复数专题训练四精选练习及答案

复数专题训练（四）

班级 ________ 姓名__________ 记分___________

28、（本小题满分12分）(续前)

复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1、z 2在复平面内的对应点分别为Z 1、Z 2，O 为原点． （1） 若z 2-z 1=-1，求arg

12z z ； (2) 设argz 1=α，argz 2=β，若ΔOZ 1Z 2的重心对应复数31+15

1

i ，求tg(α+β)的值．

29、（本小题满分12分）

设z 为复数，D 为满足条件||z|-1|+|z|-1=0的点Z 所构成图形的边界．

（1） 若复数ω=

21

z+1-2i(z ∈D)，求ω对应点的轨迹方程； （2） 若满足条件|z+21|=|z-2

3

i|所构成的图形D /与D 有两个公共点A 、B ，OA 、OB 的倾

斜角分别为α、β（O 为原点），求cos(α+β)的值．

30、（本小题满分14分）

设无穷数列{z n }满足z 1=-1+i ，z n 在复平面上的对应点为Z n (n=1，2，…)，将向量n OZ 沿逆时针方向旋转

4

π

，且使模扩大到原来的2倍就得到向量1n OZ +． (1). 求这个数列的通项公式； (2). 已知数列的第n 项为-32，求n ； (3) .将数列{z n }中的实数项的倒数按原顺序排成一个新数列{b n }，并设S n =b 1+b 2+…+b n ，求∞

→n lim S n ．

参考答案： DCCBA AADCC BDBDD

16、10, 0 17、{-2,0,2} 18、82，

π4

19、(1)Z 为实数(2)0或1或-

i 2

321± 20、

3

2π

; 21、2±

;

22、(1) –1; (2) 300o

; (3) -2 3 I; (4)__________ 23、以( －1 , 0 ) 为圆心, 2为半径的圆 .

24、解析：设Z 1=cos α＋isin α,Z 2=-4(cos β＋isin β)

∵Z 1－Z 2=1－2i 3,∴⎩⎨

⎧-=-=-)

2(32sin 4sin )

1(1cos 4cos ΛΛΛβαβα

(1)2

＋(2)2

得

1＋16－8cos(α－β)=13,∴cos(α－β)=

2

1

,sin(α－β)=23±

∴21Z Z =21Z Z =[cos(α－β)＋isin(α－β)]=8

381)3321(41±=±i i

25、．解：由|z 1|=1，则1

z =

1z 1，|z 2|=4，则2z =2

z 16

，∴|z 1-z 2|2

=|z 1|2

+|z 2|2

-1z z 2-z 12z =|1-23i|2

=13，∴1z z 2+z 12z =4，即

12z z +162

1z z

=4，∴16（

21z z ）2-421z z +1=0，∴21z z =8i 31±，ω=2

21z z 3z 4-=21（1±3i ）-3=-25±2

3

i ．

26、解：（1）设x 0为原方程一实根，则x 02

-2(1+i)x 0+

2

1ab-(a-b)i=0，所以⎪⎩⎪⎨⎧

-==+-,

a b x 2,

0ab 21x 2x 0020消去x 0得(a+2)2

+(b-2)2

=8，所以-22-2≤a≤22-2，2-22≤b≤2+22．

（2）设a+2=22cosθ，b-2=22sinθ，则x 0=2a b -=2sin(θ-4

π

)+2∈[0，4]，所以此方程实根的最大值为4，最小值为0．

27、解：设z 的辐角主值为θ，则2z 、3z 的辐角的主值均为θ．∵|z|=2，∴|2z|=4，|3z|=6，

∴S 3

AOP ∆=

2

1

|OA|·|OP 3|·|sinθ|=3|sinθ|，S

1

AOP ∆=

2

1

|OA|·|OP 1|·|sinθ|=|sinθ|，∴S 21AP P ∆+S 32AP P ∆= S 3

AOP ∆-

S 1AOP ∆=2|sinθ|=2，∴|sinθ|=1，即θ=2π或θ=2

3π

，故z=2i 或z=-2i ．

28、．解：（1）因为|z 1|=|z 2|=1，所以

|z ||z |12=1，设12z z =cosθ+isinθ，θ=arg 1

2z z ，代入z 2-z 1=-1，得(cosθ+isinθ)z 1-z 1=-1，所以z 1(cosθ+isinθ-1)=-1，所以|(cosθ-1)+isinθ|=1，即

θ+-θ2

2

sin

)1(cos =1，θ-cos 22=1，cosθ=21，所以arg 12z z =θ=3π或3

5π

． （2）设z 1=c osα+isinα，z 2=cosβ+isinβ，则3

cos cos β+α=

31，且3

sin sin β+α=151

，即⎪⎩

⎪

⎨⎧=β+α-=β+α,51sin sin ,

1cos cos 解得tg 2β+α=51，所以tg(α+β)=125．