HPM的初等数论绪论课教学设计论文

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高师《初等数论》第一堂课教学设计

高师《初等数论》第一堂课教学设计[摘要]大学新学期第一堂课的教学重点不应是具体内容的讲授，而是要帮助学生明确课程学习意义、了解学科发展简史、明确学科研究对象，并通过问题帮助学生认识到自身的不足，此外教师还应该在第一堂课上明确课程学习要求及目标。

[关键词]初等数论；课程；第一堂课；教学设计高等教育明显不同于初等教育的一个特点是开设课程的多样性，一个大学生四年大约要修30-40门不同的课程，而且这些课程多是一学期修完，所以，大学生通常在每个学期伊始都会面对诸多的新开课程。

“好的开始是成功的一半”，一门大学课程第一堂课的教学既关乎教师留给学生的第一印象又对于帮助学生明确该门课程的学习意义、调动学生的学习积极性有重要的作用，所以，教师对于自己任教课程的第一堂课应该格外重视，做更加充分的准备，具体来说，大学课程第一堂课应该讲什么，如何讲？本文以地方高师院校数学教育专业《初等数论》为例，谈一下自己对这一问题的理解。

《初等数论》是大学数学系普遍开设的一门课程，初等数论一般被认为是古老而又常新的学科，它既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”，高师院校数学教育专业有其专业特殊性，所以开设此课程时除了介绍有关数论的基础理论以外，还要注重强调数论的应用性，更要结合师范的专业特色来组织教学。

一、明确课程的学习意义及必要性一门课程的学习伊始，教师应该清晰谨慎地提出本课程可以给予学生的承诺与机会。

例如，该课程将帮助学生回答什么样的问题？这些问题将有助于他们发展何种类型的智力、体力、感情或社交能力？学习该门课程对于他们后续课程学习有什么帮助？对于他们日后工作有什么样的帮助，所以，第一堂课，最重要的不是快速进入教学内容的讲授环节，而在于帮助学生明确该门课程的学习意义。

一个直接明了的问题有助于引起学生的深入思考，所以教师首先可以向学生提出问题：为什么学习《初等数论》（或课程）？要回答该问题，不仅需要教师对于该门课程的课程教学目标有清晰的理解，而且要能通过简洁、非专业的语言向未学习该门课程的同学解释清楚答案，对该问题的回答既有学科知识上的考虑，如对于后续课程的学习、对学生能力的培养等方面的影响，但更要从学生实际出发，采用实用主义的观点，告诉学生该课程对于其自身日后的成长发展尤其是毕业求职以及离开学校后的发展可能会起的作用。

初三作文之例谈HPM视角下的初中数学教学设计

例谈HPM视角下的初中数学教学设计[摘要] hpm是基于历史相似性原理和建构主义理论对数学史进行研究，以期提升数学教学质量. 本文在研究相关理论的基础上，结合实例介绍了hpm视角下初中数学教学设计的具体操作.[关键词] hpm；数学史；理论基础；教学设计hpm是“history and pedagogy of mathematics”的简称，这是一个诞生于20世纪七十年代的学术领域，其研究目标是研究数学史，提升数学教育的质量. hpm所研究的问题包括：数学史的课程设立；数学史的内容关联；数学史与数学教学的关系；数学史对教师的影响；数学史在文化渗透中的作用和地位等. 由此可见，hpm的价值受到越来越多的关注，其在教学实践中的运用也日益受到重视.hpm的理论基础（一）历史相似性原理英国学者斯宾塞指出，个体知识的形成与人类知识的演变历程是统一的，历史上知识的创生过程就是今天教育的方向. 这一段论述就是讲个体的数学认识要遵循数学历史的发展过程，该观点获得克莱因、庞加莱、卡托斯等数学家的支持. 他们主张学生的认识过程与数学的发展历程有着严格的相似性，指出数学史能帮助学生解决数学学习的难题，这就是历史相似性原理.从初中数学教学的角度来讲，历史相似性原理给我们提出这样的指导：一方面，帮我们预测并解释学生可能出现的学习困难；另一方面是对教学设计给予建设性的意见. 当依据历史相似性来设计教学时，教师必须意识到学生当前的认知背景与以前的数学家大相径庭，因此我们不能全盘照搬数学史中的知识建构过程，而应该结合教学需要对历史资料进行重构.（二）建构主义理论hpm视角下的教学设计案例结合对hpm理论的研究，笔者对初中数学课堂积极展开实践，下面，笔者以“负数”的教学为例，谈谈自己的教学操作.（一）创设情境，引入新课教师引导学生回顾小学阶段已经接触过的数的类型：类似于0，1，2，3，，这些我们现在生活中常见的数字，都是随着人们认识的进步和需要才出现的. 在古代，人们依次经历实物计数、结绳计数、算筹计数等阶段，但是因为使用不便，于是发明1，2，3…这样的数字；为了表示“没有”或“空的”，就发明了“0”；因为计算和测量中出现的数字并非整数，因此发明了分数. 由此可见，数字的产生和改进都是源于人们生活、生产中的需要. 今天，我们一起再来认识一下一种更加神奇的数字——负数.设计思路教师围绕学生已经学习过的数字，引导他们简单回顾数字的发展历程，有助于学生在旧知识的基础上建构新认识.（二）探索研究，形成概念1. 引出负数的产生缘由教师提供问题引导学生探究负数的产生：3个小孩要平均分配4个苹果，应该怎幺分配？初中生完成上述问题没有丝毫难度，教师关键是引导学生循着以下思路进行思考：3个小孩平均分配4个苹果，能不能让每个人所得的苹果数是整数？请列方程求解.学生求解：设每个小孩可分得x个苹果，则根据题意有3x=4，解得x=.结合求解过程，学生发现每个小孩最终所得的苹果数目并非整数，因为从方程求解来看，它不存在整数解，因此为了让方程由无解变为有解，人们对数系进行了扩充，引入了分数的使用. 这样的做法使得任何两个非零整数的除法都存在解，除法运算也因此更加畅通.设计思路引导学生重新体验分数的产生缘由，以此为学生接受负数的概念奠定基础.教师安排学生继续处理下面两个问题：（1）张涛带来10元钱，准备去超市买一个足球，到那儿之后发现足球的标价是18元/个，请问张涛还剩多少钱？（2）小李今天挣了200元，各项支出一共230元，请问小李今天净收入多少钱？学生很快写出两个式子：（1）10-18；（2）200-230. 写完之后，他们都无法继续下去，教师便启发他们交流彼此的困难. 学生指出：被减数比减数还要小，数字不够减，如果还用小学的知识，这样的问题是无解的，是错误的. 教师这时便鼓励学生，人的视野不应该被陈旧的知识所束缚，可以仿照分数的出现，发明一种新的数字——负数，由此，学生便会认识到负数的意义：引入负数之后，任意大小的数字都能随意相减，数系再一次被扩充.设计意图结合具体的问题，创设情境让学生感受到囿于原有认知的困境，进而产生扩充数系的需要，负数的概念由此引入便水到渠成，学生的认知上没有任何违和感.2. 负数的表示教师提供问题，引导学生学习负数的表示方法.问题：今年初春，哈尔滨的平均气温为零下5℃，北京的平均气温是2℃，上海的平均气温为5℃. 请问上海的平均气温比北京的气温高多少？上海的气温比哈尔滨的气温高多少？学生用减法来处理上述问题：上海气温-北京气温=5-2=3（℃）；上海气温-哈尔滨气温=5-5=0（℃）. 问题来了，哈尔滨和上海的气温相差为0，莫非两地温度一样？这肯定是错误的，那问题出在哪里呢？教师让学生进行讨论，他们在讨论中很快发现问题的所在，两个5℃的含义不同，必须进行区分. 那怎幺办呢？此时学生对负数的表示产生了心理需求.设计思路教师以问题为引导，在问题处理中酝酿冲突，由此激起学生对负数表示方法的学习需求，强化了他们的学习动机.为满足学生的需求，教师开始讲解：数学上一般将大于0的数字定义为正数，而将小于0（零以下）的数字定义为负数，在其前方添加一个负号“-”以示区别，例如正数“1”变成负数就是“-1”，当然有时候为了强调正数，也在正数前方加一个“+”号.设计思路教师对历史上负数的发现过程进行重构，以不露痕迹的方式融入教学，让学生在看似随意的过程中体验负数的建构.教师进一步补充：运用“+”“-”来区分正负数是属于近代数学的表示方法，据史料记载，早在1700多年前，我国魏晋时代的数学家刘徽就提出了正负数的表示方法：“今两算得失相反，要令正负以名之. ”这就是说，为了对计算出来相反意义的数字进行区分，可以用正数与负数的方式进行表述. 当时，他是以算筹的颜色表征正负的：“正算赤，负算黑”，即正数用红色算筹表征，负数则用黑色算筹进行表征.设计思路介绍中国古代负数的表示方式，让学生感受前人的智慧，由此激活学生的求知欲.（三）例题讲解，活化认知教师提供例题：某天的天气预报显示，与今天相比，上海明天的气温会增加2℃；北京明天的气温会下降1℃；天津今明两天的温度没有变化. 请写出上海、北京、天津三地明天的气温会上升多少.学生结合本课所学进行解答：上海、北京和天津三地气温分别上升2℃、-1℃、0℃.设计思路教师设计问题，引导学生运用所学解决问题，在知识迁移的过程中加深认识.（四）课堂小结，作业布置。

