学而思寒假七年级尖子班讲义第讲含参不等式组

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第2章含参不等式(教案)

2.教学难点
（1）含参不等式的图像法：对于一元二次含参不等式，学生需通过图像来理解不等式的解集，这对学生的直观想象能力要求较高。
举例：x^2 - 2ax + a^2 > 0，通过图像分析解集。
（2）含参不等式的证明：学生需要掌握不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等，这要求学生具备较强的逻辑推理能力。
我反思自己在教学难点和重点的讲解上，可能需要更多的例子和练习来帮助学生巩固。特别是在含参不等式的证明部分，学生们似乎对逻辑推理的要求感到有些困惑。我考虑在下一节课中，引入更多的直观图形和实际情境，以帮助学生们更好地理解证明的步骤和逻辑。
此外，我也认识到在总结回顾环节，我需要更加强调对知识点的整合和应用。学生们需要明白，含参不等式的学习不仅仅是为了解决数学题目，更是为了培养解决实际问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元一次含参不等式和一元二次含参不等式的解法这两个重点。对于难点部分，如图像法和判别式法，我会通过具体的例子和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与含参不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一元二次不等式的图像，以演示其基本原理。
二、核心素养目标
1.理解含参不等式的概念，掌握其基本性质，培养数学抽象和逻辑推理能力；
2.学会一元一次和一元二次含参不等式的解法，提高问题解决能力和数学运算能力；
3.能够运用图像法、判ห้องสมุดไป่ตู้式法等方法解决含参不等式问题，增强直观想象和数学建模能力；
4.通过含参不等式的实际应用，提升数学在实际生活中的应用意识，培养数学素养；
在实践活动中，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这部分的互动让我看到了他们的合作精神和解决问题的能力。不过，我也观察到，在讨论含参不等式在实际生活中的应用时，有些学生还是比较拘谨，可能是因为他们对这些概念还不够熟悉，或者是不太敢将自己的想法表达出来。

人教版七年级数学寒假高分班讲义

A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第十四种品格：信念
品格教育—信念
信念是脊梁，支撑着不倒的灵魂；信念是明灯，照耀着期盼的心灵；信念是路标，指引着前进的方向。信念之于人生，如同舵手之于航船，航船没有舵手，就会在大海中迷失方向。信念之于人生，如同羽翼之于飞鸟，飞鸟没有羽翼，就不能展翅飞翔。【信念的三个层次】一、相信自己，相信别人；（故事 1、2）二、勇于挑战，相信自己一定能成功；（故事 3、4）三、坚持自己的理想与信念，用一生去追求.（故事 5、6）
标与性质
实数
例 6；例 7；演练 5
模块一平方根的定义与性质
知识导航
定义
平方根的概念：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根．也就是说，若 x2 a ，则 x 就叫做 a 的平方根．平方根的表示：一个非负数 a 的平方根可
示例剖析
22 4 ， 2 就叫做 4 的平方根
二元一次方程定义：通过化简后，只有两个未知数，并且未知数的项的次数都是 1 ，系数都不是 0 的整式方程.
二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
示例剖析
2x 3y， x y 5，
a b 1， m n ； 35
x 1
y
4
是方程
知识模块二立方根的定义及性质课后演练
【演练3】求下列各数的立方根
1
5
0.216
8
立方
根
64 3 125
12
【演练4】已知 5x 32 的立方根是 2 ，求 x 17 的平方根.
9 3
33
知识模块三实数课后演练

第4讲含参不等式--尖子班

第4讲含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式（1）含未知数项的系数不含参数，如x ＞a ，（其中a 为常数）；（2）含未知数项的系数含参数，如mx ＞n ，（其中m 为参数、n 为常数）．【典例】1.已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，则m 的值为．【答案】94．【解析】解：去括号，得2m ﹣2x+1＞3x ﹣2，移项，得3x+2x ＜2m+1+2，合并同类项，得，5x ＜2m+3，系数化为1，得，x ＜2m+35，∵不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32， ∴2m+35=32，解得m=94．2.若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是____________．【答案】a＜﹣1．【解析】解：∵当a+1=0，即a=-1时，0＞0不成立，∴当a+1=0时，不等式（a+1）x＞a+1无解集，∴a+1≠0，∵不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴未知数x的系数（a+1）为负，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．3.关于x的两个不等式①3x+a2＜1与②1﹣3x＞0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【答案】略．【解析】解：（1）由①得：x＜2−a3，由②得：x＜13，由两个不等式的解集相同，得到2−a3=13，解得：a=1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到2−a3≤13，解得：a≥1．4.若关于x，y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为．【答案】a＞﹣4．【解析】解：{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②，①+②得：4（x+y）=4﹣a，则x+y=14（4﹣a ），则14（4﹣a ）＜2，解得：a ＞﹣4．故答案是：a ＞﹣4．【方法总结】1. 已知一元一次不等式（系数不含参）及其解集，求参数的值的思路．如已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，求m 的值，①求不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集为x ＜2m+35，②令2m+35=32，从而不难求出m 的值，2. 求一元一次不等式ax ＞b(a ，b 是常数)解集的思路．需要借助分类讨论思想，①若a ＞0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＞ba ；②若a ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＜ba ；③若a=0，b ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为任意实数；若a=0，b ≥0，则不等式ax ＞b 无解集．3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同，求参数的值的思路．如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若两个不等式的解集相同，求a 的值．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3=13，从而不难求出a 的值．4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解，求参数的取值范围的思路．如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围的思路．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3≤13，从而不难求出a 的取值范围．【随堂练习】1．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴＝，整理得n＝m，把n＝m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2.给出不等式组的解集，求参数的值3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，则m 的取值范围为．【答案】m ＞23．【解析】解：{x −2m ＜0⋯①x +m ＞2⋯ ②，解①得：x ＜2m ，解②得：x ＞2﹣m ，∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，∴2m ＞2﹣m ，解得：m ＞23．故答案是：m ＞23．2.已知不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，求（a+1）（b ﹣1）的值为．【答案】﹣6．【解析】解：由2x −a ＜1，解得x ＜a+12．由x −2b ＞3，解得x ＞3+2b ．∵不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，∴a+12=1，3+2b=﹣1，解得a=1，b=﹣2，∴（a+1）（b ﹣1）=（1+1）×（﹣2﹣1）=﹣6， ∴（a+1）（b ﹣1）的值为﹣6．故答案为﹣6．3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，则a 的取值范围是．【答案】﹣4＜a ＜5．【解析】解：{x +y =3 ①x −2y =a −2②，①﹣②得3y=5﹣a ，则y=5−a 3，把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3．则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3，∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，∴{4+a3＞05−a 3＞0，解得﹣4＜a ＜5．故答案是：﹣4＜a ＜5．4.不等式组{3x −5＞15x −a ≤12有2个整数解，则实数a 的取值范围是．【答案】8≤a ＜13．【解析】解：解不等式3x ﹣5＞1，得：x ＞2，解不等式5x ﹣a ≤12，得：x ≤a+125，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组{3x −5＞15x −a ≤12整数解为3和4，则4≤a+125＜5，解得：8≤a ＜13，故答案为：8≤a ＜13．【方法总结】1.给出不等式组解的情况，求参数取值范围，解题思路如下：①分别求出不等式组中每个不等式的解集，②确定参数的取值范围，记住：“大小小大有解；大大小小无解．”注意：端点值另外考虑．2.给出不等式组的解集，求参数的值，解题思路如下：①先求出含参不等式组中每个不等式的解集；②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系，建立方程（组）；③解方程（组），从而求出参数的值．3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围，解题思路如下：①先求含参数的方程组的解，方程组的解用含参的式子表示出来；②列出题目中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化为关于参数的不等式（组），③解不等式（组），从而求出参数的取值范围．4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围，解题思路如下：①先求出不含参数的不等式的解集；②再结合题意，在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解；③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），注意：端点值特殊考虑．【随堂练习】1．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1．（1）当a＝﹣2时，求x，y的值；（2）若x≤1，求y的取值范围．【解答】解：（1），①﹣②，得：4y＝4﹣4a，解得：y＝1﹣a，将y＝1﹣a代入②，得：x﹣1+a＝3a，解得：x＝2a+1，则，∵a＝﹣2，∴x＝﹣4+1＝﹣3，y＝1+2＝3；（2）∵x＝2a+1≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4，则1≤y≤4．2．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）．（1）若x+y＝1，求实数m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|﹣|2m﹣6|．【解答】解：（1）将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）＝6m+1，将x+y＝1代入，得6m+1＝3，解得m＝；（2）将方程组中的两个方程相减，得x﹣y＝2m﹣1，解不等式组﹣1＜2m﹣1＜5，得0＜m＜3；（3）当0≤m≤3时，|m+2|-|2m﹣6|＝（m+2）+（2m﹣6）＝3m-4．知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套60元，辞典每本40元，现已购买名著24套，学校最多还能买多少本辞典？【答案】略．【解析】解：设学校能买x本辞典，∵名著每套60元，现已购买名著24套，辞典每本40元，学校能买x本辞典，∴购买24套名著费用=24×60（元），购买x本辞典费用=40x（元），∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元，，∴可列出关于x的一元一次不等式：40x+24×60≤2500，解得：x≤2612∵x为整数，∴x=26．答：学校最多能买26本辞典．【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【随堂练习】1．为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数量（个）总费用（元）第一次65750第二次37780第三次78742（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；（2）求足球和篮球的标价；（3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球．【解答】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买；故答案为：三；（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得，解得：．答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元；（3）设购买a个篮球，依题意有0.6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200，解得a≤29．故最多可以买29个篮球．2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．若顾客购物应付x元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？【解答】解：（1）当x≤50时，在甲、乙两个商场购物都不享受优惠，因此到两个商场购物花费一样；（2）当50＜x≤100时，在乙商场购物享受优惠，在甲商场购物不享受优惠，因此在乙商场购物花费少；（3）当累计购物超过100元时，即x＞100元，甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元．当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150．综上所述，当累计消费大于50元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【典例】1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？【答案】略．【解析】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，∵如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3，即0≤书的总数-（x-1）×5＜3，∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)＜3，解得5＜x≤6.5，∵x为整数，∴x=6，∴共有6×3+8=26本，答：有26本书，6个学生．【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系；②根据不等关系，列一元一次不等式组；③解一元一次不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案，并作答．【随堂练习】1．青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，解得a≤3，∴2≤a≤3．a是正整数，∴a＝2或a＝3．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；2．义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元，工会决定拿出不少于270元，但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品，其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素，已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元，用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素．（1）求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元？（2）有几种购买洗发液和护发素的方案？哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足？【解答】解：（1）设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元，则，解得．答：每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元．（2）设购买洗发液t瓶，购买护发素（50﹣t）瓶，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270解得22≤t≤25，因为t为正整数，所以t＝23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买洗发液23瓶，护发素27瓶，余下资金293元．第二种方案：购买洗发液24瓶，护发素26瓶，余下资金284元．第三种方案：购洗发液25瓶，护发素25瓶，余下资金275元．综合运用1.若不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，则k的取值范围是．【答案】k＜4．【解析】解：∵不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，∴k﹣4＜0，解得：k＜4．故答案为k＜4．2.关于x的两个不等式3x+a2＜1与3﹣3x＞0的解集相同，则a= ．【答案】-1．【解析】解：由3x+a2＜1得：x＜2−a3，由3﹣3x ＞0得：x ＜1，由两个不等式的解集相同，得到2−a 3=1，解得：a=-1．故答案为：-1．3.已知关于x ，y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②（1）由方程①﹣②，可方便地求得x ﹣y= ；（2）若方程组的解满足x+y ＞0，则a 的取值范围是．【答案】2a ； a ＞﹣1．【解析】解：（1）{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②，①﹣②得，2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a ，即x ﹣y=2a ；（2）①+②得，4x+4y=1+3a+1﹣a ，即x+y=12a+12； ∵x+y ＞0，∴12a+12＞0，解得a ＞﹣1；故答案为2a ；a ＞﹣1．4.已知不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，则a 的取值范围是．【答案】a ≤﹣5【解析】解：解不等式x+1＜a ，可得：x ＜a ﹣1；解不等式3x+5＞x ﹣7，可得：x ＞﹣6，因为不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，所以a ﹣1≤﹣6，解得：a ≤﹣5，故答案为：a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，则a 的取值范围是．【答案】﹣3≤a ＜﹣2．【解析】解：由不等式①得x ＞a ，由不等式②得x ＜1，所以不等式组的解集是a ＜x ＜1，∵关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，∴3个整数解为0，﹣1，﹣2， ∴a 的取值范围是﹣3≤a ＜﹣2．6.已知不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为﹣1＜x ＜2，则（m+n ）2018=_________．【答案】1．【解析】解：解不等式x+2＞m+n ，得：x ＞m+n ﹣2，解不等式x ﹣1＜m ﹣1，得：x ＜m ，∴不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为m+n ﹣2＜x ＜m ，∵不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2， ∴m+n ﹣2=﹣1，m=2，解得：m=2，n=﹣1，则（m+n ）2018=（2﹣1）2018=1，故答案为：1．7.已知关于x ，y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是．【答案】﹣5＜k ＜0．【解析】解：将两方程相加可得5x+5y=k+5， ∴x+y=k+55，∵0＜x+y ＜1，∴{k+55＞0k+55＜1，解得﹣5＜k ＜0，∴k 的取值范围是﹣5＜k ＜0，故答案为：﹣5＜k ＜0．8.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价_________元出售该商品．【答案】6．【解析】解：设降价x 元出售该商品，，则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元，根据利润率不低于10%，列出不等式得，22.5﹣x﹣15≥15×10%，解得x≤6，故该店最多降价6元出售该商品．故答案为：6．9.某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾___________条．【答案】7．【解析】解：设购买毛巾x条，∵根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x﹣2）条毛巾的价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，∴可列出不等式为：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x，解得x＞6，∵x为最小整数，∴x=7，故答案为：7．＜1与②2（x﹣2）＞3x﹣6．10.关于x的两个不等式：①a+2x3（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，求a的取值范围．【答案】略．，【解析】解：（1）由①得：x＜3−a2由②得：x＜2，由两个不等式的解集相同，得到3−a=2，2解得：a=﹣1．故a的值为﹣1；（2）由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，得到3−a+1＜4，2解得a＞﹣3．故a的取值范围是a＞﹣3．11.某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．【答案】略．【解析】解：设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节，∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨，乙种货物15x吨；(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨，乙种货物35(50-x)吨；∴x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨，x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨，∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30，∵x为整数，∴x只能取28，29，30，∴当x=28时，则50-x=22，当x=29时，则50-x=21，当x=30时，则50-x=20，共有三种调运方案：第一种调运方案：用A型货厢28节，B型货厢22节；第二种调运方案：用A型货厢29节，B型货厢21节；第三种调运方案：用A型货厢30节，B型货厢20节．12.某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？【答案】略．【解析】解：设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元，∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，∴可列不等式组为：{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)＞16，解得：50≤x＜20，3∵x取整数，∴x可取17、18、19，共三种方案：①A 17件，B 33件；②A 18件，B 32件；③A 19件，B 31件；第一种方案获利：0.2×17+0.4×33=16.6万元；第二种方案获利：0.2×18+0.4×32=16.4万元；第三种方案获利：0.2×19+0.4×31=16.2万元；故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．答：工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万元．21。

