第三章 概率的进一步认识知识点复习
第三章概率的进一步认识复习与回顾北师大版九年级数学上册
第三章概率的进一步认识单元整理一．单元目标整理1.了解一步实验与两步实验在概率求解方法上的区别，会运用列举法，树状图或表格列举所有可能事件的结果。
2.理解放回实验与不放回实验的区别，能分别运用树状图或表格列举出放回实验和不放回实验所出现的所有可能结果。
3.能够将不等可能性事件转化为等可能性事件，从而利于树状图或表格列举所有可能结果。
4.理解当实验次数足够大时，频率稳定与理论概念，并能够运用其解决实际问题。
二．基础知识过关练1.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是()A．23B．12C．13D．192.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.14B.13C.12D.233.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为()A．14B．23C．13D．3164.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A. 13B.14C.16D.185.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．6.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是()A．49B．29C．23D．137.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．10C．12 D．158.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．三．知识结构构建四．能力提升训练1.2020年10月，枣庄市举行“红色故事讲述大赛”活动，峄城区从在比赛中脱颖而出的小贤、小晴、小艺、小志四位同学随机挑选参加市里比赛。
第三章概率的进一步认识知识点复习
第三章概率的进一步认识知识点复习-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第三章 《概率的进一步认识》知识点复习姓名：_______知识点1：求“连续两次完成某事件”的概率1、有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为________．2、抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是________．3、盒子里放有三张分别写有整式a ＋1，a ＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________．4、“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．5、一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ） A.21 B. 31 C. 41 D. 61 6．若从长度是3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能构成三角形的概率是( ) A.21 B.43 C.31 D.41 7．在x 2□4x □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的整式中，恰好是完全平方式的概率是( )A ．1 B.21 C.31 D.41 8．假定鸟蛋孵化后，雏鸟为雌与雄时概率相同，如果三枚蛋全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是( ) A.61 B.83 C.85 D.32 9．我市辖区内景点较多，李老师和刚高中毕业的儿子准备从A ，B ，C 列三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站，那么他们都选择B 景点的概率是_ _．10．从甲地到乙地有A 1，A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1，C 2两条路线，一个人任意选了一条从甲地经乙地、丙地到丁地的路线，求他选到B 2路线的概率．11．一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.161 B.163 C.41 D.165 12．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是( ) A.21 B.31 C.41 D.61 13．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动．那么两人选到同一社区参加实践活动的概率是( ) A.21 B.31 C.61 D.91 14．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1、－2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是____．15．(2014·齐齐哈尔)从2、3、4这三个数中任取两个数字组成一个两位数，其中能被3整除的两位数的概率是____．16．在一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，－2，3，－4，小明先从中随机摸出一个乒乓球(不放回)，再从剩下的三个球中随机摸出第二个乒乓球．(1)共有____种可能的结果；(2)请求出两次摸出乒乓球数字之积为奇数的概率．17．(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果知识点2：“不放回”型概率题1、 (2014•玉林)一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A.21 B. 41 C. 61 D. 121 2．(2014•武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？补充例题．现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄，若从中一次随机抽取两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是___．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)知识点3：判断游戏的公平性1．甲、乙两人用两个骰子做游戏，将两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是_________．(填“公平”“对甲有利”或“对乙有利”)2．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙胜．这个游戏________．(填“公平”或不公平)3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现三次正面朝上的概率为( )4．小球从A点入口往下落，在每个交叉口都有向左向右的可能，且可能性相等，则小球最终从E点落出的概率为( )5．某校安排三辆车组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )6．某校九年级(1)班举行演讲比赛，共有甲、乙、丙三位选手，班主任让三位选手抽签决定演讲的先后顺序，从先到后恰好是甲、乙、丙的概率是( ) 7．(2014·咸宁)小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是________．8．(2014·汕尾)一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．(1)请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；(2)求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．9．(2014·云南)某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．(1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗？请说明理由10．(2014·南京)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；(1)抽取1名，恰好是甲；(2)抽取2名，甲在其中．11．(2014·徐州)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．