第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(八年级)
最新8年级数学长江杯竞赛试题B卷
第三届“长江杯”全国数学邀请赛八 年 级 试 卷（B ）一、选择题（每小题5分，共30分） 1．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为( ) A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 2．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AB 边上的高为( ) A.553 B.352 C. 1053 D.2233．取△A 1B 1C 1各边中点A 2、B 2、C 2作出△A 2 B 2 C 2，用同样方法作出△A 3 B 3 C 3…，若△A 1B 1C 1的周长为m ，则△A 10B 10C 10的周长为（ ） A ．1014m B ．914m C ．1012m D ．912m第1题图 第2题图 第3题图4．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 5．如图，把两块相同的含30°角的三角尺按如图所示放置，若AD=，则三角尺的斜边的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．126．如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AD 于E ，AB=2AD ，F 是CD 的中点，则∠DEF 与∠EFC 之比为（ ）A ．12B ．13C ．14 D ．25第4题图 第5题图 第6题图二、填空题（每题5分，共30分）7．根据指令[S ，A]（S≥0，0°＜A ＜180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，现机器人在平面直角坐标系坐标原点，且面对x 轴正方向，若给机器人下一指令[1,45°],那么连续执行三次这样的指令,机器人应移动到的位置坐标是________。
长江杯八年级数学试卷
长江杯八年级数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-4D. √252. 已知a > b，下列不等式中正确的是（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 < b - 1C. a / 2 > b / 2D. a 2 > b 23. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为15cm，那么这个三角形的面积是（）A. 75cm²B. 100cm²C. 125cm²D. 150cm²4. 下列函数中，一次函数是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x² + 2C. y = x³ + 2xD. y = 2x + 5x²5. 若m² - 6m + 9 = 0，则m的值为（）A. 3B. -3C. 6D. -66. 已知正方形的对角线长为20cm，那么这个正方形的面积是（）A. 100cm²B. 200cm²C. 400cm²D. 800cm²7. 下列图形中，不是平行四边形的是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 三角形8. 已知一个数的平方根是-3，那么这个数是（）A. 9B. -9C. 0D. 无法确定9. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点对称的点是（）A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）10. 下列方程中，一元一次方程是（）A. x² + 2x - 3 = 0B. 2x - 5 = 0C. x² + 2x = 3D. 2x + 3 = 5x - 6二、填空题（每题5分，共20分）11. 0.5的倒数是________。
12. 若a = -3，则a² - 4a + 3的值为________。
13. 在直角坐标系中，点B（4，-2）关于x轴对称的点是________。
初中数学竞赛八年级数学竞赛赛前集训题二(含答案)
初二数学竞赛赛前集训题二一、填空题（每小题8分，共40分）1．若（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 2+a 4=______．2．在△ABC 中，M 是边AC 的中点，P 为AM 上一点，过P 作PK ∥AB 交BM 于X ，交BC 于K ，•若PX=2，XK=3，则AB=_______．3．a 、b 、c 是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m=3a+b-7c ，记x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy=_______．4．在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，，则∠ABC=________． 5．已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16，则12xy z ++12yz x ++12zx y+=__________．二、（15分）若正数a 、b 、c 满足a+c=2b三、（15分）一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，试确定这个直角三角形三边的长．四、（15分）如右图，以△ABC的三边为边分别向形外作正方形ABDE•、•CAFG•、•BCHK．连结EF、GH、KD．求证：以EF、GH、KD为边所以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．五、（15分）13位运动员，他们着装的运动服号码分别是1～13号，问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．答案: 一、填空题1．令x=0，得a=-1．令x=1，得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=1； 令x=-1，得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a 0=-243．后面两式相加，得a 4+a 2+a 0=-121，因此，a 2+a 4=-120．2．如图，以BC 为对角线作ABDC ，延长PK 交BD 于Q ，过M 作AB 的平行线交BC 于O ，•交BD 于N ，则AB=PQ=MN ．易知CO=BO ，点O 是ABDC 的中心．因此，MO=ON ．于是，KQ=XK=•3，•所以，AB=PX+XK+KQ=2+3+3=8．3．由3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，得325,213.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩∴325,4226.a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩所以，a=7c-3，b=7-11c ．由a 、b 、c 是非负实数，得730,7110,0.c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩∴37≤c ≤711．