初一寒假补课讲义(10次)

北京九中初一寒假数学讲义（2011年）第一讲不等式的性质1、填空：(1)当 k______时，-k ≤0；(2)不等式3x- 2＞0与6(x- 2)＞8的解集是否相同．答：______；(3)若a ＞b ，则-2a______-2b ；(4)若a ＜0，b ＜0，c ＜0，则abc 2 ______0；(5)若 a ＞0，b ＜0，c ＞0，则a+c ______5b ；(6)若a ＜0，b ＜0，c ＜0，则|ab|-c______0．2、比较2a 与a 的大小3 、比较a 与2a 的大小4、已知0,10.a b <-<<试将2,,a ab ab 从小到大依次排列.5、若a b >请讨论1a 与1b的大小.6、判断对错，说明理由.（1）如果,a b c d >=那么.ac bd > （）（2）如果22,ac bc >那么.a b > （）（3）如果,ax b <且0a ≠，那么.b x a< （）（4）如果0,ab >那么0.a b> （）7、已知0,10,a b <-<<试将2,,a ab ab 从小到大依次排列，并说明理由.第二讲解一元一次不等式1、解下列不等式（1）（2）（3）2.已知关于x的方程3(32)43(2)+-=++的解是负数，求a的取值范x a x a围.3.已知5(32)8167x x---+--≥-，化简|3|4|25|.x x4.解不等式(1)3->.a x5.若不等式(1)3x x>求a取值范围.a x->的解集为{|3}6解不等式(1)|1|1->+x xx x->-(2)|1|2 1.7、两位搬运工人要将若干箱同样的货物用电梯运到楼上.已知一箱货物的质量是55千克，两位工人的体重之和为160千克，电梯的载重量是1600千克，算一算两位工人一次最多运多少箱货物.专题三不等式组1、解不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<-322125223x x x x （2）⎩⎨⎧->-+<-)1(4436265x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<-≥+xx x x xx 323254223(4)2(2)8,337,3(2)82x x x x x x +<+⎧⎪-≥-⎨⎪-+>⎩2、求适合不等式-11<2a-5≤3的a 的负整数值3、学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元和850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？最多可以买多少本？1、若不等式组2113xx a-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为{|2}x x>，则a的取值范围是_________.2、不等式组230312xmx-≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩无解，则m的取值范围是__________.7、七年级（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B的陶艺品，学校现在有甲种制作材料36千克，一种制作材料29千克，制作A、B两类陶（2）请你根据学校现有材料，分别写出七年级（2）班制作A型和B型陶艺制品的件数.专题四二元一次方程组（一）1.满足方程325-=的整数解有_________个;写出其中的三个解x y______________________________;写出使||||x y+的值最小的整数解___________;满足325-=的整数解的规律是_____________________.x y2.解方程组：4．A．a=2，c=14；B．a=2，c≠14；C．a≠2，c=14；D．a≠2，c≠14．5.当x=2和x=3时，二次三项式x2+px+q的值等于零，求p，q的值．6.解方程组：7.已知关于,x y的而原方程组4105x yx my-=⎧⎨-=⎩和3421x y nx my+=⎧⎨+=⎩的解相同，试求,m n的值.专题五二元一次方程组（二）一、选择题1．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A 、 ⎩⎨⎧==+5723xy y xB 、⎩⎨⎧=+=+212z x y xC 、⎩⎨⎧=+=2432y x x y D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=+3215y x y 2．下列各对数是二元一次方程2x-5y=3的解的是（）A 、32x y =⎧⎨=⎩B 、21x y =-⎧⎨=-⎩C 、89x y =⎧⎨=⎩D 、93x y =⎧⎨=⎩ 3．已知x 12-m +3y n 24-=-7是关于x 、y 的二元一次方程，则m,n 的值是（）Ａ．⎩⎨⎧==12n m Ｂ．⎩⎨⎧-==231n m Ｃ．⎩⎨⎧==231n m Ｄ．⎩⎨⎧==251n m 4．若方程组⎩⎨⎧==-bxy b x y 2的解x,y 的值都是正数，则b 的值为（）Ａ．b ＞2 B.b=2 C.b ＜2D.b ≠２5．如图，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）A 、400 cm 2B 、500 cm 2C 、600 cm 2D 、4000 cm 26.小王只带2元和5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付27元，则付款的方式有（）A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种7．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（）A 、⎩⎨⎧=++=x y x y 5837B 、⎩⎨⎧=-+=x y x y 5837C 、⎩⎨⎧+=-=5837x y x yD 、⎩⎨⎧+=+=5837x y x y二、填空题1．将方程527x y -=变形成用y 的代数式表示x ，则x =___________.2．在432-=x y 中，如果x ＝6，那么y ＝____；如果y ＝-2，那么x =____; 3．若⎩⎨⎧=-=21y x 是方程3x + ay=1的一个解，则a 的值是__________.4．写出一个以23x y =⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组__________________ . 5．大数和小数的差为6，这两个数的和为30，则大数是 ___.6．已知二元一次方程x + 3y =10,请写出一组正整数解______________7.若方程组⎩⎨⎧=+=+5231y x y x 的解也是方程3x +ky =10的一个解，则k = ． 8．已知方程组⎩⎨⎧=++=+m y x m y x 32253的解适合x+y =8，则m = .9.已知方程组3,51,ax by x cy +=⎧⎨-=⎩甲正确地解得2,3,x y =⎧⎨=⎩，而乙粗心地把c 看错了，解得3,6,x y =⎧⎨=⎩则a =_________, b=_______, c =_________. 10.陕北的放羊娃隔着沟峁唱着信天游,比他们养的羊数.一个唱到:“你羊没有我羊多,你若给我一只羊,我的是你的两倍”,另一个随声唱到:“没那事,你要给我一只,咱俩的羊儿一样多”.听了他们的对唱,你能知道他们各有多少只羊吗?2.一个老和尚三个小和尚吃１０个桃子，三个小和尚吃一样多，老和尚、小和尚各吃几个？专题六幂的运算(两课时)1. 计算：（1）5633;⨯ （2）312x x ；（3）235;a a a ⋅⋅（4）234x x x x ⋅⋅⋅.2. 计算：（1）24;x x -⋅ （2）3()();m m -⋅- （3）432.x x x x ⋅+⋅3.计算：（1）52(10);（2）56();x （3）210();x （4）23().y y ⋅4.计算：(1)(-3x)3； (2)(-5ab)2； (3)(xy 2)2； (4)(-2xy 3z 2)4 (5)(-5y )3 (6)(2m 2n )4 (7)(-3x 2y 3)25.计算：（1）8851[(6)()];6-⨯ （2）20032000(8)(0.125).-⨯-6.计算：（1）2435232(2)(3)(3);x x x x x +-+-（2）2333332(5)()()(2).x y xy x y x +-+--7.已知23,25,m n ==求322m n -的值.8.比较5040303,4,5的大小.专题七整式的乘法（一）1. 计算：(1)(-5a 2b 3)(-3a)； (2)(2x)3(-5x 2y)；(3)(-3m 3n 2)·(7mn 3) (4))23(3432x y x -⋅ (5);)23(322223xy y x -⋅ (6)(-3ab)(-a 2c)2·6ab(c 2)3 .2. 计算： (1))3()21(222xz yz x xy -⋅-⋅ ; (2)2x 6y 2·x 3y+(-25x 8y 2)(-xy).3.计算： (1)47- x 2yz ·74xy 2z ·(1649-xyz 2)； (2)(21- ab 2c)2·(31-abc 2)3·12a 3b.4. 计算：(1)(-4x)·(2x 2+3x-1)； (2)(32 ab 2-2ab)·21ab; (4) -2xy ·(3x 2+2xy-y 2); (5)(2ab 2-ab+4b)·ab.5. 计算(1)3x 2·(-3xy)2-x 2(x 2y 2-2x)； (2)5x ·(x 2-2x+4)+x 2(x-1)；(3)3ab ·(a 2b-ab 2+ab)-ab 2(2a 2-3ab+2a)；(4)2a ·(a 2+3a-2)-3·(a 3+2a 2-a+1)； (5)21 (m+1)-31 (2m-1)+61(m-5)； (6)t 3-2t ［t 2-2(t-3)］.专题八整式乘法（二）1. 计算：(1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+3y)(5x+6y) (4) (2a-3b)(a+4b) (5)(x+y)2； (6)(x+y)(x2-xy+y2).2. 计算：(1)(x+2)(x-2)(x2+4)； (2)(1-2x+4x2)(1+2x)；(3)(x-y)(x2+xy+y2)； (4)3x(x2+4x+4)-x(x-3)(3x+4)；(5)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)； (6)(3x-y)(y+3x)-(4x-3y)(4x+3y).3.计算：(1)(x+2)(x+3)； (2)(x-4)(x+1)； (3)(y+4)(y-5)； (4)(y-3)(y-5)；(5)(x-6)(x+7)；(6)(x+6)(x-8)； (7)(y-21)(y+31)； (8)(y+41)(y+51)； (9)(7x+8)(6x-5)；(10)(3x-2)(4x+5)； (11)(2a+3)(23a-5)； (12)(21 x+4)(6x-43).4. 如图，用含有x 的代数式表示槽型刚才的体积.专题九整式的混合运算1.计算：（1）63223ab a b a b a b(3)(4)518.-⋅+⋅a a a-----（2）33224536(2)(3)[2(2)];2.计算：（1）(8)(8)m m+-=（2）(25)(25)+-=a b a b（3）(43)(34)+-=y x x y（4）(41)(41)---=a a3.计算：（1）2a b+=()（2）2-=()a b（3）2(5)x+=（4）2-=m n(32)（5）2++=()a b c4.计算：（1）22(2)(2)y x x y +-（2）2111()()()242x x x --+5.用几何图形演示的方法说明222()2a b a ab b +=++和()()a b a b +-.6.计算：248162481611111(3)(3)(3)(3)(3)33333+++++.。

