第五讲 图形的切拼(一)
图形的割补切拼与旋转
图形的割补切拼与旋转图形是指具有特定形状和结构的物体或图案，包括各种几何图形、图像、图表等。
在设计、艺术、建筑等领域中，图形常常需要进行割补切拼和旋转等操作，以实现创意和美感的表达。
本文将探讨图形的割补切拼与旋转的应用和技巧。
一、图形的割补切拼图形的割补切拼是指将不同的图形拼接在一起构成新的形状。
这一技巧在平面设计、拼贴艺术等领域中得到广泛应用。
通过割取原有图形的一部分，并将其与其他图形进行拼接，可以创造出富有变化和层次感的作品。
在进行图形割补切拼时，需要考虑以下因素：1. 图形的形状和尺寸：选择适合拼接的图形，考虑其形状和尺寸是否与原有图形相符合，以保持整体的比例和协调性。
2. 色彩和纹理：合理运用颜色和纹理的变化，可以为割补切拼的图形增加丰富的视觉效果。
例如，可以利用不同的颜色和纹理将割补部分与原有图形进行区分，同时注重整体的和谐。
3. 图形的边缘处理：在进行割补切拼时，需要注意图形的边缘处理，使其看起来自然流畅。
可以运用平滑、渐变或其他特殊效果来实现边缘的融合。
二、图形的旋转图形的旋转是指将图形围绕指定的中心点或轴线进行旋转操作，使其产生新的表现形式。
旋转可以改变图形的方向和位置，给作品带来生动和变化。
在进行图形旋转时，应注意以下关键点：1. 旋转中心的选择：选择合适的旋转中心，可以使旋转后的图形呈现出不同的观感。
旋转中心可以是图形自身的某个点，也可以是外部指定的点。
2. 旋转角度的确定：旋转角度是决定旋转结果的重要参数。
可以根据设计的需要，选择适当的旋转角度，如45度、90度、180度等，也可以使用任意角度进行旋转。
3. 图形的排列和重复：通过对图形的旋转和排列，可以形成各种有趣的图案和花纹。
在进行重复旋转时，要注意保持图形之间的均衡和对称。
三、图形割补切拼与旋转的应用举例1. 平面设计：在海报、名片、宣传册等设计中，可以通过割补切拼和旋转来创造独特的视觉效果，吸引观众的目光。
2. 拼贴艺术：将不同的图片和材料进行割补切拼，可以产生出丰富多样的拼贴作品，展现出创意和个性。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：5 图形的分割与拼接 精英篇(解析版)全国通用
第五讲图形的分割与拼接教学目标本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1、理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．有8个相等的直角三角形，你能拼成下图中的空心正八角星吗？想挑战吗分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成如右图所示的空心正八角星．专题精讲把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．（一）图形的分割【例1】（★★★）如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？→→分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以考虑把每一个正方形的面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图所示.[拓展]把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块大小、形状都相同的图形→→分析：从面积考虑，把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右上图所示.[巩固]右图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?分析：如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法.【例2】（★★★★）把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左上图所示的三种分法．又因为4＝l×4＝2×2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1×4就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2×2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右上图的另两种分法．[前铺] 把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如下图所示的三种分法．[拓展]怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.→分析：（1）分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如左上图所示的图形.（2）分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形.【例3】（★★★★）如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字.→图1 图2分析：图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1），因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线（图2）.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示.[拓展] 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？分析：首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90°、180°、270°之后，得一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是36÷4=9，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如右上图.（二）图形的拼合【例4】（★★★）将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种自身可以拼成面积是16的正方形?