HPM的初等数论绪论课教学设计论文

HPM的初等数论绪论课教学设计论文HPM的初等数论绪论课教学设计论文

关键词：ＨＰＭ；数学史；初等数论；数学教学

一、引言

初等数论以整除为基础，研究整数性质和方程（组）整数解，是近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。初等数论课程是我校小学教育（理科方向）和数学教育专业的专业必修课，学生通过本课程中基础知识的学习，掌握初等数论的基础内容，即算术基本理论和最大公约数理论；掌握初等数论的核心，即同余理论的基本知识；并能运用整除理论和同余理论来求解几类最基本的不定方程；掌握连分数等有关概念和性质及其应用；通过观察、实验、猜测、分析、计算、推理等学习活动，发展学生的演绎推理能力，体会数学的基本思想和思维方式；了解初等数论的价值，为学生以后继续学习数论或从事教学工作打下基础。然而，初等数论教材重在阐述数论理论知识的结果，忽视介绍知识的背景、发生与形成过程，某种意义上影响了该课程的教学质量。针对初等数论课程的性质，在绪论课中结合数学史知识，在ＨＰＭ的视角下进行绪论课的教学设计，ＨＰＭ视角下的绪论课教学的目的在于将初等数学与数学史等其他知识衔接起来，尽量消除数学教学的枯燥性，提高学生学习的积极性，让学生体验初等数论的价值，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。ＨＰＭ指的是数学史与数学教育的关系，其研究的最终目标是提高数学教育水平，具体方法是通过在数学教学中恰当地运用数学史。

二、初等数论的主要内容

１、整除理论：整除理论是数论中最重要的基本内容。本章首先简要介绍自然数与数学归纳法，然后引进整除的概念，利用带余除

法和辗转相除法这两个工具，建立最大公约数与最小公倍数的理论，进一步研究素数的基本性质和极具重要性的算术基本定理。这一理

论的主要成果有：算术基本定理、数的十进制、高斯函数、费马数、梅森数、完全数等。２、同余理论：同余是初等数论的又一基本概念。同余概念的引入，使许多数论问题的讨论得到简化，极大地丰

富了数论内容，因而同余在数论中占有极为重要的地位、涉及内容

有同余及其基本性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和费马定理及其

在循环小数和公开密钥问题上的应用。３、不定方程：不定方程是

数论中的一个古老分支，它有悠久的历史与丰富的内容、古希腊数

学家丢番图于３世纪初就研究过这样的方程，所以不定方程又称丢

番图方程、但实际上，我国对不定方程的研究从勾股方程的商高定

理和费马大定理等低次代数曲线对应的不定方程已经延续了数千年。４、连分数理论：引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整

数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问

题等。

三、初等数论的发展简史

对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数的原始推动力，这样一门以整数的结构和性质为研究对象的学科也就诞生了，这就是数论。

目前大多数人大致赞同数论的研究在内容上是从数的可约性开始的。若“可约”，则它是一个整除性问题；若“不可约”，则为余数问题。因此，整除理论被称为是数论中最古老的内容。早在两千多年

前的古希腊欧几里德的《几何原本》中论述了数论的知识，例如欧

几里得证明了质数个数是无限的，提出了求最大公约数的方法（即

所谓欧几里得算法）。我国古代在数论方面取得过辉煌的成就，现

在一般数论书中被称为“中国剩余定理”的孙子定理就起源于我国

古代《孙子算经》（约公元４００年）中的下卷第２６题。初等数

论从早期发展起来后的近两千年时间里，发展几乎停滞不前，直到

１５世纪，费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等作了初等数论

的研究工作，特别是德国数学家高斯在前人研究的基础上，发表了

著作《算术探究》，在研究整数性质过程中引进并推广了统一的符号，提出了同余理论，发现了二次互反律，开始了现代数论的新纪元。自二十世纪以来，由于现代信息技术的发展以及抽象数学和高

等分析的应用，进一步促进了数论的发展，并出现了代数数论、解

析数论、几何数论等新的研究分支，开拓了应用范围，如在计算机

科学、组合数学、代数编码、计算方法等领域内都得到了广泛的应用。

四、几个著名的数论难题

历史上遗留下来没有解决的数论难题主要有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。

１、哥德巴赫猜想：１７４２年德国人哥德巴赫提出了任何不小于６的偶数均可表示为不同的两个奇质数之和（所谓的１＋１）的

猜想。后人称之为”哥德巴赫猜想”，此猜想表述简单，但证明的

难度远远超出人们的想象，比喻为“数学王冠上的明珠”。１９０

０年德国大数学家希尔伯特在国际数学会议上将“哥德巴赫猜想”

列为第８个问题（２３个数学难题）的一部分。１９７３年中国数

学家陈景润用自己提出的方法证明了命题（１＋２），即：一个足

够大的偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和，在世界数学界引起了强烈反响，这就是著名的“陈氏定理”。２、

费尔马大定理：费马大定理又称费马最后的定理，由法国数学家费

马于１６３７年前后提出，费马在阅读丢番图《算术》时在第Ⅱ卷

第八命题旁写道：“一个立方不可能写成两个立方的和，一个四方

不可能写成两个四方的和。一般地，每个大于２的幂不可能写成两

个同次幂的和。”现在的表述方法为：“方程ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ

（ｎ≥３）无非零整数解。”该数论难题由英国数学家Ａｎｄｒｅ

ｗＷｉｌｅｓ于１９９４年攻克。３、孪生素数猜想：存在无穷多

个素数ｐ，使得ｐ＋２也是素数。素数对（ｐ，ｐ＋２）称为孪生

素数。１８４９年法国数学ＡｌｐｈｏｎｓｅｄｅＰｏｌｉｇｎａ

ｃ提出猜想：对于任何偶数２ｋ，存在无穷多组以２ｋ为间隔的素数。对于ｋ＝１，这就是孪生素数猜想，而ｋ等于其他自然数时就

称为弱孪生素数猜想。２０１３年５月，华人数学家张益唐在孪生

素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个

弱化形式。４、完全数问题：完美数又称为完全数，最初是由毕达

哥拉斯的'信徒发现的，他们注意到，数６有一个特性，它等于它自

己的因子（不包括它自身）的和，如：６＝１＋２＋３。下一个具