是_________．29．函数（π≤x≤2π）的值域为_________．30．函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为_________．1．（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．2．（2004•重庆）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．3．cos275°+cos215°+cos75°•cos15°的值是（）A．B．C．D．4．（2011•郑州二模）计算cos42°cos18°﹣cos48°cos72°的结果等于（）A．B．C．D．5．（2011•江西模拟）计算cos 28° cos17°﹣sin 28° sin17°的结果等于（）A．B．C．D．6．（2010•海淀区一模）sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（）A．1B．C．D．7．（2010•成都三模）计算cos45°cos15°﹣sin45°cos75°的结果是（）A．B．C．D．18．若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α9．下列各式化简结果为cosα的是（）A．cos20°cos（α﹣20°）+cos70°sin（α﹣20°）B．cos20°cos（α﹣20°）﹣cos70°sin（α﹣20°）C．cos20°sin（α﹣20°）+cos70°cos（α﹣20°）D．cos20°sin（α﹣20°）﹣cos70°cos（α﹣20°）10．sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为（）A．B．C．D．11．sin17°cos227°+sin73°sin47°等于（）A．﹣B．C．﹣D．12．（2011•南通模拟）化简的值为_________．13．（2009•宁波模拟）sin155°cos35°﹣cos25°cos235°=_________．14．sin14°cos16°﹣cos166°sin16°的值是_________．15．sin35°•sin25°﹣cos35°•cos25°的值是_________．16．求值：cos105°cos15°﹣sin105°sin15°=_________．17．计算：cos13°•cos47°+sin13°•cos137°=_________．18．cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于_________．19．的值等于_________．20．sin34°sin64°+cos34°sin26°的值是_________．21．函数y=sinx+cosx的单调增区间是_________．22．cos96°cos24°﹣sin96°cos66°=_________．23．cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为_________．24．函数的最小值为_________．25．cos47°sin13°+sin47°sin77°的值等于_________．26．sin420°cos750°+sin（﹣330°）cos（﹣660°）=_________．27．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于_________．28．cos73°cos13°+cos17°sin13°=_________．29．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是_________．30．sin75°cos30°﹣cos75°sin30°=_________．1．（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．2．（2012•重庆）=（）A．﹣B．﹣C．D．3．若，，，则cos（α+β）的值等于（）A．B．C．D．4．（2014•孝感二模）函数的最大值是（）A．2 B．1 C．D．5．（2014•云南一模）函数f（x）=sin2x﹣sin（2x+）的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．D．﹣2 6．设，则sin2θ=（）A．B．C．D．7．已知，且0°＜α＜90°，则cosα=（）A．B．C．D．8．观察下列等式：13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=1+2+3+4）2，…，根据上述规律，第四个等式为_________．9．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条，这些直线中共有f （n）对异面直线，则f（4）=_________；f（n）=_________．（答案用数字或n的解析式表示）10．）方程在区间（0，π）内的解是_________．11．化简：=_________．12．函数在区间[]的最小值为____．13．若，则的取值范围是__14．函数的单调递增区间_________．15．已知，，则sinα=_________．16．函数的单调递减区间为_________．17．方程在（0，π）上的解集是_________．18．（2007•金山区一模）方程sinx+cosx=﹣1在[0，π]内的解为_________．19．（2006•南京一模）在△ABC中，若，则的值为_________．20．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=_________．21．y=cos2xcos的单调递减区间是_________．22．锐角α，β满足，则α+β=_________．23．已知cosα=，cosβ=，且α、β为锐角，则cos（α+β）=_________．24．已知tan是第二象限角，则sin（）的值为_________．25．（2012•上饶一模），则f（1）+f（2）+…+f（2012）=_________．26．（2012•东至县模拟）在△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC的值是_________．27．（2011•钟祥市模拟）已知，则的值等于_________．28．