分析：面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．[巩固]下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？分析：用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见右上图．【例5】（★★★★）用6个完全一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合．你能拼出几种图形?把它们画出来．分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图[前铺]用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?分析：这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动。
四年级上册第10招图形的切割与拼接(人教版)(12张PPT)
3．下图是由三个正方形组成的图形，请把它分成
3.建立1秒或几秒的时间概念。
大小、形状相同的四个图形。 (一)教学例5
要点：为什么不用圆形？用正方形合适还是用长方形合适？为什么？ 生1：解决第一个问题：先从10元中分别减去文具盒和笔记本的价钱，还剩下0.7元，然后0.7元大于绿铅笔的价钱0.6，所以她的钱够。 第二个问题：0.7元小于黄铅笔的价钱1.2元，所以她带的钱不够。 师：你还想学习人民币的哪些知识？今天，我们继续学习人民币的知识。（出示课题：简单的计算） 1.使学生初步掌握计算人民币的方法，能够解决一些简单的关于元、角的加、减法计算问题。 1．课件出示教材第40页主题图，引导学生发现每面国旗隐含的共同特点。(对学生进行思想品德教育)
① 3. 利用丰富的学习资源激发学生学习兴趣，帮助学生认识珍惜时间的重要性．培养学生遵守和爱惜时间的意识和习惯。 ③ 哪位同学帮她解决？还有没有不懂的？
（学生尝试解决，教师巡视指导，了解学生的解题思路和方法，选取典型案例汇报。）
② C.可以用什么方法推测出来？摸球实验。
3.先独立完成教材49页第6、7、8、10、11题，再集体订正，订正时，可让学生说说解题的思路。 师：你知道秒针是怎样计时的吗？认识时、分的时候，我们学习过分针走1小格的时间是1分钟，那秒针走1小格的时间是多少呢？ 从动物园到小丽家有5公里，出租车3公里以内7元钱，超出3公里路程，每公里按1.2元计费。小丽从动物园到家，一共要花多少钱呢？
④
4．在下面各图中分别添加一条线段，把每个图形分成 两个不同的图形。 略
5．把下面左边的等边三角形分成大小、形状都相同的 四部分，把下面右边的等边三角形分成大小、形状 都相同的三部分。 (第2个分法不唯一)
② ① ③④
第五讲 图形的切拼(一)
学科：奥数教学内容：第五讲图形的切拼（一）把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。
这一讲，我们一起来研究这类问题。
例1 如下图所示：是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。
（1）分析与解答：如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分。
每部分面积应是正方形面积的，再把三个个正方形合成一个与个正方形形状相同的图形，于是我们就有了如图（2）的分法。
（2）例2 请把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的小三角形。
分析与解答：①分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形平均分成两份，得到如下左图所示的图形。
②分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到下右图所示的符合条件的图形。
例3 将下图中的图形分成形状相同、面积相等的两部分，想一想，应该怎么分？分析与解答：为了方便，可先将图分成许多1×1的小正方形（请你在“坐标纸”上画一画），如下左图：由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位。
为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来。
下面继续进行类似的推理，可以找到答案。
具体分法见下右图，图中的阴影和空白部分将上图分成了形状相同、面积相等的两部分。
例4 长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请你先把它剪成大小、形状都相同的两部分，然后再把它们拼成一个正方形。
分析与解答：已知长方形面积是：9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如下图所示：例5 请你把下图中的两个图形中的某一个分成三块，然后再把它们拼成一个正方形。
9、图形的切拼
图形的切拼知识要点：剪剪拼拼这类题目在日常生活实践中具有很大的实用价值。
解这类题时，一般要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，然后根据所给的条件和图形特点，通过计算，认真观察和分析，找到解决问题的方法。
轻松过关：1、将一个正方形切割成大小相等，形状相同的四个部分。
画出你能想到的若干方法。
2、如下左图：这是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。
3、将一个底角为600，上底和腰相等的等腰梯形切割成4块大小、形状都相同的图形。
4、将右图分割成5个面积相等的图形。
思维飞跃：1、如下左图：一个长方形的长是9厘米，宽是4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并把它们拼成一个正方形。
2、如上右图：请将它分成形状、大小完全相同的两块，然后拼成一个正方形。
3、如上右图：把这个面积是8的图形切成四块，然后拼成一个正方形。
画出你的切痕。
4、如图是由两个边长不等的正方形组成的图形，请你将它切成三块，然后拼成一个大正方形（保留作图痕迹）5、将右上图分成两块，然后再拼成一个长方形。
5125321国学数王国学数王国学数王国王学数6、现有一张5厘米长、1厘米宽的长方形纸片(如下左图)，请你将它分成5块，使它能拼成一个正方形。
