高斯求和讲解
三年级高斯求和
三年级高斯求和 work Information Technology Company.2020YEAR第3讲：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋…＋1999分析：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
【强烈推荐】高斯求和讲解
高斯求和讲解高斯求和讲解1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？高斯求和讲解5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
四年级数学高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯 求和公式的意义
高斯求和公式的意义
高斯求和公式（Gaussian sum formula）是指由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在童年时期发现的一种快速计算有限整数序列之和的方法，其中最著名的例子是关于算术级数的求和。
这个故事记载于高斯的生平中，他通过观察与思考发现了从1加到100的简便算法。
对于等差数列的求和，其通用的高斯求和公式为：
设等差数列首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则数列的和Sn可以通过以下公式计算：
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
或者使用更一般化的形式：
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]
其中，如果数列是从1开始连续的自然数（公差d=1），则有：
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
例如，要求1到100所有整数的和，直接应用上述公式即可得到5050。
综上所述，高斯求和公式的重大意义在于它揭示了算术级数具有简洁且普适的求和规律，并体现了数学中的对称美和深刻内涵。
这一公式不仅简化了计算过程，而且有助于人们理解和掌握数学序列的本质属性，对于后来的数学研究和教育产生了深远的影响。
三年级高斯求和
三年级高斯求和LtD第3讲：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为〔1+100〕×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列〞的求和问题。
假设干个数排成一列称为数列，数列的第一个数〔第一项〕叫首项，最后一个数〔最后一项〕叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数那么称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝〔首项＋末项〕×项数÷2末项＝首项＋公差×〔项数－1〕项数＝〔末项－首项〕÷公差＋1例1：计算以下数列的和〔1〕1，2，3，4，5， (100)〔2〕1，3，5，7，9， (99)〔3〕8，15，22，29，36， (71)其中〔1〕是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=〔首项+末项〕×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋…＋1999分析：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=〔1＋1999〕×1999÷2＝1999000 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理等差数列求和公式
高斯定理，又称高斯求和公式，是指对于等差数列的前n项和
的求和公式。
设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S_n。
高斯定理给出了S_n的计算公式：
S_n = n/2 (2a + (n 1)d)。
其中，n为项数，a为首项，d为公差。
这个公式的推导可以通过多种方法，其中一种常见的方法是利
用等差数列的性质，将数列的前n项和S_n与数列的倒序排列的前
n项和相加，得到一个常数，再通过这个常数的求和公式进行推导。
这个公式在数学和物理等领域有着广泛的应用，可以用来快速计算
等差数列的前n项和，从而简化问题的求解过程。
除了高斯定理，还有其他方法可以求解等差数列的前n项和，
比如利用数学归纳法、通项公式等。
在实际问题中，根据具体情况
选择合适的方法进行求解，可以提高计算效率和准确性。
总之，高斯定理是求解等差数列前n项和的一种常用公式，通
过这个公式可以快速、准确地计算等差数列的和，对于数学和实际问题的求解都具有重要意义。
四年级数学上册高斯求和讲解
四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
自然数相加求和公式
自然数相加求和公式在数学中，自然数的序列求和是基础且常见的问题。
自然数序列通常指的是从1开始的连续整数集合：1, 2, 3, 4, ..., n。
计算这样一个序列的和可以使用多种方法，其中最著名的是使用高斯求和公式。
本文将介绍这一公式及其推导过程，并探讨其在实际应用中的一些变体。
高斯求和公式高斯求和公式，也称为算术级数求和公式，是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯发现的。
该公式用于计算前n个自然数的和，其表达式为： [ S = \frac{n(n + 1)}{2} ] 其中，( S ) 是求和结果，( n ) 是序列的最后一个数。
推导过程高斯求和公式的推导可以通过几种方式进行，这里介绍一种直观的方法——配对法。
考虑自然数从1到( n )的序列，我们可以将其首尾配对：- 第一对：1 和 ( n )- 第二对：2 和 ( n-1 )- 第三对：3 和 ( n-2 )- ...- 最后一对：( n/2 ) 和 ( n/2 + 1 )（当( n )为偶数时）每对数字的和都是( n+1 )，而总共有( n/2 )对这样的组合（对于奇数( n )，中间的数字没有配对，直接加到总和中）。
因此，整个序列的和可以表示为： [ S = (n/2) \times (n + 1) ] 这就是高斯公式的来源。
应用与扩展虽然高斯公式主要用于计算简单自然数序列的和，但其概念可以扩展到更复杂的序列求和问题中。
例如，求解等差数列的和、或者在编程中优化循环结构的执行效率等。
等差数列求和对于等差数列，如果已知首项( a )，公差( d )，和项数( n )，则其和( S )可以用以下公式计算： [ S = \frac{n}{2} \times (2a + (n - 1)d) ] 这是基于高斯公式的变形，适用于更广泛的数列求和问题。
编程中的应用在编程中，了解高斯求和公式可以避免不必要的循环，直接通过公式计算得到结果，提高程序的效率。
冀教版数学七年级上册第2章高斯求和公式课件
形
数