(1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为_____；(2)如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率．12、甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这些球除颜色和数字外完全相同．小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球．(1)用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；(2)小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜；否则，小刚胜．你认为这个游戏公平吗为什么知识点4：用树状图或列表的方法求“配紫色”的概率1．用如图的两个转盘(均匀分成五等份)进行“配紫色”游戏，配成紫色(也就是两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝)的概率是( ) A.2513 B.256 C.2536 D.56 2．如右图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为( )A. 31B.32C. 91D. 61 3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过 该十字路口全部继续直行的概率为( ) A.31 B.32 C.91 D.21 4．(2014·襄阳)从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是______．5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色(红色与蓝色能配成紫色)游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗？6．(2014·扬州)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是________；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．7．小英和小丽用两个转盘玩“配紫色”的游戏，配成紫色小英赢，否则小丽赢，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．(注：红色＋蓝色＝紫色)知识点5：频率、概率的概念1．(2014·山西)在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关C．频率是随机的，与概率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．两人各抛一枚硬币，则下面说法正确的是( )A．每次抛出后出现正面或反面是一样的B．抛掷同样的次数，则出现正、反面的频数一样多C．在相同条件下，即使抛掷的次数很多，出现正、反面的频数也不一定相同D．当抛掷次数很多时，出现正、反面的次数就相同了知识点6：利用频率估计概率1．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )A ．12个B ．16个C ．20个D ．30个2．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为( )A ．0.22B ．0.44C ．0.50D ．0.563．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是____．4．一只不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次 从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的试验，得到取出红球的频率是41，求： (1)取出白球的概率是多少(2)如果袋中的白球有18个，那么袋中的红球有多少个5．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )A ．3个B ．不足3个C ．4个D ．5个或5个以上6．下列试验中，概率最大的是( )11 A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率B ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6)，掷出的点数为奇数的概率C ．在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为方块的概率D ．三张同样的纸片，分别写有数字2、3、4，洗匀后背面向上，任取一张恰好为偶数的概率7．一个口袋中装有大小完全一样的红、黄、绿三种颜色的玻璃球108个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为25%，摸到黄球的频率为45%，摸到绿球的频率为30%，则可估计口袋中有红球____个，有黄球___个，有绿球____个．8．在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出 白球的概率是43，则n ＝___．9．儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球(每个球除颜色外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个海宝玩具．已知参加这种游戏的儿童有40 000人，公园游戏场发放海宝玩具8 000个．(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率(2)请你估计袋中白球的数量接近多少个？。
北师大9年级上第三章概率的进一步认识教案(复习课)
概率的进一步认识复习教学目标：1、频率与概率的区别、联系2、掌握概率的求法，会运用列表法或树状图求简单事件的概率.3、掌握等可能事件发生的结果的判断，会求这类事件发生的概率.4、用概率知识解决实际问题教学重点：1、运用列表法或树状图求简单事件的概率..2、用概率知识解决实际问题教学难点：用概率知识解决实际问题基础知识1、可能性事件、必然事件、不可能事件2、频率与概率的区别与联系3、列表法、树状图法4、利用概率解决实际问题【随堂练习】1、准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的数字分别是5和6，，从每组牌中各自摸出一张牌，称为一次试验。
小明在100次实验后的统计表如图：（1）填写全上表。
（2）绘制相应的折线统计图。
（3）请你根据实验结果推断两张牌的数字和分别为10、11、12的概率。
2、掷两次骰子，它们的点数和可能有哪些数值？用列表的办法求出和为6的概率。
点数和为多少时的概率最大，概率为多少？3、请你设计两个转盘，进行配紫色游戏，使得配成紫色的概率为。
并用树状图来解释概率值。
4、一个口袋里装有10的个数？5条0.2千克，然后把这些鱼都做上标记后放回池塘里，又过了一段时间，又从池塘里捞出了200条鱼，发现有5条被标记的鱼，称得平均重量为每条0.3千克，池塘里鱼的总产量大约多少千克？如果张老汉开始以每条鱼0.5元的价格买来的鱼苗，现在市场上鱼的价格为每千克16元，估计今年张老汉能挣多少钱？6、小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．【巩固练习】1、一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有个黄球．2、一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有个黑球．3、为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞125条，发现其中2条有标记，那么由此可估计湖里大约有___________条鱼4、如图1，A、B两个转盘分别被分成三个、四个相同的扇形，分别转动A盘、B盘各一次（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字为止）（1）用列表（或画树状图）的方法，求两个指针所指的区域内的数字之和大于7的概率（2）如果将图1中的转盘改为图2，其余不变，请直接写出两个5、“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．（1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．第5题图。
第三章概率的进一步认识回顾与思考课件
二、典例讲授 9.有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2， 3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字 之和等于5的概率，并画出树状图． 解：树状图如图.
