数学建模之人口预测
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3
令△t
0，得到 P(t)满足微分方程 dP (2) rP dt 由这个方程可以解出 rt P(t)=P0e (3) r>0 时，表示人口将按指数规律随时间无限增长。 [3] 利用线性最小二乘法 ，将(3)式取对数，得到 y=rt+a，y=ln P ，a=ln P0 (4) [4] 运用Matlab编程 （程序见附录1）,以1999-2006年至的数据对(4)进行数据 拟合，得到相关的参数 a=lnP0=7.1385; r=0.0063，得到 P0=exp(a)=1259.5 （百万） 。 因此可以得到指数增长模型的方程为： P(t)=1259.5 *exp(0.0063*t) (5) 同理可得：若以全部数据拟合对(4)进行数据拟合，得到指数增长模型的方 程为： P(t)= 1262.6*exp(0.0055*t) (6)
4
图 1 指数增长模型拟合图形(1999~2006)
图 2 指数增长模型拟合图形(1999~2013) 可以看出， 用这个模型基本上能够描述二十世纪以前中国人口的增长，但是
5
进入 21 世纪以后，中国人口增长率变慢，这个模型就不合适了。 显然，用它作短期人口预测也可以得到较好的结果。即在这种情况下：模型 的基本假设----人口增长率是常数----大致成立。 但是从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述 也不能预测较长时期的人口演变过程。排除灾难、战争等特殊时期，一般来说， 当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人数增长到一定数量以后，增长就会 慢下来，即增长率减小。 预测未来 30 年中国人口的数量： P(t)= 1262.6*exp(0.0055*t) (百万) 以下表格中的数据单位为 （亿）
查权威数据可知，我国最大的人口容量是 15--16 亿，上表中的数据大于 16 亿，并有继续上升的趋势，因此，此模型误差较大，究其原因，主要在于没有资 源、环境的限制。
5.2 阻滞增长模型 5.2.1 模型建立 人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因中，自然资源、环境条件等因 素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞 增长模型就是考虑了这些因素，对指数增长的基本假设进行修改后得到的。 阻滞增长作用主要是体现在对人口增长率 r 的影响上，使得随着 r 的增长人 口数量 P(t)的增长而下降。 则可以把 r 表示为 P 的函数 r(P)，且它应是减函数。 于是方程应该改写为 dP (1) rP ，P(0)=P0 dt 假设 r(P)是一个关于 P 的线性函数，即 r(P)=r-Ps(r>=0,s>0) (2) 其中这里的 r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是 x=0）的增长率。引入 自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量 Pm(t)当 P(t)= Pm(t)时，人口不再增
关键字
人口预测； matlab 软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型； 年龄 结构；生 育模式；优化模型
1
一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。 从 20 世纪 70 年代后期 以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施 30 多年来， 有效地控制了我国人口的过快增长， 对经济发展和人民生活的改善做出了积极的 贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995 年以来） 、 高校报名人数（2009 年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道， 人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系 列影响，引起了中央和社会各界的重视。
河南理工大学 2014 年数学建模竞赛论文
答卷编号（竞赛组委会填写） ：
题目编号： （ 论文题目：
E
中国人口预测
）
参赛队员信息(必填)：
姓 队员 1 队员 2 队员 3 名 专业班级 电气 12-06 电气 12-06 / 联系电话 18300609766 18300609985 /
刘兵 Βιβλιοθήκη Baidu自杰 /
三、模型假设
1.模型一 人口指数增长模型（马尔萨斯 Malthus，1766--1834） 1)时刻 t 人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数 r。 2)以 P(t)表示时刻 t 我国的人口数，设人口数 P(t)足够大，可以视作连续函数处 理，且 P(t)关于 t 连续可微。 2.模型二 阻滞增长模型（Logistic） 1) 地球上的资源有限， 不妨设为 1； 而一个人的正常生存需要占用资源 1/ Pm(t) ； 2) 在时刻 t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩 m 余资源 s 1 P / P 成正比；比例系数表示人口的固有增长率 ； 3)设人口数 P(t)足够大，可以视作连续变量处理，且 P(t)关于 t 连续可微。
年份 指数模型 2021 14.329 2029 14.973 2037 15.647 2014 13.787 2022 14.408 2030 15.056 2038 15.733 2015 13.863 2023 14.487 2031 15.139 2039 15.820 2016 13.940 2024 14.567 2032 15.222 2040 15.907 2017 14.017 2025 14.647 2033 15.360 2041 15.995 2018 14.094 2026 14.728 2034 15.391 2042 16.083 2019 14.172 2027 14.809 2035 150476 2043 16.172 2020 14.250 2028 14.891 2036 15.561
[2]
5.1.2 结果分析与模型检验 将(5)、(6)式的计算结果与实际数据作比较，表二中人口 P1 是用 1999 年至 2006 年的数据拟合的结果，P2 是用 1999 年至 2013 年的数据拟合的结果，图 1、 图 2 是它们的图形表示(*是实际数据，曲线是计算结果)。(程序见附录 1) 表一 中国实际人口与按指数增长模型计算的比较（单位：亿） 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 年份
答卷编号（竞赛组委会填写） ：
评阅情况（学校评阅专家填写） ：
评阅 1.
