2015北大自主招生数学试题
北大自主招生第1题详解
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对
西安新曙光教育
【8871】【北大自主招生，博雅计划】
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 解：
这是一个完全平方数，而我们注意到：169=13×13 16900=13×13×2×2×5×5
西安新曙光教育
解：
(1 x2 )(1 y2 )(1 z2 ) [( x y)( y z)( z x)]2
16900=13×13×2×2×5×5
由于x,y,z的地位是平等的，数学上我们叫“轮换对称”， 这是一种代数上的对称，两个字母相互替换，表达式还 是相等的，所以，令
x y 2
y
z
5
z x 13
x 5
y
-3
z 8
西安新曙光教育
解：
(1 x2 )(1 y2 )(1 z2 ) [( x y)( y z)( z x)]2
16900=13×13×2×2×5×5
由于x,y,z的地位是平等的，数学上我们叫“轮换对称”， 这是一种代数上的Байду номын сангаас称，两个字母相互替换，表达式还 是相等的，所以，令
这是一个完全平方数，而我们注意到：169=13×13
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【8871】【北大自主招生，博雅计划】
整数x，y，z满足xy+yz+zx=1，则（1+x^2）(1+y^2）(1+z^2) 可能取到的值为（） A.16900 B.17900 C.18900 D.前三个答案都不对 解：
2015北大自主招生数学试题
一.选择题1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ）A ．16900B ．17900C ．18900D ．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对二.填空题6.满足等式12015111+)(1)2015x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则22222()()()ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。
2015年各高校自主招生考试试题综述
2015年各高校自主招生考试试题回忆录一、北京大学今年北大自招太过亲民，遇到这样的自招题你敢想？一句周杰伦《青花瓷》里的歌词，问描述的是什么？答案有“青花瓷”、“青花盆”和“青花瓶”，你觉得选什么呢……北大语文试题只有一道题目，要求根据孟子《生于忧患死于安乐》和庄子《人间世》这两个材料，写一篇文章。
英语有阅读材料涉及美国白人警察枪杀黑人、贵州省一教育基金会受“郭美美事件”影响遭遇零捐助等时事热点。
面试部分考题：1.用一条长度一定的的绳子围成一个n边形，怎样围才能使围出的的n边形面积最大？2.后轮驱动的车辆，起动和刹车时，分别是车头翘起还是车尾翘起？判断并说明理由。
3.如何看待微信在人际交往中的作用？4.如何看待欧洲历史上的分与合？5.北京和张家口联合申办冬奥会面临哪些机遇和挑战？6.请用三个词概括中国传统文化，并谈谈中国文化如何真正“走出去”。
7.怎么看待追求财富导致雾霾的说法8.请谈一下动物迁徙的意义？9.谈谈你对嘀嘀打车与专车经营的看法。
10.你认为的文学阅读的最高境界是什么？11.请谈有教无类与因材施教的关系。
12.请谈你对国企高管限薪令的看法。
13.有人提议将网络战归为武力冲突，谈谈你的看法。
14.谈谈你对亚投行的看法。
15.有人提议在基础教育阶段实施男女分开管理，即开办男校和女校，谈谈你的看法。
16.谈一谈信仰、义务、责任的关系。
17.爱因斯坦说：“简单是科学追求的伟大目标。
”谈谈你的看法。
18.请你设计一下中国的养老体系？19.你如何看待就医不要钱这种理想设计？20.谈一谈你对批判性思维和惯性思维的关系的理解。
21.谈一谈你所认识的经济全球化下中国的粮食问题。
22.谈一谈自我意识？23.有人说在全球化背景下我国粮食安全已经不是一个问题，你怎么看？24.你对“绿水金山就是真金白银”有何看法？25.你对“贫富分化是经济发展必然现象”有何看法？26.谈一谈你对自主招生的看法。
二、2015年北京大学自主招生“博雅人才培养计划”部分面试题1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(一)(历年真题汇总)
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题（一）（历年真题汇总）数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）学校 班级 姓名 号数 准考证号亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卡．．．的相应位置上，写在试卷上不得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有．．一个．．正确的选项，请把正确答案的代号填写在答题．．卡．中相应的表格内） 1．下列计算正确的是A ．32a a a =•B ． 523)(a a = C ． 32a a a =+ D ． 326a a a =÷ 2．不等式组⎩⎨⎧≥->+0401x x 的解集是A ．41≤≤-xB ．41≥-<x x 或C ．41<<-xD ．41≤<-x3．一组数据：3，4，5，x ，7的众数是4，则x 的值是A ．3B ．4C ．5D ．6４．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是A B C D５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为A ．5B ．6C ．7D ．8６．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U 变化的图像是7．下列事件是必然事件的是A ．直线b x y +=3经过第一象限；B ．方程0222=-+-x x x 的解是2=x ；C ．方程34-=+x 有实数根；D ．当a 是一切实数时，a a =2．8．如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD 为⊙O 的直径，则BD 等于A.4B.6C.8D.1210．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为A ．41-n cm 2B ．4n cm 2C ．41cm 2D ．n)41( cm 2二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡．．．的相应位置上）11．2009-的相反数是 ．12．分解因式:222-m = ．13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表示为毫米．14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB= ．15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离<直线距离>约是 千米（精确到千米）．A B D C H G E F F BCG(A) H(D) E G(A)H(D)F(C) E(B) B DC A A B C O A 'B 'C '北京* 台北 * 600千米 O DCBA 第９题 第１０题第第１4题 第１5题16．如图，菱形OABC 中，120A =o ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90o，则图中由弧,,A B B B '''C ，A '弧CB 围成的阴影部分的面积是 ．(结果保留根号) 17．若方程组⎩⎨⎧=-=+a by x b y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，那么b a -= ．18．从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ． 三、解答题(共8小题，满分78分. 请将答案写在答题卡．．．的相应位置上) 19．（满分8分）计算：20)2(30sin 2)23(-+--ο20．（满分8分）小明和小颖在玩“石头、剪刀、布”的一次游戏中，他们平局的概率是多少？（请列表或画树状图分析）21．（满分8分）如图, 将矩形EFBC 一条对角线FC 向两端延伸，使AF=DC ，连接AB 、ED ．求证：AB ∥ED ．22．