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法

含参不等式以及含参不等式组的解法不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。

本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。

含参不等式：解不等式5（x-1）<3x+1通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式57x -<32-x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>831,故可以得出最小整数为4.在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集移项、合并同类项、讨论取值2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值（2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为练习：1、求不等式kx+2>3的解集2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集（2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2<x<10，求m 的取值范围。

2、解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8)21(563x m x mx mxmx3、如果一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-ax x 432（1）有解，求a 的取值范围。

（2）无解，求a 的取值范围。

(3)有且只有一个解，求a 的取值范围。

（4）只有两个整数解，求a 的取值范围。

1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

20.6.156.15.202021:5021:50:33Jun-2021:502、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

二〇二〇年六月十五日2020年6月15日星期一3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。

21:506.15.202021:506.15.202021:5021:50:336.15.202021:506.15.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。

初一下册不等式含参

初一下册不等式含参初一下册不等式含参一、引言不等式是数学中的一个重要概念，通过不等式我们可以研究数的大小关系。

在初一下册数学学习中，我们接触到了不等式含参这个新的概念。

不等式含参的学习，不仅可以提高我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们理解和解决实际问题。

二、基本概念不等式含参是指在不等式中含有带有参数的表达式。

参数是不确定的数，可以取不同的值，从而使得不等式的解集发生变化。

例如，不等式 |2x - 3| > a 可以称为一个不等式含参，其中 x 是参数，a是给定常数。

当我们确定了不同的 a 值时，不等式的解集也会随之改变。

三、解决方法解决不等式含参的问题，一般需要进行以下几个步骤：1. 化简：首先，我们需要对不等式进行化简，将其转化为简洁的形式。

例如，使用绝对值不等式的性质，可以将 |2x - 3| > a 化简为 2x - 3 > a 或者 2x - 3 < -a。

2. 分类讨论：根据化简得到的不等式，我们可以将其分成几种情况进行讨论。

例如，当 a > 0 时，将 2x - 3 > a 分成 x > (a+3)/2 和 x < (3-a)/2 两种情况。

3. 求解：接下来，我们需要解决每个分类讨论中的不等式。

通过运用代数运算和性质，将不等式化简为 x 的区间表示形式。

例如，在第一种情况 x > (a+3)/2 中，可以化简为 x > (a+3)/2。

4. 综合解集：最后，我们需要将每个分类的解集综合起来，得到不等式含参的解集。

综合解集时，需要考虑各个分类的交集或并集。

四、应用示例不等式含参可以帮助我们解决许多实际问题。

例如，在经济学中，我们可以利用不等式含参来分析商品价格的涨跌幅度。

在生活中，我们可以通过不等式含参来研究食品或药品的安全问题。

五、总结初一下册不等式含参是一个重要的数学概念，在我们的学习中扮演着重要的角色。

通过学习不等式含参，我们可以锻炼逻辑思维能力，理解和解决实际问题。

学而思初一数学暑假班第9讲.不等式和不等式组.教师版

“ “ “ “ 9不等式和不等式组模块一不等式的定义和性质定义示例剖析不等式的概念：用不等号连接的式子叫不 -5 < -2 ， a + 3 > -1 + 4 ， x + 1≤ 0 ，等式．不等号包括： > ”、 < ”、 ≥ ”、 ≤ ”、 x ≥ 0 ， 3a ≠ 5a ， 3≥ 3 等“ ≠ ”．基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．若 a > b ，则 a ± c > b ± c 若 a b ，且 c > 0 ，则ac > bc 或若 a 0 ，则ac < bc 或若 a > b ，且 c < 0 ，则ac < bc 或若 a bc 或 a c a c a c a c ><<>bc bc bc bc不等式具有互逆性不等式具有传递性若 a > b ，则 b < a ；若 b < a ，则 a > b ．若 a > b ， b > c ，则 a > c ．注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵ 在不等式两边都乘以０，不等式变为等式.以不等式 3 > 2 为例，在不等式 3 > 2 两边都乘同一个数 a 时，有下面三种情形：① 如果 a > 0 ，那么 3a > 2a ； ② 如果 a = 0 时，那么 3a = 2a ； ③ 如果 a < 0 时，那么 3a < 2a ．不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一第 9 讲·尖端预备班·教师版1子，所得结果仍是等式.个式子，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个正数，不两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能等号的方向不变.是０），所得结果，仍是等式．两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不在不等式两边都乘以０，不等式变为等能除以０.式.夯实基础【例1】⑴用不等式表示数量的不等关系．①a是正数②a是非负数③a不比0大④x与y的差是负数⑤a的相反数不大于1⑥q的相反数与q的一半的差不是正数⑵例：如果a>b，则2a>a+b，是根据不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；①如果a>b，则3a>3b，是根据；②如果a>b，则-a<-b，是根据；③如果a>1，则a2>a，是根据；④如果a<-1，则a2>-a，是根据．【解析】⑴①a>0；②a≥0；③a≤0；④x-y<0；⑤-a≤1；⑥-q-1q≤0；2⑵①不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；③不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；④不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．能力提升【例2】⑴设a，b，c都是实数，且满足：用a去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b去除不等式的两边，不等号方向改变；用c去乘不等式的两边，不等号要变成等号．2第9讲·尖端预备班·教师版D 2x > 5 ，3m - 4 < 0 ，- y + 3 y - 23≥0形式）→系数化为1 （化成 x > 或 x < 的形式）．则 a 、 b 、 c 的大小关系是（） A ． a > b > c B ． a > c > bC ． b > c > aD ． c > a > b ⑵ 如果 a > b ，则下列各式不成立的是（）A. a + 4 > b + 4B. 2 + 3a > 2 + 3bC. a - 6 > b - 6D.4 - 3a > 4 - 3b（北京五中期中）⑶ 若 a > b ，则下列不等式成立的是（）A ． b - a < 0B ． ac < bcC ． a > 1D ． -b < -ab（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】⑴ 根据题意可得 a > 0 、 b < 0 、 c = 0 ，所以选择 B ；⑵ D ；⑶ A. 其中 B 选项中 c 的值不确定，当 c > 0 时，ac > bc ；当 c < 0 时，ac < bc ；当 c = 0时，ac = bc . C 选项中当 b > 0 时成立，当 b ≤ 0 时不成立；选项中应为 -b > -a .【巩固】根据 a > b ，则下面哪个不等式不一定成立（）A ． a + c 2 > b + c 2B ． a - c 2 > b - c 2C ． ac 2 > bc 2D ．【解析】C ，正确应为 ac 2 ≥ bc 2 ．a b>c 2 + 1 c 2 + 1模块二一元一次不等式定义一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等式，叫作一元一次不等式.示例剖析37一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为5 3 x >6 ， 3x ≤7 等都是一元一次不等 ax b 的形式（其中 a ≠ 0 ）.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值式的标准形式-4 ，-2 ，0 ，1 ，2 都是不等式 x ≤ 2 的解，当然它的解还有许多．x ≥ 3 是 2x - 6 ≥ 0 的解集； x < 2 是 - x > -2 的解集都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 ax bb ba a第 9 讲·尖端预备班·教师版3不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集（示意图）：不等式的解集x>a 在数轴上表示的示意图a不等式的解集x<a在数轴上表示的示意图ax≥a a x≤a a夯实基础【例3】⑴下列说法中，正确的是（）A．x=2是不等式3x>-1的解B．x=2是不等式3x>-1的唯一解C．x=2不是不等式3x>-1的解D．x=2是不等式3x>-1的解集⑵利用数轴表示下面未知数的取值范围：①x>-2②x≤1.5③-1<x<2⑶求不等式-3<x≤2的所有整数解的和．⑷如下图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（）（北京二中期中）【解析】⑴A；⑵需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．-3-2-1(1)01-2-10(2)11.524-2-101234(3)⑶不等式-3<x≤2的所有整数解为-2、-1、0、1、2，故所有整数解的和为0；第9讲·尖端预备班·教师版6≤1．3-4≥3-1，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．⑷A.能力提升【例4】⑴不等式3x+2≥5的解集是__________．（北京中考）⑵解不等式5x-12≤2(4x-3)，并把它的解集在数轴上表示出来．-3-2-10123（北京中考）⑶解不等式2x-15x-4【解析】⑴x≥1；⑵解：去括号，得5x-12≤8x-6．移项，得5x-8x≤-6+12．合并，得-3x≤6．系数化为1，得x≥-2．不等式的解集在数轴上表示如下：-3-2-10123⑶x≥-4；【例5】⑴不等式3x-5<3+x的正整数解是．⑵解不等式x-3x-22(1+x)（人大附中期中）（北京五中期中）【解析】⑴1，2，3；⑵x≤2，正整数解1，2.【巩固】求不等式3x-2-9-2x≤x-1的非负整数解．342【解析】解不等式得x≤29，所以其非负整数解为0，1，2．12【例6】⑴当x为何值时，代数式-2x-3的值总不大于x-15的值．⑵当x取何值时，代数式5(x-1)-2(x-2)的值大于x+2的相反数．【解析】⑴根据题意，列不等式得：-2x-3≤x-15，解得：x≥4；第9讲·尖端预备班·教师版5⎪ x - 3≥ 0 和 ⎨- x < 6y < 4．（⎩ x > b ⎩ x b⎩ x < b⑵ 由题意可列不等式为： 5(x - 1) - 2( x - 2) > -( x + 2) ，解得 x > -【点评】本题要求自己根据题意列出不等式，进而求解1 4【拓展】 m 为何正整数时，关于 x 的方程 x - 2x - m 2 - x =3 2的解是非负数？【解析】解方程得 x = 6 - 2m ，根据题意：得 x ≥ 0 ，∴ 6 - 2m ≥ 0 ，解得 m ≤ 3 ．满足题意的5 5正整数 m 的值是 1，2，3．模块三一元一次不等式组定义示例剖析⎧一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．⎧ 1⎨ 2 ⎪⎩ x + 8 < 4x - 1 ⎪2 x - 6 ≥ 0⎪ ⎪1⎪ x - 5 > 0 ⎩ 3都是一元一次不等式组；⎧ x > 2⎨⎩ 不是一元一次不等式组一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：表中 a > b ）不等式⎧ x > a ⎨图示b a解集x > a（同大取大）⎧ x < a ⎨a x <b⎧ x < a ⎨⎧ x > a ⎨6第 9 讲·尖端预备班·教师版b ab ab < x < a（大小交叉中间找）无解（大大小小无解了）⎩ x - 1≤ 0 的解集是（2 B. x < - 2C. x ≤1D. - < x ≤1⑵ 将不等式 ⎨ 1⎪⎩ 2 x ≤ 8 - 3 的解集在数轴上表示出来，正确的是（【例8】解不等式组：⑴ ⎨ 2x + 1⑵ ⎨1 ⎪⎩2 x - 1≤ 7 - ⎩2 < x ≤ 4 ．