7、有一块长48米、宽30米的长方形地毯,现要把它放到长40米、宽36米的大厅中,请将它剪成形状、大小都相同的两块,使其正好铺满大厅。
※8、如下右图,把一张十字形的纸片剪两刀,再拼成一个正方形。
※9、将右图形中的正方形分割成形状和大小一样的4块，并且每一块恰好都有数、学、王、国4个字。
同步拓展：1、把一个正三角形切成面积相等、形状相同的三块，画出你能想到的若干方法。
2、如图是由5个正方形组成的图形，请你把它分成4个完全相同的图形。
3、如图是由3个相同的正方形拼成的，请你把它分成8个形状、大小都相同的图形。
4、如图：请把它剪成完全相同的两部分，再拼成一个正方形。
5、如图：方框外面的边长是5，里面的边长为3，把方框锯成4块，拼成一个正方形，问怎样锯？※6、如图：一个正方形的边长是6厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并把它们拼成一个长是9厘米，宽是4厘米的长方形。
二年级图形的切拼
小试牛刀 把下图分成5个形状相同、大小相等的图形。
三. 举一反三 1、用下面的3个图形拼成右边的正方形，请画出来。
2、如图，把这个图形剪成三块。再把这三块拼成一个正方形。
1、请你将下图分成大小相等、形状相同的两部分。如果分三部分呢? 2、如图，把图形分成大小、形状都相同的三块，并且每块都带有一个小圆圈。
你们好！
我是 何老师
你们的名字叫？
课堂要求
不能吃食物喝饮料
1
3
不喧哗 回答问题要举手
坐姿端正 眼睛注视老师
2
4
及时完成学习任务
让我们去知识的海洋里遨游吧~
第一讲: 图形的切拼 一．计算小能手
75-33= 42
48+35= 83
12+29-19= 22
69+10-36= 43
38+46= 84 27+大小相等，形状相同的三块，怎样剪？
把下面的长方形剪成大小相等，形状相同的四块，怎样剪？
例2、把下图分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“优学教育”四个字。
小试牛刀 请把下图卡片分成大小相等，形状相同的四块，并且每块中都有“我、爱、数、学”这四个字。
例3、下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形。
小学数学 图形的剪拼 课件+作业(带答案)
先把每一个正方形分割成四个小 正方形。
20÷4=5（个） 5个小正方形组成的图形，可以选择
一种剪法如右图所示：
答案不唯一。
总结：对于不好直接剪切的图形，我们可以先画网格线，再进行剪切。
练习2：下图是由18个小正方形组成的图形，请将它沿格线分割成 6 个完全相同的图形。
春夏 夏 秋冬春 春冬秋夏 秋冬夏春冬秋
总结：要先求出分割出来的图形所占的方格数量，最后剪切时要注意限制条件。
练习6：请将下图沿格线分割成形状相同、大小相等的四个图形，并使每个图形中都有“学习思考”这
四个字。 16÷4=4（个）
4个小正方形可以拼成的形状有：
一种剪法如右图所示：
知识点三：复杂分割
8、下图是由五个相同的正方形组成的图形，要把它分成形状相同、大小相等的四个图形，应该怎样分？
先把每一个正方形分割成四个小 正方形。
20÷4=5（个） 5个小正方形组成的图形，可以选择
一种剪法如右图所示：
9、把下图沿哪条格线剪开后，可以拼成一个正方形？ 如下图所示 拼成
10、请将下图沿格线分割成大小相等、形状相同的四块，并拼成一个正方形。
经过尝试，一种剪法 如右图所示：
知识点三：复杂分割
例题6：请将下面的图形沿格线分割成形状相同、大小相等的四块，并使每一块中都有“春夏秋冬”四
个字。
分析：
16÷4=4（个）
先计算出，分割成的四块， 每块中有几个小正方形。
4个小正方形可以拼成的形状有：
注意限制条件，每一块中都 有“春夏秋冬”四个字。
一种剪法如右图所示：
长方形纸条的面积：5×3=15（平方厘米） 大正方形的面积：11×11=121（平方厘米） 121÷15=8（个）……1（平方厘米） 理论上，最多能裁出8个长5厘米，宽3厘米的 长方形纸条。
小学奥数-图形的剪拼
难点及变形-划分块数最少
• 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米， 正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘 米，要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何 切分，能使划分的块数最少.
小学奥数-图形的剪拼
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定义
• 把一个几何图形剪成几块形状相同的图 形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一 种满足某种条件的图形，叫做图形的剪拼。
剪
• 1、把一个几何图形剪成几块形状相同的图 形
例：把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大 小都一样的三角形.
变形及难点：变形后对面积或周长 有要求
• 把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形 和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相 等．
• 如何把一个长20厘米宽12厘米的长方形切成两 块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．
类似棋盘图形的剪拼问题
• 例: 如右图所示，请将这个正方形分切成两块，使 得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有 A、B、C、D、E五个字母.
变形：剪成几个不同的形状
拼
• 三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少 个三角形可以拼成六角星？
剪-拼
2、把图形剪成几块，然后拼成图形。
把如下图（1）所示的图形切成两块，然后拼成 一个正方形.
变形及难点：切成多块，组合成某 个图形
• 如下左图将其切成3块，使之拼成一个正方形
• 把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形 和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相 等.