又m=3a+b-7c=3c-2，故-57≤m ≤-111．于是，x=-57，y=-111，因此，xy=577．4．如图，延长BA 到E ，使得连结CE ，则CE ∥AD ，且 在△ACE 中，有AE 2+CE 2=2+24=26=AC 2． 故∠AEC=90°．在Rt △BCE 中，，故∠ABC=60°．5．因为x+y+z=2，两边平方得x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=4． 已知x 2+y 2+z 2=16，所以xy+yz+zx=-6． 又z=2-x-y ，所以12xy z +=1422xy x y +--=1(2)(2)x y --，同理，12yz x + =1(2)(2)y z --，12zx y +=1(2)(2)z x --．故12xy z ++12yz x ++12zx y+=1(2)(2)x y --+1(2)(2)y z --+1(2)(2)z x --=(2)(2)(2)(2)(2)(2)z x y x y z -+-+----=62()4()8x y z xyz xy yz zx x y z ++--+++++-=2641128813-=-++-．二、由已知易知a-b=b-c ．．．三、设a 、b 分别为两条直角边长，则斜边长由于a 、b 、c 均为正整数，所以，a ≠b ．不妨设a>b ，依题意有2ab． 两边平方并整数，得224a b -a 2b-ab 2+2ab=0，即ab-4a-4b+8=0．从而，（a-4）（b-4）=8=1×8=2×4． 由于a 、b 为正整数，a>b ，则 48,41;a b -=⎧⎨-=⎩ 或 44,42;a b -=⎧⎨-=⎩解得a=1，b=5，c=13；a=8，b=6，c=10．所以，这个直角三角形三边的长为（12，5，13）或（8，6，10）． 四、如图，过D 作DP // KH ，则四边形DPHK 是平行四边形．所以，PH //DK．因为DP//BC，则四边形DPCB也是平行四边形．因此，PC//DB．又EA //DB，所以，EA//PC，•则四边形EACP也是平行四边形．所以，EP//AC，从而EP// FG．因此，四边形EFGP•也是平行四边形，故PG//EF．由此可见，对于△PHG，PH=DK，PG=EF，GH=GH，这表明以EF、GH、KD•为边可以构成一个三角形．由此知，在△PCG与△EAF中，PC=EA，CG=AF，PG=EF，所以，△PCG≌△EAF．同理，△PCH≌△DBK．因此，S△PHG=S△PCH+S△PCG +S△CGH =S△DBK +S△EAF +S△CGH．过A作AM⊥BC于M，延长KB交DP于N，则BN⊥DP，易知∠1=∠2．在Rt△BND与Rt△BMA中，因为BD=BA，∠1=∠2，所以，Rt△BND≌Rt•△BMA，•因此，DN=AM．故S△DBK =12KB×DN=12BC×AM=S△ABC．同理，S△EAF =S△ABC，S△CGH =S△ABC．因此，S△PHG =S△DBK +S△EAF +S△CGH =3S△ABC．五、不能办到．理由如下：假设能够排成一个圆圈，使得号码满足题设要求．我们将号码数分为A、B两组：A={1，2，3，11，12，13}，B={4，5，6，7，8，9，10}．显然，A组中的任两个数的差要么小于3，要么大于5，所以，在排成的圆圈中A组中的任两个数都不能相邻．也就是说，A组中的任两个数之间至少都要插放一个B组中的数．但A组中有6个间隔，B组中有7个数，所以，排好后有且只有一个间隔插放了B•组中的两个数．我们将B组中每个数能与A组中的数之差的绝对值不小于3，且不大于5•的配成可相邻放置的一对，则有（4，1）；（5，1），（5，2）；（6，1），（6，2），（6，3），（6，11）；（7，2），（7，3），（7，11），（7，12）；（8，3），（8，11），（8，12），（8，13）；（9，12），（9，13）；（10，13）．可见，B组中的数5，6，7，8，9都能与A组中的两个不同的数相邻放置，4只与1配对，10只与13配对，因此，排成圆圈后，4和10都不能单独插在A组中的两个不同数之间，•即4和10只能作为相邻的两个数插在A组中的两个不同数之间．也就是4与10相邻，此时10-4=6>5，与题设条件矛盾．因此，题设要求的排法不能办到．。
八年级数学竞赛试卷及解答
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，是正有理数的是（）A. -3B. 0C. -1/2D. 2解答：D2. 若a < b，且a、b都是正数，那么下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a³ < b³C. a < b²D. a² < b解答：B3. 已知方程3x - 2 = 5，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解答：C4. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）解答：A5. 若等腰三角形底边长为4，腰长为6，则该三角形的周长为（）A. 14B. 16C. 18D. 20解答：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 若a、b是方程x² - 5x + 6 = 0的两个根，则a + b = __________。
解答：52. 在等差数列{an}中，a₁ = 3，公差d = 2，则第10项a₁₀ = __________。
解答：213. 若a² + b² = 25，且a - b = 3，则ab的值为 __________。
解答：164. 已知正方形的对角线长为10，则该正方形的面积是 __________。
解答：505. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 6，ab = 12，则c²的值为__________。
解答：18三、解答题（共55分）1. 解方程：2(x - 3) + 3(x + 1) = 5。
解答：2x - 6 + 3x + 3 = 55x - 3 = 55x = 8x = 8/52. 已知数列{an}是等差数列，且a₁ = 3，公差d = 2，求第10项a₁₀。
解答：a₁₀ = a₁ + (10 - 1)da₁₀ = 3 + 9 2a₁₀ = 213. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，求该三角形的面积。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(八年级)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（八年级）题 号 一 二 三总 分 1～6 7～12 13 14 15 16 得 分一、选择题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．） 1．三角形的三边长分别为6，1－3a ，10，则a 的取值范围是（ ） A ．－6＜a ＜－3B ．5＜a ＜1C ．－5＜a ＜－1D ．a ＞－1或a ＜－52．使分式xx y z x 5201520152016201620152014--+有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠0且x ≠±403C ．x ≠0且x ≠403D ．x ≠0且x ≠－403 3．如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A 等于（ ） A ．72° B ．24° C ．36° D ．18° 4．