柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
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2
V半球 V1 V2 Vn
12 2 2 ( n 1) 2 [n ] 2 n n
R 3
R 3 1 ( n 1) n ( 2n 1) [n 2 ] n n 6
1 ( n 1)( 2n 1) R [1 2 ] n 6
（三）、台体体积：
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P
D
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥体的 体积差．得到圆台(棱台)的体积公 式．
A
S
C
S 1 ( S S S S )h C 3 B S S 其中 ， 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V台体 S上 +S下 + S上 S下 h 3
例3 、 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球 形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？ （假设冰淇淋融化前后体积不变）
4cm
12cm
例4 、 一个圆柱形的玻璃杯的内半径为3cm， 瓶里说装的水深为8cm，将一个钢球完全浸 入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢 球的体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
1: 2 2 3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3 , 5 , 15 ， 9 . 则它的外接球的表面积为_____ 6、若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 4. 则两球的直径之差为______ 7、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
那么
因此
r =
R l
2
2
S圆 = r 2 = (R 2 l 2 ) = R 2 l 2
o
l ll
l
r
l
o
R
（一）、球的体积：
1、实验法：
公式？
排液法测小球的体积
探 究
h
实验：排液法测小球的体积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
S i
O
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
Vi
第 二 步： 求 近 似 和
V
பைடு நூலகம்
S i
（四）、柱、锥、台体的体积公式联系：
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
1 S S 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 的 ．即棱锥的体积： 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
R
S i
Vi
4 3 又球的体积为： V R 3 4 1 3 R RS , 从 而S 4R 2
3 3
球的体积和表面积公式：
R O
4 3 V球 R 3
三、例题讲解
例1、 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8 g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
R 2 2 3 2 R ( ) ( ) , 2 3
2
O
A
O
4 R . 3
C
4 3 4 4 3 256 V R ( ) ; 3 3 3 81
B
16 64 S 4R 4 . 9 9
2
四 、课堂练习
练习一
8 . 1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
H
h
它 排 小 开 球 液 等 的 体 于 体 的 积 体 积
曹冲称象
2、类推法：高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 3 R 3
V半球 ?
V圆柱
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 4 3 R , 从而V R 3 . 3 3
3、分割极限法：
ri
O
R ( i 1) n
归纳： 长方体体积：V abc 3 正方体体积：V a
V Sh
（一）、柱体体积：
正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式 可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
S
h
（二）、锥体体积：
探 究
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 S1h1 S 2 h2 S 3 h3 S n hn 3 3 3 3
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm 3 )
2.956 (cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956 ) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
例2 、已知一正四棱台的上底边长为4cm， 下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi 的值就趋向于球的半径 R
1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V S1 i R S 2 R S 3 R S n R 3 3 3 3
1 1 R( S 1 RS i S 2 S 3 ... S n ) 3 3
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后的体 积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
V VP ABCD VP ABCD
h
B
D
A
公式推导过程
棱台和圆台
棱台和圆台可以这样得到
V圆台 V大圆锥 V小圆锥 1 [ S下 (h h) S上h] 3 h S上 S上 h h S下 S 上 h h S下 h S上 1 V圆台 [( S下 S 上 ) S下 h] 3 S下 S 上 1 ( S 上 S下 S 上 S下 ) h 3 棱台的体积公式同理可得.
8cm
8.5cm
例5、一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
3
V半球
1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
1 0. n
当n 时 ,
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
（二）、球的表面积：
公式？
探 究
S i
o
o
分割法
第 一 步： 分 割
五、课堂小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S' 0
1 锥体V Sh 3
V球
球的体积和表面积：
4 3 R 3
六、作业
习题1-7 A组第8题 B 组第1、3题 预习小结与复习
由计算器算得:
x 2.24 2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S 侧 6 5 2 150cm 2
例6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。
2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿
3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1:2 2 :3 3 个球的体积之比_________.
