天津大学《线性代数》在线作业二78
(含答案)天津大学线代2017-2018第一学期期末试题
一、填空题1、子空间412341234{[,,,]R 0,0}W x x x x x x x x =∈+=+=的维数为__________________.2、设向量组12(I),αα和 123(II),,ααα的秩均为2, 向量组124(III),,ααα的秩为3, 则向量组1234,,23−αααα的秩为___.3、设3阶方阵A 的特征值为1,2, 则223______.−+=A A E4、设矩阵21222361a −=−− −A 与矩阵diag(2,2,4)=−B 相似, 则_______.a = 5、设3阶方阵A 的全部特征值为123,,λλλ, 且123,,λλλ互异, 对应的特征向量依次为1230111,,1110k===ααα, 则参数k 的取值范围是___________.二、选择题1、设矩阵A 与B 相似, 则下列结论中错误的是( ).(A) 2A 与2B 相似 (B) A+E 与B +E 相似 (C) T A 与T B 相似 (D) T A+A 与T B +B 相似2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷 《 线性代数及其应用 》 （A 卷 共4页）12、设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示, 但不可由121(I),,,m − ααα线性表示, 记121(II),,,,m − αααβ, 则( ). (A) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 也不可由向量组(II)线性表示 (B) 向量m α不可由向量组(I)线性表示, 但可由向量组(II)线性表示 (C) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 也可由向量组(II)线性表示 (D) 向量m α可由向量组(I)线性表示, 但不可由向量组(II)线性表示3、设A 为m n ×矩阵, 非齐次线性方程组=βAX 有唯一解, 则( ). (A) 向量β可由矩阵A 的线性无关的列向量组线性表示 (B) 向量β可由矩阵A 的线性无关的行向量组线性表示 (C) 向量β可由矩阵A 的线性相关的列向量组线性表示 (D) 向量β可由矩阵A 的线性相关的行向量组线性表示4、设A 为n 阶实对称矩阵, 则−A E 正定矩阵当且仅当A 的特征值( ). (A) 全为正数 (B) 全小于1 (C) 全大于1 (D) 全为15、设实对称矩阵A 与120210002−=−B 合同, A *为A 的伴随矩阵, 则实二次型f X ()=X T A*X 的规范形为( ). 2(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +− (C) 222123y y y −− (D) 222123y y y −−−三、1、求向量组123411210251,,,20131141− ==== − −αααα的秩和一个极大无关组, 并用该极大无关组线性表示其余向量. 2、设矩阵12212221a =A , 11b=α是1−A 的对应于特征值λ的特征向量, 求常数,a b 的值以及λ的值. 四、试问a 取何值时, 线性方程组1231231232,2(2),1x x x x a x x a x x ax a ++= ++−=−−+=− 有唯一解, 无解, 无穷多解？在有解时求其通解. 五、设123,,ααα是线性空间V 的一个基, 且11223323,,2==+=+βαβααβαα. (1) 证明123,,βββ也是V 的一个基;(2) 求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵; 123+2α+α3在基123(3) 求γα=ββ,,β下的坐标.六、设σ是线性空间R 3上的线性变换, 规定σ()=[,y z ,x ],T αα∀=[x ,,y z ]T 3∈R .(1) 求σ在标准基123=[1,0,0],εε=T [0,1,0],=[TT ε0,0,1]下的矩阵A ;3七、求一个正交线性替换, 将实二次型222123123121323(,,)710744f x x x x x x x x x x x x =++−−+化为标准形, 并写出其标准形. 八、设 ,αβ分别是长度为1,2 的3 元列向量, 且α 与β 正交, 记A =αβ + 4βαT T . 证明(1) r A ()≤ 2；(2) 矩阵A 可对角化.填空题: 1、2. 2、3. 3、6. 4、3. 5、2k ≠. 选择题: DBACC三、1、秩为3, 41232=+−αααα. 2、2,2,1a b λ==−=−或152,1,a b λ===.四、0,1a a ≠≠−, 唯一解[]T11123,,,1,1a a x x x =− ; 0a =, 无解; 1a =−, 无穷多解T T [3,5,0][2,3,1]k =−+−X . 五、过渡矩阵为100021011 −− ; 坐标111. 六、(1) 010001100; (2) 490241120− −. 七、123λ=λ=6,λ=12. (2) 求σ在标准基123=[1,α0,0],=T [2,α1,0],=T [α0,2,1]T 下的矩阵B .4答案。
天津大学2021《线性代数》在线作业二附满分答案
D.D
答案:C
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A.A
B.B
C.C
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答案:D
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16.题面见图片{图}案:C
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答案:D
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答案:B
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答案:B
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答案:A
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A.A
B.B
线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案
有无穷多解
同 其中
3、求非齐次线性方程组 的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
4、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
（2）写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：
（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
正定从而 正定
4、设 求正交矩阵 ，使 为对角形。
解：
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
七、1、设 为 阶方阵且满足 ，证明 可逆。（证明略）
2、设 阶方阵 若 ，证明 不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组 基础解系为
通解为 其中
2、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
A、 B、 C、 或 D、
三、解矩阵方程
1、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ， 可逆
2、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
3、设 ，求矩阵 ，使得
解：由 ，
可逆
4、设 ，求矩阵 ，使得 。
天津大学线代模拟2