如图钢架中，10A ∠=︒，焊上等长的钢条来加固钢架，若112P A PP =，则这样的钢条至．多．需要（ ） A ．5根 B ．6根 C ．7根 D ．85．若22310x x -+=，则代数式2015642+-x x 的值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016 6．三角形三边的长分别为,,a b c ，且a abc b c b c a++=+-，则三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．以a 为腰的等腰三角形 D ．以a 为底的等腰三角形 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．） 7．分解顺式=+-153143x x ． 8．如图，在ABC ∆中，AC AB =，40ABC ∠=︒， BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =， 连结CE ，则ECA ∠的度数为 ．第3题图第4题图21ABDDBCAE第8题图9．⊿ABC 中，三个内角的度数均为整数，且A C C B A ∠=∠∠<∠<∠74,，则B ∠ 的度数为__________．10．若()(1)(2)(3)x a x x x ++++展开式中含3x 项的系数是17，则a 的值是__________． 11．若关于x 的分式方程()15321m x m x +-=-+无解，则m =__________．12．若20132=+x a ，20142=+x b ，20152=+x c ，且abc ＝24，则cb a abc ac b bc a 111---++的值为_________． 三、解答题(本大题有4小题，每小题15分共60分．）13．已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD =AC ，DF ∥BC ，分别与AB 、AC 交于点G 、F ． （1）求证：GE =G F ； （2）若BD =1，求DF 的长．第13题图14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 °的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60 °．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．第14题图15． 已知,,a b c为有理数，证明222a b c a b c ++++为整数．16．为迎接外国使节来访，仪仗队某小组进行队列造型设计，首先组长让全体队员排成一个方阵（即行与列的人数一样多的队形），人数正好够，然后组长又继续组织了几个队形的变化，最后一个造型需要5人一组，手拿鲜花变换队形．在讨论分组方案时，一组员说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人．同学们，你们说一说这可能吗？为什么？第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题八年级参考答案一、选择题1．C 2．B 3．C 4． D 5．A 6．C 二、填空题7．)52)(3)(12(-+-x x x 8．40° 9．59° 10．11 11． 6，10 12．81三、解答题13．（1）∵DF ∥BC ，∠ACB =90°，∴∠CFD =90°． ∵CD ⊥AB ， ∴∠AEC =90°．在 Rt △AEC 和Rt △DFC 中，∠AEC =∠CFD =90°，∠ACE =∠DCF ，DC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △DF C ． ∴CE=CF ． ∴DE =AF ．而 ∠AGF =∠DGE ，∠AFG =∠DEG =90°， ∴Rt △AFG ≌Rt △DEG ．∴G F=GE ．（2）∵CD ⊥AB ，∠A =30°， ∴CE =21AC =21CD ． ∴CE =ED ． ∴BC =BD =1．又 ∵∠ECB +∠ACE =90°，∠A +∠ACE =90°， ∴∠ECB =∠A =30°，∠CEB =90°， ∴BE =21BC =21BD =21． 在直角三角形 ABC 中，∠A =30°， 则 AB =2BC =2． 则 AE =AB －BE =23． ∵Rt △AEC ≌Rt △DFC ，第13题图∴DF =AE =23． 14．CN =MN +BM证明：在CN 上截取点E ，使CE =BM ，连接DE ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB =∠ABC =60°，又△BDC 为等腰三角形，且∠BDC =120°， ∴BD =DC ，∠DBC =∠BCD =30°，∴∠ABD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠BCD =∠ECD =90°， 在△MBD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EC BM ECD MBD DC BD ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）， ∴MD =DE ，∠MDB =∠EDC ， 又∠MDN =60°，∠BDC =120°，∴∠EDN=∠BDC ﹣（∠BDN +∠EDC ）=∠BDC ﹣（∠BDN +∠MDB ）=∠BDC ﹣∠MDN =120°﹣60°=60°， ∴∠MDN =∠EDN ， 在△MND 与△END 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE MD EDN MDN ND ND ， ∴△MND ≌△END （SAS ）， ∴MN =NE ，∴CN =N E+CE =MN +BM ． 15． 因3是无理数，则30b c -≠，而223(3)(3)33a b a b b c b c b c++-=-+ 22233()3ab bc b ac b c -+-=-为有理数，所以20b ac -=，于是222222()2()()2()a b c a b c ab bc ac a b c ab bc b ++=++-++=++-++ 2()2()()()a b c b a c b a b c a b c =++-++=++-+，第14题图因此，222a b c a b c a b c++=-+++为整数． 16．不可能因为全体队员可排成一个方阵，所以总人数是一个完全平方数，设每行m 人，则总人数为2m 人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m 为5n ，51n +，52n +，53n +，54n +中的某种情形，这里n 为正整数，从而全体人数2m 可能是22(5)5(5)n n =⨯；222(51)251015(52)1n n n n n +=++=++； 222(52)252045(54)4n n n n n +=++=++； 222(53)253095(561)4n n n n n +=++=+++． 222(54)2540165(583)1n n n n n +=++=+++．由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只可能是1或4，不可能多3人．。
数学竞赛8年级真题试卷【含答案】