夯实基础⎧2x > -1【例7】 ⑴ 不等式组 ⎨）.A. x > - 1112【解析】⑴ D ；⑵ C ．⎧ x + 8 < 4x - 1 ⎪ 2 x0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5A B0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5C D）（北京五中期中）能力提升⎧2x < 6 ⎪ ⎪ 3 < x + 1 ⎧ 5x - 2 > 3(x + 1) ⎪ 32 x（人大附中期中）【解析】⑴ -2 < x < 3 ；⑵ 5第 9 讲·尖端预备班·教师版7则：⎨-1≤y≤2；⎪-1≤z≤3【例10】已知x满足不等式3x-1探索创新【例9】已知(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)=36，求x+2y+3z的最大值和最小值．【解析】根据绝对值的几何意义的相关结论，可知：x+1+x-2的最小值为3（当-1≤x≤2时取得最小值）；y-2+y+1的最小值为3（当-1≤y≤2时取得最小值）；z-3+z+1的最小值为4（当-1≤z≤3时取得最小值）；所以(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)≥3⨯3⨯4=36；而根据题意，(x+1+x-2)(y-2+y+1)(z-3+z+1)=36，所以x+1+x-2、y-2+y+1及z-3+z+1均取最小值，⎧-1≤x≤2⎪⎩于是x+2y+3z≤2+2⨯2+3⨯3=15，x+2y+3z≥-1+2⨯(-1)+3⨯(-1)=-6，因此x+2y+3z的最大值为15，最小值为-6．75+2x-≥x-233，并且x-3-x+2的最大值为p，最小值为q，求pq之值．【解析】解不等式3x-1-7≥x-5+2x，得x≥1；233根据绝对值的相关知识，可知当x≥1时，x-3-x+2最大值为-1（当x=1时取得），最小值为-5（当x≥3时取得），所以p=-1，q=-5，pq=(-1)⨯(-5)=58第9讲·尖端预备班·教师版2与3的差是负数（A．12y-3>0B．(y-3)<02y-3<0D．3-实战演练知识模块一不等式的定义和性质课后演练【演练1】⑴利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．①若a<b，则2a_______2b；②若a>b，则-4a______-4b；③若a>b，c>0，则ac______bc；④若x<0，y>0，z<0，则(x-y)z_______0．⑵如果b<a<0，则下列哪个不等式是正确的（）A．b2<ab B．a2>ab C．2b>2a D．-2b>-2a⑶用不等式表示：①y的112）C．112y<0（北京师范大学附属实验中学期中）②x与5的和的30%不大于-2．【解析】⑴①<；②<；③>；④>；⑵D；⑶①C；②30%(x+5)≤-2．知识模块二一元一次不等式课后演练【演练2】⑴不等式x-3<0的解集是．⑵使不等式x-5>4x-1成立的值中最大的整数是（）A．0B．-2C．-1D．2（北京五中期中）⑶不等式5x-2≤8的所有正整数解的和是_______.【解析】⑴x<3；⑵B；⑶3；【演练3】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．⑴3-7x<12-5(x-1)⑵0.5x+2(1-0.3x)>0.4x-0.6第9讲·尖端预备班·教师版9⑵ x < ，图略．【演练4】 ⑴ 不等式组 ⎨的解集是．x + 1≥ 0⑵ 解不等式组 ⎨ 5x + 1 2x - 1 ，并把解集在数轴上表示出来． ⎪⎩ 2 ⑴ ⎨5x + 3 ⎪⎩ 2 ⑵ 不等式组 ⎨ 3 + x 的整数解是．⎪⎩ 2 【解析】⑴ x > -7 ，图略；265知识模块三一元一次不等式组课后演练⎧ x - 3 < 0 ⎩⎧2 - x > 0 ⎪ + 1≥3【解析】⑴ -1≤ x < 3 ；⑵ -1≤ x < 2 ，图略．【演练5】解下列不等式组：⎧3x - 2 ≤ x + 6 ， ⎪ > x.（北京市西城区期末）⎧2x - 7 < 5 - 2x ⎪ x + 1 >【解析】⑴ -1 < x ≤ 4 ；⑵ 不等式组的解集为：1 < x < 3 ，整数解为 2 .【演练6】已知 x + 2 + 1 - x = 9 - y - 5 - 1 + y ，求 x + y 的最大值与最小值．【解析】等式可化为： ( x + 2 + x - 1 )+ ( y - 5 + y + 1 ) = 9 ；由绝对的几何意义知：当 -2 ≤ x ≤ 1且 -1 ≤ y ≤ 5 时，上式成立，所以当 x = 1 ， y = 5 时， x + y 取最大值 6；当 x = -2 ， y = -1 时， x + y 取最小值 -3 ．10第 9 讲·尖端预备班·教师版。

学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.教师版 (2)

实数8级实数的计算与化简实数7级实数初步实数6级绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；实数例6；例7；演练6考点一:了解平方根及算术平方根的概念1、49的平方根是，16的算术平方根是 .【解析】7,4±考点二:了解立方根的概念2、8-的立方根是，8的立方根是 .【解析】2,2-考点三:了解无理数的概念3、下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？322π20.230.131331333 (7)，，，，【解析】有理数：227，0.23，；无理数：3π20.131331333...，，编写思路考点剖析知识互联网题型切片【例1】考察平方根及算术平方根的概念及性质，用根号表示非负数的平方根及算术平方根；【例2】利用非负数的性质解题；【例3】要挖掘被开方数为非负数的隐含条件，确定字母取值范围或取值解题；【例4】考察立方根的概念及性质；【例5】考察立方根与算术平方根的区别；【例6】考察无理数、实数的概念；【例7】考察实数与数轴的关系；【例8】考察无理数的小数及整数部分.【教师备案】 1、知识点引入：2、老师可以在讲的过程中结合具体例子总结：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．定义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x就叫做a 的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根. 算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性：在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥，总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩知识导航模块一平方根的定义与性质⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 为何值，总有()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a <<≤时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a <<≤.利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围．对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16. ⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.【解析】 ⑴ ① 78±和78； ②0.01±和0.01； ③5±和5； ④ 3±和3； ⑤2±和2⑵ ① 5； ②0.1±； ③13-； ④2； ⑤6； ⑥24a⑶①72±；②6±；③111,55-⑷① <;② >;③ <.⑸2-.非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．【解析】 ⑴ B.⑵ 4a =，5b =-，23a b +=，∴平方根是3±.夯实基础能力提升⑶()222,3,2007,1ca b c a b===∴-=-综合应用能力【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.【解析】 ⑴∵20x -≥且20x -≥∴20x -= 即2x =，∴5y = ∴2525x y ==⑵ 49m n =-=-，，结果为15⑶∵20110a -≥ ∴2010<0a -∴原式为 20102011a a a -+-= 20112010a -=，两边平方得220112010a -= ∴220102011a -=定义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-知识导航模块二立方根的定义与性质对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327 ⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数【解析】 ⑴ ① 1-； ②2； ③32； ④ 2； ⑤ 325⑵ ①< ②=⑶ ①0.7 ② 6 ③5- ④3；⑷ D考查综合运用能力【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是，11x x -+-中的x 的取值范围是．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy 的值.【解析】 ⑴ 任意实数；1x =⑵ ∵331y -与312x -互为相反数，∴31y -与12x -也互为相反数，即(31)(12)0y x -+-=，∴3320,32,2x y x y x y -===夯实基础能力提升注：无理数的四种形式：（1）圆周率π（2）开不尽的方根；325，（3）含有无理数的式子；+13+17π，（4）特殊结构的数. 0.101001000100001......(10)相邻两个之间依次多个对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（）①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个定义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三实数⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.【解析】 ⑴ A;⑵5个；⑶相反数：①6；②3.14π-；③321-；④23- 绝对值：①6；② 3.14π-；③321-；④23-.⑷ 19,23--实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-【解析】 ⑴ 4个；⑵ C近年来对无理数的估算问题考查的越来越多，先给老师们准备几个有关整数部分和小数部分的题，然后再通过一道真题进行详细讲解，并让学生逐步掌握估算无理数范围的方法. 无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3，真题赏析能力提升B A O 221∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【解析】⑴ B; ⑵916k <≤ ⑶2131a b =-=-，.【例8】（2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。

含参不等式的解法教案

含参不等式的解法教案一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。

2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容：1. 含参不等式的定义及分类。

2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法、参数分离法等。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 教学难点：含参不等式解法在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的基本概念和解法。

2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。

3. 组织小组讨论法，让学生合作探究含参不等式的解法。

五、教学过程：1. 导入：通过简单的不等式问题，引导学生思考含参不等式的概念。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法，结合实际例子进行分析。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固含参不等式的解法。

4. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。

5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享含参不等式的解法心得。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调含参不等式的解法及其应用。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，针对存在的问题进行调整教学方法，以提高学生对含参不等式的理解和应用能力。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。