教学论文：HPM视角下的高中数学问题提出课堂教学研究

教学论文：HPM视角下的高中数学问题提出课堂教学研究第一章绪论第一节研究的背景和意义自20 世纪80 年代起，开始了以“问题解决”为核心的数学教育改革运动浪潮，这是知识经济社会背景下，为更好地应对培养创新型人才，全面发展型人才等时代要求，及时满足社会对人才需求而做出的不懈努力。

在“问题解决”的过程中，“问题提出”主要作为其基本手段，而忽略了它也是一种相对独立的数学活动。

它能够将一个复杂的数学问题，分解为若干个数学目标问题，进而对数原问题再进行阐释。

“问题解决”与“问题提出”一直是不断循环交互发展的过程，探寻历史发展的足迹，了解到，早在60 年代著名数学家波利亚就“问题解决”的重要性，以及“问题解决”的过程中数学教育的关系都进行了深入研究。

他相信“解题是人类智力发展的一项特殊成就，智力乃是人类的天赋，正是绕过障碍、在眼前毫无捷径的情况下迂回的能力使聪明的动物高出愚笨的动物，使人高出最聪明的动物，并使聪明的人高出愚笨的人”。

紧接着，数学家和数学教育家也开始对“问题提出”给予关注。

关于它的研究，近年来多集中在两个方面：一是从“问题解决”方面看，“问题提出”一直作为“问题解决”过程中的重要手段；另一个是为了培养学生在数学方面的问题意识，把“问题提出”作为一种独立的数学活动。

纵观近20 年国内外的研究发现，关于“问题提出”的研究有多个方面，如影响因素分析的研究、方法与教学策略的研究、还有对如何提高中学生“问题提出”的能力的研究，等等。

我国在20 世纪90 年代也开始了针对学生问题提出能力的专门化研究，并取得了一些理论性成果。

首先，吕传汉和王秉彝教授对问题提出的教学模式做了深入研究，并提出了“数学情境与问题提出”教学模式。

同时，在国内数学教育界也引起了较大的反响。

其二，形成了数学情境与提出问题教学模式的基本理论，该理论涉及的内容主要有：情境设计与问题提出教学策略设计、学生数学问题提出能力的评价等。

.........第二节研究的理论基础建构主义认为学习是新旧经验的相互作用，知识是由于新旧经验的冲突而引起的观念转变和结构重组的结果。

HPM视角下的数学教学设计：以坐标系为例

课程篇HPM视角下的数学教学设计：以坐标系为例许紫晨1，郭刘龙2（1.太原师范学院，山西晋中；2.山西省太原师范学院附属中学，山西太原）坐标系作为数学中的一个重要工具，它架起了数与形的桥梁，构成了数形相互转化的理论基础。

建立坐标系不仅是学习函数及其图象、曲线和方程的前提，更起到了将几何曲线和代数方程联系起来的作用。

对于学生来说，这一部分内容不是全新未接触过的知识，在学习坐标系之前学生已经学习了数轴，所以平面直角坐标系是基于这一背景设置的一次概念教学。

如今，数学史和数学教育在国内外都受到了广泛的关注，HPM 的教学研究发展非常迅速，将数学史融入数学教学之后，课堂中的数学更加丰富，增强了趣味性，降低了数学学习的枯燥感。

HPM 教学开启了多元教学方法之门，是帮助师生认识数学内部知识以及数学和其他学科之间联系的良好手段，这在当今的数学教育改革中受到了高度的重视[1]。

但目前数学史与数学课堂教学存在“高评价、低应用”的现实处境，在课堂教学中渗透数学史，激发学生的数学求知欲，帮助学生认识数学本质，同时使数学史展现数学价值，是HPM教学研究的重要部分，也是教师应该深入思考并为之努力的方向[2]。

本研究选取初中数学中的平面直角坐标系这一章节内容，进行HPM视角下的教学设计研究。

本研究从HPM的视角进行教学设计，使学生经历平面直角坐标系的形成过程，拟定了以下教学目标：（1）结合具体生活情境，体会可以用有序数表示物体的位置。

（2）体会历史上平面直角坐标系的发展过程，认识平面直角坐标系的概念，能画出平面直角坐标系。

（3）在给定的坐标系中，能根据坐标找出点的位置，可以根据点的位置写出对应的坐标。

（4）在实际问题中，能建立适当的坐标系解题。

（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。

一、发生教学法发生教学原理是数学教学研究的主要理论依据，提倡教师考察历史，进行历史重构，然后用于教学，引导学生发挥自身的主动性来学习新知识。

HPM视角下的数学教学设计

HPM视角下的数学教学设计作者：傅文奇来源：《数学教学通讯·初等教育》2015年第03期[摘要] 初中数学教师应用HPM教学方法引导学生学习，实则是为了让学生深入地理解某一个重要的数学知识以后，能够让学生由这个数学知识为核心，自主地学习与之相关的其他数学知识.本次研究将以勾股定理为例，说明HPM视角下初中数学教学设计的方法.[关键词] 数学史；勾股定理；教学设计HPM即History and Pedagogy of Mathematics，用HPM视角引导学生学习数学，即将数学史引进到教学当中，让学生以历史的角度看待一个数学问题的提出、数学问题的演变、数学问题的应用等. 数学教师如果应用这种方法引导学生学习知识，学生将能深入地理解到探索数学知识的重要意义、人们拓展数学知识系统的整个过程、人们逐步完善数学知识系统的方法. 如果教师能够引导学生以HPM的视角纵向了解某个数学知识，学生将会以该数学知识为中心，形成一套完善的数学知识系统. 本次研究将会以初中数学勾股定理的教学设计来说明HPM视角在数学教学中的应用方法.结合历史，让学生探究勾股定理的概念勾股定理，是一个直角三角形的平方和等于斜边平方的数学定理. 从几何的角度来说，它是几何知识的一个重要基础，从函数的角度来看，它是余弦定理的一个特例. 数学教师如果能在勾股定理这一章节为学生打下良好的数学基础，学生就能够打好学习几何知识与函数知识的基础.如果数学教师仅仅让学生单纯地理解勾股定理这一概念，学生将只能理解“勾三股四弦五”这一条文字概念，教师要学生真正地理解这一条数学概念背后隐藏着各种数学知识，就需要让学生从数学史的角度去了解勾股定理的知识. HPM视角下的数学教学实际上就是让学生从宏观的角度去了解古人是如何摸索出这一条定理、研究这一条定理、应用这一条定理的.以一名教师引导学生深入的理解勾股定理为例，教师可让学生看到欧几里德、郑爽等人的定理证明方法，然后引导学生思考，为什么前人已经证明过这条数学定理以后，后人还要继续探索新的求证方法呢？学生经过思考能够理解到，在学习数学的过程中不能盲从前人说过的话，而要自己探索、自己思考，直到探索出数学知识的奥秘. 这时教师可引导学生用一套全新的方法证明勾股定理. 有一名学生的证明方法如下：参看图1，在直角△ABC斜边上绘制正方形ABDE，延长CB，从E点作CB延长线的垂直线EG，两线的焦点为G. 从D绘制CB的垂直线，它相交于CB延长线的K点. 以A点绘制EG的垂直线，它的交点为F. 以D点绘制EG的垂直线，它的交点为.从图1绘制的过程可看到△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.如果将五边形ACKDE的面积视为S，可得S=SABED+2S△ABC；（公式1）同时可得S=SACGF+SHGKD+2S△ABC；（公式2）由公式1、公式2可得c2+2×ab=b2+a2+2×ab；由此可得c2=a2+b2.教师引导学生从HPM的视角看待数学知识，并不是单纯地为了让学生了解数学的历史，而是要让学生从历史的角度了解到前人不懈的探索数学知识的精神、古人追寻数学真理的态度. 当学生了解到这一点后，学生就能了解到自己学习数学知识的目的不是为了记住一个数学概念、数学定理，而是要用自己的头脑去思考数学的问题、用自己的实践去验证数学的知识、用自己的视角去开辟数学的新天地.数学教师应用HPM视角引导学生学习时，不能仅仅着眼于让学生去学习数学历史，而要从引导学生了解数学概念产生、演变、应用出发，让学生从中理解到追寻科学、追寻真理的精神，学生只有拥有这种科学探索的精神，才能学好数学知识.巧设习题，让学生感受勾股定理的变化如果以HPM的视角来看，人们全面地了解一个数学知识需要漫长的时间，在探索数学知识的过程中，人们发现了一个数学概念就会去积极探究这个数学知识，然后人们会逐渐完善数学知识、拓展数学知识. 以勾股定理为例，“勾三股四弦五”只是勾股定理的基本描述，以后人们在了解这条定理的基础上发现了“两条边的平方和等于斜边的平方和”这一个规律. 教师如果在教学的时候能让学生去探索勾股定理拓展的过程，学生将能领略到数学知识变化的奥妙，他们的学习兴趣会被激发，他们在探索的过程中会初步地形成一个数学知识系统.以教师引导学生看两个习题为例：习题1：参看图2，AM是△ABC中BC边的中线，求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.[A][B][C][D][M]一名学生的求证方法如下：从A点绘制BC边的垂直线，交点为D，由c2=a2+b2可得AB2=AM2+BM2+2BM·MD；（公式3）由此可推知，在△ACM中，AC2=AM2+MC2+2MC·MD；（公式4）AM是△ABC中BC边的中线，可得MB=MC；由公式3与公式4可得AB2+AC2=2（AM2+BM2）.学生从这个证明的过程中能推知三角形的中线长公式，他认为假设△ABC的边长分别为a，b，c，它们对应的中线长为ma，mb，mc，那么中线长的公式为：ma=，mb=，mc=.当学生能够从勾股定理推知三角形的中线长规律时，学生就能感受到数学知识蕴藏很多变化.此时教师可引导学生再做习题2：求证：四边形四条边的平方和为对角线的平方和与对角线中连线平方之4倍.由于学生有习题1作为基础，他们可以较为轻松地找到求证的方法，这名学生的求证过程如下：参看图3，四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，由三角形中线长的定律，可得BQ2+DQ2=2PQ2+2·22=2PQ2+；将之简化可得2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2；（公式5）[A][B][C][D][O][P][Q]图3结合习题1中证明的三角形中线长公式，可得BQ2=（2AB2+2BC2-AC2）；（公式6）DQ2=（2AD2+2DC2-AC2）；（公式7）将公式6和公式7代入公式5中，可得（2AB2+2BC2-AC2）+（2AD2+2DC2-AC2）=4PQ2+BD2，于是AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.学生在做习题2的时候，能从三角形中线长公式中研究出一种新变化.从教师引导学生从勾股定理开始，教师可让学生探索三角形中线长的公式，再引导学生灵活应用三角形中线长的公式，在这个学习过程里学生能了解到数学知识的变化、感受到数学知识的乐趣. 当学生能够从勾股定理中拓展出新的数学知识时，他们将能感受到数学知识系统形成的脉络.数学教师应用HPM的方式引导学生学习数学的时候，可以从数学史的角度给学生布置习题，学生在体验数学知识演变的过程中能初步形成数学知识系统，这是他们完善数学知识系统的基础.结合实践，让学生理解勾股定理的系统当教师从HPM的角度引导学生感受到数学知识系统的脉络以后，教师可引导学生尝识系统地总结数学知识，学生在总结数学知识以后，将能从HPM的角度看到数学知识系统的形成，这个数学知识系统将成为学生深入地学习与之相关数学知识的基础.以教师引导学生学习勾股定理为例，教师在让学生以HPM的角度纵向地了解到勾股定理以后，引导学生系统地总结勾股定理的描述，有一名学生的描述如表1：表1为学生总结的勾股定理的知识系统，学生完整地总结出这个知识系统以后，就可以应用这套知识解决与之相关的数学知识，从而拓展出新的数学系统.以学生学习勾股定理为例子，教师以HPM视角引导学生学习数学知识，学生就能够以该知识为基础，学习与之相关的其他数学知识，比如学生可以进一步探索勾股定理的逆定理、直角三角性的性质以及判定、直角三角形的边与角之间的关系等几个方面的知识，从而学生的数学知识系统将能层次分明、联系紧密，学生如果能熟知数学知识与数学知识之间的内在联系，他们以后就可灵活地应用这些知识解决数学问题.本次研究以勾股定理的教学案例为参考，说明了HPM视角的教学设计方法.初中数学教师应用HPM视角引导学生学习时，要引导学生深入地理解数学知识、引导学生探索数学知识的变化、引导学生系统地学习数学知识.初中数学教师应用这种教学方法引导学生学习，实则是为了让学生深入地理解某一个重要的数学知识以后，能够让学生由这个数学知识为核心自主地学习与之相关的其他数学知识，在这个过程中，教师能够培养出学生探索科学知识的精神、激发学生学习数学的习趣、提高学生认识事物的能力.。

