理论物理导论综述

第一章 拉格朗日方程和哈密顿方程
§1-1 自由度 约束与广义坐标
自由度：为单值地确定一个系统的位置所必 需给定的独立变量的数目。
质点：为了确定一个质点在空间的位置，常 需要三个坐标x、y、z。
a：假如质点是完全自由的，即x、y、z彼此 独立，则称该质点有3个自由度。
b：假如质点被限制在xy平面上运动，此时有 z=0，它就是限制质点自由运动的条件，称为 “约束”。 z=0称为约束方程。此时，这个质点 只剩下两个坐标可以任意取值，则称该质点
理论物理导论综述
知识结构
普通物理 大 学 物 理
理论物理 (四大力学)
力学：主要指牛顿力学
光学 热学 电磁学
感性认识 建立在实验的基础上
原子物理学
理论力学：核心是分析力学
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
理性认识 形成系统的理论
Ⅱ 怎样学好理论物理导论？
1 态度端正，不要有任何思想包袱 2 掌握正确的学习方法 3 除了教材以外，应准备1-2本相关的参考
哈密顿 (Hamilton，William Rowan) （1805—1865）
爱尔兰人
他的研究工作涉及不少领域，成果 最大的是光学、力学和四元数．他 研究的光学是几何光学，具有数学 性质；力学则是列出动力学方程及 求解；因此哈密顿主要是数学 家．但在科学史中影响最大的却是 他对力学的贡献．哈密顿量是现代 物理最重要的量，当我们得到哈密 顿量，就意味着得到了全部
e：假设有N个质点组成的一个系统。①系 统的质点自由运动时，自由度数为3N；② 若有k个约束方程，则自由度数为3N-k。
广义坐标、广义速度
假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置， 需要用到s个变量，把这s个变量用q1、q2、q3、……、 qs来表示，称为该系统的s个广义坐标。
广义坐标对时间t的微商，dq/dt，记为
s
H L pjqj j1
§1-5 哈密度函数的物理意义
对于一个保守系，并且L不显含t时， 哈密顿函数的物理意义：通过化简:
H=U+T=E(总能量)
0
ddt
T xi
U xi
0
同理 可得 到：
与速度无关
ddtLxiUTxi L0 与坐标无关
d dt
L xi
L xi
0
d dt
L yi
L yi
0
d dt
L zi
L zi
0
拉格朗日方程
用广义坐标表示的拉格朗日方程： d L dtqj
L qj
0
拉氏方程的特点:
(j=1,2,…,s)
分力
T12iN 1mi xi2yi2zi2
分力为保守力（保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负值 为力，势能下降最快的方向为力的方向。），可表示为：
T12iN 1mi xi2yi2zi2
ddt xTi dm dti x•imi ddxt•imi x••i Xi
得到：
ddt
T xi
U xi
书 4 数学基础知识的预备 5 不要旷课，提前预习，按时交作业
考核
平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课 则平时成绩以零分处置），课堂听课情况， 作业完成情况，课堂测验成绩
期末考试成绩（70%）
力学的发展
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
历史发展的先后 研究方法的不同
(低速、宏观) 分析力学
约瑟夫·拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange) （1736—1813）
法国数学家、物理学家
分析力学的创立者。在其名著《分析力 学》中，把数学分析应用于质点和刚体 力学，提出了运用于静力学和动力学的 普遍方程，引进广义坐标的概念，建立 了拉格朗日方程，把力学体系的运动方 程从以力为基本概念的牛顿形式，改变 为以能量为基本概念的分析力学形式， 奠定了分析力学的基础，为把力学理论 推广应用到物理学其他领域开辟了道路
c：把质点的运动平面扩展到空间中的任意 平面，改制点的平面运动方程 Ax+By+Cz+D=0（该方程称为约束方程）， 独立地确定x、y，就可以确定z，则称该质 点有2个自由度。
d：依此类推，假如限制质点只在一条直线 上运动，则约束方程为两个，可供独立选 择的坐标变量是一个，则称质点有1个自由 度。
哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体 系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则 方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经 典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、 牛顿理论是等价的。
广义动量：
T1m x2y2z2 2
U与速度 无关：
p
L q
勒让德变换
变换形式，令： 微分：
独立变量
勒让德变换公式： 只换一个变量时：
独立变量
哈密顿函数和哈密顿方程
对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密 顿函数:
广义动量： p
L q
对上式两边求微分，
左边： 右边：
由拉格朗日方程:
d L dtqj
L qj
0
q p
H
p H
q
----哈密顿正则（运动）方程是哈密顿函数的微分形式.
力
（拉格朗日力学+哈密顿力学)
学
量子力学(微观）
现代力学
相对论力学（高速）
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
低速
、
宏观物体
的运动。
这里：l 指物体的特征尺度；a 指原子的尺度。
分析力学学科的特点
拉格朗日在《分析力学》序中宣称：“在这本书中找不到一张 图，我所叙述的方法既不需要作图，也不需要任何几何的或 力学的推理，只需要统一而有规则的代数(分析)运算”。
① 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形 式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方 程形式不变。
Baidu Nhomakorabea
② 方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分 析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少， 方程个数也越少，问题也就越简单。
3.
§1-4 哈密度函数 哈密顿方程
•
q
，称为广
义速度。
导数
§1-2 拉格朗日方程
拉格朗日函数：它是由系统的动能和势能定义的函数。
L = T-U
把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。
N个质点的牛顿运动方程写为：
m i x i X i,m i y i Y i,m i z i Z i,( i 1 ,2 .N .) .,
质点系的动能表示为：