评阅 2.
评阅 3.
中国人口预测
摘要
我国是一个人口大国， 人口问题是关系到我国经济发展，社会进步的重要问 题。因此，认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，不仅具有实际意义， 也是有效控制人口增长的前提。 本文采用由浅到深，由简单到复杂的建模原则，依次介绍了三个预测人口的 模型，即指数增长模型，阻滞增长模型和考虑年龄结构和生育模式的人口模型， 并利用我国 1999 年至 2013 年人口统计数据，对模型中的参数进行求解，最后用 它预测未来 30 年我国人口数量，并分析比较“单独二孩”政策对人口变化的影 响 模型一： 建立了指数增长模型。 根据规律建立模型公式——年增长率 r 不变。 我们要验证该模型是否适用。 取题目中给出的数据 1999 年至 2006 年的，数据拟 合用 MATLAB 软件计算的增长率 r 以及初始人口数。将以上两参数带入公式，算 的人口数量， 将之与实际人口数相比较画出对比图形， 发现比较相符。 又取 1999 至 2013 年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分不 太符合。所以，Malthus 人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。 因为人口在增长到一定程度时， 由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率 下降。 模型二： 建立了阻滞增长人口阻滞增长模型。根据查到的数据和公式做出人 口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。用 MATLAB 软 件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式，计算人口数量。可以看 出这个模型的吻合度较好。 于是阻滞增长人口模型，有效的预测在以后一段时间 人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。最后，考虑年龄结构和生育模式对人 口数量的影响。由此构造的模型是我们讨论的重点 最后，对第三个模型进行优缺点评价与改进。
五、模型的建立
5.1 指数增长模型 5.1.1 模型建立 记时刻 t 的人口数为 P(t),当考察我国的人口时，P(t)是一个很大的整数。 利用微积分知识， 将 P(t)视为关于 t 连续可微。 记初始时刻 （t=0） 的认可为 P0.。 加上假设人口增长率为常数 r，即单位时间内 P(t)的增量等于 r 乘以 P(t)。当 考虑 t 到 t+△t 时间内人口的增量，则有 P(t+△t)- P(t)= r P△t (1)
6
长，即增长率 r(P)=0，代入得到 s=
P ，于是有 Pm P P(t)=r(1) Pm
(3)
将(3)代入方程得
dP P rP(1 ) ,P(0)=P0 dt Pm
解方程（4）可得：
(4)
P(t )
Pm P 1 ( m 1)e rt P0
(5)
根据方程(4)作出
dp
dt
~ P 曲线图,见图 1-1，由该图可看出人口增长率随
实际人口 指数模型 2006 13.1448 13.1209 12.5786 12.6253 2007 13.2129 13.1932 12.6743 12.6949 2008 13.2802 13.2660 12.7627 12.7649 2009 13.3450 13.3391 12.8453 12.8353 2010 13.4091 13.4127 12.9227 12.9061 2011 13.4735 13.4867 12.9988 12.9773 2012 13.5404 13.5611 13.0756 13.0489 2013 13.6072 13.6359
二、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响， 因此对人口的预测与控制也就十分复 杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题， 我 [1] 们先建立两个简单的，粗糙的模型，然后，不断的改进得到最终的优化模型 。 1.先拟合出指数增长模型中的参数，再检验实际人口增长是否相符。由于经 历的时间比较长，所以我们分为长期和短期分别检验。就会发现规律，短期的符 合该模型，而长期误差较大。对于这个问题我们认为。由于资源、环境问题， 使 人口增加到一定数量时，增长率会减慢。据此改进，我们就得到了第二个模型。 2.得到第二个模型后，先找出增长率随时间的变化规律以及人口容量值。 分 析人口随时间的变化率与人口容量的关系。然后得出人口与时间的关系。最后检 验计算值与实际值是否相符，结果显示符和较好。 3.分析两模型的优缺点，进而，得到最终的优化模型，用它预测未来三十年 中国人口数量并借它讨论分析“单独二孩”政策对人口变化的影响。
人口数的变化规律.根据结果(5)作出 P~t 曲线，见图 1-2，由该图可看出人口数 随时间的变化规律.