初等数论结课论文.pdf

初等数论结课论文一．课程感悟初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。

它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。

换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。

这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。

可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。

二．连分数的学习1．连分数的定义若为整数，，… 皆为正整数，则叫简单连分数。

2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。

如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12]当然，连分数也可写成分数，如3043301311342114131211=+=++=+++3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。

例如：用辗转相除法求942和1350的最大公约数。

012341111a a a a a +++++0a 1a 2a13504081942942942126240840840830312612612664303030506=+=+=+=+=+13501119422131450=+++++代入得：4.连分数的应用。

例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）5122111251251511151212111115112−====++−−++−+=++−+（）三．结课感悟数论与其他科目相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是最大公因数、最小公倍数、不定方程等；从形式上讲，学习方式也很不一样，初等数论一周只有2节课，课程进度快，所以对学生自学能力的要求也就非常高。

HPM视角下高中数学概念课教学设计研究

HPM视角下高中数学概念课教学设计研究HPM视角下高中数学概念课教学设计研究摘要：本研究旨在以欧美数学教育研究者提出的历史意义、哲学意义和数学意义（HPM）视角为基础，探索高中数学概念课教学的设计与研究。

通过引入历史、哲学和数学的交叉视角，教师可以帮助学生更好地理解数学的概念，培养学生的数学思维和学习兴趣。

引言：高中数学概念课是数学教学的基础，是培养学生数学思维和数学能力的重要环节。

然而，传统的概念课教学存在的问题是教师过于强调机械的计算过程，忽视了数学概念的历史渊源和哲学背景。

为了提高高中数学概念课教学的效果，本研究以HPM视角为基础，从课程设计、教学方法和评价方式等方面展开研究和探索。

一、HPM视角下高中数学概念课的课程设计HPM视角认为数学的学习不仅是掌握公式和记忆方法，更要了解数学的历史背景和哲学意义。

在高中数学概念课教学设计中，可以引入历史发展的案例，让学生了解数学概念的起源和变化过程。

例如，在教授平方根概念时，可以介绍古希腊数学家毕达哥拉斯的发现以及开平方根的发展历程。

通过这样的引入，让学生了解数学概念的产生背景，激发学生的兴趣和学习动力。

二、HPM视角下高中数学概念课的教学方法传统的教学方法以教师为中心，主要以直接讲授和习题训练为主。

而在HPM视角下，教师应该更加注重学生的参与和互动，培养学生的独立思考和解决问题的能力。

教师可以采用探究式教学的方法，引导学生通过探索、实验和讨论来理解数学概念。

例如，在教授三角函数的概念时，可以通过实物、图像和动画等多种形式展示，让学生自己观察、发现和总结三角函数的性质和规律。

通过这样的教学方法，学生可以更加深入地理解数学概念的内涵和应用。

三、HPM视角下高中数学概念课的评价方式评价方式对于激励学生的兴趣和提高他们的学习效果非常重要。

传统的评价方式主要以考试和作业为主，缺乏对学生深入思考和探究的评价。

在HPM视角下，教师可以采取多样化的评价方式，如小组合作探究评价、课堂演讲评价和课外拓展项目评价等。

基于HPM的小学数学教学设计研究

基于HPM的小学数学教学设计研究摘要：本文旨在探究基于HPM的小学数学教学设计研究，通过对HPM 模型的分析和应用，探索数学教育中的问题解决策略及其实际应用，提高数字化教育科技在实际教育中的应用效果，培养学生的数学思维能力，以此推动数学教育的变革和进步。