（满分10分）2009年10月1日是中华人民共和国成立六十周年纪念日，某中学举行了一次“建国知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本，绘制了如下的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）此样本抽取了多少名学生的成绩？（2）此样本数据的中位数落在哪一个范围内？(请直接写出该组的分数范围）（3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，已知该校有900名学生参加了这次竞赛活动，请估计该校获得优秀成绩的学生人数约为多少名？23．（满分8分）为了更好地宣传“2010年上海世博会”，“和谐之旅”号京沪城际铁路于2009年5月1日正式开通运营，预计高速列车在北京、上海间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到上海的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由上海返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由上海返回北京比去上海时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由上海返回北京的平均速度是每小时多少千米？24．（满分10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过点A作AD ⊥BC 于点D （如图）， 则 sin B =c AD ，sin C =bAD ，即AD =c sin B ，AD =b sin C ， 于是c sin B =b sin C ，即C c B b sin sin =． A B C D E F 第21题 第22题 学生数50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 222 28 0 32 36同理有A a C c sin sin =，Bb A a sin sin =． 所以 Cc B b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠B ，运用上述结论．．．．(*)．．．和有关定理．．．．．就可以求出其余三个未知元素c 、∠A 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件 a 、b 、∠B∠A ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ∠C ； 第三步：由条件 c ．（2）如图，已知：∠A =60°，∠C =75°，a =6，运用上述结论(*)试求b ．25．（满分12分）如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、08)0,2(B A ，OBC OCA ∠=∠。
2015年北京大学保送生数学真题及答案
2015年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231115a q a q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由10a >知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+-- 222211515122011q q q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111q q -=-即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq ff a f aq aq f f f a f aq aq=====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q qnaq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq ++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a a f a f f a ==， ()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a Cf a f a 满足ABBC kk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=， sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系． 设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OAB S ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得D QEPNMCBAX22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10i a i =满足1210121030,21a a a a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1i a <．证明：用反证法，假设()1,2,,10i a i ∀=， 1i a ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则0i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a a a b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b b b b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10i a i ∴∃=，使1i a <．。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何
专题之8、平面几何一、选择题.1、(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctanC.arctanD.arctan2、(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3、(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形B.存在S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.至少有两个S四边形是凸四边形4、(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5、(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26、(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF 的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题.7、(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于①的等式:.从而推得一个重要的三角公式:.8、(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9、(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10、(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11、(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12、(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°.13、(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14、(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知PA=.故选B.5.A【解析】观察到△OFG与△GHA相似,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.因为O点为△ABC的外心,OF⊥BC,所以F是BC边的中点,故AF是BC边上的中线,由欧拉定理可知OH和AF的交点G为△ABC的重心,所以FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△HAG,故两三角形面积之比为1∶4.选A.6.B【解析】方法一如图,7.