模拟试题2一、填空题(每小题3分，共15分)1. 向量组[][][][，，，，，，，，215，4，3，24，3，2，11111TT T 1-====432αααα T1]2-，的秩为_____，一个极大无关组为______________.2. 设2/1||33=⨯A ，则______|)(2)3(|2*12=--A A .3. 设n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111111A ，则||A 的所有代数余子式之和为_____. 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，n λλλ，，， 21为B 的n 个特征值，且存在可逆矩阵P ，使E PAPAP P B +-=--11，则_____1=∑=ni i λ.5. 设二次型31212322213212224)(x x x tx x x x x x x f --++=，，是正定的，则t 的 取值范围为___________.二、选择题(每小题3分，共15分)1. 设矩阵A 与⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31130000110011B 相似，则=-+-+)2()()(E A E A A r r r ( ). (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 102. 设0||=A ，21αα，是AX 0=的一个基础解系，0≠=33ααA ，则( )不是A 的特征向量.(A) 21αα+ (B) 212αα- (C) 313αα+ (D) 32α3. 设A ，B 均为n 阶方阵，且2)(2)(n/r n/r <<B A ，，则齐次线性方程组0=AX 与0=BX ().(A) 没有相同的非零解 (B) 同解(C) 只有相同零解 (D) 有相同的非零解 4. 设n n ⨯∈R A ，n m )r(<=A ，则下列说法不正确的是( ). (A) A 可经过初等行变换化为][O E m ，(B) 对任意m 为列向量β，方程组β=AX 必有无穷多解 (C) 若m 阶矩阵B ，满足O BA =，则O B = (D) T AA 为正定矩阵5. 设矩阵A 与)(diag 21n d d d ，，， 相合，则必有( ). (A) n r =)(A (B) A 是正定矩阵(C) n d d d ，，， 21是A 的特征值(D) 二次型AX X T 有标准形2222211n n y d y d y d +++三、(10分) 设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++02)1(4022)2(02321321321x x a x x x x a x ax x ，，有非零解，且三阶矩阵A 的三个特征值为224，，-，对应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112121321321a a a a a a X X X ，，. 试确定参数a ，并求矩阵A .四、(8分) 设][3214αααα，，，=A ，非齐次线性方程组β=AX 的通解为[][]TT201-11111，，，，，，k +，其中k 为任意常数.1. 1α能否由432ααα，，线性表示？说明理由.2. 3α能否由421ααα，，线性表示？说明理由.五、(8分)已知[][][]4T3T2T111153113201αααα，，，，，，，，，，，，a -=== [][]TT5116421，，，，，，，b a =+=β，问a ，b 取何值时，1. β不能由4αααα，，，321线性表示；2. β可由4αααα，，，321线性表示，并写出该表达式.六、(8分)设实线性空间V 的一个基为(Ⅰ)：xx x x e e e e 24231====αααα，，，x x 2.定义V 的线性变换σ：V x f x f x f ∈∀=)()('))((，σ.1. 求σ在基(Ⅰ)下的矩阵A ；2. 问是否存在V 的基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵？并说明理由.七、(16分)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242221baa A 实对称，2为A 的特征值. 1. 求a ，b 的值；2. 求正交矩阵S 及对角矩阵Λ，使得ΛAS S =T ；3. 二次型X A X X 2T )(=f 是否为正定二次型？八、(1题6分，2题5分，3题5分，共16分)1. 设A ，B 均为n 阶正交方阵，n 为奇数，求证B A +与B A -至少有一个不可逆；2. 设n E AB =，求证A 的行向量组线性无关；3. 设n n B A ⨯∈R ，对称，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b ，求证B A +的特征值全大于b a +.模拟试题2答案一、填空题1. 3，421ααα，，(或431ααα，，，或432ααα，，)；2. 541-；3. 1；4. n ；5. )22(，-.二、选择题1. (C)；2. (C)；3. (D)；4. (A)；5. (D).三、33⨯齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为0，即0)1)(2(21422212=+--=--+a a a a a ， 得2=a 或1-.若2=a ，则21X X =，与21X X ，是A 的属于不同特征值的特征向量矛盾！故1-=a . 当1-=a 时，][][]T3T2T1101012321，，，，，，，，=-=-=X X X ，显然32X X ，线性无关，从而321X X X ，，线性无关.令][321X X X S ，，=，则S 可逆，且)224diag(1，，-=-AS S ，因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-163222123)224d i a g (1S S A ，，. 四、由题设，知[]T201-1，，，是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则314)(=-=A r ，且0=+-4212ααα.1. 432120αααα-+=，则1α可由432ααα，，线性表示.2. 设3α可由421ααα，，线性表示，则)()(34214321ααααααα，，，，，r r ==，因此421ααα，，线性无关.与0=+-4212ααα矛盾！故3α不能由421ααα，，线性表示.五、令44332211ααααβx x x x +++=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+-=+++.5)6(53432121432143214324321x a x x x b x ax x x x x x x x x x ，，，对其增广矩阵作初等行变换，可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=01301001211011111561534321211011111~a b a a b a A . 当1=a 且3≠b 时，)~(32)(A A r r =<=，则方程组无解，此时β不能由1α ，4ααα，，32 线性表示.当1≠a 时，4)~()(==A A r r ，则方程组有唯一解，此时β可由，，，321ααα4α线性表示，且表示法唯一.1)3(2141301234---=--+=--==a b x a b a x a b x x ，，，4321013141)3(2ααααβ+--+--++---=a b a b a a b当1=a 且3=b 时，42)~()(<==A A r r ，方程组有无穷多解，此时β可由4αααα，，，321 线性表示，但表示法不唯一.431432221x x x x x x +-=-+=， 其中43x x ，任意取值，则4231221121)21()2(ααααβk k k k k k ++-+++-=，其中21k k ，任意常数.六、1. 由σ的定义，有，，，，424322311122)(22)()()(αααααααααα==+=+=+=+===xxx2xx2xe σe x x σxee σe σe从而σ在基(Ⅰ)下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=20010*********A . 2. A 的全部特征值为214321====λλλλ，.对于三重特征值1，有-43134)(≠=-=-E A r ，因此A 不能对角化，从而σ不能对角化，即不存在V 的基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵.七、1.由A 对称，知4=b .又2是A 的特征值，则0)2(44444221|2|2=-=-----=-a aaE A ， 得2=a .2. A 的特征多项式为)7()2(242422221||2+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+--=-λλλλλλA E ，则72321===λλλ，.A 的对应于特征值722，，的特征向量为[][][].22，11，22212T3T2T1-=-==，，，，，，X X X将321X X X ，，单位化，得正交矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21222112231S ，且 ΛAS S =-=)722diag(T ，，八、 1. 由B A ，正交，知E B B E AA ==T T ，，则⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-+=+=+BB A A B AA B AB B A B B A A B AA B AB B A T T T TT T )()(于是||||||||)1(||||22B A B A B A B A B A n -+-=-+(n 为奇数)，即0||||)||||1(22=-++B A B A B A因此0||||=-+B A B A ，故0||=+B A 或0||=-B A ，从而B A +与B A -至少有一个不可逆.2. 由n E AB =，知}m i n {)()(s n r n r ，≤≤=A AB (s为A 的列数)，因此)(A rn =，故A 的行向量组线性无关.3. 实对称矩阵E A a -，E B b -的特征值全为正，则E A a -，E B b -均正定，因此E B A E B E A )()()(b a b a +-+=-+-也正定，故B A +的特征值全大于b a +.。