图 1-1
（d y/d t 即为 d p/d t）
7
图 1-2
5.2.2 结果分析与模型检验 据中国科学院国情研究中心公布的资料，中国的整个自然环境最多能容纳 15～16 亿人口，做保守估计，取 r=0.0405， Pm=1500 百万. 将 r=0.0405, Pm=1500 代入公式（5）则有:
四、符号说明
1.模型一 t 表示某一时刻； P(t) 表示时刻 t 我国的人口数，P0 = P(0)； r 表示人口增长率为常数。 2.模型二 t 表示某一时刻； P(t) 表示时刻 t 我国的人口数； Pm(t)表示自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量； r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是 x=0）的增长率。 3.模型三 1）F(r,t)：人口分布函数； 2)f(t):婴儿出生率； 3) (t):总和生育率； 4)h(r,t):生育模式。
2
3.模型三 1）基于模型一和二，对模型二进行了进一步的修正，得到考虑年龄相关性和生 育模式的人口增长预测模型； 2）只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响； 3）在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可近 似的假设μ(r,t)=μ(r)； 4）在稳定环境下可近似认为 H(r,t)=H(r)。
令△t
0，得到 P(t)满足微分方程 dP (2) rP dt 由这个方程可以解出 rt P(t)=P0e (3) r>0 时，表示人口将按指数规律随时间无限增长。 [3] 利用线性最小二乘法 ，将(3)式取对数，得到 y=rt+a，y=ln P ，a=ln P0 (4) [4] 运用Matlab编程 （程序见附录1）,以1999-2006年至的数据对(4)进行数据 拟合，得到相关的参数 a=lnP0=7.1385; r=0.0063，得到 P0=exp(a)=1259.5 （百万） 。 因此可以得到指数增长模型的方程为： P(t)=1259.5 *exp(0.0063*t) (5) 同理可得：若以全部数据拟合对(4)进行数据拟合，得到指数增长模型的方 程为： P(t)= 1262.6*exp(0.0055*t) (6)
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图 1 指数增长模型拟合图形(1999~2006)
图 2 指数增长模型拟合图形(1999~2013) 可以看出， 用这个模型基本上能够描述二十世纪以前中国人口的增长，但是
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进入 21 世纪以后，中国人口增长率变慢，这个模型就不合适了。 显然，用它作短期人口预测也可以得到较好的结果。即在这种情况下：模型 的基本假设----人口增长率是常数----大致成立。 但是从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述 也不能预测较长时期的人口演变过程。排除灾难、战争等特殊时期，一般来说， 当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人数增长到一定数量以后，增长就会 慢下来，即增长率减小。 预测未来 30 年中国人口的数量： P(t)= 1262.6*exp(0.0055*t) (百万) 以下表格中的数据单位为 （亿）
查权威数据可知，我国最大的人口容量是 15--16 亿，上表中的数据大于 16 亿，并有继续上升的趋势，因此，此模型误差较大，究其原因，主要在于没有资 源、环境的限制。
5.2 阻滞增长模型 5.2.1 模型建立 人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因中，自然资源、环境条件等因 素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞 增长模型就是考虑了这些因素，对指数增长的基本假设进行修改后得到的。 阻滞增长作用主要是体现在对人口增长率 r 的影响上，使得随着 r 的增长人 口数量 P(t)的增长而下降。 则可以把 r 表示为 P 的函数 r(P)，且它应是减函数。 于是方程应该改写为 dP (1) rP ，P(0)=P0 dt 假设 r(P)是一个关于 P 的线性函数，即 r(P)=r-Ps(r>=0,s>0) (2) 其中这里的 r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是 x=0）的增长率。引入 自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量 Pm(t)当 P(t)= Pm(t)时，人口不再增