3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，包括分析问题的能力、运用所学知识解决问题的能力。

七、教学拓展：1. 对比分析：引导学生对比含参不等式与一般不等式的异同，加深对含参不等式的理解。

2. 研究性问题：提出研究性问题，引导学生进行深入探究，如探讨含参不等式在实际应用中的局限性等。

七年级数学拓展第五讲不等式与不等式组讲义

例 19. 已知 x1, x2 ,, x7 为正整数，且 x1 x2 x3 x6 x7 ，如果 x1 x2 x3 x7 2012 ，那么 x1 x2 x3 的最大可能值是多少？
例 16.（2010 江苏）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”.以绿豆为例，5 月上旬某市绿豆的市场价已达 16 元/千克。市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格。经市场调硏预测，该市每调进 100 吨绿豆，市场价格就下降 1 元/千克。为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在 8 元汘千克到 10 元/汘克之间（含 8 元/千克和 10 元/千克）。问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？
例 17.某工厂现有甲种原料 36 千克，乙种原料 20 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 12 件。已知生产一件 A 种产品需甲种原料 3 千克，乙种原料 1 千克；生 B 种产品需甲种原料 2 千克乙种原料 5 千克（1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组（2）请你设计出符合题意的几种生产方案
第五讲不等式与不等式组
不等式的概念
1.不等式的概念
用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
5 2, a 3 4 1, x 1 0,| x | 0,3a 4a
等都是不等式
常见的不等号有 5 种： " "," "," "," "," "
2.不等式的性质
（1）基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或是同一个整式，不等号方向不变
其中空心点用来表示“>”和“<”，实心点用来表示“≥”和“≤”

学而思寒假七级尖子班讲义第1讲平行线四大模型

目录Contents第1平行四大模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第2数三大概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17第3平面直角坐系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 33第4坐系与面初步⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 51第5二元—次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 67第6含参不等式〔〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯791平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回忆平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法 l ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：假设∠ 1=∠2，那么 AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；假设∠ 1=∠3，那么 AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；假设∠ 1+ ∠4= 180 °，那么 AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 内部“铅笔〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论 2：假设∠ P+∠AEP+∠PFC= 360°，那么 AB∥CD.模型二“猪蹄〞模型〔M 模型〕点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 内部“猪蹄〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠AEP+∠CFP；结论 2：假设∠ P=∠AEP+∠CFP，那么 AB∥CD.模型三“臭脚〞模型点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 外部“臭脚〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠AEP- ∠CFP或∠ P=∠CFP- ∠AEP；结论 2：假设∠ P=∠AEP- ∠CFP或∠ P=∠CFP- ∠AEP，那么 AB∥CD.模型四“骨折〞模型点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 外部“骨折〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠CFP- ∠AEP或∠ P=∠AEP- ∠CFP；结论 2：假设∠ P=∠CFP- ∠AEP或∠ P=∠AEP- ∠CFP，那么 AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明〔1〕 AE // CF ,求证∠ P +∠AEP +∠PFC = 360°.〔2〕∠ P=∠AEP+∠CFP，求证 AE∥CF．〔3〕 AE∥CF，求证∠ P=∠AEP- ∠CFP.〔4〕∠P= ∠CFP - ∠AEP , 求证 AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1〔1〕如图， a∥b,M、 N分别在 a、b 上， P 为两平行线间一点，那么∠l+ ∠2+∠3=．(2)如图， AB∥CD，且∠ A=25°，∠ C=45°，那么∠E的度数是．(3)如图， AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，那么∠ BCD=.(4)如图，射线AC∥BD，∠ A= 70°，∠ B= 40°，那么∠ P=．练(1)如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，那么∠ EAB的度数为．(2)〔七一中学 2021-2021 七下 3 月月考〕如图， AB∥CD，∠ B=30°，∠ O=∠C．那么∠ C=.例2如图， AB∥DE，BF、 DF 分别平分∠ ABC、∠CDE，求∠ C、∠F的关系 .练如图， AB∥DE，∠ FBC=∠ABF，∠ FDC=∠FDE.(1)假设 n=2, 直接写出∠ C、∠F的关系；(2)假设 n=3，试探宄∠ C、∠F的关系；(3)直接写出∠ C、∠F的关系〔用含n的等式表示〕.例3如图， AB∥CD，BE平分∠ ABC，DE平分∠ ADC．求证：∠E= 2 ( ∠A+∠C) .练如图，己知 AB∥DE， BF、DF分别平分∠ ABC、∠ CDE，求∠ C、∠F 的关系 .例4如图，∠ 3==∠1+∠2，求证：∠ A+∠B+∠C+∠D= 180°．练〔武昌七校2021-2021 七下期中〕如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠ l+ ∠2= 90°， M、N分别是 BA、 CD 的延长线上的点，∠ EAM和∠ EDN的平分线相交于点 F 那么∠F的度数为〔〕．A. 120 °B. 135°C. 145°D. 150 °模块二平行线四大模型构造例5如图，直线 AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM=.练如图，直线 AB∥CD，∠ EFG =100°，∠ FGH =140°，那么∠ AEF+∠CHG=.例6∠ B =25°，∠ BCD=45°，∠ CDE =30°，∠ E=l0 °，求： AB∥EF．AB∥EF，求∠l- ∠2+∠3+∠4的度数 .(1) 如 (l) ， MA1∥NAn，探索∠ A1、∠A2、⋯、∠An，∠B1、∠B2⋯∠ Bn-1之的关系．(2) 如 (2) ，己知 MA1∥NA4，探索∠ A1、∠ A2、∠ A3、∠ A4，∠ B1、∠ B2之的关系．(3)如 (3) ， MA1∥NAn，探索∠ A1、∠ A2、⋯、∠ An 之的关系．如所示，两直AB∥CD平行，求∠ 1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑〔粮道街 2021—2021 七下期中〕如 1，直 AB∥CD，P 是截 MN上的一点， MN与 CD、AB分交于 E、F．(1)假设∠ EFB=55°，∠ EDP= 30°，求∠ MPD的度数；(2)当点 P 在段 EF上运，∠ CPD与∠ ABP的平分交于 Q,：是否定？假设是定，求出定；假设不是，明其范；(3)当点 P 在段 EF的延上运，∠ CDP与∠ ABP的平分交于 Q，的足否认，在 2 中将形充完整并明理由．第一讲平行线四大模型〔课后作业〕1. 如图， AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,那么∠ BAC+∠ACE +∠CEH等于().A. 180 °B. 270°C. 360°D. 450°2．〔武昌七校 2021-2021 七下期中〕假设 AB∥CD，∠ CDF=∠CDE，∠ ABF=∠ABE，那么∠ E：∠ F=()．A．2:1B．3:1C．4:3D．3:2学而思寒假七年级尖子班讲义第 1 讲平行线四大模型(1)C=.3. 如图3，己知AE∥BD，∠ 1=130°，∠ 2=30°，那么∠4. 如图，直线 AB∥CD，∠ C =115°，∠ A= 25°，那么∠ E=．5．如阁所示， AB∥CD，∠ l=l l0°，∠ 2=120°，那么∠α=.6．如下图， AB∥DF，∠ D =116°，∠ DCB=93°，那么∠ B=.7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上， a∥b. ∠1=50°，∠ 2=60°，那么∠3的度数为.8．如图， AB∥CD，EP⊥FP, ∠ 1=30°，∠ 2=20°．那么∠F的度数为．9.如图，假设 AB∥CD，∠BEF=70°，求∠ B+∠F+∠C的度数 .10．，直线AB∥CD．(1)如图 l ，∠ A、∠ C、∠ AEC之间有什么关系？请说明理由；〔2〕如图 2，∠ AEF、∠ EFC、∠ FCD之间有什么关系？请说明理由；(3) 如图 3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.。

学而思初一数学寒假班第3讲方程组巅峰突破——含参方程组.学生版

L3 方程组巅峰突破一1- ^rl变形记领先中考培优课程______ I" q M初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版19知识导航模块三元一次方程组的解法对于多元一次方程组，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：先初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程.题型切片多元一次方程组的解法同解方程电含希勤的二元一次方程组题型切片（三个）对应题目题型目标三k次方程组的解法例1;例2;例3;同解方程组例4;例5;含有参数的二A次方程组例6;例7;例8定义示例剖析三A次方程组定义：方程组含有二个相同的未知数，并且含未知数的项的次数都是1 ,系数都不是0的整式方程. 3x 2y z 6, 6x y 2z 2 6x 2y 5z 3可以用整体法、倒数法、分类讨论法运用整体法相加或相减得到简易方程.20解决较复杂的二k次方程组，对于三兀一次方程组应先消元转化为二e-次方程组.二市消元一市消元一市■一'兀^ 转化■一*兀^ 转化)L【例1】解二兀,次方程组：⑴2X y z 7②x 3y z 8 ③@能力提升廉【例2】解下列三A次方程组：x y 6⑴ y z 10; z x 8【例3】解含有比例的三e-次方程组：,、9x 7y 3z 160⑴;x: y : z 1:2:3x:y 2:3x y⑵ y: z 5: 6 ; ⑶ 2 32x 3y z 7 2x y七领先中考培优课程⑵ x y 2z 72x 3y z 123x y z 8⑵ x 3y z 10.x y 3z 12z43z 4初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版21xyz0 ①3x2yz1322互为相反数、多1、2倍等等.，、… 2x 5y 6 、一， 3x 5y 16 ,… …⑵已知方程组 y 和方程组y 的解相同，求代数式ax by 4bx ay 8初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版领先中考培优课程9若两个二元一次方程组的解相同，则称这两个方程组是同解方程组.应先分别求出这两个方程组的解，再通过数量关系列等式.两个解的数量关系很多，比如相等、【例4】⑴当m , n 时，方程组x y 1 「、一， y 的解和方程组x 2y 10mx y 3x ny的解相同.⑶若关于x 、y 的二元一次方程组x 2y m 3x 5y m的解也是方程x y17的解，求m 的值.2009a 2b能力提升.............. ax 【例5】⑴关于x、y的方程组 a cx 求a、b、c的值. by7y2,甲正确地解出83 ......................... ..,乙因把c看错了，解得2⑵三个同学对问题若方程&xa?x b1y c1的解是b2y C23&x 2b i y 5c i3 a2x 2b2 y 5c2 的解.提出各自的想法：甲说: 这个题好像条件不够, 不能解”；乙说: 可以试试”；丙说：能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以方法来解决参考他们的讨论，你认为该题目的解应该是它的系数有一定的规律，5 ,通过换元替代的模块三含参数的二元一次方程组知识导航初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版8（先中考培优课程2324方程组a 1x b 1y c 1的解的情况讨论：(对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般性) a 2x b 2 y c 2法一：可以写成比的形式，⑴若曳巴巴时，方程组有无穷多组解.a 2b ?c 2 ⑵若a 1%c 1时，方程组无解.a 2b 2 C 2⑶若曳生时，方程组有唯一解.a ?b 2法二：用代入消元法消去一个未知数，写成 ax b 的形式，再讨论 ax b 的解的情况.a 0⑴当a 0时，ax b 有无穷个解，方程组也有无穷组解. b 0 一,a 0 一，⑵ 当时，ax b 无解，万程组也无解.b 0⑶当a 0时，ax b 有唯一解，方程组也有唯一解.【例6】a 为何值时，方程组 x y 3n 有无数多组解？无解？唯一一组解?mx y 6y kx b【例7】求k, b 为何值时，方程组 y的解满足:y (3k 1)x 2①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版- r —■, 一「能力提升领先中考培优课程【例8】⑴（2011年海淀期末考试题）关于x的方程（m 1）x n 3 0是一元一次方程.若此方程的根为整数，求整数 m的值.⑵（2012年北大附中期中）,,,, ,、… 2x my 11 .. 一当整数m _________________ 时，方程组的解是正整数x 4y 8题型一多元一次方程组的解法课后演练【演练1】⑴若x3a2b2 2y ab 5是二元一次方程，则a , b领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版25264x 3y 1...⑵ 当k时，方程组的解中x 与y 的值相等.kx k 1 y 3⑶ 已知代数式 3x m1y 3与卫x n y m n 是同类项，那么求 m 、n 的值.22x 3y 9 3x y 8 与向解，求a 、b 的值.ax by 1 2ax 3by 7初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版x 2y zx : y 3:2 x yz 3x2y 1 ⑵ y ： z 5:4 ⑶ yzx1x y z 66z xy 2xy z -2【演练2】解方程组：⑴2 54题型二同解方程组课后演练_、一一. 2x【演练3】 ⑴已知方程组 3x3y 4yk 2k的解满足x y 3,求k 的值.6⑵已知方程组领先中考培优保程【演练4】关于x 2y 3my的万程组,x y 9m⑴若x的值比y的值小5 ,求m的值；⑵若方程3x 2y 17与方程组的解相同, m的值.题型三含参数的二元一次方程组【演练5】⑴方程组2x6x 3y课后演练43的解的情形是（4A.有唯一解⑵已知关于x,B.无解y的方程组x ay 3x yC.有两解11的解是整数，a是整数，那么a的值为1领先中考培优课程初一寒假・第3讲・目标中考高分班・学生版27第十四种品格：信念坚持不懈，直到成功爱・罗塞尼奥是第七届国际马拉松赛冠军.当他从领奖台上走下来的时候，有记者问他，是什么力量让他坚持到最后，跑在最前面？他想了想，就讲了一个自己的故事.在上中学的时候，有一次他参加学校举办的10公里越野赛.开始，他跑得很轻松, 慢慢地，他感觉有些跑不动了，汗流狭背，脚底发虚，很想停下来歇一歇，喝口水.这时,一辆校巴开了过来，校巴是专门在赛跑路线上接送那些跑不动或者受伤的学生的.他很想上车，但还是忍住了.又跑了一段时间，他感到两眼模糊，胸口发紧，双腿灌铅似的沉重，停下来休息的愿望强烈地袭了上来.又一辆校巴开过来了，他迟疑了一下，还是压制住了他那极速膨胀的渴望，继续朝前跑.不知又跑了多久，到了一个小山坡前，他感到眼冒金星, 全身虚脱，两条腿似乎不再属于自己.他觉得现在要爬上眼前这个小小的山坡，对他来说绝不亚于攀登珠穆朗玛峰. 他绝望了，不再坚持，当校巴再一次开过来的时候，他没有犹豫，上去了.没想到的是，校巴开过那个小山坡一拐弯就到了终点. 他后悔极了，要是再坚持一分钟，冲刺一下，就能越过小山坡，跑到终点，那是多么令人骄傲的事情啊!从那以后，每次参加比赛，当感到自己跑不动、快要泄气的时候，他就不断地对自己说：“再坚持一分钟，快到终点了！”就这样，他一直跑到世界冠军的领奖台!我的字典里不再有放弃、不可能、办不到、没法子、成问题、失败、行不通、没希望、退缩……我要向绝望挑战，我要辛勤耕耘勇往直前。