共有16种等可能的情况，和为5的情况有4种 ∴P（和为5）=1/4.
二、典例讲授
的概率为（ C）
A.
B.
C.
D.
二、典例讲授
2.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，
大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，
随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同
的概率是( A)
A. 2
5
B. 3
5
C. 8
25
D. 13
25
二、典例讲授
率是0.25，则本来盒中有白色棋子( C )
A. 8颗
B. 6颗
C. 4颗 D. 2颗
二、典例讲授
8.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允 许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚 向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记 下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，
其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球( A )
二、典例讲授 解：(1)画树状图如下：
共有12种可能出现的方程． (2)∵方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0，即 a2－4b＞0 ∴a2＞4b
5 P(方程中有两个不相等实根)= 12
二、典例讲授
13.某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了 一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的 扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20 元”“30元”“40元”的字样（如图）. 规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以 转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额 返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了 两次转盘. （1）该顾客最少可得__2_0__元购物券，最多可得__8_0_ 元购物券；
北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识知识点解析含习题练习
第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。
求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.1 3B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 3．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】B【解析】解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色；（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】（1）白（2）16（3）公平【解析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】710【解析】列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =．例题4、在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（）A.12B.35C.710D.45【答案】B【解析】所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________．【答案】49【解析】列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =．随练2、在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________．【答案】25【解析】画树状图如下：共有25种情况，当点C的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P（直角三角形）102 255 ==．用频率估计概率例题1、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．例题2、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：40075015003500700090003696621335320363358073根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】(0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x=++++++÷≈例题3、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n）100150200500摸到白球次数（m）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：的次数n 100150200500800”的次数m 68111136345564的频率m（2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】（1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】（1）的次数n 100150200500800”的次数68111136345564的频（2）当n 很大时，频率将会接近681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A.4 9B.13C.16D.19【答案】D【解析】列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为1 9．2、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】（1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=612=12，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．【答案】13【解析】由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a|×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】王红【解析】共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大．5、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n ）100150200500摸到白球次数（m ）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。
九上概率的进一步认识知识点复习.doc
第三章概率的进一步认识一、本章知识结构图树状图或表格求概率专题一用树状图和列表法计算事件发生的概率1.一个不透明的口袋中有4个除标号外完全相同的小球，这4个小球分别标号为1,2,3,4.（1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；（2）随机摸取一个小球记下标号然后放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小球的标号的和为3的概率.2.甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1 个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍.（1）求乙盒中蓝球的个数；（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.专题二概率的应用3.（2009 -重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4 （如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）.小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球, 小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为。
