四川大学离散数学课件2-命题公式的蕴含

解：首先由上式得到子句集G={A B D，A C，B ，C，D }
• 消解过程如下：
序号 子 句
说明
⑴ A B D 引用子句
⑵ A C
引用子句
⑶ C B D 由⑴ ⑵消解
⑷B
引用子句
⑸ CD
由⑶ ⑷消解
⑹C
引用子句
⑺D
由⑸ ⑹消解
⑻ D
引用子句
⑼
由⑺ ⑻消解
作业：习题1.6 1(4)(5)，2(2), 4(3) （吴子华） or
列。如果序列中的每个公式 Ai 要么是G中的一个元素，要么是它前面 的若干公式的逻辑结果，就说An是G的逻辑结果，或者说由G可以演 绎出An。
二、推理的公理集合：
前面已介绍的基本等价式、基本蕴 含式和由蕴含性质导出的基本结果， 都可以作为推理的公理集合。
三、推理的规则：
1。P规则 引入前提规则
2。T 规则 变换规则。分两种情形：
反证法形式。
作业: 习题1.5 1(2)(4), 4 （吴子华） or
习题一 15(2)(4), 18 （冯伟森）
第六节 命题逻辑的推理
一、定义1： 设A1，A2，，An，B都是WFF，如果A1 A2 An
B，就说B是前提A1，A2，，An的有效结论或逻辑结果。也说由
A1，A2，，An 推出了B。 定义2： 设 G 是一个 WFF的 集合，A1，A2，，An 是一个有限的WFF序
可导得A B C。 6. A B C当且仅当 A BC • 注：这个性质很重要，是CP规则的
依据。 使我们能把证明 A BC 转 化为证明 A B C。
四、蕴含的基本性质（续）
7. A B当且仅当 A B是矛盾式 注：这个性质为反证法提供了依据。 8. A B当且仅当 B A 注：这个性质表达了逆向思维原理， 是另一种
四、蕴含的基本性质
1. A A (自反性) 2. 如果A B且B A, 则A B (反对称性) 3. 如果A B且B C, 则A C (传递性) 4. 如果A B且A C, 则A B C • 注意:由简化法则和传递性，性质4实际包
含一个充要条件。
四、蕴含的基本性质（续）
5. 如果 AC 且 BC, 则 A B C • 注意：由简化法则和扩充法则，也
1。直接法 直接由前提出发利用规则推出结论的过程 2。间接法 又分两种方式
1） 第一种是反证法，把要证明的结论否定后加入前提， 推出矛盾的过程。 2）第二种是采用C P规则进行证明。这种方法常用于结论 是条件式的情形，把条件式前件作为附加前提与原有前提 一起推出后件即可。 • 不同的证明方法有不同的效率，下面用例子说明。
习题一 20(4)(5)，21(2), 23(3) （冯伟森）
例：证明 A （B D），A C，B C D
证明一、采用直接法
序号 公式 采用规则
⑴ A C
P
⑵ CA
TE ⑴
⑶ A （B D） P
⑷ C （B D） TI⑵⑶
⑸ B （C D） TE ⑷
⑹BPBiblioteka ⑺ C DTI ⑸⑹ （证毕）
证明二、采用CP规则证明
A （B D），A C，B C D
序号 公式
采用规则
⑴ A C
P
⑵C
P（附加）
⑶A
TI⑴⑵
⑷ A （B D） P
⑸ BD
TI ⑶ ⑷
⑹B
P
⑺D
TI ⑸⑹
⑻ CD
CP⑵⑺ （证毕）
证明三、反证法。
这时要把结论否定后作为附加前提，与原有前提一起推出矛盾。因 为 ( C D )C D，可以得到C和 D两个附加前提。
证明 A （B D），A C，B C D
二、判定AB的常用方法
1。按照定义，考察对任何使 A取值1的 解释是否都能使 B也取值1 。 2。考察对任何使 B取值0的解释是否都 能使A也取值0。
例：检查（PQ） RRQ 是否成立？
解: 先按第一种方法进行判断.
P Q R （PQ） R RQ
000
1
1
010
1
1
100
1
1
110
1
1
111
1
1
由此可见，蕴含式成立。
再按第2种方式进行判别
P Q R （PQ） R
001
0
101
0
RQ 0 0
下面的解释在判别中可以不考虑
011
0
1
三、几个基本蕴含式 1. P Q P， P Q Q （简化法则） 2. P PQ，Q PQ （扩充法则） 3. P （P Q） Q （假言推理） 4. (P Q) (Q R) ( P R) （假言三段论式）
• 如果当前结果是由前面公式经过等价变换得到的，就把这 个变换规则记为TE。
• 如果是经过蕴含变换得到的，就记为TI。
3。CP规则 结论转作前提规则。
适用于结论为条件式时，把条件式前件转变成附加的 前提后证明出后件的情况。也就是把A1，A2，，An BC 转化成证明A1，A2，，An，B C。
四、推理方法
消解法的应用过程如下： 1）把前提中每个公式以及否定后的结论通过化合
取范式的办法分解成子句集。
2）如果子句 C1和 C2恰有一对互反的句节，则由 消 去这对互反句节后的 C1和 C2经析取构成新 的子 句，并加入子句集。
3）如果重复2）能导出空子句 ，则得到证明。
例：利用消解法证明A （B D），A C，B C D
序号 公式
采用规则
⑴ AC
P
⑵C
P（附加）
⑶A
TI⑴⑵
⑷ A （B D） P
⑸ BD
TI ⑶ ⑷
⑹
B
P
⑺
D
TI ⑸⑹
⑻ D
P(附加)
⑼
（证毕）
五、消解法应用于命题逻辑推理
• 消解法是基于反证法的一种机械推理方法。 • 消解是指当子句C1和C2一起恰好含有一对
互反的句节时，消去这对互反句节后，由剩 余句节构成新子句的过程。 例如：由子句 P Q 和 Q R 经消解后得 到新子句 P R。