初一数学春季讲义第5讲-含参不等式教师版

不等式1级不等式的概念和性质不等式2级含参不等式方程6级不等式3级不等式的应用春季班第七讲暑期班第七讲天平漫画释义满分晋级阶梯5含参不等式知识互联网编写思路：题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系；题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识.题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解（1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集.（2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.题型一：不等式（组）的基本解法思路导航2【例1】⑴解不等式31423x xx +--+≤.典题精练4⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解．⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）【解析】⑴135x -≥； ⑵由①得1x -≥ 由②得3x <∴原不等式组的解集是13x -<≤.⑶由①得 12x -≥；由②得 2x <．∴此不等式组的解集为122x -<≤．∴此不等式组的整数解为0，1．⑷原不等式组等价于不等式组3221215x x x -<-⎧⎨-<⎩解得：1x < ⑸无解【点评】通过此题告知学生不等式组无解的写法.对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，思路导航题型二：含参数的不等式（组）【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是．⑷关于x 的一次不等式组x ax b⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是．【解析】 ⑴a b ≥；⑵b a ≤；⑶a b <；⑷a b ≤.【点评】先根据不等式组解集的情况得到大小关系，再对“是否取等”情况单独分析.【例2】解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<【解析】 ⑴ 2b ax ->⑵移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解典题精练例题精讲6⑶移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数.⑷不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑸∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+⑹20n --<，∴不等式解集52x n >--【点评】第1小题为系数不含参的，第2至第4为系数含参的需要分类讨论，第5,6题都是系数恒正（恒负）的问题不需要分类讨论. 【总结】解决系数含参的一元一次不等式步骤：1. 移项合并同类项后得到最简式ax b >或ax b <；2．对系数a 进行分类讨论；（此时注意分析系数有可能是恒正或恒负） 3．对系数为0的情况单独分析，此时不等式解集为任意数或无解.【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a>⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是．【解析】 ⑴由不等式解得62x m >-，即622m -=，则2m =；⑵由不等式解得12a x -≤，可得112a -=-，1a =-；⑶2a =-⑷ ①D ；②C .⑸当232a a +>-时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），∴2a <．⑹解不等式组得2x ax >⎧⎨⎩≤，当2a ≥时，不等式组无解（大于大的，小于小的无解），∴2a ≥．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）【解析】 ⑴ 32≤a -<-；⑵A .【总结】（供教师参考）对于解决不等式组的整数解个数问题步骤：以例4（1）为例 1.写出不等式组的解集；例如2a x <≤2.根据整数解的个数在数轴上画出简图；可得32a -<<-；3.对于是否取等号单独讨论分析.当3a =-时，解集为32x -<≤此时有五个整数解，不合题意；当2a =-时，解集为22x -<≤此时有四个整数解，合题意. 综上可得32a -<-≤.【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问题和解含参的不等式组，需要分类讨论.【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.544(1)331023a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩≥ 【解析】不等式组的解为225x a -<≤恰有两个整数解，则这两个整数解必为0,1x =则122a <≤，解得112a <≤.【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩，≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围是，b 的取值范围是．（2011年西城区期末考试）【解析】由原不等式组可得98a bx <≤．因不等式组的整数解仅为1，2，3，8于是有019a <≤，348b<≤，由019a <≤得09a <≤，由348b<≤得2432b <≤.【拓展2】解关于x 的不等式组：23262(1)11x a x x x+⎧->⎪⎨⎪+>-⎩ 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩，当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+；当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >．【拓展3】已知关于x 的不等式组214(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.【解析】化简不等式组得()1314a x x ->-⎧⎪⎨>-⎪⎩当1a <时，解集为1341x a --<<-；当113a ≤≤时，解集为14x >-；当13a >时，解集为31x a >-- ⑴若不等式组无正整数解，显然1a ≥时，均不合题意；当1a <时，应有311a --≤，得2a -≤，所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a -≤； ⑵当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解.当1a <时，依题意得3341a -<-≤，解得104a <≤.故当104a <≤时，不等式组的解集中恰含了3个正整数解.思路导航题型三：复杂的不等式（组）对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.【例5】解下列不等式：⑴ >2x ． ⑵ 3x ≤． ⑶ 14≤x -【解析】 ⑴ （法一）零点分类讨论：①02x x ⎧⎨>⎩≥即2x >．②02x x <⎧⎨->⎩即2x <-．综上得，2x >或2x <-．（法二）应用绝对值的几何意义：2x >或2x <-． ⑵（法一）零点分类讨论：① 03x x ⎧⎨⎩≥≤ 即03x ≤≤．② 03x x <⎧⎨-⎩≤即30x -<≤．综上得，33x -≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：33x -≤≤． ⑶ （法一）零点分类讨论：① 1014≥≤x x -⎧⎨-⎩即51≤≤x ．② 1014≤x x -<⎧⎨-⎩即31x -<≤综上得，35x -≤≤（法二）应用绝对值的几何意义：35x -≤≤【例6】解不等式⑴ 123≤≤x + ⑵ 235≥x x -++【解析】 ⑴（法一）零点分类讨论：① 20123x x +⎧⎨+⎩≥≤≤即11x -≤≤．典题精练210② 201(2)3x x +<⎧⎨-+⎩≤≤即53x --≤≤．综上得，11x -≤≤或53x --≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：11x -≤≤或53x --≤≤． ⑵ 应用绝对值的几何意义，易得x 为任意数.【总结】绝对值不等式的解法，通常根据绝对值的意义，用讨论的方法，去掉绝对值的符号，将绝对值不等式化为不等式组进行求解.也可根据数轴，利用绝对值的几何意义进行求解.【例7】已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．【解析】题型一不等式（组）的基本解法巩固练习【练习1】不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1【解析】A复习巩固真题赏析312310,216232160,3431421624323x a x a xb x b a b x x x --+=∴=+--=∴=<-⎧⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩∴-<≤≤≤题型二含参数的一元一次不等式（组）巩固练习【练习2】、a b 为参数，解不等式153b ax x -<-+ 【解析】不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 当03b a +>时，解集为183x a b<+ 当03b a +<时，解集为183x a b>+ 当03b a +=时，解集为任意数. 【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .⑵若不等式组213x x a -<⎧⎨<⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是．⑶如果关于x 的不等式组230≥≤x x m -⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是 . 【解析】 ⑴2a <；⑵2a ≥； ⑶32m <.【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（）． A.1453a --≤≤ B.1453a -<-≤ C.145<3a --≤ D ．1453a -<<-⑵已知关于x 的不等式组0321≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 . 【解析】 ⑴ C. 不等式组可化得2123x x a<⎧⎨>-⎩∴这四个整数只能是17，18，19，20，故162317a -<≤，即1453a -<-≤． ⑵43≤a -<-.题型三复杂的不等式（组）巩固练习【练习5】解下列不等式：135x <-<【解析】 22x -<<或48x <<12第十四种品格：信念朋友的信任公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法

人教版七年级下册数学第九章含参不等式以及含参不等式组的解法含参不等式以及含参不等式组的解法在中考中经常出现，它们往往掺杂参数来增加难度。

但只要我们读清楚题目并找到解题思路，就能迎刃而解。

本节课将重点讲解如何读题去寻找解题思路。

对于含参不等式，我们需要分类讨论情况。

当不等式为ax0、a0时，解集为任意数；当b≤0时，这个不等式无解。

当不等式为ax≥b时，解集情况也需要分类讨论。

当b≥0时，解集为任意数；当b<0时，这个不等式无解。

在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。

例如，对于不等式kx+2>2x-3，我们可以移项、合并同类项，并进一步讨论取值。

对于含参不等式组，我们需要观察解集，并根据解集分类讨论情况。

例如，对于不等式组{x>1.x>3}，解集为x>3；对于不等式组{x1.x3}，无解。

练题：1、求不等式kx+2>3的解集。

2、（1）求不等式mx-2<-7-nx的解集；（2）求不等式m2x+1<-x+5的解集。

3、关于x的方程5x-2m=-4-x的解满足2<x<10，求m的取值范围。

4、（1）求不等式(x-a)(x-b)>0的解集；（2）求不等式x-20x-18x-16x-14x-12>5的解集。

5、（1）已知关于x的不等式组{x-a≥5-2x。

x>a+2}，只有四个整数解，求实数a的取值范围；（2）已知关于x的不等式组{x<3a-2.x<1.x<1-k}无解，则a的取值范围是？已知关于x的不等式组为：begin{cases}x-a>0\\x-a<5\\x-a>3\\x-a<8\\x-a>6\\x-a<11end{cases}求a的取值范围。