为达到这一目的，本文首先介绍了HPM模型的基本理论基础和模型要素，重点讲解了HPM模型在数学教育中的应用方法和意义。

接着，对小学数学教学中常见的问题进行了分析，提出了解决这些问题的思考方法，并重点探讨了如何将这些方法应用于HPM模型中，以提高数学教学的实效性和实用性。

基于上述研究，本文结合教育现实，以小学数学为具体研究对象，提出了基于HPM的小学数学教学设计方案，阐述了其具体步骤和实施方法。

此外，也对该教学设计的实施效果进行了初步评估，结果表明，该教学设计方案在提升学生数学思维能力和实际应用能力方面具有显著的优势和实用价值。

最后，本文还探讨了未来基于HPM的小学数学教学的发展趋势和方向，并对下一步的研究进行了展望和总结。

关键词：HPM模型、小学数学教学、问题解决策略、数字化教育科技、数学思维能力一、引言数学是一门基础性极强的学科，是人们认识自然界和探究社会的工具之一。

在数学的教育教学过程中，如何提高学生的数学思维能力和实际应用能力是一项重要任务。

为此，教育教学者需要探索科学的数学教学方法和教育教学手段，开展有效的教育教学工作。

近年来，随着数字化教育科技的不断发展和应用，数学教育也面临着新的挑战和机遇。

本文以HPM模型为理论基础，探究基于HPM的小学数学教学设计，旨在通过解决实际教学中的问题，培养学生的数学思维能力，推动数学教育的变革和进步。

二、HPM模型HPM模型是一种面向问题解决的认知过程模型，由美国认知心理学家Allen Newell和Herbert Simon于1972年提出。

该模型以人类对问题的认知过程为基础，将问题解决过程分为五个阶段：问题表征、问题分类、策略形成、策略执行和结果验证。

基于HPM_的高中数学概念课教学设计与应用研究——以“函数的概念”教学为例

２０２３年８月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀基于H P M的高中数学概念课教学设计与应用研究∗以函数的概念教学为例◉江苏省仪征中学㊀邓迎春◉南京师范大学第二附属高级中学㊀张晓飞㊀㊀摘要:从数学史的角度看,函数概念经历了萌芽解析定义对应定义集合定义四个时期．本文中通过若干情境,结合数学史对函数概念的教学进行了重构,加强函数概念发展史内容的渗透,促使学生更好地掌握所学内容,提升学生的人文情怀,提高学生数学核心素养．关键词:H P M;函数概念;教学设计㊀㊀«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»(后面简称课标 )指出:函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥重要作用．函数概念是高中数学很重要的基础概念之一,但是很多学生忽视对函数概念的理解．不少学生存在这些疑问: 为什么初中已经学习了函数的概念,高中还要学习新的概念是不是到了大学还要学习函数新的定义?函数的概念到底是怎么产生㊁怎么发展的?在数学教学中一定要突出数学本质,而这就需要在教学过程中让学生深入理解数学概念,理解数学本原性知识,了解数学历史㊁数学文化,掌握数学思想,体会数学思维方式,并学会对数学美的鉴赏．很多研究已表明,将数学史融入教学有助于学生认识数学发展规律和数学本质,只有让学生经历了知识的产生㊁发展过程,才能将数学冰冷的美丽转变为火热的思考．鉴于此,在２０２０年秋季学期本校骨干教师教学展示活动中,笔者就函数的概念这一课题,尝试从H P M的角度进行教学设计,通过若干情境,结合数学史对函数概念的教学进行了重构,加强函数概念发展史内容的渗透,促使学生更好地掌握本节课内容,提升学生的人文情怀,提高学生的数学核心素养．现整理成文,与各位同仁共勉．１教学设计与实施１．１问题情境与学生活动托马斯曾说过: 函数概念是近代数学思想之花．今天老师和大家一起学习近代数学思想之花函数的概念．可能同学们会有疑惑,初中已经学过函数的概念了,为什么到了高中还要学习?难道函数还有不同的定义?其实函数的概念经历了几次抽象的过程,下面我们就以教材中的三个现实生活问题为载体再重温一下函数概念的发展历史．情境１㊀某城市在某一天２４h内的气温变化情况如图１所示,试根据图象回答下列问题:图１(１)这一变化过程中,有哪几个变量?(２)如果一个动点P在这个曲线上运动,它的横坐标㊁纵坐标有关系吗?情境说明:此情境中有时间和温度两个变量．如果动点在曲线上运动,动点P的横坐标㊁纵坐标是相互３２∗课题信息:本文系江苏省教育科学十四五规划课题基于H P M的高中数学章起始课设计与应用研究 (课题编号: J S/２０２１/G H０３０５Ｇ０１２３１)的阶段性研究成果．Copyright©博看网. All Rights Reserved.教学导航２０２３年８月上半月㊀㊀㊀依赖的．其实在历史上,法国数学家笛卡儿在«几何学»一文中首先引入变量思想,将变量称为未知和未定的量．１６７３年,牛顿在微积分的讨论中,使用流量来表示变量间的关系．同年,莱布尼茨创造了函数f u n c t i o n 一词,表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标．此时为函数概念的萌芽时期．情境２㊀一物体从静止开始自由下落,下落的距离y (单位:m )与下落的时间t (单位:s )之间满足什么关系(１)上述情境中,有几个量?常量是哪些?变量又是哪些(２)可以通过什么来刻画两个变量之间的关系?情境说明:y 和t 的关系是y ＝１２gt ２,常量是重力加速度g ,变量是下落的距离y 与下落的时间t ;可以通过关系式(即解析式)来刻画两个变量之间的关系．１７５５年,欧拉在«微分学»中重新定义了函数:一个变量的函数是由这个变量和一些常数以任何方式组成的解析表达式．这段时期的函数定义也称为解析定义．情境３㊀估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据．表１是我国从１９４９年至１９９４年人口数据资料:表１年份１９４９１９５４１９５９１９６４１９６９人口数/百万５４２６０３６７２７０５８０７年份１９７４１９７９１９８４１９８９１９９４人口数/百万９０９９７５１０３５１１０７１１７７㊀㊀(１)表１中有变量吗?有几个变量?(２)当年份确定后,当年的人口数是否确定?你能写出人口数关于年份的关系式吗?情境说明: 是不是所有的变量都能用解析式表示在１８世纪中期,随着生活和科技的发展,出现了这样的新问题．如表１中的变量为年份和人口数,当年份确定时,对应年份的人口数也是确定的,但是我们无法写出人口数关于年份的关系式．１８世纪２０年代,德国数学家狄利克雷给出如下函数定义:对于在某区间上的每一个确定的x 的值,y 都有一个确定的值,那么y 叫做x 的函数．这时,我们才认为函数概念的本质已经形成,即数学人常说的函数的经典定义,也称对应定义．思考１:结合上述三个情境问题,如何用集合语言描述两个变量思考２:如何用集合语言描述函数的变量对应关系思考３:基于以上两点思考,你能尝试用集合的语言给出函数的定义吗在１９３０年,近代函数的定义为:若对集合M 的任一元素x ,总有集合N 中唯一确定元素y 与之对应,则称集合M 上定义一个函数,记为y ＝f (x )．元素x 称为自变元,元素y 称为因变元．历经数百年,函数概念经过好几代数学家的锤炼㊁革新,至此,数学家们完成了近代函数概念建构的全过程．但这并不一定是函数概念的终结版,随着科学的发展,函数的概念还在继续发展．１．２意义建构和数学理论苏教版必修１(２０２０年７月第一版)给出的函数定义如下:一般地,给定两个非空实数集合A 和B ,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的每一个实数x ,在集合B 中都有唯一的实数y 和它对应,那么就称f :A ңB 为从集合A 到集合B 的一个函数(f u n c t i o n ),记作y ＝f (x ),x ɪA ．其中,x 叫作自变量,集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域(d o m a i n )．思考４:高中的函数定义与近代函数的定义有没有区别?思考５:初中的函数定义与高中的函数定义有什么异同?思考６:高中函数定义的基本要素是什么?近代函数定义建立在集合上,高中函数定义建立在非空实数集合上;高中的定义是从集合㊁对应的观点出发,而初中给出的定义是从运动变化的观点出发,本质是一样的,都是一种对应关系,不同的是叙述的方式．此三个思考,能更好地帮助学生在已有的知识基础上理解新的知识,并融会贯通．１．３数学运用例１㊀判断下列对应是否为函数,如果是函数,你能否说出其定义域和值域(１)x ң－１x ,x ʂ０,x ɪR (２)x ң１,x 是有理数,０,x 是无理数{(狄利克雷函数)４２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀例２㊀判断下列各组函数是否为同一函数(１)y＝x x,y＝１(２)y＝x２－１,y＝x－１ x＋１(３)y＝３u３,y＝x设计意图:例１是训练学生用概念来解析问题,加强对函数本质的理解．通过例１强调函数概念中的任意性与唯一性 ,并促使学生关注到,对应的是结果,而不是过程．例２是概念的再理解应用,函数的定义域相同,且相同的变量值对应的函数值也相同,那么这两个函数就是同一函数．简单地说,如果两个函数的三要素(定义域,对应关系,值域)相同,那么这两个函数就是同一函数;更简单地说,定义域和对应关系相同的两个函数即为同一函数．函数的表达与字母的使用无关．１．４总结与反思问题:同学们,今天我们一起徜徉在历史长河中,经历了函数概念的萌芽㊁发展到逐步完善的过程,并学习教材中函数的定义,你有什么收获?设计意图:总结和反思可以帮助学生厘清这节课的为何和如何的问题,即为何要学习本节课的知识,又是如何学习的,并形成知识体系,提升学科素养,使学生更深层次地理解三百多年来函数概念的发展与生产㊁生活以及科学技术的实际需求紧密相关．有的学生认为函数概念的发生㊁发展都离不开生活,生活是科学发展的原动力;有的学生总结说了解到函数概念一步一步逐渐发展成熟的过程,知道了函数概念的来龙去脉,理解了概念的本质;还有的学生觉得人们认识函数概念的过程是非常曲折的,科学研究需要不断的学习与创新;等等．１．５课外自主探索自主搜索狄利克雷函数 ,并了解它在函数概念发展中的作用．设计意图:从课内到课外,使学生能主动地有意识地参与到数学史和数学文化的学习中,认识到数学史和数学文化在数学学习中的作用和意义,并能借助课堂上学习的思想和方法,形成自主学习新知识的意识和能力．２教学反思与感悟H P M是一个富有魅力㊁前景广阔㊁特色鲜明的学术领域．它既需要有一定的数学和数学史功底,也需要掌握数学教育的理论与研究方法;既需要有坐冷板凳的功夫,也需要有较强的社会实践能力．２．１以史为鉴,激发学生数学学习热情本节课的授课对象为江苏某四星级高中高一普通班学生．从教学过程看,学生课堂回答问题的主动性㊁积极性很高．学生对函数概念的前世今生也非常感兴趣,在学习过程中,学生时而穿越时空,与先哲对话,汲取思想养料,探索教学方法;时而回归现实,走入心灵之中,探索数学学习的历史相似性;教师也时而掩卷深思,品味成败得失,展望数学教育美好的明天．在课后与同学的交流中,大部分学生赞同课堂中适当融入数学史,以激发学习兴趣,也有利于培养高中生数学抽象和逻辑推理核心素养．２．２以史启真,培养学生正确的数学观函数概念是高中数学中很重要的知识点,但是学生学习之初会感到很困惑:初中已经学习过函数的概念,为什么又要学习函数的另外一种概念?同时,学生对函数概念的理解往往局限于一次函数㊁二次函数等特殊的简单函数,对函数概念存在不少片面认识．本节课通过对函数概念发展历史的简单重构,引领学生经历了函数概念发展的四个时期,了解了数学概念发生㊁发展的曲折过程,明确了科学知识发生㊁发展的源动力．法国大数学家庞加莱也说: 如果我们想预见数学的未来,适当的途径就是研究这门学科的历史和现状．基于H P M重构高中数学课堂,避免了简单地告知知识点是什么,怎么答题,而是把数学的本质展现出来,通过系列本源性问题,促进学生的思考和探究,最终实现培养学生数学核心素养的目标．２．３以史促思,培养学生的数学思维我们要知其然,还要知其所以然．为什么会萌发函数概念?为什么要明确函数概念?为什么要完善函数概念这些都是数学本原性问题．用好数学史,可以帮助学生回归㊁溯源㊁思考原始问题,启迪学生思维．大力挖掘数学史的教育价值,将这些方面用到日常数学教学中,对于增进学生的数学问题意识,培养学生数学思考的习惯和独立钻研的能力,启发学生的思维和方法,提高数学的创新水平等都具有重要的作用．纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行,要使学生从被动的学习到主动地探究,从知之到乐之．Z５２Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