五年级奥数 图形的切拼
图形的切拼专题分析：怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。
例1、请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
（至少三种，通过旋转平移得出的另一种属于同一种方法）方法一方法二方法三例2、将右图分割成五个大小相等的图形。
（至少三种，通过旋转平移得出的另一种属于同一种方法）方法一方法二方法三例3、右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
（请画出六种，通过旋转平移得出的另一种属于同一种方法）方法一方法二方法三方法四方法五方法六例4、将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。
（请将一部分涂成阴影，并画出拼接后的示意图）拼接后的示意图例5、有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。
请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。
（请画出示意图）例6、用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。
（请画出示意图）方法一方法二方法三练习：1、试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2、用四种方法将下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
（通过旋转平移得出的另一种属于同一种方法）3、将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，然后拼成一个24×25的长方形。
（请画出示意图）4、将一个正方形分成相等的4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
（请画出示意图）三角形平行四边形梯形课后练习：。
小学数学 图形的剪拼 课件+作业(带答案)
总结：要先求出分割出来的图形所占的方格数量，最后剪切时要注意限制条件。
课后作业：
1、下图是一个3×4 的方格纸，总面积是12平方厘米，请将它沿格线分割成 完全相同的 3 部分。每部分的面积是多少平方厘米？
12÷3=4（平方厘米） 答：每部分的面积是4平方厘米。
2、如图：一个大正方形被剪去了面积为总面1积 的小正方形。请将其分割成 12个完全相同的小正方形
练习1：请将下图沿格线分割成五个大小相等、形状相同的图形。填出。
15÷5=3（个） 3个小正方形可以拼成的形状有：
一种剪法如下图所示： 答案不唯一。
知识点一：简单分割
例题2：下图是由同样大小的五个正方形组成的，请将该图形分割成四个形状相同、大小相等的
图形。
分析：
5个正方形无法直接分割成 4个形状、大小都相同的部 分。
图形的剪拼
课前铺垫 图形分割、拼合和剪拼的概念
分割：将一个图形按要求分成几个图形，叫作图形的分割。 拼合：按一定要求将几个图形拼成一个完整的图形，叫作图形的拼合。 剪拼：将一个或多个图形先分割再拼成另一个图形，叫作图形的剪拼。
图形剪拼问题的特点
剪拼前后图形的面积相等。
知识点一：简单分割
例题1：请将下图沿格线剪成五个形状相同、大小相等的图形。
拼成的正方形如下图所示
答案不唯一。
练习3：下图是一张塔形的方格纸，沿着哪条格线剪开后，可 以拼成一个正方形？
原图中，小正方形的个数：9个
剪拼后，所得大正方形的每条边应 有3个小正方形。 一种剪切方式如下图：
拼成的正方形如下图所示
例题4：请将下图沿格线分成大小相等、形状相同的四块， 并拼成一个正方形。
总结：对于这种复杂的图形分割，要先计算出理论上的最大值，然后去尝试。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：5 图形的分割与拼接 提高篇(解析版)全国通用
第五讲图形的分割与拼接本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1、理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．分析：所给图中两个图案的具体拼法如下图所示．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．专题精讲教学目标大家小时候肯定都玩过七巧板吧，你能用七巧板拼出下图所示的两个图形吗？想挑战吗？（一）图形的分割【例1】（★★★）下图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16÷2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进，建议同时呈现六幅空的4×4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现，如右上图所示.[前铺]下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12（个）小格，所以分成的两块每块有12÷2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如右上图所示.【例2】（★★★）请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.[拓展] 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?分析：看到这道题目，俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图(2)与原题右下角2×2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图(2)可以先排除掉．现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：【例3】（★★★★）如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形进行分割)．分析：要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见右上图．[前铺]图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?分析：这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图.[巩固]把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?分析：先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图所示.【例4】（★★★）下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．666555444333222111分析：通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是由6结合染色法，如右上图.[拓展]把下图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪?作出分出的小图形．