天津科技大学线性代数检测题答案（最新）
1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)430130133013310101010101r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得 原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr r r r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ， 故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ；(2) ()()()()111211111nn -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B P ，()()112100n c c c -== C Q ，则=A BC . “⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x x x x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解 ；2. 0；3. 无关 ；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0， 则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数及其应用(天津大学)智慧树知到课后章节答案2023年下天津大学
线性代数及其应用（天津大学）智慧树知到课后章节答案2023年下天津大学天津大学第一章测试1.答案:;;2.答案:对3.答案:4.答案:5.答案: 第二章测试1.答案:2m 2.答案:3.答案:4.答案:对5.答案:2;0第三章测试1.答案:(4);(1)2.答案:(1) 3.答案:(2);(4);(1)4.答案:(2)5.答案:(4);(2)6.答案:(3)7.答案:(4)8.答案:(2);(1)9.答案:(2)10.答案:(1);(2)第四章测试1.答案:（3）;（2）2.答案:（2）;（1）3.答案:（4）;（2）4.答案:错5.答案:（3）;（2）;（4）6.答案:（3）7.答案:对8.答案:（1）;（4）9.答案:（4）;（1）10.答案:（3）第五章测试1.答案:;2.答案:3.答案:34.答案:5.答案:;第六章测试1.方程组(A−k E n)X=O有非零解,则k是A的特征值 .答案:对2.主对角元都为 k（不等于零）的n阶上三角矩阵可对角化，当且仅当该上三角矩阵维数量矩阵.答案:对3.与对称矩阵正交相似的矩阵不一定是对称矩阵.答案:错4.A, B是同阶实对称矩阵, 则A与B相似, 当且仅当A与B的特征值相同 .答案:对5.设X是可逆矩阵A对应于特征值λ 的特征向量, f(A) 是A的矩阵多项式,则X不一定是( )的特征向量答案:AT6.设向量[1, a, −2]T 与 [0, 1, 3]T 是对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,则参数 a 的值为( ).答案:67.若矩阵A与B相似,且A可逆,则下列错误的是( ).答案:AT 与 BT 不相似.8.下列矩阵只能与自己相似的是( ).答案:数量矩阵9.相似的方阵具有相同的( ).答案:行列式;迹;特征值;秩10.下列哪些条件能保证 n 阶方阵A在数域 P 上可对角化答案:A 在数域 P 内有 n 个互不相同的特征值.;A 的每个特征值都在 P 内, 且每个特征值的几何重数等于代数重数.;A 在数域 P 上有 n 个线性无关的特征向量.;A 是迹非零且秩为 1 的方阵.第七章测试1.答案:2.答案:;3.答案:54.答案:全大于15.答案:;。
19春天津大学《线性代数(专)》在线作业二100分答案
11.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
12.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
13.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
14.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
15.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:D
二、判断题(共5道试题,共25分)
5.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:A
6.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D标准选择是Biblioteka C7.题面见图片A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:C
8.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
9.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
标准选择是:B
10.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
1.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
2.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:A
3.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
4.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
5.题面见图片
A.错误
B.正确
标准选择是:B
《线性代数(专)》在线作业二-0001
大学线性代数作业答案
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(D)说明：由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确．4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（ B ）.(A) 也是对称矩阵(B) 也是对称矩阵(C)(m为正整数) 也是对称矩阵(D)也是对称矩阵理由：，因此（B）错误．三、设,为二阶单位阵，满足, 求.解：由得，即，两边取行列式得，而，因此．四、1、已知，，，求．结果为2、已知，，求．结果为3、已知，，求，，．结果为4、计算，结果为05、计算五、设证明：当且仅当．证：必要性，已知，即，则，得．充分性，已知，则，因此．2.2 逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则 4 ， 4 ，．说明：，，2、设为矩阵，为矩阵，则 -8 ．说明：3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件．4、已知，且可逆，则=．说明：等式两边同时左乘5、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则．说明：二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（ B ）（A）（B）（C）（D）2、设均为阶方阵，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩阵方程：解：，3、利用逆矩阵，解线性方程组解：系数矩阵为，则，则四、设方阵满足方程．证明：和都可逆，并求他们的逆矩阵．证：因此，和都可逆，且，2.3 初等变换与初等矩阵一、填空题＝．说明：由于，，因此二、选择题：1、设为阶可逆矩阵，则（ B ）（A）若，则；（B）总可以经过初等变换化为；（C）.对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；（D）以上都不对．说明：（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，，，则必有（ C ）（A）（B）（C）（D）利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为：2、，逆矩阵为：3、，逆矩阵为：4、，其中，将最后1行调整到第1行三、已知，求解：由于，则，由，因此．