关键字
人口预测； matlab 软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型； 年龄 结构；生 育模式；优化模型
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一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。 从 20 世纪 70 年代后期 以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施 30 多年来， 有效地控制了我国人口的过快增长， 对经济发展和人民生活的改善做出了积极的 贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995 年以来） 、 高校报名人数（2009 年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道， 人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系 列影响，引起了中央和社会各界的重视。
河南理工大学 2014 年数学建模竞赛论文
答卷编号（竞赛组委会填写） ：
题目编号： （ 论文题目：
E
中国人口预测
）
参赛队员信息(必填)：
姓 队员 1 队员 2 队员 3 名 专业班级 电气 12-06 电气 12-06 / 联系电话 18300609766 18300609985 /
刘兵 Βιβλιοθήκη Baidu自杰 /
三、模型假设
1.模型一 人口指数增长模型（马尔萨斯 Malthus，1766--1834） 1)时刻 t 人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数 r。 2)以 P(t)表示时刻 t 我国的人口数，设人口数 P(t)足够大，可以视作连续函数处 理，且 P(t)关于 t 连续可微。 2.模型二 阻滞增长模型（Logistic） 1) 地球上的资源有限， 不妨设为 1； 而一个人的正常生存需要占用资源 1/ Pm(t) ； 2) 在时刻 t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩 m 余资源 s 1 P / P 成正比；比例系数表示人口的固有增长率 ； 3)设人口数 P(t)足够大，可以视作连续变量处理，且 P(t)关于 t 连续可微。
年份 指数模型 2021 14.329 2029 14.973 2037 15.647 2014 13.787 2022 14.408 2030 15.056 2038 15.733 2015 13.863 2023 14.487 2031 15.139 2039 15.820 2016 13.940 2024 14.567 2032 15.222 2040 15.907 2017 14.017 2025 14.647 2033 15.360 2041 15.995 2018 14.094 2026 14.728 2034 15.391 2042 16.083 2019 14.172 2027 14.809 2035 150476 2043 16.172 2020 14.250 2028 14.891 2036 15.561
[2]
5.1.2 结果分析与模型检验 将(5)、(6)式的计算结果与实际数据作比较，表二中人口 P1 是用 1999 年至 2006 年的数据拟合的结果，P2 是用 1999 年至 2013 年的数据拟合的结果，图 1、 图 2 是它们的图形表示(*是实际数据，曲线是计算结果)。(程序见附录 1) 表一 中国实际人口与按指数增长模型计算的比较（单位：亿） 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 年份
答卷编号（竞赛组委会填写） ：
评阅情况（学校评阅专家填写） ：
评阅 1.
评阅 2.
评阅 3.