数学竞赛8年级真题试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x² 2x + 1，则f(1)的值为？A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a > b，则下列哪个选项是正确的？A. a c > b cB. a + c < b + cC. ac < bcD. a/c > b/c (c ≠ 0)4. 下列哪个方程的解集是实数集？A. x² + 1 = 0B. x² 2x + 1 = 0C. x² + x + 1 = 0D. x² x + 1 = 05. 若一组数据的平均数为10，则这组数据的和为？A. 5B. 10C. 20D. 50二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a > b，则a² > b²。
（）2. 两个负数相乘的结果是正数。
（）3. 任何实数的平方都是非负数。
（）4. 若a、b、c是等差数列，则a²、b²、c²也是等差数列。
（）5. 两个无理数的和一定是无理数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a + b = 5，a b = 3，则a = ______，b = ______。
2. 若x² 5x + 6 = 0，则x = ______或x = ______。
3. 若一组数据的方差为4，则这组数据的平均数为______。
4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n² + 3n，则a1 = ______，d = ______。
5. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(2) = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是无理数。
2. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
3. 解释函数的定义。
第一届长江杯全国数学邀请赛赛前培训题（八年级）
第一届“长江杯”全国数学邀请赛赛前培训题（八年级）一.选择题：以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母填写在括右内。
1.8 、28、0.121121112……、0.121121121……、4.0101、01.0、π、32、327，其中有理数有（ ）个。
A 4个B 5个 C.6个 D.8个.2.设实数m 、n 满足m 2n 2+m 2+n 2+10 mn+16=0,则有（ ）。
m=2m=－2 m=2 m=2 m=2 m=－2 m=－2 m=－2 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 n=2 n=－2 n=2 n=－2 n=－2 n=2 n=－2 n=2 3.关于x 2y=180的正整数解有（ ）组。
A.1B.2C.3D.4. 4.已知|x-1|+=10,则符合条件的x 的整数值共有（ ）个。
A.9 B.10 C.11 D.12.5.已知a 、b 、c 为三个连续奇数(a ＜b ＜c),且它们均为质数，那么符合条件的三组数（a 、b 、c ）有（ ）组。
A.0B.1C.2D.无数组.6.如图1，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB=AC,BD 平分∠ABC ，若△ABD 的周长比△BCD 的周长多2cm ，则BD 的长是（ ）cm. A.0.5B.1C.1.5D.2.7.若a-b=2,则a 3-ab 2-2b 2-2ab-2a-6b 的值是（ ）。
A.0B.2C. 4D.6.8.x 、y 为正整数，满足方程x 2+x+y 2+y+2xy=90的整数解共有（ ）组。
A.7 B.8 C.9 D.11. 9.三元方程x+y+z=199的非负整数解有（ ）个。
A.20199B.199200C.20100D.200199.10.已知N=222……2（共有k 个2），若N 是1998的倍数，那么符合条件的最小的k 值是（ ）。
A.15 B.18 C.24 D.27. 11.若一个数的平方是5-62，则这个数的立方是（ ）。
初中八年级数学竞赛试题
初中八年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 82. 一个数的平方根是4，这个数是：A. 16B. -16C. 4D. -43. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是：A. 25π cm²B. 50π cm²C. 75π cm²D. 100π cm²4. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可能是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 05. 下列哪个分数是最简分数：A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/96. 一个正整数n，如果n²+n+1是质数，那么n的取值范围是：A. n=0B. n=1C. n=2D. n=-17. 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，它的体积是：A. 72 cm³B. 144 cm³C. 216 cm³D. 432 cm³8. 一个数列的前三项是2, 4, 6，如果这是一个等差数列，那么第四项是：A. 8B. 9C. 10D. 119. 一个数的立方根是2，这个数是：A. 6B. 8C. 4D. 210. 一个数的相反数是-7，那么这个数是：A. 7B. -7C. 0D. 14二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是36，这个数是_________。
12. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是_________。
13. 如果一个数的立方是-8，那么这个数是_________。
14. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是_________。
15. 一个圆的直径是10厘米，那么它的周长是_________厘米。
三、解答题（共50分）16. （10分）解方程：2x + 5 = 1717. （15分）证明：在一个直角三角形中，如果一条直角边是另一条直角边的两倍，那么斜边是这条直角边的根号3倍。
数学竞赛8年级试卷【含答案】
数学竞赛8年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. πD. 1/22. 二元一次方程组 x + y = 5, 2x y = 3 的解是？A. x = 2, y = 3B. x = 3, y = 2C. x = 1, y = 4D. x = 4, y = 13. 函数 y = 2x + 3 的图像是一条直线，它的斜率是？A. 2B. 3C. -2D. -34. 下列哪个图形不是平行四边形？A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 直角三角形5. 下列哪个数是8的立方根？A. 2B. 4C. 6D. 8二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。
（）2. 两个负数相乘的结果是正数。
（）3. 0的任何次幂都是0。
（）4. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形。