的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平.4.小婷和小英做游戏，她们在一个盒子里装了标号为1、2、3、4的四个乒乓球，现在小婷从盒子里随机摸出一个乒乓球后，小英再从盒子里剩下的三个乒乓球中随机摸出第二个乒乓球，如果摸出的乒乓球上的数字和为4或5,则小婷获胜，否则小英获胜，你认为这个游戏对她们公平吗？请说理由.【知识要点】用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率.【方法技巧】列表法或画树状图法可以不重笈不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的.石石琨靛＜^教E区域50次仞次300次石子落在。
第3章 概率的进一步认识 整理与复习-2022-2023学年九年级全一册初三数学(北师大版)
第3章概率的进一步认识整理与复习一、概率的基本概念回顾概率是数学中研究事件发生可能性的一门分支。
在初中数学中，我们已经学习了概率的基本概念，包括随机事件、样本空间和概率的计算方法等。
1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下，无法预测结果的事件。
在数学中，我们用字母A、B、C等表示随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一个试验中可能出现的所有结果组成的集合，用S表示。
样本空间可以是有限个元素的集合，也可以是无限多个元素的集合。
3. 概率的计算方法：在概率的计算中，我们常使用频率概率和理论概率两种计算方法。
•频率概率是指通过大量重复试验，统计事件发生的次数与总试验次数之比来估计事件发生的可能性。
•理论概率是指根据事件在样本空间中的可能性来计算事件发生的可能性。
二、条件概率以及乘法定理1. 条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。
用P(A|B)表示条件概率，读作“事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率的计算公式如下：$$ P(A|B) = \\frac{{P(A \\cap B)}}{{P(B)}} $$其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 乘法定理乘法定理是指计算多个事件同时发生的概率的方法。
对于事件A、B、C，乘法定理可以表示为：$$ P(A \\cap B \\cap C) = P(A) \\cdot P(B|A) \\cdot P(C|A \\cap B) $$其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(C|A ∩ B)表示在事件A和事件B同时发生的条件下，事件C发生的概率。
三、事件的独立性1. 独立事件的概念如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，事件B的发生与否也不会改变事件A的发生概率，那么我们称事件A和事件B是独立事件。
第三章概率的进一步认识章末复习课件
针对பைடு நூலகம்练
1.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三
1
辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是____________
3
针对训练
2．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名
男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名
1）列表；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
3）利用概率公式 P ( A)
m
计算出事件的概率．
n
三种方法
当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数
目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用
树状图法。当试验包含三步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较
方便.
三种方法
用频率估计概率 ，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由
于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的
范围扩大。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定于某个常数
么事件A发生的概率P(A) = p.
p，那
三种方法
区别
联系
频率
概率
试验值或使用时的统计值
红、白、黑色小球各1个．
(1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”
等方法写出分析过程）．
根据题意画出树状图，如图所示：
2
共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为9；
3.概率的进一步认识复习ppt课件
;.
4
等可能性,用树状图或表格求概率 类型1 掷硬币问题：
P(A) m n
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游 戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上， 则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
;.
15
练习：
如图示两个可以自由转动的转盘,每 个转盘被分成面积相等的几个扇形. 红色和蓝色在一起可以配成紫色，
因为 能配成紫色的概率是多少?
;.
16
小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的概率是1/2.
红 开始
蓝
红 (红,红)
(红,蓝) 蓝
红
(蓝,红)
蓝
(蓝,蓝)
;.
17
小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份,分别记作“红1”,“红2”,然后制作了下 表,据此求出游戏者获胜的概率也是1/2.
7 人忘了密码的最后一位号码, 此人开锁时,随意拔动最后一位号码正好能把锁打开
的概率是_____ ．若此人忘了中间两位号码,随意拔动中间两位号码正好能把锁打开 的概率是____．
1 100
;.
1 10
13
课堂检测2
3.如图，小明和小红正在做一个游戏：每人先掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将 棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到小明掷骰子，棋子在标有数字
P(A) m n
;.
8
课堂检测1
1、妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次可以出锤子、剪刀、布 三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势， 则算打平．妞妞和爸爸打平的概率是___________.
北师大版数学九年级上册第三章《概率的进一步认识》单元复习课件
果3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟都为雄鸟的概
1
率为____8___.