HPM视角下的初中函数概念教学设计

HPM视角下的初中函数概念教学设计夏鸣【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2015(000)020【总页数】3页(P26-28)【作者】夏鸣【作者单位】江苏省南京市第三十九中学【正文语种】中文1972年第二届国际数学教育会议中成立了一个数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM），它标志着数学史与数学教学关系已作为一个学术研究领域而出现.在数学教学中运用数学史有三种方式：一是提供直接的历史信息；二是借鉴历史进行教学；三是开放对数学及其社会文化背景的深刻觉悟.［1］HPM视角下的数学教学通常采用的是第二种方式，即发生教学法，也就是把数学史作为教学线索，不明确地谈论数学史，用数学史来启示教学.［2］本文在HPM的视角下，以函数概念的教学为例，试图探索符合学生认知发展水平且顺应函数历史发展规律的教学设计，为今后教师在教学中融入数学史提供参考.函数一词，最初是在德国数学家莱布尼茨（1646～1716年）1673年的一篇手稿里使用的，但它仅表示关于曲线上点的横坐标与纵坐标，以及一些线段（如弦、切线、法线等）的长.［3］在17世纪，大部分函数都是被当做曲线来研究的，这是函数思想的最初萌芽.1718年瑞士数学家约翰·伯努利（1667～1748年）把函数定义为“由任一变量和常数的任何形式构成的量”.［4］他强调函数要用公式来表示.18世纪中期著名数学家欧拉（1707～1783年）在著作《无穷小分析引论》中指出“常量是指永远保持同一值的确定的量”，“变量是指不取定值的量或者说通用的量，它本身蕴含了一切通用的值”，“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”.［5］欧拉用“解析表达式”表述变量之间互相依赖的变化关系，这使人们对函数概念的认识前进了一大步.1797年法国数学家拉格朗日（1736～1813年）进一步给出了函数的一个定义：“所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其他一些被称为具有给定和不变值的量，而函数的量值可以取所有可能的量值.因此在函数中，我们仅考虑那些假定是变化的量而不去关心可能包含在其中的常数”.［6］直到18世纪后半期，人们仍然认为函数必须要有解析表达式.1821年法国数学家柯西（1789～1857年）给出函数的定义：“当给定了变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其他量就叫做这个自变量的函数”.［4］在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式.1837年德国数学家狄利克雷（1805-1859年）指出：“如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应，那么y就是x的一个函数，至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表示，那都无关紧要”.［7］这个定义与现行初中教科书中的函数定义很接近.它指出函数的本质就是“单值对应”，并且说明函数关系不一定需要用解析式表示.这是人们对函数概念认识上的一次飞跃.20世纪初诞生的集合论被人们接受之后，函数概念再次发展.1939年布尔巴基学派用集合论的语言重新叙述了函数的定义：“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同.E中的一个变量x和F中的变量y之间的一个关系称为一个函数，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足跟x的给定关系，那么我们称这样的‘关系’为函数”.［4］这个定义与现行高中教科书中的函数定义很接近.它是从集合论的角度阐述，用数学自身的逻辑及其特有的抽象，使函数概念更加严密. 纵观函数概念的发展历程，人们先后经历了“几何说”、“代数说”、“对应说”、“集合说”四个阶段，才逐步完善了函数概念，其中从“代数说”到“对应说”是关键，也是最困难的.在初中阶段的函数概念教学中，我们可以适当地借鉴函数概念发展史，改善教学，帮助学生更好地理解函数.1.引言生活中万物皆变，有位置的变化，也有量的变化.如何把握这些量之间的变化规律呢？我们就需要学习新的知识：函数.你们知道历史上数学家对函数概念的研究都经历了哪些阶段？今天我们就沿着数学家的足迹去探究函数的概念.预设意图：通过引言教学，回顾前面所学知识，提出本节课需要学习的内容，并有机融入函数概念的数学史，激发学生的学习兴趣.2.函数概念的第一次抽象认识——“代数说”问题1：列车以200km/h的速度匀速从甲地驶往乙地.当行驶的时间为t h时，行驶的路程为s km.（1）变量s与变量t之间有怎样的关系？预设：s＝200t，s随t的增大而增大.（2）s是怎样随着t的变化而变化的？能用数值加以说明吗？预设：如表1.（3）当t取定一个值时，s的值会怎样？你是怎么知道的？预设意图：以学生熟悉的行程问题为背景，引导学生感受问题中两个变量之间的依赖关系，启发学生发现该问题中的两个变量，当给定一个变量的值时，另一个变量就能用解析式确定唯一的值与其对应，初步体会函数的意义.问题2：仿照问题1中分析变量关系的过程，分析（1）、（2）中变量之间各有怎样的关系？（1）某种矿泉水，每瓶价格为1.2元，当销售量为x瓶时，销售金额为y元；（2）把水滴激起的波纹看成一个不断向外扩展的圆，当它的半径为R时，它的面积为S.问题3：上述问题中变量之间的关系有何共同特点？预设意图：解决问题1后，引导学生独立对问题2中（1）、（2）变量之间的对应关系进行分析，同时发现这些实例中的两个变量都能用解析式表示其对应关系，再启发学生对函数概念进行第一次抽象认识.3.函数概念的第二次抽象认识——“对应说”瑞士数学家约翰·伯努利认为函数必须要用数学关系式来表示.但是大数学家柯西却提出了质疑：问题4：下列问题中的变量之间的关系是否具有上述特点？有什么异同？（1）某厂某种产品的月产量统计如表2.预设意图：此教学环节为学生提供了两个不能用解析式表示变量之间对应关系的实例，并引导学生体会当给定一个变量的值时，除了借助解析式，通过表格或图像也可以唯一确定另一个变量的值，凸出函数本质属性，剥离“用解析式表示变量关系”这一非本质属性，并对函数概念进行第二次抽象认识.问题5：德国数学家狄利克雷也认为函数关系不一定需要用数学关系式表示.他还举出了一个例子：y＝人们称之为狄利克雷函数.在实际生活中，存在着大量的函数例子，请你举出一些例子.预设意图：学生通过自己身边的例子，再次感受函数概念的意义，在不同之中寻找相同，经历从特殊到一般、从具体到抽象、从分散到概括的过程，为最终概括函数概念作进一步准备.问题6：再次归纳上述所有例子中变量之间的关系具有什么共同特点？预设意图：在上述活动的基础上，引导学生分步概括、逐步抽象出函数的本质属性，形成函数概念.4.函数概念的辨析问题7：下列问题中，两个变量之间是函数关系吗？（1）用一根2m的铁丝围成一个长方形，当它的宽为x m时，其长为y m；（2）如图2，搭1条小鱼需要8根火柴棒，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴棒.如果搭n条小鱼时，则需要火柴棒S根；（3）两个变量x、y满足关系式y2=x；（4）变量y与变量x的关系如图3.预设意图：通过一些简单的实例，巩固函数概念的学习，规范数学语言的书写与表达.解决问题（3）、（4）时，追问y是x的函数吗？x是y的函数吗？通过正反两方面的例子，深化对函数概念的理解.问题8：如图4，已知B中的实数与A中的实数之间有着某种对应关系.如果用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，那么y是x的函数吗？为什么？预设意图：一方面帮助学生更深层次地理解函数概念中单值对应的含义，另一方面有意渗透函数概念的“集合说”，为后续函数概念的学习作铺垫.5.小结本节课我们模拟了数学史上函数概念发展的过程，分步概括、逐步抽象出函数的概念.（1）举例说明什么是函数？（2）你认为函数概念中最关键的语句是什么？并说说对它的理解.预设意图：回顾函数概念，并引导学生举例说明函数概念的意义.1.以史为鉴，重构课堂每位学生的认知发展可能各有不同，但总体上都遵循人类认知的一般规律.教学中，我们可以借鉴数学史，启示教学，优化教学.但有时学生对历史上的问题可能会感到陌生与困难，就需要我们重构历史顺序，从学生现有的知识与经验出发，由简单到复杂对问题进行编排.比如，在历史上人们最先认为函数就是一条曲线.但学生在学习函数之前没有接触过图像，他们熟悉的是用字母表示数、公式、方程等.于是教学中，笔者调整了顺序，先引导学生认识函数的“代数说”，再逐步介绍图像确定函数关系的方法.这样的调整不仅遵循学生的认知发展水平，也符合学生学习数学的心理规律.2.以史为鉴，提升教学作为数学教师，应该具有一定的数学史知识，了解一些核心知识的起源与发展.在了解历史的过程中，我们会清楚知道数学家们曾遇到哪些困难，犯过怎样的错误.这些都有利于我们了解学生的学习状况，有利于我们在教学中抓住重点、突破难点.比如，函数概念从“代数说”到“对应说”经历了百年之久，数学家们通过一次又一次的修正才得以完善.由此可知，本节课的重点与难点都应该是对函数概念中单值对应含义的理解.教学中，笔者先提供大量正面的实例，通过解析式、表格、图像帮助学生发现变量之间“一对一”、“多对一”的对应关系，再结合一些反例深化学生对函数概念的理解，逐步从“代数说”过渡到“对应说”，并有意渗透“集合说”，最终完善对函数概念的认识.【相关文献】1.Fauvel J，Van Maanen J.History in Mathematics Education［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000.2.张俊忠.初中数学发生教学法的策略与应用——以北师大版“字母表示数”为例［J］.中学数学（下），2015（3）.3.林永伟，叶立军，编著.数学史与数学教育［M］.杭州：浙江大学出版社，2004.4.莫里斯·克莱因.古今数学思想（第3、4册）［M］.上海：上海科学技术出版社，1979.5.莱昂哈德·欧拉.无穷小分析引论（上下）［M］.太原：山西教育出版社，1997.6.Dieter Ruthing.函数概念的一些定义——从Jon. Bernoulli到N.Bourbaki［J］.数学译林，1986（1）.7.A.吉特尔曼.数学史［M］.北京：科学普及出版社，1987.H。