首先，我们可以将每个不等式都变形为$x>a$的形式，得到：begin{cases}x>a\\x<a+5\\x>a+3\\x<a+8\\x>a+6\\x<a+11end{cases}接下来，我们可以将这些不等式表示在数轴上，如下图所示：image.png](/upload/image_hosting/ed4z3l4y.png)根据图中的表示，我们可以发现，对于任意一个整数解x，它都必须同时满足这6个不等式，也就是说，它必须在数轴上被标记为黑色的点。

【精品讲义】人教版七年级下册寒假同步课程(培优版)10含参数不等式、不等式与方程.教师版

板块一、不等式与方程【例1】已知方程组323323x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x>，0y>，试求m的取值范围【解析】略【答案】解方程组得132132mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵0x>，0y>∴132132mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得13m>∴m的取值范围是13 m>【巩固】求使方程组24563x y mx y m+=+⎧⎨+=+⎩的解，x、y都是正数的m的取值范围？【解析】略【答案】解方程组得826x my m=-⎧⎨=-⎩，∵x、y都是正数，∴80260mm->⎧⎨->⎩，解得38m<<【巩固】在方程组2122x y mx y+=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x、y满足0x y+>，则m的取值范围为【解析】略【答案】2122x y mx y+=-⎧⎨+=⎩①②，①+②得，3()3x y m+=-，∴33mx y-+=∵0x y+>∴33m->，解得3m<【巩固】已知x、y同时满足三个条件：①324x y p-=-；②432x y p-=+；③x y>则p的取值范围是含参数不等式、不等式与方程【解析】略【答案】②-①得220x y p -=->，∴1p >【例2】已知x 、y 、z 为三个非负有理数，且满足325x y z ++=，2x y z +-=，若2S x y z =+-，则S的最大值和最小值之和是多少？【解析】将x 、y 、z 中的一个字母看做常数，解方程，然后将结果代入2S x y z =+-进行消元【答案】方法一、由3252x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩解得，1341x zy z =-⎧⎨=+⎩，∵x 、y 、z 为三个非负有理数， ∴1304100z z z -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，解得 103z ≤≤将1341x z y z =-⎧⎨=+⎩代入2S x y z =+-得，33S z =-∵103z ≤≤ ∴23S ≤≤，∴S 的最大值与最小值之和为5方法二、根据题意得32522x y z x y z x y z S++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，解得2154333x S S y Sz =-⎧⎪⎪⎪-⎨=⎪⎪-=⎪⎩，∵x 、y 、z 都是非负数，∴2015403303S SS -≥⎧⎪⎪⎪-⎨≥⎪⎪-≥⎪⎩∴21543S S S ≥⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩ ∴23S ≤≤，∴S 的最大值与最小值之和为5【巩固】已知非负数a 、b 、c 满足条件：324a b c ++=，235a b c ++=，设547S a b c =++的最小值为m ，最大值为n ，求m n -的值【解析】略【答案】12板块二、解含有参数的不等式【例3】解关于x 的不等式21123x a x a --+>+。

学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.学生版 (2)

实数8级实数的计算与化简实数7级实数初步实数6级绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；实数例6；例7；演练6定义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”．5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.知识导航模块一平方根的定义与性质知识互联网题型切片对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16.⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根.算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性：在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥，总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩夯实基础非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．综合应用能力【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.知识导航模块二立方根的定义与性质能力提升对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数考查综合运用能力定义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-夯实基础能力提升【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是，11x x -+-中的x 的取值范围是．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy的值.对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（）定义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三实数①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）真题赏析能力提升B A O 221⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3， ∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【例8】（2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。

含参不等式的解法教案

含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。

2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1. 含参不等式的定义及分类。

2. 含参不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法。

3. 含参不等式在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：含参不等式的解法及其应用。

2. 难点：含参不等式解法的灵活运用。

四、教学方法与手段1. 采用案例分析法、讨论法、实践教学法等多种教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段辅助教学。

五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入含参不等式的概念，激发学生兴趣。

2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法。

3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生学会解决问题。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高课堂氛围。

2. 小组合作：分组练习含参不等式的解法，培养学生的团队协作能力。

3. 课后实践：布置实践性作业，让学生将所学知识应用于实际问题中。

七、教学评价1. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 练习作业：评价学生课后作业的完成情况，检查掌握程度。