四、已知，，求矩阵．解法1：由得：，即，此式两边同时左乘，再右乘，得（1）再由得：，即，两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得：解法2：将变形得，可得，两边加得：，即，则，因此．五、已知，其中，求矩阵．解：由得：，即因此，六、设，为三阶可逆矩阵,求．解：，则因此，2.5 矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0 ．2、设是矩阵，，，则 3 ．说明：可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩．3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为．4、设, 秩，则 -3 ．说明：将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子将第1行乘以-1加到以下各行，因此当或时，，但时显然，因此．5、设, 秩，则 1 ．说明：二、求下列矩阵的秩1、，2、，3、，三、设，1）求；2）求秩（要讨论）．解：则当时，；当时，．四、讨论矩阵的秩．解：当且、、时，；其它情况，．第三章向量3.1 向量的概念及其运算1、已知,求，及.结果：2、已知,,满足，求.结果：3、设，其中，，，求．结果：4、写出向量的线性组合，其中：（1）（2）结果：1） 2）5、已知向量组，问：向量是否可以由向量线性表示？若可以，写出其表达式；解：设即可得方程组：，用克拉默法则可得：，，则向量可以由向量线性表示，．3.2 线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因.1）线性相关．包含零向量的向量组都是线性相关的．2）线性无关．两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例．3），因此向量组线性无关．4）线性相关．5）线性相关．向量个数大于向量维数，必线性相关．2、填空题设向量组线性相关，则 2说明：，则设向量组线性无关，则必满足关系式说明：若维单位向量组可由向量组线性表示，则说明：书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）向量组中必有两个向量的分量对应不成比例向量组中不含零向量向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示存在全为零的数，使得2）设其中是任意实数，则（C）向量组总线性相关向量组总线性相关向量组总线性无关向量组总线性无关4、已知向量组线性无关，证明：(1) 线性无关证明：设即，由线性无关得，即，因此线性无关．(2) 线性相关证法1：设即，由线性无关得，当时方程组成立，因此线性相关．证法2：由，得线性相关．5、已知，，问：向量能否由向量组唯一线性表示？解：设，即方程组系数行列式，，，因此可由向量组唯一线性表示，．3.3 向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关说明：由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还是线性无关．（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是（ B ）可由线性表示可由线性表示可由线性表示可由线性表示（2）设维向量组的秩，则（ B ）向量组线性无关向量组线性相关存在一个向量可以由其余向量线性表示任一向量都不能由其余向量线性表示（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）解：由，得向量组的秩为3．（2）（要讨论）解：当，时秩为3；当时秩为2；当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．（1）解：为极大线性无关组，且．（2）,,解：为极大线性无关组，，5、已知向量组的秩为，1）求2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．解：（1），（2）为极大线性无关组，．6、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组线性无关．证明：由维单位向量可由维向量组线性表出，且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，由的秩为，因此的秩为，因此线性无关．7、设，，，，证明：线性无关．证明：设，即则由得：，系数行列式因此线性无关．8、设，若各向量组的秩分别为：，，证明：向量组的秩为4．证明：反证法，假设向量组的秩小于4，由知，线性无关，根据书69页定理5知：可由线性表示，设为，即（1）再由，得线性相关，再由刚才定理知：可由线性表示，设为，代入（1）得：因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾．因此向量组的秩为4．3.4 向量空间1、设问是不是向量空间，为什么？解：是向量空间，不是向量空间．（大家自己证明）2、向量在基，，下的坐标是．说明：设方程，解之即可．3、略4、试证：由生成的向量空间就是，并求的一组标准正交基．证：由，则线性无关，，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，所生成的向量空间为．由施密特正交化法：，单位化得：，，，为空间的一个标准正交基．第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足＝4 ；线性方程组有解，且，则应满足＝32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是．说明：由，得3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为 2 ．说明：解空间的维数+结果为．4）设为四元非齐次线性方程组，，是的三个非零解向量，，则的通解为．说明：由4-3＝1知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由，，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的通解为5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则．说明：由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，则其系数行列式必为0，推出．2、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）2）线性方程组有唯一解的条件是（B）只有零解、、都不对3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解仅有零解的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）解：方程组化为：，设，解得，，基础解系为：2）解：方程组化为令，解得：，令，解得：，基础解系为：，4、求方程组的特解．解：方程组化为，令，得，因此方程组的一个特解为：．5、求下列线性方程组的通解1）解：方程组化为：，设，得，，通解为：2）解：方程组化为：选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为方程组通解为：（3）四元线性方程组解：由知原方程组有无穷多组解．先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数．6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，，，，求方程组的通解.解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系．由解的结构知的通解为，其中为任意常数即．（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出一般解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得，所以当时原方程组有非零解．当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，，得于是方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出其通解．解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解．由可得或时原方程组有非零解．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为通解为，其中为任意常数．（4）讨论当取何值时方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，或者时，原方程组有无穷多解．