用面积分割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)],中间平行四边形的面积为mnsin[π−(α+β)]=mnsin(α+β),而整个图形的面积为(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),∴2×[(nsin β)(ncos β)]+2×[(msin α)(mcos α)]+mnsin(α+β)=(nsin β+msin α)(ncos β+mcos α),整理上式有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.8.过E作BC的平行线,交AD于S.10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或者R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|).不妨设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q移动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.对于线段PQ上任意一点B,都有|BR2|≥|BA|.于是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下面研究正五边形对角线的长.如图3,12.【解析】论证角的范围往往是通过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再结合相应函数的单调性进行的.本题是在三角形中解决问题,并且已知了三角形的三条边之间的关系,因此可考虑利用余弦定理先确定cos C的范围,再根据余弦函数的单调性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,因此可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不妨设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD;在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA·BCcos∠ABC,由于AD=BC,AB=BA,∠ABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,五边形ABCDE为☉O内接五边形,延长AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连接AC. 因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠GDE,∠GCA=∠GED,所以∠CAG=∠GCA,故GA=GC,可得AE=CD.连接AD,同理可得AB=CD,从而AE=AB=CD.同样延长BC,ED,BA,DE,可证得BA=BC=DE,所以AB=BC=CD=DE=EA,从而可得五边形ABCDE为正五边形.方法二如图2所示,。
历年来北大自主招生数学试题
2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生（三校联招）试题 数学部分解析1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ． 下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）IH GFE1111x x-1【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ② 联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s =>，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ===-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当210s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =()g s 取得最小值．4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<．当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．而11sin cos sin 2(0,]x x x =∈，矛盾！()()1132，(1的交点的直线方程6x +()()1132得⎪⎪⎨⎪⎪⎩解析：因为222cos 2a b c C ab +-=22222a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()2231422a b ab ab+-= 312422ab abab -≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
2015年北京大学自主招数学试题及解析
2015年北京大学自主招生选拔录取考试数学试题一、选择题（共5小题；每题选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数x, y, z 满足1xy yz zx ++=，则2221+)1+)1+)x y z (((可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3、已知[0,]2x π∈，对任意实数a ，函数2cos 2cos 1y x a x =-+的最小值记为g （a ），则当a 取遍所有实数时，g （a ）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4、已知1020-220是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC =600，∠BAD =900，四边形ABCD 的面积等于 2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对二、填空题（共5小题；每小题10分，请把每小题的正确答案填在横线上）6、满足等式+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 2015的整数x 的个数是_______．7、已知a,b,c,d [2,4]∈则22222()()()ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[1,5]x ∈，22x px q ++≤,不超过的最大整数是_______．9、设2222b c a x bc +-=,2222c a b y ca+-=,2222a b c z ab +-=，且+1x y z +=，则 201520152015+x y z +的值为_______．10、设A 1,A 2…..An 都是9元集合{1,2,3….9}的子集，已知i A 为奇数，1i n ≤≤，i j A A 为偶数，1i j n ≤≠≤，则n 的最大值为_______．2015年北京大学自主招生选拔录取考试数学试题参考解答一、选择题1、 A 解析：22221+)1+)1+)=(+)+)+))x y z x y y z z x ((((((，令2513x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得5-38x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩经检验，这组解满足题意，此时2221+)1+)1+)=16900x y z (((2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D ．3、A解析：令cos [0,1]t x =∈，令2()21h t t at =-+， [0,1]t ∈，则 21(0)()1(01)22(1)a g a a a a a <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩故g （a ）的最大值为1（0a ≤时等号成立）．4、 D 解析： 1020-220=220（520-1）=220（510+1）（55+1）（5-1）（54+53+52+5+1），而510+1模4余2，55+1模4余2， 54+53+52+5+1为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC 、BD 的夹角为θ，则sin sin 222AC BD AB CD BC AD AB CD BC AD S θθ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=≤≤ 由题意， 2AB CD BC AD S ⋅+⋅=，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，且AC ⊥BD ． 