3. 实践成果：评价学生在实际问题中的应用能力，展示成果。

八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。

3. 搜集学生反馈意见，不断优化教学内容和方法。

九、教学拓展1. 探讨含参不等式与实际生活中的联系，引导学生关注数学在生活中的应用。

2. 介绍含参不等式的相关研究动态和最新成果，激发学生的学习兴趣。

3. 推荐相关的学习资料，引导学生开展课外学习。

十、教学时间表1. 第1-2课时：介绍含参不等式的定义、分类和解法。

(人教版)七年级数学寒假精品课第12讲不等式-【寒假自学课】解析版

第12讲不等式【学习目标】1.理解不等式的有关概念.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.掌握不等式的三个性质.4.能够利用不等式的性质解不等式.5.明确解不等式的步骤.6.能够熟练解不等式，并把解集在数轴上表示出来.【基础知识】1.不等号：“>”“<”“≠”(1)“>”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大.(2)“<”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小.(3)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不明确谁大谁小.2.不等式：(1)用符号“>”或“<”表示大小关系的式子叫不等式.(2)用符号“≠”表示不等关系的式子也叫不等式.3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值.4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.5.解不等式：求不等式解集的过程.6.在数轴上表示不等式的解集有下列四种情形：x>a x≥a x<a x≤a1.判断对错：(1)x=1是不等式x<2的解.(√)(2)不等式x<10的整数解有无数个.(√)(3)a-3≠b是不等式.(√)(4)不等式-3x>9的解集是x=-3. (×)2.在下列式子中，不是不等式的是(D)A.2x<1B.x≠-2C.4x+5>0D.a=33.“a与b的2倍大于1”用不等式可表示为a+2b>1.7.不等式的性质：【概念理解】1.判断对错：(1)若a<0，则5+a>3+a. (√)(2)若a<0，则5a>3a. (×)(3)-100a>0，则a的取值范围是a<0. (√) 2.若x<y，则下列不等式中不成立的是(D)A.x-5<y-5B.16x<16y C.x-y<0 D.-5x<-5y3.如果a<b，那么-3a＞-3b(用“>”或“<”填空).9.符号“≤”“≥”表示什么：(1)像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系.(2)“x≥a”表示“x>a”或者“x=a”；“x≤a”表示“x<a”或者“x=a”.2.符号“≤”“≥”的读法：(1)符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”.(2)符号“≤”读作“小于或者等于”，也可说是“不大于”.3.数轴上表示“≤”“≥”：数轴上表示“≤”“≥”画实心圆点，表示取值范围包括这一点.【概念理解】1.判断对错：(1)x不小于2，用不等式表示为x-2≥0. (√)(2)没有不大于1的正整数. (×)2.不等式4x-8≤0的解集是(D)A.x≥-2B.x≤-2C.x≥2D.x≤23.3x与2y的差是非正数，用不等式表示为3x-2y≤0.【考点剖析】考点一：不等式的定义和列不等式例1．用不等式表示：(1)a与2的和是正数.(2)x与y的差小于3.(3)x，y两数和的平方不小于4.(4)x的一半与y的2倍的和是非负数.【详解】(1)因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2>0(2)“x与y的差小于3”可表示为：x-y<3(3)因为“不小于3”就是“大于或等于”，所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4(4)因为“非负数”就是“正数或0”，所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：12x+2y≥0.【分析】用不等式表示数量关系的步骤1.分析题意，找出题中的各种量.2.用代数式表示各种量.3.抓住关键字词的意义，寻找各种量之间的不等关系.4.用适当的不等符号将表示不等关系的量连接起来. 考点二：不等式的解与解集例2．下列各式哪些是不等式2(2x+1)>25的解？哪些不是？(1)x=1. (2)x=3.(3)x=10. (4)x=12.【分析】把给出的解分别代入不等式，满足不等式成立的未知数的值就是不等式的解.【详解】(1)把x=1代入不等式2(2x+1)>25，因为：左边=2×(2×1+1)=6<25，所以x=1不是不等式2(2x+1)>25的解.(2)把x=3代入不等式2(2x+1)>25，因为：左边=2×(2×3+1)=14<25，所以x=3不是不等式2(2x+1)>25的解.(3)把x=10代入不等式2(2x+1)>25，因为：左边=2×(2×10+1)=42>25，所以x=10是不等式2(2x+1)>25的解.(4)把x=12代入不等式2(2x+1)>25，因为：左边=2×(2×12+1)=50>25，所以x=12是不等式2(2x+1)>25的解.即x=1，x=3不是不等式2(2x+1)>25的解；x=10，x=12是不等式2(2x+1)>25的解.【注意】判断不等式解的方法判断一个数是不是不等式的解，常采用的办法是“代入检验法”，即把各个数值代入不等式，看不等式是否成立.注意：一般来说，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，个别情况不等式的解也有可能只有一个.考点三：不等式的性质例3．已知a>b，用“>”“<”填空，并说明理由.(1)a+3________b+3.(2)a-4________b-4.(3)13a_______13b.(4)-2a________-2b.(5)3a-1________3b-1.(6)1-a________1-b.【详解】(1)不等式的两边都加上了3，依据不等式的性质1，填“>”.(2)不等式的两边都减去了4，依据不等式的性质1，填“>”；(3)不等式的两边都乘以了13，由于13>0，依据不等式的性质2，填“>”；(4)不等式的两边都乘以了-2，由于-2<0，依据不等式的性质3，填“<”；(5)依据不等式的性质2，3a>3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向仍然不变，故填“>”；(6)依据不等式的性质3，-a<-b，不等式的两边都加上1，得1-a与1-b，依据不等式的性质1，填“<”.例4．已知-x<-y，用“<”或“>”填空：(1)7-x________7-y.(2)-2x________-2y.(3)2x________2y.(4)23x_______23y.【详解】(1)不等号两边都加了7，依据不等式的性质1，得7-x<7-y.(2)不等号两边都乘以了2，依据不等式的性质2，得-2x<-2y.(3)不等号两边都乘以了-2；依据不等式的性质3，得2x>2y.(4)不等号两边都乘以了23，依据不等式的性质3，得23x>23y.答案：(1)<(2)<(3)>(4)>【注意】应用不等式的性质时的三点注意(1)不等式的性质1：①一定要同时加或同时减；②同时加上(或减去)的数或式子必须相等；③应该同时加(或同时减)的是整式.(2)不等式的性质2：①一定要同时乘(或除以)；②都乘(或除以)的数相同；③都乘(或除以)的是一个正数.(3)不等式的性质3：①一定要同时乘(或除以)；②都乘(或除以)的数相同；③都乘(或除以)的是一个负数，且不等号的方向要改变.考点四：不等式性质的应用例5．利用不等式的性质，将下列不等式转化为“y>a”或“y<a”的形式.(1)5y-5<0. (2)3y-12<6y. (3)12y-2>32y-5.【分析】利用不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1. 【详解】(1)根据不等式的性质1，两边都加上5得5y<5.根据不等式的性质2，两边除以5得y<1.(2)根据不等式的性质1，两边都加上12-6y得-3y<12.根据不等式的性质3，两边都除以-3得y>-4.(3)根据不等式的性质1，两边都加上232y得-y>-3.根据不等式的性质3，两边都除以-1得y<3.【注意】应用不等式的性质解不等式应用不等式的性质进行变形时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边，然后把未知数的系数化为1.要注意的是：如果两边都乘(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.考点五：利用不等式的性质解不等式例6．解下列不等式，并将其解集表示在数轴上.(1)23x<x+1. (2)x-1>3x+5.【详解】(1)不等式的两边都减去x，得13x<1；不等式的两边都乘以-3，得x>-3.把解集在数轴上表示为：(2)不等式的两边都加上1-3x，得-2x>6，不等式的两边都除以-2，得x<-3.把解集在数轴上表示为：例7．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)2x+5≥5x-4. (2)4-3x≤4x-3.【解析】(1)不等式两边同时减5x，得-3x+5≥-4.不等式两边同时减5，得-3x≥-9.不等式两边同时除以-3，得x≤3.在数轴上表示x的取值范围如图所示.(2)不等式两边同时加-4x-4，得-7x ≤-7. 不等式两边同时除以-7，得x ≥1. 在数轴上表示x 的取值范围如图所示.【注意】用不等式的性质解不等式的步骤(1)用性质1把含未知数的项移到一边，把常数项移到另一边. (2)用性质2，3把未知数的系数化为1.考点六：不等式性质的应用例8．某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小.为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品？【分析】(1)利润率为20%时，获得的利润为120×20%. (2)若打x 折，该商品获得的利润=该商品的标价×10x -进价，即该商品获得的利润=180×10x-120. 【详解】设可以打x 折出售此商品，由题意得 180×10x-120≥120×20%，整理，得18x-120≥24，不等式的两边都加120，得18x ≥144，不等式的两边都除以18，得x ≥8. 答：最多可以打8折出售此商品. 【注意】(1)注意“≤，≥”与“<，>”的不同.(2)注意实际问题的上限或者下限，是否包含该数值.【真题演练】1．已知a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．33a b +<+ B ．ac bc >C ．()()2211m a m b +>+D ．21a b ->-【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，即可确定答案．【详解】解：A 、根据不等式基本性质1两边同时加上3，不等号不发生改变，故本项错误；B 、根据不等式的基本性质2和3，不等式两边同时乘以c ，c>0则不改变不等号方向，c<0则改变不等号的方向，因为无法判断c 的正负，故本项错误；C 、根据不等式的基本性质2，两边同时乘以21m +，因为21m +>0，则不改变不等号方向，故本项正确；D 、根据不等式的基本性质1，两边加上或减去的必须是同一个数，故本项错误；故选：C ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 2．下列各式中，是一元一次不等式的有（） ①5x <，②(5)5x x -<，③15x <，④25x y y +<+，⑤25a -<，⑥3y x ≤ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式为一元一次不等式. 【详解】①5x <是一元一次不等式；②(5)5x x -<是一元二次不等式；③15x<是分式；④25x y y +<+是二元一次不等式；⑤25a -<是一元一次不等式；⑥3yx ≤是二元一次不等式，故正确的有两个故选A. 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是正确解题的关键. 3．用不等式表示图中的解集，其中正确的是( )A ．x ＞－3B ．x ＜－3C ．x ≥－3D ．x ≤－3【答案】C 【解析】由数轴知不等式的解为x ≥－3，故选C. 4．已知关于x 的不等式(4)2a x ->的解集为24x a<-，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞4 B ．a ＜4 C ．a ≠4 D ．a ≥4【答案】A 【分析】在不等式两边同时除以(4)a -后，不等号的方向发生的改变，再几何不等式的性质即可求出a 的取值范围．【详解】由题意得：在不等式的两边同时除以(4)a -后，不等号的方向发生的改变；∵由不等式的性质可得：不等式两边同时乘以或者除以负数，不等号的方向发生改变． ∴得40a -＜，即a 4＞．故选：A ．【点睛】本题主要考察不等式的性质，解题的关键是能够熟练的记忆并运用不等式的性质来解不等式以及不等式组即可．5．若m ＜n ，则下列不等式不成立的是（） A ．1m 2n +<+ B ．2m 2n -<-C ．3m 3n <D ．m n55< 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A ．∵m ＜n ，∴1+m ＜1+n ，∴1+m ＜2+n ，正确，不合题意；B ．∵m ＜n ，∴2﹣m ＞2﹣n ，故此选项错误，符合题意；C ．∵m ＜n ，∴3m ＜3n ，正确，不合题意；D ．∵m ＜n ，∴55m n＜，正确，不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质．掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．不等式325243x x +>+（）（）的解集为（） A ． 4.5x > B ． 4.5x <C ． 4.5x =D ．9x >【答案】B 【分析】先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案. 【详解】解：325243x x +>+（）（）6x+15>8x+6 6x-8x>6-15 -2x>-9 x<4.5因此答案选择B. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 7．下列说法不一定成立的是（） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】C 【详解】A ．在不等式a b >的两边同时加上c ，不等式仍成立，即a c b c +>+，故本选项错误；B ．在不等式a c b c +>+的两边同时减去c ，不等式仍成立，即a b >，故本选项错误；C ．当c=0时，若a b >，则不等式22ac bc >不成立，故本选项正确；D ．在不等式22ac bc >的两边同时除以不为0的2c ，该不等式仍成立，即a b >，故本选项错误．故选C ．8．下列数值中不是不等式5x≥2x ＋9的解的是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【详解】解：移项得，5x ﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等式的解集的是x=2．故选D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解集．9．一元一次不等式2（x ﹣1）≥3x ﹣3的解在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】运用解一元一次不等式的解法解除不等式，在数轴上画出正确图形即可.【详解】解: 2（x ﹣1）≥3x ﹣3去括号, 得2x-2≥3x -3，移项, 合并同类项, 得-x≥-1，得：x≤1故在数轴上表示为:故选B.本题考查的是一元一次不等式的解法, 解答的关键是熟练掌握不等式的性质, 理解解不等式的一般过程. 10．不等式2100-+≥的正整数解有( )xA．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【解析】【分析】先求出不等式的解集，找出不等式组的正整数解即可．【详解】-+≥,x2100-2x≥-10,x≤5正整数解为1，2，3，4，5，共5个，故选B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键是求出不等式的解集．【过关检测】1．“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．【答案】5+2m＜0【分析】根据题意列不等式可得答案.【详解】解:由题意得：5与m的2倍的和是负数,可列不等式：5+2m＜0故答案为5+2m＜0.【点睛】本题主要考查列不等式，较简单.2．已知a＞b，则15a+c_____15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】根据不等式的性质求解即可，15>0，所以不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向．【详解】∵a ＞b ，15>0∴15a ＞15b∴15a+c ＞15b+c故答案为>．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式两端同时乘或除一个负数时，符号改变是本题的关键．3．不等式2x-1>5的解集为______．【答案】x>3【详解】考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再合并同类项，系数化为1即可．解：移项得，2x>5+1，合并同类项得，2x>6，系数化为1得，x>3．故答案为x>3．点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．4．不等式3x -7≥2的最小整数解是____________．【答案】3【分析】解不等式即可找到最小整数解．【详解】解不等式：372x -≥移项：32+7x ≥，整理得：39x ≥，解得：3x ≥所以不等式的最小整数解为3．【点睛】本题属于基础题，熟练的掌握解不等式的方法步骤即可．5．已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________. 【答案】2【详解】试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞573k-，∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴573k-＝1，解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．6．用适当的不等式表示下列不等关系：（1）x减去6大于12；（2）x的2倍与5的差是负数；（3）x的3倍与4的和是非负数；（4）y的5倍与9的差不大于1-；【答案】（1）x-6＞12；（2）2x-5＜0；（3）3x+4≥0；（4）5y-9≤-1．【分析】（1）根据x减去6得出x-6，再根据x减去6大于12得出答案；（2）先表示出x的2倍为2x，再表示出与5的差为2x-5，列出不等式即可；（3）先表示出x的3倍为3x，再表示出与41的和为3x+4，列出不等式即可；（4）先表示出y的5倍是5y，再表示出与9的差5y-9，然后根据不大于-1即为小于等于-1，列出不等式即可．【详解】（1）由题意可得：x-6＞12；（2）由题意可得：2x-5＜0；（3）由题意可得：3x+4≥0；（4）由题意可得：5y-9≤-1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．7．用不等式表示：(1)7x与1的差小于4；(2)x的一半比y的2倍大；(3)a的9倍与b的12的和是正数．【答案】(1)7x－1＜4 (2)12x＞2y (3)9a＋12b＞0【分析】（1）7x与1的差是7x-1，小于4，再用小于号“<”与4连接即可；（2）x的一半记作12x，y的2倍记作2y，然后用大于号“>”连接即可；（3）a的9倍记作9a，b的12记作12b，和是正数即相加后大于0．【详解】由题意得(1)7x－1＜4；(2)12x＞2y；(3)9a＋12b＞0【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．8．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－3 2 .【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】试题分析：将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点睛：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”，数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”，“x a ≥（或x a ≤）时”，数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”.9．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<．（2）4x 13-≥．（3）1x 142-+≥．（4）4x 10-<-．【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1，再两边同除以4即可求解；（3）利用不等式的性质先将两边减去1，再两边同除以12-即可求解；（3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解；【详解】（1）x 15-<，两边加上1得：x 1151-+<+，解得：x 6<；（2）4x 13-≥，两边加上1得：4x 1131-+≥+，即4x 4≥，两边除以4得：x 1≥；（3）1x 142-+≥，两边减去1得：1x 11412-+-≥-，即1x 32-≥，两边除以12-得：x 6≤-；（4）4x 10-<-，两边除以4-得：5x 2>．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．10．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集：（1）3223x x -+<+；（2）12233x x ≥--．【答案】（1）15x >-，在数轴上表示见解析；（2）2x ≥-，在数轴上表示见解析. 【分析】（1）根据不等式的性质可以得到不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；（2）根据不等式的性质可以得到不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可解答本题．【详解】（1）3223x x -+<+，不等式两边减2，得321x x -<+．不等式两边减2x ，得51x -<．不等式两边除以5-，得15x >-．故原不等式的解集是15x >-，在数轴上表示如下：（2）122 33x x≥--，不等式两边加23x，得2x≥-．故原不等式的解集是2x≥-，在数轴上表示如下：【点睛】本题考查解一元一次不等式、不等式的性质、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质，尤其是两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．。

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