（2010•金山区一模）若cosα=﹣，α∈（，π），则sin（α+）=_________．29．（2008•崇明县二模）已知，则=_________．30．已知，其中，则=_________．1．（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为_________．2．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为_________．3．（2013•松江区二模）已知，且，则sin2α=_________．4．（2013•日照二模）已知α为第二象限角，，则sin2α=_________．5．（2013•成都二模）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为_________．6．（2012•烟台二模）已知sin，则sin2α的值为_________．7．（2012•虹口区一模）已知，则的值等于_________．8．（2012•海淀区一模）若tanα=2，则sin2α=_________．9．已知cosθ=2sinθ，则cos2θ的值为_________．10．（2011•成都一模）已知cosα=，则cos2α=_________．11．（2008•江苏二模）已知cos（α+）=，且，则sin2α=_________．12．若α为锐角，且，则=_________．13．计算：sin10°cos20°sin30°cos40°=_________．14．已知，则sin2α=_________．15．已知=_________．16．若tanα=1则sin2α+cos2α=_________．17．=_________．18．若tan（a﹣）=2，则tan2a=_________．19．已知tanx=2，则=_________．20．已知，则的值等于_________．21．（2011•扬州三模）已知，则cos2θ=_________．22．（2012•上高县模拟）若2sinα+cosα=0，则=_________．23．若=_________．24．若tanθ=2，则2sin2θ﹣sin2θ=_________．25．若x=，则sin4x﹣cos4x=_________．26．若，则=________27．三角函数式的值等于____．28．已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=，求f（α）的值．29．已知α∈（），且sinα=；（Ⅰ）求sin（α+）的值；（Ⅱ）求cos（2α+）的值．30．已知tanθ=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求cos2θ的值．1．（2012•辽宁）已知，α∈（0，π），则sin2α=（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ． 12．（2013•江西）若sin=，则cos α=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．3．（2012•江西）若，则tan2α=（ ） A ． ﹣ B ． C ． ﹣ D ．4．计算1﹣2sin222.5°的结果等于（ ） A ． B ． C ． D ．5．sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ） A ． 0B ．C ．D ． 16．设0≤x ＜2π，且=sinx ﹣cosx ，则（ ）A ． 0≤x ≤πB ．≤x ≤C ．≤x ≤D ． ≤x ≤7．函数y=2sinx （sinx+cosx ）的最大值为（ ） A ． B ． C ．D ． 28．sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知sina=，则cos （π﹣2a ）=（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．10．已知sin2α=，则cos2（α+）=（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．12．（2014•淄博一模）已知tan α=2，那么sin2α的值是（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2014•杭州一模）若α∈（，π），且3cos2α=sin （﹣α），则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2014•贵阳一模）若sin （+α）=，则sin2α等于（ ） A ． ﹣B ．C ． ﹣D ．15．（2013•唐山一模）已知，则 tan2α=（）A ．B ． ﹣C ．D ． ﹣．16．（2013•合肥二模）若tan α=﹣，则cos2α=（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知角α的终边经过点（﹣8，﹣6）则sin2α=（ ） A ．B ．C ．D ．18．化简的结果是（ ） A ． 2cos3 B ． 2sin3 C ． ﹣2sin3 D ． ﹣2cos319．已知的值是（） A ．B ．C ．D ．20．设，则（ ）A． c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c21．若tanα=3，则tan2α的值是（）A．B．C．D．22．sin275°+sin215°+sin75°•sin15°的值是（）A．B．C．D．23．sin15°•cos15°=（）A． 1 B．﹣1 C．D．﹣224．在△ABC中，若sin2A=﹣，则sinA﹣cosA的值为（）A．B．C．D．25．已知sin（π+α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣ C．D．﹣26．（sin22.5°+cos22.5°）（sin22.5°﹣cos22.5°）=（）A．﹣B．C．D．﹣27．sin15°cos165°的值是（）A．B．C．D．28．已知，则sin4θ+cos4θ=．（）A．B．C． 1 D．﹣29．（2013•蚌埠二模）已知sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．30．已知α为锐角，，则tan =（）A．B．C．﹣3 D．﹣21．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为_________．