故43 6.9CD =≈，选A ．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则+++e ⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 2015若x 为负整数，令()*,2x n n N n =-∈≥则+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 1n-11111x n-1 因为数列+⎛⎫ ⎪⎝⎭n-111n-1()*,2n N n ∈≥关于n 单调递增，故当且仅当x=-2016时，有 +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 120151111x 20157、25/41 解析：注意到222222()()()()a d b c ab cd ac bd ++=++- 于是222222222()()1=()()()()1()ab cd ab cd ac bd a d b c ab cd ac bd ab cd++=-+++++++ 显然当ac-bd=0时，原式取得最大值为1．接下来考虑ac bd ab cd-+的最大值．由于-=1a b ac bd d c a b ab cd d c-++,令tan a d α=，tan b c β=，则问题等价于当 1arctan ,arctan 22αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求tan αβ-的最大值，显然为tan 13（arctan2-arctan ）=24. 因此原式的最小值为16/25．注：可以看做向量（a,d ）和（b,c ）夹角余弦的平方．8、9解析：注意到2y x px q =++, [1,5]x ∈满足-22y ≤≤，因此符合题意的二次函数只有两个：2-67y x x =+, 2-+6-7y x x =9、1解析：由+1x y z +=，可得223223223+2ab ac a bc a b b a c b c c abc -++-++--223322322=+)()(2)ab a b a b ac bc c a c b c abc --++-++-（222=-)-)()(-)a b a b c a b c c a b +++-+（（=-))()=0a b c b c a c a b ------（（所以a=b+c 或b=c+a 或c=a+b ，故201520152015+xy z +=1．10、9解析：构造是容易的，取Ai={i},i=1,2,…，9即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如A 1={1,3,4,5,9}，则记A 1={1,0,1,1,1,0,0,0,1}那么 i j i j =A A A A ⋅显然，如果当10n ≥时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设1122m ...(0,0,...0)m A A A λλλ+++=,其中1(1,1,...,),1i Z i m λλ∈==．此时考虑11122m ...m A A A A λλλ⋅+++（）那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而1i A A ⋅(i=2,3,….m)为偶数，这样就推出了矛盾． 因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
2015年高校自主招生考试数学系列练习(64)(2)
2015年高校自主招生考试数学系列练习（64）1．已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______．2．设()1,5,4,3,2,1051==≥∑=i ii xi x ，则{}{}12233445min max ,,,x x x x x x x x ++++= ．3.正三棱锥O ABC -的三条侧棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且长度都为2，,E F 分别是,AB AC 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA ，侧棱,OB OC 的延长线分别相交于点111,,A B C ，已知132OA =，则二面角111O A B C --为 ．4．设集合1232112345{0,2,4,6,8},{|1000010010010,,,,,}P Q m m a a a a a a a a a a P ===++++∈，将集合Q 中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第2015项是___ ___．5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为，它的上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，直线12,AF AF 分别交椭圆于点,B C ．（1）求证：直线BO 平分线段AC ；（2）设点(,)(,P m n m n 为常数）在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点Q ，满足MP MQPN QN=，证明：点Q 恒在一定直线上．6．已知函数()sin f x x x =+．（1）设,P Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在[0,]2π上恒成立．。
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总【KS5U 高考】
清华、北大2011-2015年自主招生面试真题汇总2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。
除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。
下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2011-2015年部分面试题，供报考2016自主招生的考生们参考。
清华大学清华大学2015年自主招生面试部分真题1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。
4.“是休学创业，还是毕业后创业。
”5.要不要休学当老板?清华大学2014年自主招生面试部分真题一、领军计划：1、怎么看待单独二孩政策?2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议?3、怎么看待社会公平?二、自强计划：1、请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。
2、你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业?3、你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因有哪些?应该如何解决?4、你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的?5、谈谈“如何看待春运一票难求的现象，怎么解决这个问题?6、如何看待社会公平?7、结合考生的申请材料，提出一些与考生自身经历有关的问题，如问考生家乡的特产是什么。
清华大学2013年自主招生面试部分真题【综合面试】分上午与下午两场进行：每场考生都有三道相同的必答题目，面试时间为10分钟左右，三位考官对一位考生。
另根据面试时间的剩余情况，考官也会根据考生的特点增加其他题目。
据考生回忆，必答题有：1.“人类一思考，上帝就发笑。
请在90秒内作答?基于你的评价，你打算在当下、在未来做些什么?”2.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2 分钟的演讲，可准备1 分钟。
3.近期上海、南京、杭州等地接连出现H7N9型禽流感的感染病例，并且造成数名感染者死亡，世界卫生组织和中国政府都高度关注这一病情，并且采取了积极的救治措施，但是公众依然非常想要知道和这个事件相关的各种信息。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率
专题之5、概率一、选择题。