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（5）已知线性方程组问方程组何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其通解．解：当，即，或时，原方程组无解．当，即，时，原方程组有唯一解．当，即，且时，原方程组有无穷多解．当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得导出组的一个基础解系在中令得一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（6）若是方程组的基础解系，证明：也是该方程组的基础解系．证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的．设整理得由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系．（7）设方程组证明：此方程组对任意实数都有解，并且求它的一切解．证明：由于，故对任意实数原方程组都有解．对，选为自由未知量，在对应的中令得，导出组的一个基础解系为在中令得，原方程组的一个特解于是方程组的通解为，其中为任意常数．（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明：若，则向量组线性相关．证明：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量．由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足，整理得，从而向量组线性相关．第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1 矩阵的特征值与特征向量1、填空题1) 矩阵的非零特征值是 3 ．2) 阶单位阵的全部特征值为 1 ，全部特征向量为全体n维非零实向量3) 已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为的特征值为，的特征值为，的特征值为．4) 已知为二阶方阵，且，则的特征值为 0，1 ．2、选择题1) 设是阶矩阵，若，则的特征值（ C ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数2) 若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（ B ）全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数(3) 设＝2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B ）4) 若为阶方阵，则以下结论中成立的是（ D ）的特征向量即为方程组的全部解向量；的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量5) 与阶矩阵有相同特征值矩阵为 D3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数．2）解：特征方程为特征植为当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．当时，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．3）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数4）解：特征方程为特征植为对，，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数．4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数．5.2 相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1) 若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则 24说明：由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全部特征值的乘积，因此为24.2) 若矩阵相似于矩阵，则 1说明：，由于与均可逆，则2、选择题1) 阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）充分必要条件充分而非必要条件必要而非充分条件即非充分也非必要条件2) 阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）相同的特征值互不相同的特征值线性无关的特征向量两两正交的特征向量3) 设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是,设，则（A）4) 若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是 C相似于相似于相似于三者中有一个不正确3、设三阶方阵的特征值为1）2) 设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1．3)4、判断下列矩阵是否相似1）与解：特征方程为特征值为故可对角化，2）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵．3）与解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵．5、判断下列矩阵能否对角化？若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵．1）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．2）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化．对此齐次方程组取一个基础解系对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系．取，有3）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化．6、设阶方阵的特征值为，，它们对应的特征向量依次为，求.解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化．从而5.3 实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基础解系包含 3 个解向量．2、设，求正交矩阵，使得解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，，单位化：，，取，有3、设，求.解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故解方程组得4、设1) 求、2) 求正交矩阵，使得解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2即，解得2)此时，，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，，，有5、设，求（为正整数）解：特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵.证明：1）幂零矩阵的特征值全为零.2）不能相似于对角矩阵.证明：证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即，，又，带入上式得，即，又，只有从而2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵．第六章二次型6.2 化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2、二次型的矩阵是，该二次型的秩是 33、二次型的秩为 2 ．说明：对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为2．4、矩阵为二次型的二次型矩阵．若该二次型的秩是,则 1说明：令，求得二、选择题二次型的矩阵是(D)(A) (B)(C) (D)说明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D．三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.解：（1）（2）特征方程为特征值为对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，，取，作正交变换，即则将化为标准形四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩：（1）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（2）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（4）解：令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．