212第1课时直线方程的点斜式

1．已知直线 l过 A(0, 5) 和 B(2 , 5) , 求直线 l的方程
解：∵直线 l 过点A(0 , 5) 和 B(2 , 5)
55
kl 20 5
∵直线 l 过 A(0 , 5，)
它在 y 轴上的截距 b 5
∴直线 l 的方程为 y5x5
２、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的 直线方程.
直线 l 的斜率不存在 l 的方程：x x0
y l
O x0
x
例２ 分别求出通过点 P(3，4）且满足下列条件的直线方程，
并画出方程：
（１）斜率 k 2；（２）与 x 轴平行；（３）与 x 轴垂直．
解：（１）这条直线经过点 P(3，4），斜率 k 2 ，
点斜式方程为
4y
y 4 2(x 3) ，
(2)y 2 3x 3 k 3,60
例３ 求经过点 (0, b) ，斜率是 k 的直线方程．
解：由于这条直线经过点 (0, b) 并且斜率是 k ，
所以，它的点斜式方程是 ybk(x0)
可化为 y kx b ．
直线方程的斜截式 我们称 b 为直线 y kx b 在 y 轴上的截距， 称 y kx b 为直线方程的斜截式．
经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是
过点P0 x0 , y0 ，斜率为 k 的直线 l 的方程．
特别地
(1)当直线 l与 x 轴平行或重合时
直线 l 的倾斜角是 0 ,
它的斜率是
ktan0 0,
直线l 的方程：
yy0 0 即：y y0
y
y0
l
O
x
(2) 直线 l与y轴平行或重合时
直线 l 的倾斜角是 9 0 ,
k 30 3 3(5) 8
该直线的点斜式方程是 y 0 3 (x 5) ，
8 可化为 3x 8y 15 0 ．
归纳：点斜式方程与斜截式方程的对比
点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 几何意义：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点
斜截式方程: y = k x +b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
1、直线的点斜式方程：
已知直线 l 经过已知点 P0(x0 , y0)，并且它的斜率是 k ，能否
将直线上任意点 P( x , y) 的坐标满足的关系表示出来呢？
设点 Q ( x , y ) 是直线 l上不同于点 P 的任意一点
根据经过两点的直线斜率公式，得
k y y0 x x0
可y 化 y 0 k x 为 x 0
. y
l
P (x,y)
.
P0（x0,y0)
O
x
思考交流
（ 1 ） 过 点 P 0 x 0 ,y 0 ， 斜 率 是 k 的 直 线 l上 的
点 ， 其 坐 标 都 满 足 方 程 y y 0 k x x 0 吗 ？ （ 2 ） 坐 标 满 足 方 程 y y 0 k x x 0 的 点 都
在 过 点 P 0 x 0 ,y 0 ， 斜 率 为 k的 直 线 l上 吗 ？
y3 2 x0 即得方程 y 2x 3 直线上任一点的坐标都满足方程 y 2x 3
直线上任一点的坐标都满足方程 y 2x 3
满足方程的每一个所对应的点也都在直线上
直线方程的定义
一般地，如果一条直线上任一点的坐标 (x, y) 都满足一个方程，满足 该方程的每一个数对 (x, y) 所确定的点都在直线 l 上，我们就把这个方程 称为直线 l 的方程．
3
2
可化为 2x y 2 0
1
O
x
如图所示．
–4–3–2–1 1 2 3 4 –1
–2
–3
–4
（２）由于直线经过点 P(3，4）且与 x 轴平行，即斜率 k 0 ，
所以直线方程为 如图所示．
y4
4y
3
P(3,4)
2
1
O –4–3–2–1
–1
x 1234
–2
–3
–4
（３）由于直线经过点 P(3，4）且与 x 轴垂直，
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出 硕果。
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所以直线方程为 如图所示．
x3
4y
3
P(3,4)
2
1
O –4–3–2–1
–1
x 1234
–2
–3
–4
练一练
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1 )经 过 A (3 , 1 ),斜 率 是 2 2xy3210
（2）经过点（1，3）倾斜角为90 x 1
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：
(1)y2x1 k1,45
上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的
几何要素.那么我们能否用给定的条件（点 P 0 的坐标和
斜率 k ),将直线上所有点的坐标（ x , y )满足的关系表示
出来呢？
直线 l 过点 P(0,3) ，斜率 k 2 ， Q(x, y) 是直线上不同 于点 P 的任意一点
你能用点 P,Q 的坐标来表示直线 l 的斜率吗？
练一练
写出下列直线的斜截式方程： (1 )斜 率 是 3,在 y 轴 上 的 截 距 是2
2
y 3 x2 2
( 2 ) 斜 率 是 2 ,在 y 轴 上 的 截 距 是 4
y2x4
例４．求经过两点 A(5, 0), B(3, 3) 的直线方程．
解 根据经过两点的直线的斜率公式得直线 AB 的斜率
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点（1，2）代入点斜式方程得 y–2 = x-1或 y－２＝－（ｘ－１） 即 ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－3＝0
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
y
直线l的斜率为k
l
P0 b
O
x
yy0kxx0
ykxb
点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用