1、(2009年华中科技大学)从0,1,2,…,9这十个数码中不放回地随机取n(2≤n≤10)个数码,能排成n位偶数的概率记为Pn,则数列{Pn}A.既是等差数列又是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.是等差数列但不是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、(2009年华中科技大学)5张票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票,且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果,则第3个人抽到奖票的概率是A. B. C. D.3、(2009年复旦大学)某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为,现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是A. B. C. D.4、(2012年复旦大学)随机任取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是A. B. C. D.二、填空题。
5、(2009年南京大学)有一个1,2,…,9的排列,现将其重新排列,则1和2不在原来位置的概率是.三、解答题。
6、(2010年中南财经政法大学)某市在36位“政协委员”候选人中任选2名,其中来自教育界的候选人共有6人,求:(1)至少有1名来自教育界的人当选的概率是多少?(2)候选人中任何人都有当选的可能性,若选得同性别委员的概率等于,则男女候选人相差几名?(注:男候选人多于女候选人)7、(2011年同济大学等九校联考)一袋中有a个白球和b个黑球,从中任取一个球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在进行n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn.(1)求E;(2)设P(=a+k)=,求P(=a+k),k=0,1,…,b;(3)证明:EX n+1=(1)EX n+1.8、(2009年清华大学)12名职工(其中3名为男性)被平均分配到3个部门.(1)试求3名男员工分配到不同部门的概率;(2)试求3名男员工分配到相同部门的概率;(3)试求1名男员工指定到某一部门,另两名不在同部门的概率.9、(2009年清华大学)M为三位的自然数,求:(1)M含因子5的概率;(2)M中恰有两位数码相同的概率.10、(2010年清华大学)12个人玩一个游戏,游戏开始后每个人被随机地戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子,每个人都可以看到其余11个人帽子的颜色,游戏开始后12个人不能再交流,并被要求猜出自己帽子的颜色,请为这12个人在游戏前商定一个方案,使得他们同时猜对自己帽子的颜色的概率尽可能大.11、(2010年清华大学等五校联考)假定亲本总体中三种基因型式:AA,Aa,aa的比例为u∶2v∶w(u>0,v>0,w>0,u+2v+w=1)且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.(1)求子一代的三种基因型式的比例;(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.12、(2011年清华大学等七校联考)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续三次正面的概率.(1)求、、和;(2)探究数列{}的递推公式,并给出证明(3)讨论数列{}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.13、(2012年清华大学等七校联考)系统内有2k−1(k∈N*)个元件,每个元件正常工作的概率为p(0<p<1),各个元件独立工作.若系统有超过一半的元件正常工作,则系统正常工作,系统正常工作的概率称为系统的可靠性.(1)求该系统正常工作的概率;(2)试讨论的单调性,并讨论增加两个元件后,能否提高系统的可靠性.因此两次分裂后还有细胞存活的概率为1−P(E)=.4.D【解析】首先,一个正整数的3次方的个位数是1,则这个正整数的个位数也必须是1.其次可试得1~100中只有71符合要求,而且末两位是71的均符合要求.故选D.5..【解析】2+=57×或+7×7×,∴P=.6.(1) . (2) 6【解析】(1)任意选取2人的选法为,其中2人都不是来自教育界的选法为,因此所求概率为p==.(2)设男候选人为x(x>18)人,则女候选人为36−x人,选出两人都是男性的概率为p 1=,选出两人都是女性的概率为=,+=,∴x2−36x+35×9=0,∴x=21(x>18),p2∴男女相差6人.=a+k)=p k·+p k−1·(k≥1).7.(1) . (2) P(X(3)第n次白球个数的数学期望为EX n,由于白球和黑球的总个数为a+b,则将第n+1次白球个数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n+1,数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n ;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n +1, 故EX n+1=EX n +·(EX n +1)=+(1)(EX n +1)=+EX n+1=(1)EX n +1. 8.(1(2)(3)【解析】(1)P 1==;(2)P 2==;(3)P3==.9.(1) (2).【解析】(1)当个位数字为0时,有9×10=90个符合题意的三位数;当个位数字为5时,有9×10=90个符合题意的三位数,故M含因子5的概率为=.(2)当M中含有数字0,且0是重复数码时,有9个符合题意的三位数;当M中含有数字0,且0不是重复数码时,有9×=18个符合题意的三位数;当M中不含数字0时,有9×8×3=216个符合题意的三位数,故M中恰有两位数码相同的概率为=.10.12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.【解析】首先将问题数学化,将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代表.策略是每个人将其余11人的帽子的颜色所对应的数字求和,记为S,S除以4的余数设为d,(4−d)对应的颜色即为他所猜的颜色.例如,若12个人都戴黄帽子,每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11,11除以4余3,4−3=1对应黄色,全都猜对.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为.当且仅当12个人的帽子颜色所对应数字之和为4的倍数时,12个人能够同时猜对.不然,12个人会同时猜错.这12个人或者同时猜对,或者同时猜错,同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等,为.而多个人猜测时,由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.因此上述方案是最优的.11.(1)AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2) 相同可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中α=p2+pq,β=pq+q2.由p+q=1,可得α=p,β=q.故子二代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2,与子一代的三种基因型式的比例相同.【解析】(1)参与交配的两个亲本(一个称为父本,一个称为母本)的基因型式的情况,及相应情p 1=u2×1+2uv×+2uv×+4v2×=(u+v)2.由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为p3=(v+w)2.子一代的基因型式为Aa的概率为p 2=2uv×+uw×1+2uv×+4v2×+2vw×+uw×1+2vw×=2(uv+uw+v2+vw)=2(u+v)(v+w).若记p=u+v,q=v+w,则p>0,q>0,p+q=1,子一代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2)由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中①×②,有p=p n−1p n−4(n≥5).(3)n≥4时,{p n}单调递减.又p1=p2>p3>p4,∴n≥2时,数列{p n}单调递减,且有下界0.∴p的极限存在记为a,对p n=p n−1p n−4两边同时取极限可得a=a a,a=0,故p n=0.其概率意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面的概率非常小.【解析】(1)显然p 1=p2=1,p3=1=;又投掷四次出现连续三次正面的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故p 4=1=.(2)共分三种情况:1)如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−1;2)如果第n次出现正面,第n−1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−2;增加两个元件时,系统可靠性降低;当p>时,P k+1>P k,函数P k单调递增,增加两个元件时,系统可靠性提高.【解析】(1)当系统有2k−1(k∈N*)个元件时,恰有k个元件正常工作的概率为·p k(1−p)k−1,恰有k+1个元件正常工作的概率为·p k+1(1−p)k−2,…,恰有2k−1个元件正常工作的概率为·p2k−1(1−p)0,P k=·p k(1−p)k−1+·p k+1(1−p)k−2+…+·p2k−1(1−p)0。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题