（5）解：令令，它的逆变换，带入得，这个线性变换将化为标准形该二次型是一个秩为3的二次型．五、设二次型经过正交变换化为标准形，求常数.解：，该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值．从而有即，解得六、已知是二次型的矩阵的特征向量,求这个二次型的标准形.解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程解得特征值为二次型的标准形为6.4 正定二次型一、填空题(1)设，则不是正定矩阵;式子不是二次型；式子不是二次型（填“是”或者“不是”）．（2）设是正定的，则．(3)若二次型是正定的，则t的取值范围是．二、（1）二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 A ．(A) 2,0,2 (B) 2,0,0(C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不负定（B）负定的（C）正定的（D）无法确定(3) 如果A是正定矩阵，则 C ．（A是A的伴随矩阵）(A) A′和A－1也正定，但A不一定（B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－1、A也都是正定矩阵(D) 无法确定（4）二次型是正定二次型的充要条件是 C（A）存在维非零向量，使（B）,（C）的正惯性指标为（D）的负惯性指标为（5）对正定二次型矩阵下列结论不正确的为（ D ）（A）合同于一个同阶单位阵（B）所有特征值都大于0（C）顺序主子式都大于0（D）不能对角化（6）以下命题正确的是（题目错，无正确答案）（A）若阶方阵的顺序主子式都大于零，则是正定矩阵（B）若阶方阵的特征值都大于零，则是正定矩阵（C）若阶实对称矩阵不是负定的，则是正定的（D）若阶实对称矩阵的主对角线元素不全为零，则一定不是正定的三、判断下列二次型的正定性：（1）解：该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定．（2）解：该二次型的矩阵为，因为，，，，二次型正定．四、求值,使下列二次型为正定二次型（1）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．（2）解：该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，，同时成立，所以二次型正定可得．线性代数试题（一）一、填空题（每题4分，5小题共20分）1、已知为阶方阵，为的伴随矩阵，若，则=．提示：，因此，得2、设、是三阶方阵，是三阶单位阵，且，则 -4 ．提示：由得，则3、向量在基，，下的坐标为（1，2，3）．4、若向量组，，的秩为2，则 3 ．5、阶方阵，若满足，则的特征值为 0或1 ．二、选择题（每小题3分，共15分）1、设和都是阶方阵，且，是阶单位阵，则（ B ）．。
[南开大学]21春学期《线性代数》在线作业-(资料答案)1
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[南开大学]21春学期《线性代数》在线作业试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 50 道试题,共 100 分)1.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C2.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B3.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B4.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A5.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：A6.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D7.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A8.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C9.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：B10.用数k去乘行列式等于用k去乘（）<A>项.行列式的所有元素<B>项.行列式的某一行的所有元素[-标准答案-]：B11.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B12.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C13.{图}<A>项.1<B>项.-1<C>项.-2<D>项.2[-标准答案-]：B14.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D15.{图}<A>项.1<B>项.2<C>项.3<D>项.4[-标准答案-]：B16.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：A17.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D18.{图}<A>项.1<B>项.2<C>项.3<D>项.4[-标准答案-]：C19.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A20.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B21.{图}<A>项.1<B>项.2<C>项.3<D>项.4[-标准答案-]：C22.排列 3421 的逆序数是（）<A>项.1<B>项.5<C>项.2<D>项.4[-标准答案-]：B23.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C24.{图}<A>项.-1<B>项.0<C>项.1<D>项.2[-标准答案-]：B25.{图}<A>项.充分必要条件<B>项.充分而非必要条件<C>项.必要而非充分条件<D>项.既非充分也非必要条件[-标准答案-]：B26.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：A27.互换行列式的两行（列），则行列式（）<A>项.的值不变<B>项.变号<C>项.换行（列）不变（变号<D>项.换列（行）不变（变号）[-标准答案-]：B28.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C29.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A30.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A31.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B32.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D33.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B34.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：A35.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B36.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D37.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C38.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A39.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A40.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：B41.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：B42.{图}<A>项.1<B>项.2<C>项.3<D>项.4[-标准答案-]：D43.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}[-标准答案-]：A44.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A45.{图}<A>项.1<B>项.-1<C>项.2<D>项.-2[-标准答案-]：B46.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C47.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：D48.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：A49.{图}<A>项.1<B>项.-5<C>项.5<D>项.0[-标准答案-]：C50.{图}<A>项.{图}<B>项.{图}<C>项.{图}<D>项.{图}[-标准答案-]：C。