课后作业
1.(2023·禅城区校级月考)将分别标有“最”“美”“中 ”“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，
这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅
匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次
1
是乡村公路A的概率为____2___；
（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选 省级公路的概率．
解：（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级 公路的结果有1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率为
1 6
.
9. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排拍合影，甲没有
2
站在中间的概率为____3___.
发展历程和文化价值．
1
（1）小明选择“B.雨花石彩绘”项目的概率是___4__；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选
择同一项目采访的概率． 解：（2）依题意，列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同
一项目采访的结果有4种， ∴小明和小刚恰好选择同一项目采访的概率为
4 ＝1 16 4
摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是
()
A
A． 1 B．1
6
8
C．1 4
D．5 16
2．(2023·电白区期中)学校组织学生外出集体劳动时，
为九年级学生安排了三辆车，九年级的小明与小亮都
可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆
车的概率为
A．
1 3
B．
2 3
3.3《概率的进一步认识》单元复习
数学
解：(1)列表如下：
甲
乙
丙
A (A，甲) (A，乙) (A，丙)
B (B，甲) (B，乙) (B，丙)
共有(A，甲)，(A，乙)，(A，丙)，(B，甲)，(B，乙)，(B，
丙)6种等可能的结果．
返回
数学
(2)由表可知，所有等可能结果有 6 种，其中选中医生甲和护 士 A 的结果有 1 种， ∴P(选中医生甲和护士 A)＝16. 小结：(两步相互独立型)用列表法或直接枚举法比较简便.
1234 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和大于 5 的情况有(2,4)，(3,3)，
随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组
成的两位数是 3 的倍数的概率为( B )
A.41
B.156
C．176
1 D.2
返回
数学
2.某各组随机抽取辖区内某三个小区中的一
个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( C )
返回
数学
解：(2)游戏不公平，理由如下： 列表，得：
A
B
C
D
A
(A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A)
(B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B)
(C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
返回
数学
共有 12 种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌 面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有 2 种，即 (A，C)，(C，A)，∴P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心
北师大版九年级上册数学《用树状图或表格求概率》概率的进一步认识说课教学复习课件
卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服 务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照 小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平 吗？请说明理由．
解：不公平．
理由如下：列表得
小亮
和
4
小明
4
8
5
9
6
10
5
6
9
10
10
11
11
12
由表可知，共有 9 种等可能的结果，其中和为偶数的有 5 种结 果，和为奇数的有 4 种结果，
2. 能够借助概率的大小判断游戏的公平性．(难点)
课前预习
(一)知识探究 当事件涉及多种可能的结果时，可选择 画画树树状状图图 或 列表 列出所有等可能出现的结果．当事件涉及三个或更多 的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 树树状状图图 列出所有可能出现的结果．
(二)预习反馈
1. 用 2，3，4 三个数字排成一个三位数，则排出的数是
知识点 2 判断游戏公平性 例2 小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有 A， A，B，这些卡片除了字母外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母， 放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸 到的卡片字母相同则小石获胜，否则小丁获胜，这个游戏公平吗？请用 画树状图或列表的方法说明理由．
【思路点拨】用 A，a 表示第 1 张的上下部分，用 B，b 表示第 2 张的上下部分，用 C，c 表示第 3 张的上下部分，画 树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出这两张恰好能 拼成原来的一幅画的结果数，然后根据概率公式求解．
解：用 A，a 表示第 1 张的上下部分， 用 B，b 表示第 2 张的上下部分， 用 C，c 表示第 3 张的上下部分，
概率的进一步认识(知识点汇总 北师9上)