基于HPM理念的数学新课程标准教法探讨

基于HPM理念的数学新课程标准教法探讨自HPM教学理念在本世纪初正式传入我国以后，已经有一些专家和学者对它的理论内涵、未来发展以及一些实践案例等内容进行了相对深入地研究，对HPM的核心理念，大家比较关注的主要是“历史相似性原理”，即：“个体认知的发展遵循人类知识的历史发展过程”。

该原理最初萌发于德国生物学家家海克尔（E. Haeckel，1843—1919）所提出的生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”[1]，其哲学依据主要来自于系统的相似性原理。

所谓系统的相似性原理，一般是指系统具有同构和同态的性质，体现在系统的结构和功能、存在方式和演化过程等方面，相似性既可以是任何结构意义上的可见的相似性，也可以是功能的，无形的意义上的非实体的相似性，比如系统规律的相似性，思维活动的相似性和关系的相似性等[2]。

显然，这种人类生命系统所具有的思维相似性和认知相似性，对于发现和预判学生在数学学习过程中可能会出现的障碍和困难，具有十分重要的参考价值和指导意义。

在数学新课程标准改革之后，许多原本是大学高等数学的内容被下放到了初、高中教材体系之中。

无论是原有的初等数学内容，还是刚刚下放的高等数学内容，其中的许多概念、定理等知识虽然说都源自于生活，但也确实高于生活，抽象于生活，要求学生在短时间内理解和掌握这些概念等知识确实也不是一件容易的事情。

因而，利用这种相似性规律，积极探索更具学情针对性的课堂教学内容和设计，不失为有效提高课堂教学质量、切实提高学生数学思维能力、培养学生理性精神的有效途径和方法。

另一方面，新课程标准教材中的大部分内容，相对于我国传统数学文化来看，其核心知识大都是实实在在的舶来品，是其他国家和民族优秀文化的沉淀和积累。

而研究我国数学发展史的专家们也有一个颇为耐人寻味的观点：中国传统文化中“理性精神的缺失”正是中国数学发展后来衰落的重要原因之一！由于中华民族是人类历史长河中发展相对独立的系统，所以，时至今日，理性精神的缺失特征仍然深深烙印在我国青年学生的头脑之中！这也正是系统相似性原理的一个现实例证，但也是新课程标准能够深入实施和全面推行难以逾越却又必须逾越的，在文化背景方面的现实障碍和困难。

基于HPM的初中数学教学设计研究——以配方法解一元二次方程为例

基于HPM的初中数学教学设计研究——以配方法解一元二
次方程为例
李乐乐
【期刊名称】《理科考试研究》
【年(卷),期】2022(29)10
【摘要】自HPM成立以来,数学史与数学教育的关系一直倍受关注,将数学史融入数学教学不仅可以增强广大学生学习数学的兴趣,而且可以帮助学生理解所学数学知识的本质特征,可谓“追其根,塑其源”,为了更直观地体现数学史在数学教学中的重要作用,本文以配方法解一元二次方程为例,进行基于HPM的教学设计.
【总页数】3页(P8-10)
【作者】李乐乐
【作者单位】哈尔滨师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.基于HPM的教学难点突破与活动经验积累——以"解一元二次方程(公式法)"为例
2.基于HPM的教学难点突破与活动经验积累--以“解一元二次方程(公式法)”为例
3.基于整体分析谈初中数学习题课的设计--以解一元二次方程习题课为例
4.基于整体分析谈初中数学习题课的设计——以解一元二次方程习题课为例
5.基于
云平台数据的初中数学章起始课教学设计——以"一元二次方程"章起始课教学为例
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HPM_视角下的高中数学概念教学设计研究——以“对数的概念”教学设计为例

2023年第36期教育教学SCIENCE FANS HPM 视角下的高中数学概念教学设计研究*——以“对数的概念”教学设计为例康春艳（喀什大学数学与统计学院学科教学(数学)专业2022级在读硕士，新疆喀什 844000）【摘要】每个数学概念都有自身特定的诞生背景和发展过程。

常规的数学概念教学往往忽略概念的文化背景，向学生生硬地灌输概念，这会导致学生不知概念从何而来、有何作用，对概念的认识停留在表面。

文章基于HPM视角围绕“对数的概念”进行教学设计，运用重构式、顺应式、附加式、复制式教学方法将对数产生和发展的相关知识贯穿于整个教学过程，在探索、解决数学问题的过程中渗透化归、从特殊到一般等数学思想方法，帮助学生从本质上理解对数概念，提高其思维能力，培养其数学核心素养。

【关键词】高中数学；HPM；概念教学；教学设计【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）36-0253-041 HPM理论概述自1972年HPM研究团体成立后，数学史融入数学教学成为数学教学研究的重要组成部分。

HPM视角下的数学教学借鉴“历史发生原理”，以学生喜闻乐见的形式呈现数学知识的来龙去脉，再现历史上的数学思想方法，渗透丰富多彩的数理人文，是“有温度的数学教学”[1]。

华东师范大学的汪晓勤教授对我国的HPM教学展开了深入研究，提出了一套具有中国特色的HPM理论，即“一个视角、两座桥梁、三维目标、四种方式、五项原则、六类价值”[2]。

一个视角，即HPM的视角。

教科书中的某些数学知识以逻辑顺序呈现给学生，这与学生的心理发展顺序冲突，使得学生难以理解。

借助数学知识本来的历史诞生背景和发展过程来揭示知识的必要性，能使学生更加深刻地理解数学知识。

两座桥梁，即HPM视角下的数学教学架起的两座桥梁。

一是沟通数学与人文的桥梁，让学生体会科学人文精神，有助于培养学生的必备品格；二是沟通历史与现实的桥梁，使逻辑顺序、心理顺序、历史顺序实现统一，有助于培养学生的关键能力。

基于HPM的高中数学课堂教学设计研究--案例分析的视角

学校代码：*****分类号：G42学号：*********硕士专业学位论文基于HPM的高中数学课堂教学设计研究——案例分析的视角学院：数理学院专业学位类别：教育硕士专业领域：学科教学（数学）研究生姓名：沈琳指导教师：张伟平副教授完成日期：2018年3月上海师范大学硕士学位论文摘要摘要数学史是研究数学科学的发生和发展的科学及其规律。

简而言之，就是研究数学的历史。

它不仅追溯了数学内容，思想和方法的演变和发展，而且还探索了影响这一过程的各种因素，以及历史上数学科学发展对人类文明的影响。

数学史与数学教学之间的关系被称为HPM。

在这个阶段，HPM对教育来说既具有吸引力又具有挑战性。

数学史的整合已引起学术界的关注。

然而，在现阶段，中国数学教师的数学史不足，而数学史在实践中并未引起足够的重视。

本文致力于研究国内课堂教学中“高评价，低应用”的情况和数学历史的教学案例现状，想探讨如何将教学设计中融入数学史？融入数学史的课堂，是否能使学生加深对学习数学知识的理解？融入数学史的课堂，是否能提高学生数学学习的兴趣？基于以上问题，以高中数学五个案例为例，系统地重新构建研究的理论框架和教学模式等，然后选择基础相当的两个班级分别实施传统教学法和基于HPM的教学发生法，对教学结果采用访谈法和测试进行评价对比。