专题之4、创新与综合题一、选择题。
1．(2011年复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(2011年同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk表示连续做k 次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。
3．(2009年南京大学)求所有满足tan A+tan B+ta n C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(2010年浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(2009年清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(2009年清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(2009年清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(2009年清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得+是其一根.9．(2010年清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为++=1,而1=++≤++=,显然不成立.∴三角形三内角的正切值分别为1,2,3.即满足三内角的正切值分别为1,2,3的三角形,即为所求.【解析】无4.1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为S0,车站P到六个村庄的距离之和为S,下面我们根据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和.(1)建在A、B之间(包括端点A),则S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB.(2)建在B、C之间(包括两端点B、C),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0.(3)建在C、D之间(包括端点D),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC.(4)建在D、E之间(包括端点E),则S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD.(5)建在A的左侧或E的右侧,则S均比情况(2)中的大.综合以上各种情况,我们可以发现:当车站建在B、C之间(包括端点B、C)时最合适.币.于是由结论①可知A可获胜.③对于4个位点线段的情况,A只要选择8枚硬币,不妨设点P为P1,P2,P3三点中的一点,并设点P 4处有硬币S枚,则点P4处的硬币尽可能移到点P3处后,点P1,P2与P3处共有:8−S+[]≥4②左半环内有7枚硬币.a.若这7枚硬币全在点P7处,则看右半环内的4枚硬币,若点P1处有2枚,则将其移动到点P7处后,点P7处就有8枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点P处有硬币;若点P1处仅有1枚或没有硬币,则可将点P7处的硬币移动3枚到点P1处,再将点P1处的硬币移动到点P2处后,点P2与点P3处的硬币就不少于4枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少1枚硬币移动到点P4处.b.若这7枚硬币不全在点P7处,则将点P7处的硬币移到点P6处后,在点P5与点P6两处的硬币就不少于4枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点P4处.③左半环有6枚硬币,则右半环就有5枚硬币.a.左半环内的6枚硬币全在点P7处,将它们移动到点P1处后,右半环内就有了8枚硬币,则通过右半环的通路,可最终保证至少移动1枚硬币到点P4处.b.左半环内的6枚硬币,点P7处有5枚,则再看点P1处,若点P1处的硬币数不足2枚,则在点P2与点P3处就有4枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点P4;若点P1处的硬币数有2枚或2枚以上,则至少可从点P1处移动1枚硬币到点P7处.这样,点P7处就有6枚硬币,于是可移3枚到点P6处.这样点P5与点P6处就有4枚硬币,通过左半环可移动硬币到点P4处.c.左半环内的6枚硬币,点P7处有4枚或不足4枚,则在点P6与点P5处就有2枚或2枚以上,则将点P7处的硬币移动到点P6处以后,在点P6与点P5处的硬币数就不少于4枚,于是通过左半环可移动硬币到点P4处.④若左半环内的硬币数不足6枚,则右半环内的硬币就在6枚或6枚以上,则对右半环内硬币的分布情况进行相同的讨论,亦可发现必可将硬币移动到点P4处.各自的前4名,共8匹马进行一场比赛.这8匹马中的前4名,就是A组与B组32匹马中的前4名;接下来,又在A组与B组中分别扣除32匹马中的前4名后,再分别按照A组与B组中的排名,再各取4匹马,这8匹马进行一场比赛,它们中的前4名,就是A组与B组32匹马中的第5名到第8名;重复上述过程,又可分别确定第9名到第12名;……;最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就能确定第25名到第32名的排名.这样进行了7场比赛,就将A组与B组中的32匹马进行了排名.同理进行7场比赛,又可将C组与D组中的32匹马进行排名.这样第三步共进行14场比赛.第四步:要来完成AB组的32匹马与CD组的32匹马(它们各自内部的排名已经完成)共计64匹马的排名.采用第三步中的方法,每次分别选择AB组与CD组中留下的前4名进行一场比赛,都能确定其中4匹马在总体中的排名,这样14场比赛后,就确定了前56匹马的排名,最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就确定了第57名到第64名的排名.因此,只需15场比赛就能完成这两大组64匹马的排名.综观以上四个步骤,一共进行:8+12+14+15=49(场).所以,可以在50场比赛内完成排名.【解析】无7.由题意知共有200件货物.设a1≤a2≤…≤a99≤a100,b1≥b2≥…≥b99≥b100,令a i+b i=1,a i≥b i,则将它们按如下顺序排列:a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,…,a99,b98,a100,b99,b100,则a 1+a2>1,a2+b1>1,b1+a3>1,…,a100+b99>1,+<1,a1到a100,b1到b98各在一个箱中,b99,b100在一个箱子中,则在最坏情况下需要199个箱子.换个角度考虑,无论200件货物如何排列,体积最小的货物总能与它前面的或后面的货物合装进一个集装箱的,故有199个集装箱就一定能将200件货物全部装下.【解析】无8.设x=+,则(x)3=3,即x3−3x2·+3x·2−2=3,∴x3+6x−3=(3x2+2)·,∴(x3+6x−3)2=2·(3x2+2)2,整理得:x6−6x4−6x3+12x2−36x+1=0,则f(x)=x6−6x4−6x3+12x2−36x+1即为所求的一个整系数多项式.【解析】无9.首先,由题意可知:当我们锯了若干次之后,产生若干根棒,它们中有长度相等与仅差一个单位的棒(例如:7,8,9;6,6,7;5,5,6,6等),这些棒除了2k−2,2k−1,2k与2k−1,2k−1,2k这两种情况,其他无论锯开哪一根,均不能符合最长的一根严格小于最短一根的2倍,有了这样的认识,我们就可以用枚举法来解本题了.(1)30=11+19=11+7+12=11+7+6+6=5+6+7+6+6,。