分析：总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右上图.（二）图形的拼合【例5】（★★★）用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，你能拼出几种图形?请在网格图上画出．分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图[拓展]用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．分析：能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例6】（★★★）下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？分析：用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见右上图．[拓展]将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种可以拼成面积是16的正方形?分析：面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．【例7】（★★★）试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．（三）图形的剪拼【例8】（★★★）将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1 图2 图3分析：经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个如图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图3；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右上图．[前铺]试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．分析：要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图【例9】（★★★★）试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．分析：（方法一）三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左上图.（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右上图.[巩固]试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．分析：（方法一）我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，如左上图.（方法二）在长方形两边割三角形，向上旋转180°，即可拼成三角形,如右上图.【例10】（★★★★）将下图分成两块，然后拼成一个正方形．分析：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是4。
第5讲图形分割
第 5 讲图形的切割【 精 】在研究用直 、 等 形切割平面 ，我 一般从 的状况下手剖析。
在研究怎 将一个 形切割成 足某种条件的若干 的 ，要注意到 形的 称性。
【教材深入】[ 1] 5 条直 最多将平面分红多少个部分？<矫捷思 >第一考 5 条直 不太 ，我 先研究一些 的状况，不 知道：一条直 最多将平面分 2 个部分； 二条直 最多将平面分 4 个部分； 三条直 最多将平面分 7 个部分； 四条直 最多将平面分 11 个部分； 五条直 最多将平面分16 个部分。
<全解 > 5 条直 最多将平面分红16 个部分。
<拓展研究 > 上边一 数据， 我 不 二条直 分平面的4 部分是在一条直分平面的 2 部分的基 上增加了 2 部分；三条直 分平面的 7 部分恰巧是在二条直 分平面的 4 部分的基 上增加了 3 部分； 似地，四条直 分平面的11 部分是在三条直分平面的 7 部分的基 上增加了 4 部分⋯⋯模仿此剖析法能够得出，n 条直 最多分平面的部分数 ：22+2+3+ ⋯⋯ +（ n-1） +n=nn 2 。
2[ 能力冲浪 ]1、 10 条直 最多能够把平面分红多少部分？2、 20 个三角形最多把平面分红多少部分？3、在平面内画六条直 和一个 ，最多能把平面分红几个部分？[ 2] 把一个正方形分红形状同样，面 相等的四个 形。
<矫捷思 > 本 是均分 形， 答案有多种， 既能够用 段切割，也能够用曲 切割，无 是用 段切割， 是用曲 切割， 旋 ，每一种又能够获得好多种分法。
<全解 >1、切割 是 段的① ② ③ ④⑤⑥⑦⑧2、切割线是曲线的。
⑨⑩3、假如选择此中一种，把它的切割线想象成风车的叶轮，让它们旋转起来，还能够获得更多的方法。
如：旋转图⑤可获得下边的图。
如：旋转图⑨，可获得下边的图<拓展研究 >像这种题目，能够凭直觉，先找出部分分法，而后借出想象，“旋”出无数分法。
图形的剪拼1
三、【课后反思】
4.渗透基本的数学思想方法。 问题三“现有一个边长为a和b（a＞b）的 两个正方形，如何剪拼成一个大的正方形”。这 是一个“变形”的问题，而要画出大正方形就要 知道大正方形的边长，由“形”想到“数”。问 题三的设计意图，是渗透一些基本的数学思想方 法。 作为一名数学教师，要关注学生理性思维 的发展，要在培养学生理性思维上有所作为。
三、【课后反思】
3.发挥合情推理与逻辑推理在培养学生理性思维 上的互补作用和协同作用。在本节课的教学中，教师 作为组织者和研究者，始终抓住三个问题展开活动： 怎样“剪”，为什么这样“剪”，“剪得”的图形符 合要求吗？怎样“剪”，学生可以通过实验或类比、 联系、迁移等活动，自己设计方案，如问题二 “如何 将一个四边形剪拼成一个平行四边形” 的解决，学生 就可以通过四边形与三角形的联系，再联系到问题一 的解决方法去设计问题二的解决方法；为什么这样 “剪”，是让学生合理的思考，能说明道理；“剪得” 的图形符合要求吗？就是要让学生通过数学证明，来 证明自己“结果”的正确性。
教师提出问题，学生思考、 交流，回答问题，教师根据 学生回答给以总结。教师应 重点关注：（1）学生如何联 想到剪拼方法，若学生联想 不到，教师如何指导。（2） 学生能否利用所学知识进行 合情说明。 教师引导学生共同完成。教 （2）现有一个边 师应重点关注：（1）学生能 长为a，和b（a＞b） 否知道解决问题的关键：找 的两个正方形， 到正方形的边长。学生在教 师的引导下，抓住问题的实 质；找到正方形的边长。体 现出化归思想在解题中的应 用。
〈二〉．教学过程设计：
问题与情境
[活动3] （1）现有长为 6.5cm，宽为2cm的 矩形，如何将之剪 成6块然后拼成一 个正方形。
四年级奥数学练习试卷思维培训资料 (61)