2．函数y=2sinxcosx﹣1，x∈R的值域是_________．3．函数y=sin2xcos2x的最小正周期是_________．4．已知sinα+cosα=，则cos4α=_________．5．已知α∈[，π]，sinα=，则sin2α=_____．6．已知，则cos2α=_________．7．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则tanθ=_________．8．（2013•松江区二模）已知，且，则sin2α=_________．9．（2013•成都二模）已知sinα+cosα=，则sin2α的值为_________．10．（2012•蓝山县模拟）函数y=的最小正周期是_________．11．（2011•成都一模）已知α是第四象限的角，且，则cosα=_________．12．（2011•成都一模）已知cosα=，则cos2α=_________．13．（2012•丰台区二模）已知cosθ=2sinθ，则cos2θ的值为_________．14．（2009•朝阳区一模）若，则cos2θ等于_________．15．（2004•河西区一模）化简cos275°的值是_________．16．若α为锐角，且，则=_________．17．已知cosx﹣sinx=，则sin2x的值为______．18．已知，则sin2θ的值为_________．19．函数y=sin2x﹣2sinxcosx﹣cos2x（x∈R）的单调递增区间为_________．20．计算：cos475°﹣sin475°=_________．21．若tanα=1则sin2α+cos2α=_________．22．=_________．23．2cos215°﹣cos30°=_________．24．（2014•烟台一模）已知tanα=2，则=_________．25．（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．26．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），，求sinα的值、27．解方程cos2x=cosx+sinx，求x的值．28．（2013•荆门模拟）已知函数（1）若a=﹣1，求f（x）的单调增区间；（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．29．（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=1+sinx•cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（2）若tanx=，x∈（0，），求f（﹣）的值．30．（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．1．对任何的值等于（）A．B．C．D．2．若，则角θ的终边落在直线（）上A．24x﹣7y=0 B．24x+7y=0 C．7x+24y=0 D．7x﹣24y=03．已知θ为第二象限角，sin（π﹣θ）=，cos的值为（）A．B．C．±D．±4．已知180°＜α＜360°，则的值等于（）A．B．C．D．5．若2sinx=1+cosx，则的值等于（）A．B．或不存在C．2 D．2或6．直线2x+1=0的倾斜角为α，则=（）A．1 B．C．D．07．若sin74°=m，则cos8°=（）A．B．C．D．8．已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．9．已知cosx+sinx=1，则等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或110．已知角α为第二象限角且，则=（）A．B．C．D．11．若cosα=﹣，α是第三象限角，则=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣12．已知π＜α＜2π，且，则=（）A．B．C．D．13．已知cosθ=﹣，θ∈（﹣π，0），则sin+cos=（）A．B．±C．D．﹣14．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的余弦值为（）A．B．C．D．15．已知，则cos（π﹣α）=_________．16．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则=_________．17．（2012•温州二模）已知cos2=a，则cos1=_________．（用a表示）18．若，，则的值是_________．19．若，且，则=_________．20．在△ABC中，若，则=_________．21．已知，，则=_________．22．已知=﹣，则sinα等于_________．23．已知，则cosθ=_________．24．如果，则的值为_________．25．设2＜Z，且，．（1）求cosα的值；（2）证明：．26．已知为第四象限角，求的值．27．化简：+．。
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
三角函数的图像变换
见几何画板
思考： 思考：
1、利用“五点法”作出函数 、利用“五点法” y=3sin(2x+π/3)的简图。 π/3)的简图。 2、函数y=3sin(2x+π/3)的图象 、函数 π/3)的图象 如何变换而得到？ 是由 y=sinx如何变换而得到？有几 如何变换而得到 变换方式？ 种变换方式？
例：用两种方法将函数y=sinx的图像变换为
解：由于周期T=2π x sinx 2sinx
1 sin x 2
∴不妨先在[0,2π]上作图，列表：
π
2
0 0 0 0
π 0 0 0
3π 2
2π 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
− 1 2
y
2
y=2sinx
1
1 2
1 − 2
π
o
2
π
3π 1 y = sin x 2 2
2π
x
y=sinx
-1 -2
y
−
π
2
−
π
3
π
2
3π 5π 2 3
2π
x
-1
实际 上， 我们在 前面 已经 学过知 道有 y = sin x y = sin(x +ϕ) →
小结 : 注意：A,ω,ϕ 对函数y = A sin(ω x + ϕ ), ( A > 0, ω > 0, ) 的图像的影响。