（）5. 一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式是 b^2 4ac。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 平方根定义：如果一个数x的________等于a，那么x是a的平方根。
2. 一元二次方程的解公式是：x = [-b ± √(b^2 4ac)] / 2a，这个公式被称为__________。
3. 两个函数如果满足 f(x) = g(x) 对所有x都成立，那么这两个函数是__________。
4. 如果一个三角形的两边之和等于第三边，那么这个三角形是__________。
5. 圆的面积公式是__________。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理的内容。
2. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
3. 解释一下函数的单调性。
4. 什么是相似三角形？相似三角形有哪些性质？5. 如何计算一个圆的周长？五、应用题（每题2分，共10分）1. 解方程：2x 5 = 3x + 2。
2. 计算下列表达式的值：√(27) + √(48) √(125)。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题(七年级)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（七年级）一、选择题（每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的．） 1．以下四个论断中不正确的是( )A ．在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B ．两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称C ．两个有理数不等，则它们的绝对值不等D ．两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等2．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形.则从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的是( )3．在代数式2xy 中，x 与y 的值各减少25％，则该代数式的值减少了( ) A ．50％ B ．75％ C ．6437 D ．64274．如果0=++c b a ，且c b a >>.则下列说法中可能成立的是( )A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、c 为负数，b 为正数5．如图，若AB ∥CD ，︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠50,30,90,30CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠等于（ ） A ．50° B ．40° C ．30° D ．20°6．商家获得的利润按以下公式计算：利润=售价－进价－售价×税率.若税率由b %调为c %，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的( )A ．%1%1c b --倍 B ．c b --11倍 C ．%1%c b -倍 D ．%%1c b -倍二、填空题（每小题5分，共30分。
）7． 计算：2325212)75.0(19121257⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--÷÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-= ． A ． B ． C ． D ． 50°30°30°F NA B CDG MP EH 第5题图8．关于x 的方程18241=--+x x 的解是 ． 9．方程|2015x －2015|=2015的根是 ． 10．若0=-+p n m ，则的值等于 ．11．若P 是质数，且P +3整除5P ，则2015P 的末位数是 ． 12．时钟的分针和时针在下午4点至5点成45°角的时刻是 ． 三、解答题（每小题15分，共60分，写出推理、运算的过程及最后结果．） 13．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子21-++x x 取最小值．．．时，相应的x 的取值范围是 ，最小值．．．是 ”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。
八年级上数学竞赛预赛试题
八年级上数学竞赛预赛试题班次姓名得分1. （2011年浙江省杭州市模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP 交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；2.(2010年无锡）（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC ．∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB=∠MAE ．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN =°时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）M N P C B A3. (2011浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点.（1）判断点(1,2),(4,4)M N 是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点(,3)P a 在直线()y x b b =-+为常数上，求,a b 的值.y x FOB A备用图(供探究用)4. （2011山东日照）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台电器给甲连锁店，30台电器给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？八年级数学竞赛预赛试题答案1. 【答案】（1）060=∠CMQ 不变。
2020年八年级全国初中数学竞赛试题及答案
2020年八年级全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】 A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
八年级数学竞赛数学试题
八年级数学竞赛数学试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. -3.14D. 0.333...2. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个表达式等于2？A. (-2)^2B. √4C. |-2|D. 2^1/25. 如果x^2 - 5x + 6 = 0，那么x的值是：A. 2B. 3C. 1和2D. 1和3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是-2，这个数是______。
7. 一个圆的半径是5厘米，它的面积是______平方厘米。
8. 一个分数的分母比分子大2，且这个分数等于1/3，那么这个分数是______。
9. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
10. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
三、解答题（每题5分，共30分）11. 解方程：2x - 3 = 7x + 4。
12. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求这个长方形的长和宽。
13. 一个数列的前三项是2, 5, 8，如果每一项都是前一项加上一个固定的数，求这个固定的数。
14. 一个班级有40名学生，其中30名学生喜欢数学，20名学生喜欢英语，5名学生既不喜欢数学也不喜欢英语。
求同时喜欢数学和英语的学生人数。
四、证明题（每题5分，共10分）15. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中点到三个顶点的距离相等。
16. 证明：如果一个角是直角，那么它的余角也是直角。
五、应用题（每题5分，共10分）17. 一家商店销售两种类型的计算器，普通型计算器每台售价为20元，科学型计算器每台售价为50元。
如果商店共售出40台计算器，总收入为1600元，求普通型和科学型计算器各售出了多少台。
数学竞赛8年级试卷【含答案】
数学竞赛8年级试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若 a > b，则下列哪个选项一定成立？A. a c > b cB. a + c > b + cC. ac > bcD. a/c > b/c2. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. √3D. π3. 已知三角形ABC，若∠A = 90°，AB = 3，BC = 4，则 AC 的长度为多少？A. 1B. 2C. 5D. 64. 若a ≠ 0，则下列哪个选项是正确的？A. a/a = 1B. a/a = aC. a/a = 0D. a/a = a^25. 下列哪个数是负数？A. -(-3)B. -(+3)C. -|-3|D. -3^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个有理数的和仍然是有理数。
（）2. 任何两个无理数的积一定是无理数。
（）3. 三角形的内角和为180°。
（）4. 若 a > b，则 1/a < 1/b。
（）5. 任何数乘以0都等于0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若 a = 3，b = -2，则 a + b = _______。
2. 若 x^2 5x + 6 = 0，则 x 的一个解为 _______。
3. 三角形的内角和为_______°。
4. 若 a = 2，b = 3，则 a^2 + b^2 = _______。
5. 若 |x| = 5，则 x 的值为 _______ 或 _______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是无理数？2. 解释什么是算术平方根？3. 解释什么是等差数列？4. 解释什么是因式分解？5. 解释什么是绝对值？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知三角形ABC，若∠A = 90°，AB = 3，BC = 4，求 AC 的长度。
2. 解方程 x^2 5x + 6 = 0。
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛(九年级)试题(含答案)
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题（九年级）一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）1．设a 、b 是方程0132=++x x 的两实根，则代数式2211a b+的值为（ ）A ． 5B ． 7C ． 9D ． 112．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）A ．0pB ．1pC ．2pD ．3p 3． 若整数a ，m ，n 满足n m a -=-242，则这样的a ，m ，n 的取值（ ）A ．有一组B ．有两组C ．多于两组D ．不存在 4．若质数a ，b 满足2940a b --=，则数据a ，b ，2，3的中位数是（ ） A ．4 B ．7 C ．4或7 D ．4.5或6.55． 已知321、y 、y y 分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A （-1，-2）、B （2，1）和C （32，3），规定M =｛321、y 、y y 中最小的函数值｝ 则下列结论错误的是( )A ．当1-<x 时，M =y 1B ．当0≤x ≤2时，M 的最大值是1，无最小值C ．当01<<-x 时，y 2< y 3< y 1D ．当x ≥2时，M 最大值是1，无最小值6．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则GM HG BH ::等于（ ） A ．1:2:3 B ．1:3:5 C ．5:12:25 D ．10:24:51第5题图 第6题图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）7．若抛物线12--=x x y 与x 轴的交点坐标为)0,(m ，则代数式20152+-m m 的值为 ．8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则AMN ∆ 的周长的最小值为 ．9． 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，则⊙O 的半径为 ． 10．在⊿ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径 R 的最小值为_________．11．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．12．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为_________． 三、解答题（共4小题，共60分.）13．(15分) 已知关于x 的一元二次方程).(0)1()2(2为实数其中m m x m x m =+--- (1)若此方程的一个非零实数根为k ， ①的值求时当m ，m k =；②若记的关系式与求为m y y ，k kk m 52)1(+-+； (2)当41<m<2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．第11题图第9题图14．(15分) 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE CF =；（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．15．(15分) 如图，五边形DEFGH 是正五边形，⊙O 是正五边形DEFGH 的外接圆，过点D 作⊙O 的切线，与GH 、FE 的延长线交分别于点B 和C ，延长HG 、EF 相交于点A ．(1)求证：∆AGF 是等腰三角形；(2)求证：点G ，F 分别是线段AB 、AC 的中点；（3）若正五边形DEFGH 周长是10cm ，求∆ABC 的周长．图1 图2 图3 第15题图16．