第三章概率的进一步认识一、用树状图或表格求概率1.利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．2．简单事件概率的计算方法：(1)对于一次完成的事件，直接用部分与总体的比例关系求概率；(2)对于两次完成的事件，可通过列表法或画树状图求概率；(3)对于三次或三次以上完成的事件，通过画树状图求概率．注意：用画树状图或列表的方法求概率：列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能性的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意题目是放回事件还是不放回事件．二、用概率判断游戏的公平性1.若某游戏不计得分情况，当双方获胜的概率相同，则游戏公平；当双方获胜的概率不相同，则游戏不公平．2．判断游戏公平的方法有：在得分相同的情况下，判断游戏公平性看双方获胜的概率是否相等．在得分不同的情况下，要用各自获胜概率与得分乘积作为判断获胜的标准．注意：公平性问题是概率在日常生活中的一个重要应用，从概率的角度讲，所谓公平就是指有关各方面获胜的概率相等，解决这类问题的关键是准确地计算概率．3.利用转盘等工具求事件的概率时，各种结果的可能性相同，只需要面积相等，如果问题中各部分的面积不相等，需要利用相关的几何知识转换成等面积．注意：利用表格或画树状图的方法求具有两步试验的事件的概率，常与有理数的运算、函数、平面几何、数据的收集与整理等知识相结合，注意转化思想的运用．三、用频率估计概率1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，试验的频率渐趋稳定于其概率附近．注意：1．频率与概率的联系与区别：联系：概率是由一系列频率值估计得到的．区别：频率是波动不确定的，概率是稳定确定的．2．随机事件的概率是一个固定值，而事件发生的频率是随着试验的次数变化而波动，只有当大量重复试验时，事件的频率才逐步稳定在事件发生的概率附近．相关知识点链接：频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
高中数学必修三第三章概率知识要点
一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫；在一定条件下不可能发生的事件叫；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。
2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。
记做。
二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。
三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。
四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:（1）互斥事件：若为, 则称事件与事件互斥。
（2）对立事件：若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。
2.概率的几个基本性质:（1）概率的取值范围是: 。
（2）的概率为1；的概率为0。
五、（3）如果事件与事件互斥, 那么。
六、（4）如果事件与事件对立, 那么；；。
七、古典概型1.古典概型的特征:（1）：一次试验中, 基本事件只有有限个；八、（2）: 每个基本事件发生的可能性都相等。
九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。
十、几何概型1.几何概型的特征:（1）几何概型的基本事件有无穷多个；（2）每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例。
2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。
练习题：1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。
第三章概率的进一步认识小结与复习
第三章《概率的进一步认识》小结与复习基础盘点1．概率的理论计算：计算涉及两步或者两步以上试验的随机事件发生的概率一般采用画树状图的方式或列表法，用这两种方法求概率时，应注意各种情况出现的可能性务必 ． 2．游戏公平与否问题．游戏是否公平的判断标准是看游戏双方获胜的概率 ，相等则公平，否则不公平．3．用频率估计概率利用概率可以预测不确定事件进行大数次试验后平稳的 ，反过来，利用平稳的 可以估计相应的概率，这是人们在反复试验中得到的规律．关键是要理解用频率估计概率时需要真正的动手操作、试验大数次后才能获得较好的估计值．考点在线考点1 用列表法或树状图法求概率例1（2013·恩施）一个不透明的袋子里装有编号分别为1，2，3的球（除编号以外其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为13． （1）求袋子里2号球的个数；（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x ，乙摸出球的编号记为y ，用列表法或树状图法求点A （x ，y ）在直线y ＝x 下方的概率． 解析：（1）设袋子里2号球的个数为x 个．根据题意，得13xx ++＝13．解得x ＝2．经检验，x ＝2是原分式方程的解，且符合题意． 所以袋子里2号球的个数为2个． （2）列表如下：A （x ，y ）在直线y ＝x 下方的概率为1120． 例2（2012·聊城）我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是 . 解析：分别用A ，B 代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图如下：由表格，行共有8种等可能的情况，小亮、小明和大刚选择同一个测试项目的有2种情况，所以小亮、小明和大刚选择同一个测试项目的概率是41． 考点2 游戏公平与否的判定例3 （2013·鞍山）小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．（1）用列表或画树状图的方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由． 解析：（1）列表如下：从上面表中可看出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况为：2，3，4，5，6. （2）不公平.理由如下：因为和为偶数的有5次，和为奇数的有4次，所以P （小明胜）=，P （小亮胜）=，所以此游戏对双方不公平． 考点3 用频率估计概率例4一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A.28个B.30个C.36个D.42个解析：设口袋中有白球x 个，则口袋中共有球（x ＋8）个，根据概率与频率的关系，得88x ＝88400．解得x ≈28．故白球的个数为28个．故选A ．小亮 小明 大刚第1张第2张 和误区点拨1．混淆两种不同的“抽取”方式例1（2013·淮安）一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3只球，球上分别标有2，3，5三个数字．（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是；（2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法写出过程）错解：（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是23．（2）列表如下：由列表可以看出，所有可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中所组成的两位数是5的倍数的结果共有3种，所以P（组成的两位数是5的倍数）＝39＝13．剖析：（2）小题中，虽然结果正确，但计算方法不正确.在连续两次摸球游戏或抽卡片的概率问题中，有两种方式：有放回和无放回．解题时要注意区分，以免发生混淆．