线性代数 大作业(二)
线性代数 大作业（二）学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________ 1.在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。
假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示,而T1,T 2,T 3,T 4表示钢板内部四个节点的温度。
若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如T 1=(30+40+T 2+T 3)/4，请计算该钢板的温度分布。
(1)根据已知条件可以得到以下线性方程组得矩阵形式:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0114140110414110 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321T T T T =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡70505030 (2)给出方程组的解。
T 1=30。
C,T 2=25。
C,T 3=25。
C,T 4=20。
C A=[0 -1 -1 4;-1 4 0 -1;-1 0 4 -1;4 -1 -1 0];b=[30;50;50;70]; U=rref([A,b]) U =1 0 0 0 30 0 1 0 0 25 0 0 1 0 25 0 0 0 1 20请过这六个点作一个五次多项式函数p 5(x)=5544332210x x x x x αααααα+++++,并求当x=6时的函数值p 5(6) 。
p 5(6)=3956 x=[0;1;2;3;4;5];2030404020C CC CC Cy=[2;6;0;26;294;1302];A=[x.^0 x.^1 x.^2 x.^3 x.^4 x.^5]; a=A\y;disp('五次多项式系数为：') disp(a); x0=6;y0=a(1)+a(2)*x0+a(3)*x0^2+a(4)*x0^3+a(5)*x0^4+a(6)*x0^5; disp(y0);五次多项式系数为： 2.0000 5.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 1.0000 3.9560e+003假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。
天津大学2021年《线性代数》各章节练习题及答案解析
（1.1 矩阵及其运算）一、填空1． 若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=115201,101324,220131C B A ，则（1）23A B C -+= ；（2）T AB = .2. 若矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--9423941146752780112356413X ，则X = 3. ()31,2,321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ； ()211,23⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭二、设1213A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1012B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，问： 1. AB BA =吗? 2.222()2A B A AB B +=++吗? 3. 22()()A B A B A B +-=-吗?三、计算下列乘积：1．13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭； 2．111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.四、设523)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=253142321A ，求)(A f .五、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ，求kA .（1.2 行列式及其计算）一、填空1． 201141183--=- ；222111ab c a b c = ； 2． 四阶行列式中含有因子2311a a 的项为 ；3．1110110110110111= ；1111111111111111x x x x ---+-=--+-- . 二、证明: 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a . 三、计算下列各行列式（k D 为k 阶行列式）:1. a aD n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；2. 02008200800002008000002008=n D ；3． 12132132321152113311321------=n n n n nn n n n n D n；4． nnn nn n nn nn n D n 20200000200020002=； 5． nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a .（1.3 方阵的逆）一、填空题1．设A 为4阶矩阵，且21||=A ，则|*2)3(|1A A --= ． 2．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012003310002100A ，则1-A = ，1*)(-A = . 3．已知矩阵X 满足⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212001*********X ，则X = . 二、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120A ，求1-A ； 2．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3111211111A ，求1*)(-A . 三、设A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .四、证明题1．设方阵X 满足022=--E X X ，证明E X X 2,+都可逆，并求11)2(,--+E X X .2．若B A ,为同阶可逆矩阵，则**)*(A B AB =.（1.4 Gramer 法则）一、填空1． ,λμ= ，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？(1λ=或0μ=)2. 齐次线性方程组()()()123123123124023010x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ= .(0,2λ=或3λ=)二、利用克拉默法则解下列线性方程组：1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=+++-=+++=+++247312224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2．121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩解5600015600665015600015600015D ==,116000056001507015600015610015D ==,251000106001145005600015601015D ==-,35610015000703010600005600115D ==,45601015600395015000010600015D ==-, 55600115600212015600015000011D ==,1111115071145703395212,,,,665665665665665x x x x x ∴==-==-=第二章 矩阵的初等变换与线性方程组2.1-2.3 初等变换与初等矩阵、逆矩阵一、用初等变换将下列矩阵化为标准形:1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121423423； 2．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------03151113317120413171；3．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13603116030242201211.解：利用矩阵的等价的阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵及标准型的非零行行数不变的性质，用初等变换将矩阵化为标准形时，只需化到阶梯形矩阵，求得非零行行数即可写出其标准型。