北京大学2015年博雅计划、自主招生面试真题
北京大学2015年博雅计划、自主招生面试真题博雅计划单独面试：1.昨天NBA总决赛谁赢了?2.你的第一志愿填报的是经济，为什么想学经济?3.如果去不了光华怎么办?4.对高中生活印象最深刻的事情?5.说出对你影响最大的几本书。
6.介绍一下你的家乡。
7.你做过的最骄傲的事情?8.6月5日中国航天领域发生一件大事，你能说一下是什么吗?9.简述欧洲历史上的分与合。
10.布雷顿森林条约是什么?小组面试：1.你对高校取消自主招生联盟有何看法?2.如何看待“人生是桥梁”这句话?3.有人说传统文化只剩下了“吃”，请你谈谈你的看法?4.有人针对现今教育提出：“请让你的孩子学会幸福的平凡生活。
”请谈谈你的看法。
5.十年后的商业街会是什么样子?6.请你分析一下北京上海的房价问题。
7.请你谈一下对虎妈猫爸的认识。
8.你认为中外文化差异有哪些？9.你怎么看待城市化问题？10.你对互联网发展有何建议?11.如何看待微信在人际交往中的作用?12.关于治理雾霾你有什么建议?13.大禹治水的现实意义是什么?14.如何看待中国申请冬奥会?15.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战?16.谈一下你对于京津冀一体化的认识?17.你对“一带一路”的理解?18.请用三个词概括中国传统文化，怎么让年轻人热爱传统文化，怎么把传统文化推向世界。
19.有人说，没有学不好的学生，只有教不好的老师。
而孔子却说有学生“朽木不可雕”。
你怎么看待这个问题?自主招生1.请谈一下动物迁徙的意义?2.谈谈你对嘀嘀打车与专车经营的看法。
3.你认为的文学阅读的最高境界是什么?4.请谈有教无类与因材施教的关系。
5.请谈你对国企高管限薪令的看法。
6.有人提议将网络战归为武力冲突，谈谈你的看法。
7.谈谈你对亚投行的看法。
8.有人提议在基础教育阶段实施男女分开管理，即开办男校和女校，谈谈你的看法。
9.谈一谈信仰、义务、责任的关系。
10.爱因斯坦说：“简单是科学追求的伟大目标。
”谈谈你的看法。
2015年北京大学清华大学自主招生高中数学试题汇编之清华大学自主招生暨领军计划试题
设
f (m) = p ，其中
m ∈ (0, 1) ，令
h1(x) =
1
2x + x2
，
hn+1(x)
=
h(hn(x))
(
n
=
1,
2,
··
·
)，则
f (hn(m)) = 2n · p, n = 1, 2, · · · ,
因此 f (x) 无界．
5. 如图，已知直线 y = kx + m 与曲线 y = f (x) 相切于两点，则 F (x) = f (x) − kx 有 ( )
A. |OA| · |OB| ⩾ 2
√ B. |OA| + |OB| ⩾ 2 2
C. 直线 AB 过抛物线 y = x2 的焦点
D. O 到直线 AB 的距离小于等于 1
解析 ABD．
设 A(x1, x21) ， B(x2, x22) ，则根据题意，有 x1x2 + x21x22 = 0 ，从而 x1x2 = −1 ．
y
y = kx + m
O
x
y = f (x)
A. 2 个极大值点 解析 BC．
B. 3 个极大值点
C. 2 个极小值点
D. 3 个极小值点
相当于以直线 y = kx + m 为 x 轴观察函数 y = f (x) 的图象的极值点．
6. △ABC 的三边分别为 a, b, c ．若 c = 2 ， ∠C = π ，且满足 sin C + sin(B − A) − 2 sin 2A = 0 ，则 ( 3
A∩B
= {(x1, y1), (x2, y2)} ，
则( )
A. 0 < a2 + b2 < 2r2 C. x1 + x2 = a ， y1 + y2 = b 解析 BCD．
2015年全国高校自主招生数学模拟试卷2
∴所求值=log2．
三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba
(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．
∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
解：f(x)的对称轴为x=，
易得，0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．
北大清华北清自主招生博雅领军强基计划笔试真题数学试题分类-导数与微积分初步
清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。
清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。
北京市清华大学附中2015届全国高校自主招生考试数学复习讲义：平面几何(无答案)
平面几何一、考试要求：平面几何是自主招生考试中北约、华约、卓越共同考查的内容，主要考查平 面图形中三边角关系以及长度、角度、面积的计算；考查学生逻辑思维能力，推理认证 能力及计算能力.二、知识准备：定理：梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延长线与一条不经过其 顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则1=∙∙RBAR QA CQ PC BP . 梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延 长线上三点，若有1=∙∙RBAR QA CQ PC BP ，则P 、Q 、R 三点在同一条直线上. 三、题型训练：类型一：凸多边形有关的计算或证明例1：（2012北约）求证：若圆内接五边形的两个角都相等，则它为正五边形.例2：（2008北约）求证：边长为1的正五边形对角线长为215+.例4：（2013北约）如果锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边距离比.例5：（2009北大）圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求圆的半径.例6：（2011北约）在△ABC 中，若c b a 2≥+，证明60≤∠c .其中∠A,∠B,∠C 的对 边 分别为c b a ,,. 例7：（2009中国科技大）如图：已知D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的三等分点.且EC ＝ ２AE ，BD ＝２CD ，AF ＝２BF ，若1=∆ABC S ，试求PQR S ∆.例８：（２０１１华约）如图，已知△ABC 的面积为２，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点， F 为线段DE 上一点，设z DEDF y AC AE x AB AD ===,,，且1=-+x z y .则△BD 下面 积的最大值为（ ）A.278 B. 2710 C. 2714 D. 2716例9：（2010五校）如图，△ABC 的两条交线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则△OFG 与△GAH 面积之比为（ ）A. 1:4B. 1:3C. 2:5D. 1:2例10：（2011北大保送）在△ABC 内有一点P ，满足PCA PAC PAB PBC ∠=∠=∠=∠. 求证：△ABC 的三边边长成等比数列.例11：（2009南京大学）P 为△ABC 内一点，它到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为321,,d d d ，S 为△ABC 的面积.求证：sc b ad c d b d a 2)(2321++≥++（这里c b a ,,分别表示BC ， CA ，AB 的长）.例14：（2007克罗地亚国家采训队）已知：S 为△ABC 内一点，证明：当S 到△ABC 三边 距离的积取最大值时，S 为△ABC 的重心.例15：在锐角△ABC 中，111,,C B A 分别为BC ，CA ，AB 的中点，O 为△ABC 外接圆的圆 心，若外接圆半径为1，证明：6111111≥++OC OB OA .。