中国人口预测
摘要
我国是一个人口大国， 人口问题是关系到我国经济发展，社会进步的重要问 题。因此，认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，不仅具有实际意义， 也是有效控制人口增长的前提。 本文采用由浅到深，由简单到复杂的建模原则，依次介绍了三个预测人口的 模型，即指数增长模型，阻滞增长模型和考虑年龄结构和生育模式的人口模型， 并利用我国 1999 年至 2013 年人口统计数据，对模型中的参数进行求解，最后用 它预测未来 30 年我国人口数量，并分析比较“单独二孩”政策对人口变化的影 响 模型一： 建立了指数增长模型。 根据规律建立模型公式——年增长率 r 不变。 我们要验证该模型是否适用。 取题目中给出的数据 1999 年至 2006 年的，数据拟 合用 MATLAB 软件计算的增长率 r 以及初始人口数。将以上两参数带入公式，算 的人口数量， 将之与实际人口数相比较画出对比图形， 发现比较相符。 又取 1999 至 2013 年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分不 太符合。所以，Malthus 人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。 因为人口在增长到一定程度时， 由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率 下降。 模型二： 建立了阻滞增长人口阻滞增长模型。根据查到的数据和公式做出人 口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。用 MATLAB 软 件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式，计算人口数量。可以看 出这个模型的吻合度较好。 于是阻滞增长人口模型，有效的预测在以后一段时间 人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。最后，考虑年龄结构和生育模式对人 口数量的影响。由此构造的模型是我们讨论的重点 最后，对第三个模型进行优缺点评价与改进。
五、模型的建立
5.1 指数增长模型 5.1.1 模型建立 记时刻 t 的人口数为 P(t),当考察我国的人口时，P(t)是一个很大的整数。 利用微积分知识， 将 P(t)视为关于 t 连续可微。 记初始时刻 （t=0） 的认可为 P0.。 加上假设人口增长率为常数 r，即单位时间内 P(t)的增量等于 r 乘以 P(t)。当 考虑 t 到 t+△t 时间内人口的增量，则有 P(t+△t)- P(t)= r P△t (1)
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长，即增长率 r(P)=0，代入得到 s=
P ，于是有 Pm P P(t)=r(1) Pm
(3)
将(3)代入方程得
dP P rP(1 ) ,P(0)=P0 dt Pm
解方程（4）可得：
(4)
P(t )
Pm P 1 ( m 1)e rt P0
(5)
根据方程(4)作出
dp
dt
~ P 曲线图,见图 1-1，由该图可看出人口增长率随
实际人口 指数模型 2006 13.1448 13.1209 12.5786 12.6253 2007 13.2129 13.1932 12.6743 12.6949 2008 13.2802 13.2660 12.7627 12.7649 2009 13.3450 13.3391 12.8453 12.8353 2010 13.4091 13.4127 12.9227 12.9061 2011 13.4735 13.4867 12.9988 12.9773 2012 13.5404 13.5611 13.0756 13.0489 2013 13.6072 13.6359
二、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响， 因此对人口的预测与控制也就十分复 杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题， 我 [1] 们先建立两个简单的，粗糙的模型，然后，不断的改进得到最终的优化模型 。 1.先拟合出指数增长模型中的参数，再检验实际人口增长是否相符。由于经 历的时间比较长，所以我们分为长期和短期分别检验。就会发现规律，短期的符 合该模型，而长期误差较大。对于这个问题我们认为。由于资源、环境问题， 使 人口增加到一定数量时，增长率会减慢。据此改进，我们就得到了第二个模型。 2.得到第二个模型后，先找出增长率随时间的变化规律以及人口容量值。 分 析人口随时间的变化率与人口容量的关系。然后得出人口与时间的关系。最后检 验计算值与实际值是否相符，结果显示符和较好。 3.分析两模型的优缺点，进而，得到最终的优化模型，用它预测未来三十年 中国人口数量并借它讨论分析“单独二孩”政策对人口变化的影响。
人口数的变化规律.根据结果(5)作出 P~t 曲线，见图 1-2，由该图可看出人口数 随时间的变化规律.
图 1-1
（d y/d t 即为 d p/d t）
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图 1-2
5.2.2 结果分析与模型检验 据中国科学院国情研究中心公布的资料，中国的整个自然环境最多能容纳 15～16 亿人口，做保守估计，取 r=0.0405， Pm=1500 百万. 将 r=0.0405, Pm=1500 代入公式（5）则有:
四、符号说明
1.模型一 t 表示某一时刻； P(t) 表示时刻 t 我国的人口数，P0 = P(0)； r 表示人口增长率为常数。 2.模型二 t 表示某一时刻； P(t) 表示时刻 t 我国的人口数； Pm(t)表示自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量； r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是 x=0）的增长率。 3.模型三 1）F(r,t)：人口分布函数； 2)f(t):婴儿出生率； 3) (t):总和生育率； 4)h(r,t):生育模式。
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3.模型三 1）基于模型一和二，对模型二进行了进一步的修正，得到考虑年龄相关性和生 育模式的人口增长预测模型； 2）只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响； 3）在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可近 似的假设μ(r,t)=μ(r)； 4）在稳定环境下可近似认为 H(r,t)=H(r)。