本题为摸取后不放回，错解对此未加区分而致错．正确解法是：列表如下：由列表可以看出，所有可能出现的结果共有6种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中所组成的两位数是5的倍数的结果共有2种，所以P（组成的两位数是5的倍数）＝26＝13．2．审题不清例2（2013·陕西）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时：（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙取胜的概率．错解：设用A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：由表格可知，共有25种等可能的结果．（1）由表格，知甲伸出小拇指取胜有5种可能的结果，所以P（甲伸出小拇指取胜）＝5 25＝15．（2）由表格知，乙取胜有10种可能的结果，所P（乙取胜）＝1025＝25．剖析：上述错解错在没弄明白要关注的结果是什么，没有审清题意. 正解：（1）由表格，知甲伸出小拇指取胜有1种可能的结果，所以P（甲伸出小拇指取胜）＝1 25.（2）由表格知，乙取胜有5种可能的结果，所以P（乙取胜）＝525＝15．3．错误进行频率估计例3调2013-2014第二学期43期1版的误区点拨思想方法类比调2013-2014第二学期43期3版的类比（三）中考真题练调2013-2014第二学期43期3版真题演练，将2，4去掉。
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第三章 《概率的进一步认识》知识点复习姓名：_______知识点1：求“连续两次完成某事件”的概率1、有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为________．2、抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是________．3、盒子里放有三张分别写有整式a ＋1，a ＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________．4、“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．5、一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ） A.21 B. 31 C. 41 D. 61 6．若从长度是3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能构成三角形的概率是( ) A.21 B.43 C.31 D.41 7．在x 2□4x □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的整式中，恰好是完全平方式的概率是( )A ．1 B.21 C.31 D.41 8．假定鸟蛋孵化后，雏鸟为雌与雄时概率相同，如果三枚蛋全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是( )A.61B.83C.85D.32 9．我市辖区内景点较多，李老师和刚高中毕业的儿子准备从A ，B ，C 列三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站，那么他们都选择B 景点的概率是_ _．10．从甲地到乙地有A 1，A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1，C 2两条路线，一个人任意选了一条从甲地经乙地、丙地到丁地的路线，求他选到B 2路线的概率．11．一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.161 B.163 C.41 D.165 12．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是( )A.21B.31C.41D.61 13．暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动．那么两人选到同一社区参加实践活动的概率是( ) A.21 B.31 C.61 D.91 14．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1、－2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，然后从中随机地抽取两张，则这两张卡片上数字之积为负数的概率是____．15．(2014·齐齐哈尔)从2、3、4这三个数中任取两个数字组成一个两位数，其中能被3整除的两位数的概率是____．16．在一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，－2，3，－4，小明先从中随机摸出一个乒乓球(不放回)，再从剩下的三个球中随机摸出第二个乒乓球．(1)共有____种可能的结果；(2)请求出两次摸出乒乓球数字之积为奇数的概率．17．(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果知识点2：“不放回”型概率题1、 (2014•玉林)一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A.21 B. 41 C. 61 D. 121 2．(2014•武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？补充例题．现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄，若从中一次随机抽取两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是___．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)知识点3：判断游戏的公平性1．甲、乙两人用两个骰子做游戏，将两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点和一个6点，那么乙赢；如果出现其他情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是_________．(填“公平”“对甲有利”或“对乙有利”)2．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张．若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙胜．这个游戏________．(填“公平”或不公平) 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现三次正面朝上的概率为( )4．小球从A点入口往下落，在每个交叉口都有向左向右的可能，且可能性相等，则小球最终从E点落出的概率为( )5．某校安排三辆车组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为( )6．某校九年级(1)班举行演讲比赛，共有甲、乙、丙三位选手，班主任让三位选手抽签决定演讲的先后顺序，从先到后恰好是甲、乙、丙的概率是( )7．