在控制变量的情况下收集所访谈的数据，并在测试后将测试的平均成绩进行比对。

以更好地了解我国在这方面的不足之处，引发我们对数学史的深入讨论和研究，也为高中的教学设计提供了参考。

从案例教学设计到教学实施再到教学评价，经过了几个月的实施，最后对收集到的结果进行反思、总结并整理记录。

最终得出，融入数学史的课堂是有助于加深学生对数学知识的理解的，也可以帮助学生提高学习数学的兴趣。

学生在融入数学史的数学课堂上，气氛非常活跃，学生可以自己提前预习好所学，也可以通过合作建立学习小组的形式完成任务，在这样的课堂上，学生充分发挥自己的探究能力，好像每个人都是一名小小的数学家。

HPM视角下数学归纳法教学的设计研究

HPM视角下数学归纳法教学的设计研究引言数学归纳法是数学的一种重要证明方法，培养学生运用归纳法进行思维推理和证明的能力，对于学生数学素养的提高具有重要意义。

本篇文章从历史文化研究方法（Historical and Problem solving Methodology, HPM）的视角出发，探讨了在数学归纳法教学中如何充分考虑学生的思维特点和认知能力，以及如何通过问题解决引导学生自主发现归纳法的规律，提升学生的数学思维和学习兴趣。

一、HPM视角下的数学归纳法教学HPM是一种以历史为基础、问题为中心的数学教学方法。

在数学归纳法的教学中，HPM视角下的设计使学生能够通过了解历史背景和问题背后的思考过程，理解归纳法的产生和发展，从而培养学生对归纳法的兴趣和信心。

1. 历史文化背景的介绍在引导学生学习数学归纳法之前，通过介绍数学归纳法的历史背景和应用场景，让学生了解归纳法在数学发展中的重要作用。

例如，可以介绍数学家欧几里得在《几何原本》中使用归纳法进行证明的例子，或者介绍归纳法在计算机科学中的应用。

2. 问题的产生和发展通过给学生提供一个具体的问题，引导他们思考问题背后的规律和模式。

例如，可以提出一个有关数列的问题，要求学生找出数列中的规律并给出下一项的值。

通过让学生观察和比较数列中的数字，他们可以逐渐发现其中的规律，并推算出下一项的值。

这样的问题设计可以激发学生的兴趣，同时引导他们运用归纳法来解决问题。

3. 学生主导的学习过程在HPM视角下，学生的主动性和自主学习能力被重视。

在数学归纳法的教学中，教师可以通过提问、引导讨论和小组合作等方式，激发学生对归纳法的思考和探索。

例如，可以分组让学生互相给出一些数列，然后让他们自己去寻找数列之间的规律，并尝试用归纳法来证明自己的发现。

这样的学习过程可以培养学生的问题解决能力和合作精神。

二、案例研究：HPM视角下的数学归纳法教学实践为了验证HPM视角下的数学归纳法教学设计的有效性，我们进行了一个案例研究，将该设计应用于一个初中的数学课堂。

HPM视角下的数学教学设计--以勾股定理为例

HPM视角下的数学教学设计--以勾股定理为例
傅文奇
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2015(000)007
【摘要】初中数学教师应用HPM教学方法引导学生学习，实则是为了让学生深入地理解某一个重要的数学知识以后，能够让学生由这个数学知识为核心，自主地学习与之相关的其他数学知识。

本次研究将以勾股定理为例，说明HPM视角下初中数学教学设计的方法。

【总页数】3页(P10-11,14)
【作者】傅文奇
【作者单位】浙江义乌市江东中学 322000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.职前数学教师教学设计信念转变的个案研究——以HPM视角下的勾股定理教学为例 [J], 冯振举;王惠扬子
2.HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例 [J], 汪晓勤;王苗;邹佳晨
3.HPM视角下的数学教学设计——以勾股定理为例 [J], 傅文奇;
4.HPM视角下的初中数学教学设计探索——以“负数”一课的教学设计为例 [J], 翟恩国
5.HPM视角下的项目化数学教学设计——以“长方体直观图的画法”教学为例[J], 李德虎;汪晓勤
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HPM背景下的小初数学衔接教学设计研究——以“沿着欧拉的足迹——图形初论”为例