(15分) 已知抛物线2y ax bx c =++ 经过点（1，2）．（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，求b 的值；（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 c b a ++ 的最小值． ．第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题九年级参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 二、填空题：7．2016 8． 26 9． 2221b a + 10．86511．40 12．Q >P三、解答题：13． ∵k 为方程.0)1()2(2=+---m x m x m 的实根， ∴).(0)1()2(2I =+---m k m k m ① ，m k 时当= ∵k 为非零实数根，∴0≠m ，方程（I ）两边都除以m ，得.01)1()2(=+---m m m 整理，得0232=+-m m ， 解得 2,121==m m∵0)1()2(2=+---m x m x m 是关于x 的一元二次方程， ∴2≠m ∴1=m②k 为方程非零实数根，∴ 将方程（I ）两边都除以k ，得 0)1()2(=+---kmm k m 整理，得 12)1(-=-+m k kk m ∴452)1(+=+-+=m k kk m y .（2）解法一：[]1)2(3163)2(4)1(22+--=++-=----=∆m m m m m m m当41<m<2时，m>0 ， m －2<0. ∴－3m(m －2)>0 ， －3m(m －2)+1>1>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析当41<m<2时，函数m x m x m y +---=)1()2(2的图象，∵该函数图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴该抛物线必与x 轴有两个不同的交点， ∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法三：[]4)1(3163)2(4)1(222+--=++-=----=∆m m m m m m结合4)1(32+--=∆m 关于m 图象可知（如图）当41<m<2时，1637<4≤∆ 当1<m<2时，1<4≤∆， ∴当41<m<2时，△>0∴当41<m<2时，此方程有两个不相等的实数根.14．(1) 证明：如图1.∵ AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD //BC ，AB //CD 。
数学竞赛初中试题八年级
数学竞赛初中试题八年级数学竞赛试题通常包含多种类型的题目，如选择题、填空题、解答题等，旨在测试学生的数学知识和解决问题的能力。
以下是一套模拟的数学竞赛初中试题，适用于八年级学生：一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 以下哪个表达式是正确的？A. (-2)^3 = -8B. (-2)^3 = 8C. (-2)^2 = -4D. (-2)^2 = 44. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是5. 如果一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 2，f(-1) = 0，那么a + b + c的值是：A. -1B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是______厘米。
7. 如果2x + 3 = 11，那么x = ______。
8. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
9. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
10. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，那么它的体积是______立方米。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 解方程：3x - 7 = 2x + 5。
12. 一个长方体的底面积是18平方厘米，高是5厘米，求它的体积。
13. 一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米，求它的面积和斜边的长度。
14. 一个数列的前三项是2, 4, 7，如果这个数列是等差数列，求第四项的值。
四、证明题（每题5分，共10分）15. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
16. 证明：如果一个角的正弦值是1/2，那么这个角的余弦值是√3/2。
八年级数学竞赛试题(含答案)-
CD八年级数学竞赛试题一、选择题:1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 3．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）． （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）25．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限6．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个8．如图在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD ，若这个四边形的面积是10，则BC+CD 等于（ ） A ．54 B ．102 C ．64D ．289.线段a x y +-=21（1≤x ≤3，），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为 （ ）A ．6B ．8C ．9D ．1010.四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（ ） （A ）24组 （B ）48组 （C ）12组 （D ）16组 11、如图，P 是△ABC 内一点，BP ，CP ，AP 的延长线分别与 AC ，AB ，BC 交于点E ，F ，D 。
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第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题
（八年级）
题 号 一 二 三
总 分 1～6 7～12 13 14 15 16 得 分
一、选择题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．） 1．三角形的三边长分别为6，1－3a ，10，则a 的取值范围是（ ） A ．－6＜a ＜－3
B ．5＜a ＜1
C ．－5＜a ＜－1
D ．a ＞－1或a ＜－5
2．使分式x
x y z x 5201520152016201620152014--+有意义的x 的取值范围是（ ）
A ．x ≠0
B ．x ≠0且x ≠±403
C ．x ≠0且x ≠403
D ．x ≠0且x ≠－403 3．如图，将纸片△ABC 沿着D
E 折叠压平，且∠1＋∠2＝72°，则∠A 等于（ ） A ．72° B ．24° C ．36° D ．18° 4．如图钢架中，10A ∠=︒，焊上等长的钢条来加固钢架，若112P A PP =，则这样的钢条至．多．