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一.选择题1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（ ） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ）A ．3524B ．3624C ．3724D ．前三个答案都不对3.已知x ∈[0,2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x −2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．前三个答案都不对4.已知2010−202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4，∠ADC=60∘，∠BAD=90∘，四边形ABCD 的面积等于2AB CD BC AD ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（ ）A ．6.9B ．7.1C ．7.3D ．前三个答案都不对二.填空题6.满足等式12015111+)(1)2015x x +=+（的整数x 的个数是_______． 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则22222()()()ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba+-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ⋂|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________三．解答题11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。
若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+ 14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ∆=c(c 为定值),记AB 的中点为X ， 求证：X 的轨迹为双曲线15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ∃，使得i a <1##Answer##1．1+2x =xy+yz+zx+2x =(x+y)(x+z)，同理1+2y =(y+z)(y+x),1+2z =(z+x)(z+y) (1+2x )(1+2y )(1+2z )=2[()(y z)(z x)]x y +++，对照前三个答案，只有A 是一个完全平方数 检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y =−3,z=8.选A2.考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725。
故选D ．3.令t=cosx ，令h(t)=2t −2a t+1,t ∈[0,1],g(a )=2(1)22,1()1,01(0)1,0h a a h a a a h a =-≥⎧⎪=-+<<⎨⎪=≤⎩作图象知最大值为1，选A4. 2010−202=202(205-1)=202(105+1)(105-1)=202(105+1)(55+1)(5-1)(432555+++5+1),432555+++5+1是奇数，5-1=4是22，55+1=54+1（）+1被4除余数为2，同理105+1被4除余数也是2，于是n 的最大值为24，选D5.设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC,BD 的夹角为θ，则7.设a =(a ,d),b =(b,c)，二者夹角为θ，则所求为2||||a b a b ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=2cos θ，如图0≤θ≤∠AOB ⇒1≥cos θ≥cos ∠AOB=||||OA OB OA OB ⋅=45⇒1625≤2cos θ≤1。
填4125 8.设y=f (x)=2x +px+q,x ∈[1,5]，它可以由y=2x ,x ∈[-2,2]平移得到，y=2x 最值之差为4，根据|2x +px+q|≤2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有232424p q p ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=±⎪⎩⇒67p q =⎧⎨=-⎩；同理67p q =-⎧⎨=⎩不超过它的最大整数为9.填99.x+y+z=1⇔222222222()()()2c a b c b a c b a b c a abc +-++-++-= 32223232()(2)0a b c a b c bc a c bc b b c ⇔-+-+-+-+-=3222()()()(b c)0a b c a b c a b c ⇔-+--+-+=⇔22[()]()()0a a b c b c a b c -+----=⇔(a -b-c)(a -b+c)(a +b-c)=0不妨设a ≤b ≤c ，则c=a +b ，于是x=222()2b c c b bc+--=1，同理y=1,z=-1，于是201520152015x y z ++=1，填1 10.每个元素当做一个子集，就满足要求；填911.设数列{n a }的公比为q,由已知12a a +=251q ->0,则56a a +=(12a a +)4q =4251q q -210q t -=>设25(1)t t +=5(t+1t+2)≥5×，等号成立当且仅当t=1t⇔t=1⇔故56a a +的最小值为20 12.(方法一)设f (x)=m 2x +nx+t(m ≠0), a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))公比为q(q>0)则22222223()(())()()()((()))()(()f a ma na t aq f f a f aq m aq n aq t aq f f f a f aq m aq n aq t aq ⎧=++=⎪==++=⎨⎪==++=⎩①②) ③①-②并化简得到：m a (1-2q )+n(1-q)=q(1-q),②-③并化简得到：m a q(1-2q )+n(1-q)=q(1-q) 从而q=1,f (a )=a(方法二)由已知()f a a =(())()f f a f a =((()))(())f f f a f f a ，假设f (a )≠a 则(())()()f f a f a f a a --=((()))(())(())-()f f f a f f a f f a f a -⇒A(a ,f(a )),B(f (a ),f (f (a )),C(f (f (a)),f (f (f (a ))))，AB k =BC k ⇒A,B,C 三点共线⇒一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故f (a )=a13.证明：设正方形的边长为x ，△ABC 外接圆半径为R ，当内接正方形如图所示时 ccsinBa x x Q P NM CB A11sin sin c B x x c B a -=⇒1x =sin sin ac Ba c B +=22bac R b a c R+=2abc Ra bc+同理其他情况，内接正方形的边长分别为2x =2abc Rb ac +，3x =2abcRc ba +1x -2x =2abc Ra bc +-2abc Rb ac +=()(2)(2)(2)abca b c R Ra bc Rb ac --++<0⇒1x <2x , 同理1x <1x于是1x 最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B +14.证明：设2θ为12,l l 的夹角，以O 为原点，12,l l 的角平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图设X(x,y),|OA|=a ,|OB|=b ，则A(a cos θ,a sin θ),B(bcos θ,-bsin θ)cos 2sin 2a b x a b y θθ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，于是22x y -=a b 因AOB S ∆=12a bsin2θ=c,于是a b=2sin 2c θ，X 的轨迹方程为22x y -=2sin 2c θ,轨迹是双曲线 15.(反证法)假设i ∀，i a ≥1，设i a =1+i b (i b ≥0), 1210...a a a +++=30⇒1210...b b b +++=20 1210...a a a =1210(1)(1)...(1)b b b +++=1+(1210...b b b +++)+1213b b b b ++…≥21与1210...a a a <21矛盾 故i a ∃，使得i a <1。