我国著名数学家华罗庚曾写过一首 描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。 数缺形时少直观，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事休。 几何代数统一体，永远联系莫分离。
解： Sn 1 2 3 (n 1) n 又 Sn n (n 1) 3 2 1
2Sn (n 1) (n1) (n 1) n个
n(n 1)
Sn 2
高斯求和公式
线段AB上的点数 （不包括A、B两点）
图例
1
AC
B2Biblioteka ACDB3
AC D EB
线段条数 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人， 上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算。 只有小高斯不急不慌的思考着，想了一会儿， 小高斯很快给出了答案：5050。
高斯为什么算得又快又准呢？ 本来小高斯通过细心视察发现：
1＋2＋3＋4＋…+50+51+…＋97+98+99＋100＝？
4
A CDE F B
1+2+3+4+5=15
n
A CD
… B
1+2+3+…+（n+1)= [1 (n+1)] (n+1)
2 = (n+2)(n+1)
2
A
……
O
一条射线：1+2=3 二条射线：1+2+3=6 三条射线：1+2+3+4=10
高斯求和的所有公式
高斯求和的所有公式高斯求和，这可是数学世界里一个相当有趣的话题！咱先来说说啥是高斯求和。
有这么个小故事，当年小高斯上小学的时候，老师出了一道题，让从 1 加到 100 算出总和。
别的小朋友都在埋头苦算，小高斯却很快得出了答案 5050。
他是咋做到的呢？原来他发现 1 和 100 相加是 101，2 和 99 相加是 101，以此类推，一共有 50组这样的 101，所以总和就是 50×101 = 5050。
这就是高斯求和的智慧啦！那高斯求和都有哪些公式呢？最常见的就是“和 = （首项 + 尾项）×项数÷ 2”。
这里面“首项”就是数列开头的那个数，“尾项”是数列最后的数，“项数”就是数列中数的个数。
比如说，要计算 1 到 50 的和。
首项是 1，尾项是 50，项数是 50。
那按照公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
再比如计算 3 到 27 的和。
首项是 3，尾项是 27，项数可不是 27 哦，得算一下，27 - 3 + 1 = 25 ，所以和就是（3 + 27）× 25 ÷ 2 = 375 。
还有一种情况，如果知道总和、首项和项数，想求尾项，那就可以用“尾项 = 总和 × 2 ÷项数 - 首项”。
假设总和是 200，首项是 5，项数是 10，那尾项就是 200 × 2 ÷ 10 -5 = 35 。
要是知道总和、尾项和项数，求首项呢，公式就是“首项 = 总和 × 2 ÷项数 - 尾项”。
比如总和是 300，尾项是 25，项数是 20 ，那首项就是 300 × 2 ÷ 20- 25 = 5 。
在实际生活中，高斯求和的公式也很有用呢。
就说我上次去超市买水果，苹果一斤3 块钱，香蕉一斤5 块钱。
我打算买连续的7 天的量，每天买一种水果。
那我得算算这一共得花多少钱。
四年级数学上册高斯求和讲解
四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项.末项.公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.（2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.。
高斯求和的五个公式推理
高斯求和的五个公式推理在数学的奇妙世界里，高斯求和可是个超级有趣又重要的家伙！今天咱们就来好好聊聊高斯求和的五个公式推理。
记得我当年教过一个小学生小明，那孩子聪明得很，但一开始对高斯求和那也是一头雾水。
咱们先来说说第一个公式，就是“和= （首项+ 末项）×项数÷ 2”。
这就好比你有一堆整齐排列的苹果，从第一个到最后一个，第一个就是首项，最后一个就是末项，而这一堆一共有多少个苹果，那就是项数。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？咱们来举个例子。
比如说从 1 加到100，1 是首项，100 是末项，项数就是 100 个。
那咱们把这 100 个数首尾两两配对，1 和 100 一对，2 和 99 一对，3 和 98 一对……一直到50 和 51 一对。
每一对的和都是 101，一共有 50 对。
所以总和就是101×50 = （1 + 100）× 100÷ 2 。
再看第二个公式“末项 = 首项 + （项数 - 1）×公差”。
这个公差呢，就是相邻两项的差值。
比如说一个等差数列，每次都多 3，那 3 就是公差。
假如首项是 2，项数是 10，公差是 3，那末项就是 2 + （10 - 1）×3 = 29 。
说到这，想起小明当时做这道题，把公差给算错了，急得抓耳挠腮。
我告诉他别慌，一步步来，先找准首项、项数和公差，这才把题做对了。
第三个公式“项数 = （末项 - 首项）÷公差+ 1”。
比如说从 5 开始，每次加 2，加到 21 结束，公差是 2，首项是 5，末项是 21，那项数就是（21 - 5）÷ 2 + 1 = 9 。
还有第四个公式“首项 = 末项 - （项数 - 1）×公差”。
这个理解起来也不难，就还是刚才那个例子，21 是末项，9 是项数，2 是公差，那首项就是 21 - （9 - 1）× 2 = 5 。
三年级奥数高斯求和PPT课件
第1页/共9页
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称 为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后 项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项 之差称为公差。 例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。
第8页/共9页
感谢您的观看。
第9页/共9页
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3） 是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
第2页/共9页
• 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： • 和=（首项+末项）×项数÷2。
第3页/共9页
例1: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ＝？
第7页/共9页
例5: 50+58+66+74+82+90+98 ＝？ 分析与解：这串加数50，58，66，74， 82，90，98是公差为8的等差数列，
首项是50，末项是98，共有7个数。由等差数列求和公式可得 50+58+66+74+82+90+98 =（50＋98）×7÷2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ148 ×7÷2 =518