需要（ ） A ．5根 B ．6根 C ．7根 D ．8
5．若2
2310x x -+=，则代数式2015642
+-x x 的值是（ ）
A ．2013
B ．2014
C ．2015
D ．2016 6．三角形三边的长分别为,,a b c ，且
a a
b
c b c b c a
++=+-，则三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．以a 为腰的等腰三角形 D ．以a 为底的等腰三角形 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分．） 7．分解顺式=+-153143
x x ． 8．如图，在ABC ∆中，AC AB =，40ABC ∠=︒， BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =， 连结CE ，则ECA ∠的度数为 ．
第3题图
第4题图
2
1
A
B
D
D
B
C
A
E
第8题图
9．⊿ABC 中，三个内角的度数均为整数，且A C C B A ∠=∠∠<∠<∠74,，则B ∠ 的度数为__________．
10．若()(1)(2)(3)x a x x x ++++展开式中含3
x 项的系数是17，则a 的值是__________． 11．若关于x 的分式方程
()15321
m x m x +-=-+无解，则m =__________．
12．若20132
=+x a ，20142
=+x b ，20152
=+x c ，且abc ＝24，
则
c
b a ab
c ac b bc a 111---++的值为_________． 三、解答题(本大题有4小题，每小题15分共60分．）
13．已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD =AC ，DF ∥BC ，分别与AB 、AC 交于点G 、F ． （1）求证：GE =G F ； （2）若BD =1，求DF 的长．
第13题图
14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 °的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60 °．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
第14题图
15． 已知,,a b c
为有理数，证明222a b c a b c ++++为整数．
16．为迎接外国使节来访，仪仗队某小组进行队列造型设计，首先组长让全体队员排成一个方阵（即行与列的人数一样多的队形），人数正好够，然后组长又继续组织了几个队形的变化，最后一个造型需要5人一组，手拿鲜花变换队形．在讨论分组方案时，一组员说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人．同学们，你们说一说这可能吗？为什么？
第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛试题
八年级参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4． D 5．A 6．C 二、填空题
7．)52)(3)(12(-+-x x x 8．40° 9．59° 10．11 11． 6，10 12．8
1
三、解答题
13．（1）∵DF ∥BC ，∠ACB =90°，
∴∠CFD =90°． ∵CD ⊥AB ， ∴∠AEC =90°．
在 Rt △AEC 和Rt △DFC 中，∠AEC =∠CFD =90°，∠ACE =∠DCF ，DC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △DF C ． ∴CE=CF ． ∴DE =AF ．
而 ∠AGF =∠DGE ，∠AFG =∠DEG =90°， ∴Rt △AFG ≌Rt △DEG ．
∴G F=GE ．
（2）∵CD ⊥AB ，∠A =30°， ∴CE =
21AC =2
1
CD ． ∴CE =ED ． ∴BC =BD =1．
又 ∵∠ECB +∠ACE =90°，∠A +∠ACE =90°， ∴∠ECB =∠A =30°，∠CEB =90°， ∴BE =
21BC =21BD =2
1． 在直角三角形 ABC 中，∠A =30°， 则 AB =2BC =2． 则 AE =AB －BE =
2
3
． ∵Rt △AEC ≌Rt △DFC ，
第13题图
∴DF =AE =
2
3． 14．CN =MN +BM
证明：在CN 上截取点E ，使CE =BM ，连接DE ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB =∠ABC =60°，
又△BDC 为等腰三角形，且∠BDC =120°， ∴BD =DC ，∠DBC =∠BCD =30°，
∴∠ABD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠BCD =∠ECD =90°， 在△MBD 和△ECD 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=EC BM ECD MBD DC BD ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）， ∴MD =DE ，∠MDB =∠EDC ， 又∠MDN =60°，∠BDC =120°，
∴∠EDN=∠BDC ﹣（∠BDN +∠EDC ）=∠BDC ﹣（∠BDN +∠MDB ）
=∠BDC ﹣∠MDN =120°﹣60°=60°， ∴∠MDN =∠EDN ， 在△MND 与△END 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DE MD EDN MDN ND ND ， ∴△MND ≌△END （SAS ）， ∴MN =NE ，
∴CN =N E+CE =MN +BM ． 15． 因3是无理数，则
30b c -≠，
而
22
3(3)(3)
33a b a b b c b c b c
++-=-+ 222
33()
3ab bc b ac b c -+-=-为有理数，
所以2
0b ac -=，于是
2
2
2
2
2
2
()2()()2()a b c a b c ab bc ac a b c ab bc b ++=++-++=++-++ 2
()2()()()a b c b a c b a b c a b c =++-++=++-+，
第14题图
因此，
222
a b c a b c a b c
++=-+++为整数． 16．不可能
因为全体队员可排成一个方阵，所以总人数是一个完全平方数，设每行m 人，则总人数为2
m 人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m 为5n ，51n +，52n +，53n +，54n +中的某种情形，这里n 为正整数，从而全体人数2
m 可能是
22(5)5(5)n n =⨯；
222(51)251015(52)1n n n n n +=++=++； 222(52)252045(54)4n n n n n +=++=++； 222(53)253095(561)4n n n n n +=++=+++． 222(54)2540165(583)1n n n n n +=++=+++．
由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只可能是1或4，不可能多3人．。