天津大学《数值计算方法》在线作业一答案
D.
?
正确答案：C
10. A. 0.1
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.4
?
正确答案：D
二,判断题
1.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
2. A.错误
B.正确
?
正确答案：B
3.具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
?
正确答案：C
7. A.小于n次的多项式
B.等于n次的多项式
C.大于n次的多项式
D.小于等于n次的多项式
?
正确答案：B
8.求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是()。
A.对称阵
B.正定矩阵
C.任意阵
D.各阶顺序主子式均不为零
?
正确答案：B
9. A.
B.
A.错误
B.正确
?
正确答案：A
10.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。()
A.错误
B.正确
?
正确答案：B
《数值计算方法》在线作业一
一,单选题
1. A.
B.
C.
D.
?
正确答案：D
2. A.
B.
C.Leabharlann D.?正确答案：A
3. A.任意n次多项式
B.任意不超过n次的多项式
C.
D.无法确定
?
正确答案：C
4. A.
B.
C.
D.
?
正确答案：D
大学线性代数练习试题及标准答案
大学线性代数练习试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a a a a 11122122=m ，aa a a 13112321=n ，则行列式aa a a a a 111213212223++等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）A. –6B. 6C. 2D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）4A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解 10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
天津大学2020秋季学期《线性代数》在线作业一附答案
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
1.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
2.题面见图片{图}
A.A
B.B{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
需要代做加微boge30619
答案:C
10.题面见图片{图}
A.A
B.B
C.C
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答案:A
11.题面见图片{图}
A.A
B.B
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答案:A
12.题面见图片{图}
A.A
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答案:C
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答案:C
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答案:C
15.题面见图片{图}
4.题面见图片{图}
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B.B
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答案:D
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答案:A
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答案:B
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A.A
B.B
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答案:C
8.题面见图片{图}
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答案:C
9.题面见图片{图}
A.A
B.B
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A.A
19秋天大《线性代数》在线作业一答案
B.B
C.C
D
【答案】:D
12.题面见图片
A.A
B.B
C.C
D.D
【答案】:B
13.题面见图片
A.A
B.B
C.C
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【答案】:B
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A.A
B.B
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【答案】:A
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A.A
B.B
C.C
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【答案】:D
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A.A
B.B
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【答案】:C
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A.A
B.B
C.C
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【答案】:C
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A.A
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【答案】:A
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A.A
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【答案】:D
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【答案】:D
A.A
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【答案】:A
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A.A
B.B
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【答案】:D
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A.A
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【答案】:A
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A.A
B.B
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【答案】:D
9.题面见图片
A.A
B.B
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【答案】:C
10.题面见图片
A.A
B.B
C.C
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【答案】:D
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天津大学《线性代数》在线作业一