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯 却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又 准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
高斯求和公式推导过程
高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯（Carl Friedrich Gauss）是一位著名的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要贡献，其中之一就是高斯求和公式。
高斯求和公式是一种用来求解等差数列和的公式，也叫高斯求和公式，它能够快速求解某个范围内所有整数之和的问题。
在本文中，我将向大家介绍高斯求和公式的推导过程，希望对大家理解和掌握这一数学公式有所帮助。
让我们来看一下等差数列的数学定义。
一个等差数列是由首项a1和公差d确定的序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式可以表示为：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，……，an。
其中a1为首项，d为公差，n为等差数列的项数。
对于等差数列的求和问题，我们通常会用高斯求和公式来求解。
高斯求和公式的推导过程可以通过以下步骤来完成：第一步，设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的最后一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
第二步，将等差数列从头到尾按照正序排列并逆序排列，即将等差数列的前n项与后n项相加，可以得到一个和为2S，其中S表示等差数列的和。
第三步，将正序排列和逆序排列的等差数列相加，可以得到如下公式：a1 + a2 + ... + an + an + an-1 + ... + a1 = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + (a1 + (n-1)d)) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2根据上式可得高斯求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2通过上述推导过程，我们得到了高斯求和公式S = n * (a1 + an) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (n * a1 + n^2d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2。
高斯求和讲解
第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。
1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。
于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。
小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。
若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。
后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。
其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。
例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。
由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。
原式=（11+31）× 21÷2=441。
在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。
根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。
高斯求和.ppt
称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
❖ 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
❖ 和=（首项+末项）×项数÷2
❖ （1）1，2，3，4，5，…，100； ❖ 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ❖ （2）1，3，5，7，9，…，99； ❖ 1＋3＋5＋7＋…＋99＝？
❖2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差 数列的和。
❖3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。
❖4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数 等于该钟点数，每半点钟也敲一下。 问：时钟一昼夜敲打多少次？
❖5.求100以内除以3余2的所有数的和。
❖6.在所有的两位数中，十位数比个位 数大的数共有多少个？
❖ 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判 断题目中的各个加数是否构成等差数列。
❖
❖例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
❖ 分析与解：这串加数11，12，13，…， 31是等差数列，首项是11，末项是31，共有 31-11＋1＝21（项）。
❖ 原式=（11+31）×21÷2=441
❖在利用等差数列求和公式时，有时项数并 不是一目了然的，这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到
❖ 项数=（末项-首项）÷公差+1， ❖ 末项=首项+公差×（项数-1）。
❖
❖ 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ ❖ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数
列，
❖ 项数=（99－3）÷4＋1＝25，
❖ 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
❖
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高斯求和讲解
Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
第3讲高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋ (1999)
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋ (99)
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
?。