ϕ>0,向左平移ω 个单位长度 ϕ<0,向右平移ω 个单位长度
4.将函数y = sin x的图象上的每一点的纵坐标 保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后所得的图象
π
沿x轴向左平移 个单位，这样得到的曲线 ) 2 图象的函数y = f ( x)的解析为(
三角函数图象变换
练习与应用二
2.为了得到函数y 3 sin(2 x
5
)的图象, 只要
x 把y 3 sin( )上所有的点 A 2 5 1 ( A)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 ( B )横坐标伸长到原来的4倍, 纵坐标不变 (C )纵坐标伸长到原来的4倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4
6
个单位长度,
6
)的图象; 再把后者所有点的横坐标
1 伸长到原来的3倍(纵坐标不变), 得到y sin( x ) 3 6 图象; 再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 1 (横坐标不变)而得到函数y 2 sin( x )的图象. 3 6
y
3
2
1
y=sin(x- ) ① 6
y=Asin(ωx＋φ)的图象
下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y 6 y 6
4 2 -2 -4 -6 4 2
o
2
4
6
8
x
图象放大
o
-2 -4
0.01
0.0 2
0.03 0.0 4
x
-6
思考比较
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
答：交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似。
0向左平移 0向右平移
练习与应用
为了得到函数y 3 sin(x )的图象, 只要 5 把y 3 sin(x )上所有的点 5 ( A)向右平行移动 ( B)向左平行移动
C
5
个单位长度 个单位长度
5 2 (C )向右平行移动 个单位长度 5 2 （D)向左平行移动 个单位长度 5
三角函数的图像变换
y
1
1 sin(
x
)
的图象。
323
验一验
五点作图法
例题：画出函数 y 2sin(1 x )的简图。
36
关键步骤：确定五点，和正弦函数一个周期的五点 相对应。（列表，描点，连线）
简解：分别令1 x
36
等于
0,
2
, , 3
2
,2 解得
五点的横坐标 x 分别为： ,2 , 7 ,5 , 13
3
2、由 y 由
sin(x )
y sin(x 3
如何得到 y ) 到 y sin(
3
1 2
sin(2x
x)
3
) 3
的图象？
呢？
3、由 y sin(2x ) 如何得到 y 3sin(2x ) 的图
象？
3
3
由 y sin( 1 x ) 到y 1 sin( 1 x ) 呢？
23
323
看一看
y
y sin(x )
3
y sin x
1
y sin(x )
3
0
x
3
1
3
2
y
y sin(x )
1
3
0 36
5
6
5 x
3
看一 看
-1
y sin(2x ) 3
y
1
y sin( 1 x ) 23
8
3
x
7
0 2 4
3
14
3 33
3
1
y sin(x ) 3
3倍（横坐标不变）而得到函数的y 3sin(2x )
图象。
3
2、先个把单正位弦长曲度线，上得所到有y点向sin右(x平行 移)图动象；3
三角函数图像变换3
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 14时是半个周期的图像
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
（B ） Ｂ.向右平移 Ｄ.向左平移
图象经过下列哪种变换得到 Ａ.向右平移 Ｃ.向左平移 ２、在
3
个单位 个单位
6 6
个单位 个单位 （D ）
3
, 上既是增函数，又是奇函数的是
B. y sin( x ) 4 3 x D. y cos 2
A. y sin 2( x) x C. y sin( ) 2 2
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
思路 y f ( x)的图象关于直线x
:
8
对称
f (0) f ( )即 sin 0 a cos 0 sin( ) cos( ) 4 2 2
a 1
例3、 要得到函数y cos( 2x
A、向左平移 个单位 8 C、向左平移 4 个单位
函数 y A sin( x )的图象和性质
第三课时
我们的目标
1、掌握函数图象的平移、对称和伸缩变换 的规律 2、掌握正弦函数图象的相位、周期和振幅 变换的规律 3. 掌握由图像写出三角函数表达式的一般 方法，体会转化的思想方法
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龙文教育一对一个性化辅导教案
三角函数图象变换
考点分析：三角函数图象及性质是高考必考内容，主要是函数图像变换及函数性质。
重点：①熟练地对y=simr进行振幅和周期变换；②会用相位变换画函数图彖；
③“五点法”画尸力sin（Gx+©）的图象、图象变换过程的理解;
难点：①理解振幅变换和周期变换的规律；②理解并利用相位变换画图象；③多种变换的顺序
一、教学衔接：
1、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
2、检查学生的作业，及时指点；
3、59错题讲解
1）错题重现及讲解：
2）讲透考点：
3）相似题练习：
4、课前热身练习：
二、本次课主要内容
知识点一振幅变换
例1画出函数y=2sinx XG R； y=gsinx xwR的图象（简图）.
解：画简图，我们用“五点法”
・・•这两个函数都是周期函数，且周期为2〃
・••我们先画它们在［0, 2刀］上的简图•列表:
作图：
知识点二周期变换
例2 iUlj出函数y=sin2x XG R； y=sin*x xwR的图象（简图）・
TT
解：函数y=sin2%, xGR的周期T=——=JI 2
我们先画在［0,兀］上的简图，在［0,兀］上作图，列表：
作图:
知识点三图像平移
例画出函数
yr
yr
* *
y=sin(x+—), xWRy=sin(x ——), xGR 的简图.
3 4
解：列表
描点画图:
【同步训练】
1、(l)y=sin(x+—y=sinx 向平移个单位得到的.