练习二
4 倍. 2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
V半球 V1 V2 Vn
12 2 2 ( n 1) 2 [n ] 2 n n
R 3
R 3 1 ( n 1) n ( 2n 1) [n 2 ] n n 6
1 ( n 1)( 2n 1) R [1 2 ] n 6
（三）、台体体积：
根据台体的特征，如何求台体的体积？
P
D
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥体的 体积差．得到圆台(棱台)的体积公 式．
A
S
C
S 1 ( S S S S )h C 3 B S S 其中 ， 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V台体 S上 +S下 + S上 S下 h 3
例3 、 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球 形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，溢出杯子吗？ （假设冰淇淋融化前后体积不变）
4cm
12cm
例4 、 一个圆柱形的玻璃杯的内半径为3cm， 瓶里说装的水深为8cm，将一个钢球完全浸 入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢 球的体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
1: 2 2 3、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
1、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
5、长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3 , 5 , 15 ， 9 . 则它的外接球的表面积为_____ 6、若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 4. 则两球的直径之差为______ 7、将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
那么
因此
r =
R l
2
2
S圆 = r 2 = (R 2 l 2 ) = R 2 l 2
o
l ll
l
r
l
o
R
（一）、球的体积：
1、实验法：
公式？
排液法测小球的体积
探 究
h
实验：排液法测小球的体积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
S i
O
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
Vi
第 二 步： 求 近 似 和
V
பைடு நூலகம்
S i
（四）、柱、锥、台体的体积公式联系：
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
1 S S 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 的 ．即棱锥的体积： 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
R
S i
Vi
4 3 又球的体积为： V R 3 4 1 3 R RS , 从 而S 4R 2
3 3
球的体积和表面积公式：
R O
4 3 V球 R 3
三、例题讲解
例1、 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8 g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
R 2 2 3 2 R ( ) ( ) , 2 3
2
O
A
O
4 R . 3
C
4 3 4 4 3 256 V R ( ) ; 3 3 3 81
B
16 64 S 4R 4 . 9 9
2
四 、课堂练习
练习一
8 . 1、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍
H
h
它 排 小 开 球 液 等 的 体 于 体 的 积 体 积
曹冲称象
2、类推法：高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 3 R 3
V半球 ?
V圆柱
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 4 3 R , 从而V R 3 . 3 3
3、分割极限法：
ri
O
R ( i 1) n
归纳： 长方体体积：V abc 3 正方体体积：V a
V Sh
（一）、柱体体积：
正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式 可以统一为： （S为底面面积，h为高）． V Sh
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
S
h
（二）、锥体体积：
探 究
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 S1h1 S 2 h2 S 3 h3 S n hn 3 3 3 3
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm 3 )
2.956 (cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956 ) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
例2 、已知一正四棱台的上底边长为4cm， 下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi 的值就趋向于球的半径 R
1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V S1 i R S 2 R S 3 R S n R 3 3 3 3
1 1 R( S 1 RS i S 2 S 3 ... S n ) 3 3
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后的体 积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
关于体积有如下几个原理：
（1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
V VP ABCD VP ABCD
h
B
D
A
公式推导过程
棱台和圆台
棱台和圆台可以这样得到
V圆台 V大圆锥 V小圆锥 1 [ S下 (h h) S上h] 3 h S上 S上 h h S下 S 上 h h S下 h S上 1 V圆台 [( S下 S 上 ) S下 h] 3 S下 S 上 1 ( S 上 S下 S 上 S下 ) h 3 棱台的体积公式同理可得.
8cm
8.5cm
例5、一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm3)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
3
V半球
1 1 (1 )( 2 ) n n ] R 3 [1 6
1 0. n
当n 时 ,
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
（二）、球的表面积：
公式？
探 究
S i
o
o
分割法
第 一 步： 分 割
五、课堂小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S' 0
1 锥体V Sh 3
V球
球的体积和表面积：
4 3 R 3
六、作业
习题1-7 A组第8题 B 组第1、3题 预习小结与复习
由计算器算得:
x 2.24 2 x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S 侧 6 5 2 150cm 2
例6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表 面积。
2、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3 cm3. 这个球的体积为＿＿＿
3、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 1:2 2 :3 3 个球的体积之比_________.
练习二
4 倍. 2、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,