第五讲 图形的分割与拼接本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法： 1、理解掌握图形的分割； 2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．分析：所给图中两个图案的具体拼法如下图所示．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．专题精讲教学目标大家小时候肯定都玩过七巧板吧，你能用七巧板拼出下图所示的两个图形吗？想 挑 战 吗 ？（一）图形的分割【例1】（★★★）下图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16÷2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进，建议同时呈现六幅空的4×4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现，如右上图所示.[前铺]下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12（个）小格，所以分成的两块每块有12÷2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如右上图所示.【例2】（★★★）请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.[拓展] 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?分析：看到这道题目，俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图(2)与原题右下角2×2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图(2)可以先排除掉．现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：【例3】（★★★★）如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形进行分割)．分析：要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见右上图．[前铺]图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?分析：这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图.[巩固]把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?分析：先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图所示.【例4】 （★★★）下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．分析：通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是由6结合染色法，如右上图.[拓展]把下图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪?作出分出的小图形．分析：总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右上图.（二）图形的拼合【例5】（★★★）用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，你能拼出几种图形?请在网格图上画出．分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图[拓展]用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．分析：能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例6】（★★★）下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？分析：用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见右上图．[拓展]将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种可以拼成面积是16的正方形?分析：面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．【例7】（★★★）试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．（三）图形的剪拼【例8】（★★★）将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．图1 图2 图3分析：经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个如图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图3；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右上图．[前铺]试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．分析：要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图【例9】（★★★★）试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．分析：（方法一）三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左上图.（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右上图.[巩固]试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．分析：（方法一）我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，如左上图.（方法二）在长方形两边割三角形，向上旋转180°，即可拼成三角形,如右上图.【例10】（★★★★）将下图分成两块，然后拼成一个正方形．分析：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是4。
人教版五年级下册数学奥数专讲：图形的剪拼(教案)
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验图形剪拼知识的应用，提高实践能力。
在呈现新课后，对图形的剪拼方法和对称轴性质进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对图形剪拼知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决剪拼问题。
重点题型正方形，将其剪成若干个小三角形，使得每个小三角形都可以拼成一个更大的正方形。求剪拼的方法和步骤。
答案：首先，将正方形对折成两个相同的小正方形，然后沿对折线剪开，得到两个相同的小正方形。接着，将每个小正方形再对折成两个相同的小三角形，沿对折线剪开，得到四个相同的小三角形。最后，将这四个小三角形按照一定的顺序拼成一个更大的正方形。
最后，虽然本节课的教学内容与学生的日常生活联系较为紧密，但仍有部分学生对于数学的实际应用价值认识不足。因此，我计划在今后的教学中，更多地引入生活中的实际问题，让学生能够切实感受到数学的魅力和实际应用价值，提高他们的数学素养。
教学评价与反馈