(2) y=sin(x ——)是由y=siwc 向平移个单位得到的• ・ 4 (3) y=sin(x —兰)是由y=sin(x+— )|nj 平移个单位得到的.
4 4
2•若将某函数的图彖向右平移兰以后所得到的图彖的函数式是y=sm(x+-)f 则原来的
2 41
函数表达式为(
)
SIT 7T TT
. 77
A ・y=sin(x+ —)
B ・y=sin(x+ — )Cj=sin(x — —) D ・y=sin(x+ ——
「 4 ° 2 4 4
4
3、 将函数y=/(x)的图彖沿兀轴向右平移彳，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原 来的2倍，
得到的曲线与y=siwc 的图象相同，贝ijy=/(x)是()
7T
TT . 2TT
2TT
A.j=sin(2x+y)
B.j=sin(2x — y )
C.>j =sin(2x+ —)
D ・y=sin(2x ——)
4、 把函数y=cos(3尢+ ◎的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图彖，这种变动可以是
4 ( )
A ・向右平移仝
B ・向左平移仝
C ・向右平移三
4
4 12
5、 若函数y=f{x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将 整个图象
沿％轴向左平移兰个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=-sin^的图彖，
2 2
3
-1
6 4
2 3
D ・向左平移醫
则有y=/tr)是( )
A.y= — sin (2x+ —) +1
2 2
C.y=— sin (2^——) +1
* 2 4
6、函数y=3sin(2x+ —)的图象，
3
B・y= —si n(2x—仝)+1
2 2
D.y=— s i n (—x+ —)
+1
口J^y=sinx的图象经过下述哪种变换而得到()
7T
7、为了得到函数y=sin^—)的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象() 6
7T
7T
(A)向右平移冬个单位长度(B)向右平移兰个单位长度
6 3
TT
7T
(C)向左平移一个单位长度(D)向左平移一个单位长度 6 3
【综合训练】
1、 将函数y=cos(x —£)的图象上各点横坐标伸长到原來的2倍(纵坐标不变)，再向左平移?个单位，所
得
函数的解析式为 _______
将函数y=cos (x4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
2、
3
再向左平移专个单位，所得函数團象的一个对称中心为(
)
A. (0, 0)
乃・(〒＞ 0)
C ・0)
4 2
3.将苗数y = sin 兀的图象上各点的横处标扩大为原来的2倍，纵朋标不变，再把所得图象上所有点向左
7T
平移亍个单位，所得图彖的解析式是 -----------------
71
1
4将函数y = 2 cos(y X +㊁)的图像作怎样的变换可以得到函数y = COS X 的图像?
【作业布置】
1、 有以下四种变换方式：
TT
1
1
TT
①向左平移兰，再将横坐标变为原来的丄；②将横坐标变为原来的丄，再向左平移丝；
4 2 2 8
| TT TT \
③将横坐标变为原来的丄，再向左平移兰；④向左平移丝，再将横坐标变为原来的丄。
2 4 8 2
TT
具屮，能将正弦函数y=sinx 的图象变为尸sin (2x+—)的图象的是(
)
4
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
JT
7T
2、 将函数y=sin(x + -)图彖上所有点向左平移一个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原來
wr um i irq i
A ・向右平移仝个单位, 3
B ・向左平移£个单位,
3
C ・向右平移兰个单位,
横坐标缩小到原来的丄倍,
2 横坐标缩小到原來的丄倍,
2
横坐标扩大到原来的2倍, 纵坐标扩大到原来的3倍 纵坐标扩大到原來的3倍 纵坐标缩小到原来的丄倍
3 D ・向左平移彳个单位,横坐标缩小到原来的弊,
纵坐标缩小到原来的扌倍
D.(兀〉0)
6 4
的2倍，所得解析式是( )
.S 5TT. z 1 5兀、・ /I 、・‘I
Ax v = sin(2x + ——) B、y = sin( x+ )C、v = sin(—x ------- ) D、v = sin( x+ )
12 2 12 ■ 2 12 2 24
将函数y=cos （x+彳）的團象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变〉、
3、
再向左平移扌个单位，所得国数图象的一个对称中心为（＞
A •（0，0）B・（"7，0）C・（p 0） D •（兀，0）
4 2
TT
4、将函数y = cosx的图像作怎样的变换「J以得到函数y = 2cos（2x-才）的图像？
1 JI
5、将函数y = 2cos（—兀-一）的图像作怎样的变换町以得到函数y = cosx的图像？。