(2014·咸宁)小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是________．8．(2014·汕尾)一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1，2，3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．(1)请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；(2)求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．9．(2014·云南)某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．(1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由10．(2014·南京)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；(1)抽取1名，恰好是甲；(2)抽取2名，甲在其中．11．(2014·徐州)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．(1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为_____；(2)如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生的概率．12、甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这些球除颜色和数字外完全相同．小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球．(1)用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；(2)小亮和小刚做游戏，规则是：若摸出的两个球上的数字之和为奇数，小亮胜；否则，小刚胜．你认为这个游戏公平吗？为什么？知识点4：用树状图或列表的方法求“配紫色”的概率1．用如图的两个转盘(均匀分成五等份)进行“配紫色”游戏，配成紫色(也就是两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝)的概率是( ) A.2513 B.256 C.2536 D.56 2．如右图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为( ) A. 31 B.32 C. 91 D. 61 3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过 该十字路口全部继续直行的概率为( )A.31B.32C.91D.21 4．(2014·襄阳)从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是______．5．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色(红色与蓝色能配成紫色)游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗？6．(2014·扬州)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是________；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．7．小英和小丽用两个转盘玩“配紫色”的游戏，配成紫色小英赢，否则小丽赢，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．(注：红色＋蓝色＝紫色)知识点5：频率、概率的概念1．(2014·山西)在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )A ．频率就是概率B ．频率与试验次数无关C ．频率是随机的，与概率无关D ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．两人各抛一枚硬币，则下面说法正确的是( )A ．每次抛出后出现正面或反面是一样的B ．抛掷同样的次数，则出现正、反面的频数一样多C ．在相同条件下，即使抛掷的次数很多，出现正、反面的频数也不一定相同D ．当抛掷次数很多时，出现正、反面的次数就相同了知识点6：利用频率估计概率1．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )A ．12个B ．16个C ．20个D ．30个2．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为( )A ．0.22B ．0.44C ．0.50D ．0.563．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是____．4．一只不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次 从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大量的试验，得到取出红球的频率是41，求： (1)取出白球的概率是多少？(2)如果袋中的白球有18个，那么袋中的红球有多少个？5．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )A ．3个B ．不足3个C ．4个D ．5个或5个以上6．下列试验中，概率最大的是( )A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率B ．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6)，掷出的点数为奇数的概率C ．在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为方块的概率D ．三张同样的纸片，分别写有数字2、3、4，洗匀后背面向上，任取一张恰好为偶数的概率7．一个口袋中装有大小完全一样的红、黄、绿三种颜色的玻璃球108个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为25%，摸到黄球的频率为45%，摸到绿球的频率为30%，则可估计口袋中有红球____个，有黄球___个，有绿球____个．8．在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出 白球的概率是43，则n ＝___． 9．儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球(每个球除颜色外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个海宝玩具．已知参加这种游戏的儿童有40 000人，公园游戏场发放海宝玩具8 000个．(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率？(2)请你估计袋中白球的数量接近多少个？。