1. 课堂表现：学生在课堂上的表现整体积极，对于图形的剪拼方法和轴对称图形的性质表现出较高的兴趣。他们在教师的引导下，能够积极参与课堂讨论和实践活动，与同伴进行有效的合作和交流。
4. 数学故事：讲述一些与数学相关的有趣故事，如数学家的生平、数学难题的解决等，激发学生学习数学的兴趣，丰富学生的数学知识。
（二）拓展建议：
1. 学生可以利用网络资源，进一步了解剪纸艺术的发展和应用，尝试自己设计和创作剪纸作品，提高审美情趣和文化素养。
2. 学生可以尝试制作一些简单的几何拼图，通过实际操作掌握几何拼图的原理和方法，培养空间想象能力和创新能力。
十 图形的切拼(一)
十图形的切拼（一）年级班姓名得分一、填空题1. 用24块面积都是1平方分米的木块,拼成的长方形（不含正方形）中,最小的周长是______分米.2. 如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的边长是______厘米.3. 左下图是两个由同样大的小方格组成的图形.我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个轴对称图形.例如右下图就是这样的轴对称图形,沿虚线折叠后,虚线两边的图形就完全重合了.那么符合要求的拼法一共有______种.4. 在下列图形中,A6个如的图形组成.问:在其余的图形中,哪几个也可以用6个如的图形组成?5. 如图“L”形,是由4个1平方厘米的小正方形组成,现用这样的“L”形拼成一个正方形(要求无重叠,无空格地拼),最少要用______个这样的“L”形,这个正方形的边长是______厘米.如果用这样的“L”形拼成一个长方形,最少要用______个这样的“L”形,这个长方形的长是______厘米,宽是______厘米.6. 下面5个图形都具有两个特点:由4个连在一起的同样大小的正方形组成;每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边.我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”.如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同(比如上面图中的B与E),那么这两个俄罗斯方块只算一种.除上面4种外,还有______种俄罗斯方块.7. 用方格纸剪成面积是4的图形,其形状只能有以下七种:(1)如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形,那么四种图形的编号和最小值是______.(2)如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形,那么可以用的图形共有______种.8. 在下列(1)号、(2)号、(3)号、(4)号四个图形中,和拼成的的图形是______.9. 设下图的周长是56厘米,则其面积是______平方厘米.10. 三种塑料板的型号如下:己有A型板30块,要购买CB,两种型号板若干,拼成5×5正方形10个.B型板每块价格5元, C型板每块价格为4元.请你考虑要各买多少个,使所花的总钱数尽可能少.那么购买CB,两种板要花______元.二、解答题11. 将一个4×9的长方形分成两块,然后拼成一个正方形.12. 将如下图形所示的一些小图形拼成一个正方形.13. 将下图中“8级阶梯”切成三块,然后拼成一个正方形.14. 下面是俄罗斯方块中的七个图形:请你用它们拼出(A)图,再用它们拼出(B)图(每块只能用一次,并且不准翻过来用).如果能拼出来,就在图形上画出拼法,并写明七个图形的编号;如果不能拼出来,就说明理由.———————————————答案——————————————————————答案:1. 20面积一定,长方形的长与宽越接近,周长越小,因此拼成的长方形中,长为6分米,宽为4分米时,周长最小,等于(6+4)×2=20(分米).所以,最小的周长是20分米.2. 12根据题图将长方形割为四块,拼成如下图的正方形.注意到形变其面积不变.所以拼成的正方形面积是9×(12+4)=144(平方厘米).又144=12×12,由正方形的面积计算公式可知,所拼成的正方形边长是12厘米.注: 拼合成的正方形边长是12,在你拼合时,只要考虑到正方形的特征四条边相等、四个角都是直角,拼起来并不困难.3. 3具体拼法见下图.4. B和D经动手画一画可知,图形B和D也能用6的图形组成.5. 4,4,2,4,2.因为小正方形的面积是1平方厘米,所以其边长是1厘米.根据用L型无重叠、无空格地拼成一个正方形易知其边长不可能是2厘米和3厘米.所以,最少要用四个这样的L形拼组成一个正方形,其边长是4厘米(如左下图所示);最小要用两个这样的L形拼组成一个长方形,其长是4厘米,宽是2厘米(如右下图所示).6. 37. 13, 5.(1)用试验法可知,题图中能拼成4×4正方形的三种不同图形可以是:(1)、(2)、(3)、(7)；(1)、(2)、(4)、(7)；或(1)、(2)、(5)、(7).所以,编号和最小值是1+2+3+7=13.(2)取四个图(5)或图(7),显然都能很方便地拼成4×4的正方形.对图(1),只要先取同样的两个,按下图方式拼成一个2×4的长方形,然后再由同样的两个长方形就可拼成4×4的正方形.图(3)拼成的,因此用图(3)不能拼成4×4的正方形.同理,用图(4)也不行.综上所述,本题的答案是5种.8. (4),(1)、(2)号图形的块数都是11,从而排除(2).及(3)号图形的特征,不难排除(3).可以拼成的是(4)号图:如下图所示.9. 100图中共有28条边,故每条边长是56÷28=2(厘米).又图中共有(1+3+5)×2+7=25个小正方形,把突出四周的四个小正方形剪下,分别拼在凹处,正好组成10×10(平方厘米)的图形,故面积为100平方厘米.10. 192要使花的钱尽可能少,已有的30个A型板最好都能用上,而价格较贵的B型板尽可能少用.因为A型与B型的面积都为3,所以在拼成的5×5正方形中,除去C型外,余下的面积应能被3整除.由25-4×4=9或25-4×1=21能被3整除知,只能用4块C型板或1块C型板.考虑尽量多的使用A型板,有如下两种拼法:图1的拼法要花4×4+5×2=26(元),图2的拼法要花4+5=9(元).因为只有30块A型板,所以在10块5×5正方形中,图2的拼法只能有4块,剩下6块用图1的拼法,共需9×4+26×6=192(元).11. 4×9=36=6×6,所以正方形的边长是 6.当贴着长方形的边,画出一个边长为6的正方形(图上虚线画出)时,发现要补2×6这一块,就很自然地想出图中的切开,然后把左面一块往下移动就拼成了.注:事实上,长方形边长是1,4,9,16,25,36,…(平方数)中任何两个数都可以用这样的方法切拼成正方形.12. 先将题图中的两块小图形拼成一个2×5的矩形,再将5个矩形拼成5×10的矩形,然后把两个5×10矩形拼成一个10×10的正方形.13. 1+2+3+…+8=36=6×6,所以拼成正方形的边长仍是6,为了“阶梯”对合,所以从4级“阶梯”处切开,再考虑到边长是6,就得出下面的切开的拼合:14. (1)不行.将图形黑白相间染色(见左下图),黑、白格数量相同.七个俄罗斯方块,1～6号各盖住两黑两白,7号盖住一黑三白或一白三黑,总共盖住的黑、白格数量不等.所以不能拼出来.(2)行,见右上图.。
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学科：奥数
教学内容：第五讲图形的切拼（一）
把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。