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１３１ＨＰＭ背景下的小初数学衔接教学设计研究ＨＰＭ背景下的小初数学衔接教学设计研究㊀㊀㊀以沿着欧拉的足迹图形初论为例Һ孙㊀博㊀（上海外国语大学嘉定外国语学校，上海㊀２０００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ教师在数学教学中通过引入数学发展史中一些数学家的典故，巧妙地将故事中比较抽象的问题简化为书面的笔画（类似几何）问题，更能激发学生在课堂中的学习兴趣，通过简化问题，由浅入深，更能使学生容易理解数学中的抽象概念，在教学中能起到一定的积极作用．ʌ关键词ɔＨＰＭ；小初数学衔接；图形初论一㊁引㊀言ＨＰＭ（Ｈｉｓｔｏｒｙ＆ＰｅｄａｇｏｇｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ）在数学教学中的作用日益凸显，它对了解数学思想方法的形成过程，掌握知识的来龙去脉，在激发学生学习数学的兴趣方面起着至关重要的作用．数学史在教学中的应用对学生的人格成长有启发作用．当然，仅靠一个数学故事或者一本数学家传记就造就一位数学家，那是不现实的．但数学家的奋斗经历对学生人格成长的正面启发作用是不可否认的．充分运用数学史的教育功能，会从侧面对学生的人格的培养产生重要的影响．数学的公式㊁定理绝不是天外来客，其有诞生背景，有曲折的发展和完善的过程．教科书中抽象的文字，远远不能完全展现并让学生感知它背后的丰富内涵．那么在教学过程中，教师如何引导学生理解它们的产生和发展过程，如何让学生体会数学家们曾经遇到过的困惑，又如何通过学习让学生正确看待自己，避免因为遭遇困难而丧失信心．本文就以一节小初数学衔接课一笔画为例，展示利用ＨＰＭ如何巧妙引入新知识并由浅入深地使学生理解，而并不是强加给学生，从而凸显其必要性，进而激发学生的学习兴趣和学习意愿．二㊁史料选择看过‘图论趣谈七桥问题和周游世界问题“一文的人，一定会被世界级数学大师欧拉的聪明才智和卓越的贡献所折服．其实，欧拉的贡献远不只如此．他对数学的研究非常广泛，在许多数学的分支中都能见到他的名字，并且，他还把数学推至几乎整个物理领域．值得一提的是，欧拉虽然主要从事数学科学研究工作，但是他对数学教育方面的影响深远，以下几点，值得教师借鉴：首先，身体力行，编写普及教材和通俗读物，发表关于数学游戏的文章，激发读者学习数学的兴趣．其次，注重对数学概念的理解和对数学知识系统性的学习，更注重数学的实际应用．他的文章把高深的知识深入浅出地表现出来，严密又利于理解．再次，大力推行数学符号和规则化学习．如用Ｒ和ｒ分别表示外接圆和内切圆半径；用ａ，ｂ，ｃ表示三角形三边等．最后，积极创造条件扶植后学，关心青年数学家的教育和成长．如，拉格朗日与欧拉通信讨论等周问题的一般解法，欧拉盛赞他的成就，并压下自己同一问题的论文，使拉格朗日一举成名．三㊁教学过程（一）一笔画的认识欧拉与哥尼斯堡七桥问题１．引出欧拉你都知道哪些数学家？说出他的名字，想好了，站起来就可以说．（学生在课前已经查找资料，能逐一说出数学家的名字）如果有学生提到欧拉，教师可以请这名学生介绍，如果没有学生提到，教师就向大家介绍（ＰＰＴ出示欧拉图片及其生平简介）．２．教师根据实际情况提出格尼斯堡七桥问题１８世纪的德国有个城市叫格尼斯堡（现俄罗斯加里宁格勒）．城里有七座桥连接大河两岸以及河心的两个小岛．一个有趣的问题是一个人一次能既不重复又不遗漏地经过这七座桥并回到出发点．这个问题看似不难，而且很有趣，一时间成千上万的市民和游客都想尝试解决这一问题．可是一段时间过后，大家似乎都找不到正确的答案，甚至有些人想用最直接的方法，即走走看能不能成功，最后都陷入了混沌．消息传到大数学家欧拉的耳朵里，引起了他的思考．他把问题抽象成一笔画问题，运用数学方法进行证明这是一个不能实现的问题．欧拉由此创建了一个新的几何学分支位置几何学．All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１３１补充：这个问题在五百多年前就被提出来了，可是两百多年过去后，仍然没有被解决．于是，有人猜想是不是存在这样一条路．在大数学家欧拉知道后，他仅仅用２天时间就在当时最著名的数学学报上发表了一篇论文，把七桥问题与儿童常见的一笔画问题联系起来．欧拉的伟大之处就在于他把陆地看成点，把桥看成是连接两点的线．因此，七桥问题就转变成这幅画是否能一笔画成的问题．１７３６年欧拉解决了这个问题，从而也开辟了数学上的一个分支，就是刚才提到的位置几何学，今天叫作图论（板书：图论）．图论，顾名思义，跟图有密切的关系．今天，我们就沿着欧拉的足迹来了解有关图论方面的知识．（屏幕出示课题：沿着欧拉的足迹图论初探）刚才，同学们提到了一笔画，欧拉利用一笔画很好地解决了七桥问题．那么，同学们对一笔画都了解哪些？［请学生谈对一笔画的了解．教师在学生的发言中，重点提炼以下问题：什么是一笔画；什么样的图形能一笔画成？（对于任意两个顶点都至少有一条线连接或联通的图形．只有奇点的个数为０或者２时，才可以一笔画成，否则不可以）什么叫奇点㊁偶点？连通图中奇点能是奇数吗？］教师根据学生的发言板书：一笔画辨别方法：奇点的个数是０或者２；奇点个数为偶数．（二）一笔画的研究合作中寻找一笔画的规律（教师布置小组合作学习的内容）教师准备几幅图，要求学生按照所了解的内容对这些图的问题进行回答，并且提出新的问题．请一组同学到前面来汇报算出的每一个图形的奇偶点及是否能一笔画成．教师询问大家还有什么补充．重点挑战五环图：奥运会的五环怎么能一笔画出来呢？重点总结：图上全是偶点，从任意一点出发都能完成一笔画的任务再回到原点．如果这幅图是两个奇点，应该从一个奇点出发再回到另一个奇点．请学生试一试．教师提出：田字图有四个奇点，不能一笔画成．那么至少用几笔画成？如何证明？引导学生回答，如学生回答不上来，教师讲解．因为点只有奇点和偶点两种，如果偶点和偶点之间相连一条线段的话，两个偶点就会变成两个奇点，如果奇点和奇点之间相连一条线段的话，两个奇点就会变成两个偶点．如果一个奇点和一个偶点之间相连的话，两个点的奇偶性就会互换，不影响奇偶的总数．奇点和偶点无论增加或者减少，都是成对的．经过大量的研究发现，一幅画至少用几笔，只需要用奇点的个数除以２．上面同学们所交流的关于一笔画的知识，都是欧拉当年写的论文中提到的，后人称为一笔画的原理．由于欧拉的伟大贡献，后人把像五环图这样的从一个点出发不重复㊁不遗漏地走完所有的线又回到原来点的图称为欧拉图，有两个奇点的图称为半欧拉图．（三）一笔画的应用中国邮路问题教师指出：一笔画在生活中有许多应用，谁能给大家讲讲？比如洒水车洒水，在洒水时要合理安排好所走的街道路线；邮递员投递的路线；外卖员送餐；等等．教师讲解：实际上，最早提出的一笔画与图上作业相结合的是中国人．被图论史上称为ＣｈｉｎｅｓｅＰｏｓｔｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ（板书）谁能翻译一下？（ＰＰＴ出示中国邮路问题）教师介绍：一名邮递员要走遍他负责的投递范围内的每一条街道，完成送信任务后回到邮局．他应按什么路线走才能使总路程最短？最早提出这个问题的是我们国家的数学家管梅谷，他原来是山东师范大学的校长．在１９６２年他最先向世界上提出这样的一个问题，作为能和一笔画结合在一起的实际应用，被世界数学史称为中国邮路问题，真的很值得我们骄傲．如果你是邮递员，你怎么走才能使路程最短呢？下面小组之间讨论一下．学生小组讨论后，请一组学生到前面汇报，并引导学生计算出最后结果．（四）一笔画的延伸哈密尔顿周游世界教师：同学们刚才对一笔画及中国邮路问题已有一定了解．这些知识都是图论的一部分，在１８５６年，一位著名的数学家哈密尔顿提出了一个新的问题．用正十二面体的２０个顶点代表我们这个星球上的２０个大城市．从一个城市出发游遍所有的城市最后回到出发点所走过的棱不重复．（ＰＰＴ展示）（教师拿出事先准备的正十二面体）我这有一个正十二面体，每个面都是一个正五边形．如果这上面的顶点是２０个大城市，只许从一个点走到另一个点，点不许重复，棱当然也不能重复，能不能完成走遍所有点的任务？这是在１８５６年风靡世界的哈密尔顿周游世界问题，也请同学们课后思考一下！教师总结：现在我们可以轻而易举地判断一个图是否是欧拉图，但是哈密尔顿周游世界问题研究了一百多年至All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１３１今还没有解决．由于图论中有很多悬而未决的问题都跟哈密尔顿周游世界问题的解决有关系，所以目前还有许多数学家正在努力攻克这个问题，我想在座的同学中也许就有将来解决这个问题的伟人，我期待着这一天！四㊁结㊀语本节课中，数学史帮助教师全面地实现了教学的三维目标．学生掌握了一笔画原理，能够解决简单的实际问题，感受到数学与生活的实际联系．介绍数学家的故事㊁渗透数学史中的趣闻和名题，可以激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生得以在一种更生活化㊁更轻松的氛围中学习，而且欧拉的故事可以给学生正能量，这些都促进了情感与信念目标的达成．小组合作培养了学生的合作意识㊁实践能力和探索能力，使学生带着对数学知识的渴望与崇拜之情升入初中阶段的数学学习，这无疑增加了数学学习的内驱力．五㊁教学反思著名的心理学家皮亚杰曾说过：活动是认知的基础，智慧从动作开始．本节课虽然引发了大量学生的思考，但是并没有让学生从动手㊁动脑㊁动口等亲自操作感知中入手．没有让学生体验到五百多年前人们解决不了七桥问题的困顿之感，这样就不能在学生的头脑中形成鲜明的知觉表现．鉴于该问题，笔者又一次将历史上的一个数学问题搬到课堂解决，即圆的面积问题．课前，笔者为学生准备了若干彩色圆形卡纸㊁剪刀㊁胶水，并在引课阶段带领学生回忆了小学所学的几何图形面积的求法．笔者先从长方形入手，介绍面积的定义，进而利用化归的思想，割补法解决平行四边形的面积计算方法㊁三角形面积的计算方法㊁梯形面积的计算方法，一系列的复习巩固，使学生认识到，解决一个新的数学问题，可以化归成已有的数学知识，进而求解．于是，学生们大胆尝试，是否能将没有直线边的圆，转化为已知的几何图形？这时我们可以看到，虽然历史上伟大的数学家给出了精确的计算方式，但是学生们的大胆猜测也颇具新意．有的学生将圆的四分之一单独剪下来，然后再次尝试将这四分之一的圆继续分割成四份，便得到了原始圆形的十六分之一，该生把这个很小的扇形，近似地看成一个三角形，扇形的弧看成是三角形的底，半径看成是三角形的高，进而求出了原圆形面积的十六分之一，从而求出整个圆的面积．而实际上，教师所提供的材料工具在一定程度上左右着学生的操作方向，即教师提供的工具一定要用上这个前提．而有一个小组，直接将给的圆形卡纸通过对折再对折再对折的方式，直接得到了一个近似三角形，从而求解．这也是突破了教师的限制的聪明之举．然而也有失败的小组，有些小组通过剪切，形成了一些不规则的图形，无法求解．但是在这一过程当中，学生们实际经历了古代数学家们所走过的艰辛之路．这时候，在学生经历了一系列的创作㊁失败㊁再创作后，教师通过一定的提示，使学生割补成近似的平行四边形或长方形，题目豁然开朗．接着，教师为学生讲解魏晋时期的数学家刘徽首创的割圆术，并利用几何画板直接展示割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣的含义，必定使学生印象深刻，历久弥新．而现在的教学教材，往往为了保持知识的系统性，把数学内容按定义㊁定理㊁证明㊁推论㊁例题的顺序编排，力求逻辑的严谨性和语言的精炼性．这样就缺乏了自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍得很少，也使学生面对枯燥的课本，缺乏对知识的渴望和兴趣．而数学史的引入，特别是在小初衔接过程中，及时适度的补充，可以让即将进入系统学习大量理论知识的学生们，对数学产生浓厚的兴趣．学生通过教师讲解一些有关的数学知识的由来学习系统的数学知识的同时，对相应知识的产生过程有一个比较清晰的认识，从而培养正确的思维方式．可见，数学史是一座宝藏，蕴含了取之不尽㊁用之不竭的数学资源和思想养料，任何知识点的教学都能从中获益．ʌ参考文献ɔ［１］徐章韬．面向教学的数学知识：基于数学发生发展的视角［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１３．［２］汪晓勤．ＨＰＭ的若干研究与展望［Ｊ］．中学数学月刊，２０１２（２）：１－５．［３］汪晓勤．理念与实践的融通㊀思想与行动的碰撞：ＨＰＭ视角下的小学数学教学［Ｊ］．小学数学教师，２０１７（７）：７７－８２．［４］朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程［Ｊ］．数学教育学报，２００８，１７（４）：１１－１４．［５］李文林．数学史概论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．［６］周永锋．高中数学有效教学方法研究［Ｊ］．当代教研论丛，２０１８（５）：５４．［７］杨润娟．ＨＰＭ视角下高中数学教学的研究［Ｊ］．新课程，２０１９（３０）：２８－３０．All 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