这一讲，我们一起来研究这类问题。
例1 如下图所示：是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。
（1）
分析与解答：如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要求把原来三个正方形分成四个面积相等的部分。
每部分面积应是正方形面积的，再把三个个正方形合成一个与个正方形形状相同的图形，于是我们就有了如图（2）的分法。
（2）
例2 请把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的小三角形。
分析与解答：①分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形平均分成两份，得到如下左图所示的图形。
②分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到下右图所示的符合条件的图形。
例3 将下图中的图形分成形状相同、面积相等的两部分，想一想，应该怎么分？
分析与解答：为了方便，可先将图分成许多1×1的小正方形（请你在“坐标纸”上画一画），如下左图：由此可知，图形的面积为32个面积单位，每一部分的面积应为16个面积单位。
为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8，其次为7，以及原图形的形状，可知每一部分的最长边只能为7，用两种阴影分别表示出来。
下面继续进行类似的推理，可以找到答案。
具体分法见下右图，图中的阴影和空白部分将上图分成了形状相同、面积相等的两部分。
例4 长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请你先把它剪成大小、形状都相同的两部分，然后再把它们拼成一个正方形。
分析与解答：已知长方形面积是：9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如下图所示：
例5 请你把下图中的两个图形中的某一个分成三块，然后再把它们拼成一个正方形。
分析与解答：不论将图中两个图形中的哪一个分成三块，最后拼成的正方形的面积总是图中两个图形面积之和。
长方形面积：50×100=5000（平方厘米）
不规则图形面积：100×20+（100-40）×（70-20）=5000（平方厘米）
正方形面积：5000+5000=10000（平方厘米）
所以正方形边长为100厘米。
图中的两个图形都具有某一边的长度正好是100厘米的特点。
为了方便，我们选择其中一个作正方形的一条边。
因为图中的长方形长为100厘米，宽为50厘米，为了拼出正方形的另一条边，可以把不是长方形的那个图先分成两部分，见下图，把较大的一块与原来的长方形拼在一起，见图。
这时还缺一个角，它是一个面积为（40×30=）1200平方厘米的长方形。
为了补上这个长方形，只要把图中较小的一块从中分开就行了，见图，拼成后的正方形见图。
想一想：还有别的分法吗？
例6 有一个长24厘米、宽15厘米的长方形，请你把它切成两块，拼成一个长20厘米、宽18厘米的新长方形。
分析与解答：通过对比原长方形与新拼成的长方形的长、宽，不难看出：原长方形的长比新长方形的长多4厘米，新长方形的宽比原长方形的宽多3厘米，所以我们可以依此将原长方形分成30个4×3（平方厘米）的小长方形，见下图。
因为新长方形的长为20厘米，应减少一个小长方形，而新长方形的宽为18厘米，应增加一个小长方形。
可以沿对角线的方向，把它剪成呈阶梯状的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如图所示，然后把它们错位互相“咬”在一起，即阴影块往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形，见图。
具体切拼方法是，按图中的粗线将长方形分成两块，再一移一错一对，即可拼成新的长方形，见图。
阅读材料
中国古代数学与中国古典玩具
中国是一个伟大的文明古国，它为世界数学的发展做出过巨大的贡献。
中国古老的智力游戏和古典数学玩具，如九连环、七巧板、华容道、鲁班锁、四喜人等把数学和游戏玩具结合起来，对于提高玩具品位、开发思维智力具有独特的功能。
西方有时将它们统称为“中国的难题”（chinese puzzle）。
这些难题涉及了数学中的几何学、拓扑学、图论、运筹学等多门学科。
拼板是我国古老的益智玩具之一，其中最著名的是七巧板。
国外称它为“唐图”（tangram），是世界公认的中国优秀智力游戏代表作。
有的学者认为，七巧板源于后汉数学家作出的弦图。
2002年的第24届世界数学家大会（北京召开）的会标即为中国古老的弦图。
形成七巧板玩具的直接因缘，来自古代家具“几”。
宋代黄伯思作《燕几图》。
燕几即宴几，它由6张几组成，可以根据宴客人数拼出各种形状。
明朝严澄改进了燕几图，拼板由6块改成了13块，图形也不再是方形，而是三角形和梯形了，称作“蝶几图”。
蝶几图拼出的图样比燕几图更多。
燕几图稍作改进，就成了七巧板了。
七巧板是数学与艺术的结晶。
练习题
1．（1）如下图，一个等边三角形形状的草地上有四棵树，要把这块草地平均分成形状相同的四小块，要求每小块的面积相等，并且每一块草地中都要有一棵树。
应该怎样分？
解答与解答：分法见图。
（2）如图，由五个同样大小的正方形组成的“T”字形，请把它分成形状相同、面积相等的四部分。
分析：分法见图。
仿照例1的分法我们把如上图这样由五个正方形组成的图形，分成四
块大小、形状都相同的图形，若从面积考虑每一块的面积应是个正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如下图所示。
（3）下图是由三个同样大小的等边三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四部分。
解答：
把三个同样大小的正三角形平均分成四份，每份应占正三角形的，因此先把每个三角形四等分，选择其中的三份。
2．在下图中画5条直线，把小圆圈分开，并使每块大小、形状都相等。
解答：因为图中有8个小圆圈，画5条线把图形应分成8块，根据小圆圈的分布特点，分法如下图（右）所示。
3．把下图划分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。
解答：见图。
4．请你先画一个正方形，然后再把这个正方形分成20个大小形状完全相同的三角形。
解答：见图。
5．把下图分成形状相同、面积相等的四份，应怎么分（至少给出三种不同的分法，即每种分法分得后的图形都不同）？
解答：分法见图。
6．将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈“○”。
解答：分法见图。
7．如下图，先把它分成3块，然后再拼成一个正方形。
解答：分法见图。
8．将长和宽分别为16厘米和9厘米的长方形纸片切分成相等的两块，然后拼成一个正方形。
解答：分法拼法分别见下图。
9．把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等。
分析与解答连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形。
（如下图（1）所示）出于对拼成的正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了（如图（2）、（3）所示）。
除这种方法外，还有多种拼接方法。
106的长方形。
解答：分法拼法分别见下图。