朗肯土压力

第六章

侧向土压力

6.1 简介

这一章解决的是土体与相邻的支护结构间，侧向土压力的分布和大小。假定平面应变的条件。

也就是认为在结构的纵向方向的应力为零。对于这类问题的应力与应变要进行充分的考虑，并且在理论上通过静力平衡条件满足极限平衡边界条件建立方程，求解土中各点在极限平衡是的应力和位移。通过有限元法，运用电脑软件得到近似实际值的应变参数。然而在发生塑性破坏时，这种弹性的应变相对于塑性形变来说可以忽略不计。因此土压力的问题可以看作一个塑性问题。

通过土体的应力应变特征，可以假定土为理想的塑性体。如图6.1，其中屈服发生在剪切破坏相同的应力的值；只要达到这个屈服水平后塑性形变将不断怎加。土体中每个点的剪切应力都在代表值点γ’以内，土体就保持塑性平衡。

达到塑性平衡之后土体会出现塑性破坏，相对于滑动土体的静止土体形成一种不稳定的结构，作用于系统的荷载，包括土体的自重。利用塑性理论的极限平衡方程得到屈服荷载是极为复杂的。塑性区满足的屈服准则和变形规律在特殊的变形条件下无法满足平衡条件。然而塑性理论也提供了一些方法避免了复杂的分析，可以通过塑性理论极限平衡来计算上下边界以确定真实的极限荷载。这些理论可以产生精确的极限荷载。极限理论表示如下：

下界理论

如果找到一个没有达到破坏标准的点和一个是系统处于平衡的外荷载（包括土体的自重），就可以找到这个状态的压力。土体不会发生破坏，这个外部荷载的系统是低于极限荷载边界的（因为存在外荷载之上的有效应力分布平衡）

上界理论

如果在结构发生塑像破坏的前提下，由于外荷载的作用产生一个位移增量，且这个增量与内部应力的内能消散是相等的。，这种使破坏发生外荷载系统构成就高出破坏的极限荷载的边界（因为存在一个比外部荷载低的有效应力导致破坏发生）

从低边界靠近，是在没有产生变形的平衡状态下，满足达到屈服的条件。同样适用于摩尔-库伦屈服准则，从高边界接近是塑性破坏的情况是选中滑裂面在外部作用力相平衡后能量释放导致沿滑裂面破坏的情况。这样没有考虑平衡的情况。在真实的情况下这种破坏是

不会出现的。但土体的滑裂面的运动必须在运动上满足土体的连续性和边界的兼容性。比如AtkinsonandParry在塑性的高边界理论中提出的：由直线或者圆弧构成的不排水的滑裂面（或者既有圆弧又有直线）；由直线或者对数螺线组成的排水情况下的滑裂面（或者既有直线又有螺线）

侧向土压力的计算通常是基于朗肯理论和库伦理论，在6.2和6.3节中所描述的，两种理论都把土体视为刚塑性体。

6.2朗肯土压力理论

朗肯理论（1857）认为当土体达到塑性平衡时的应力，也就是当

土体发生剪切破坏时候的应力。理论满足塑性问题低边界的情况。图6.2的莫尔圆表示了两个会发生剪切破坏的压力。与剪切应力大小有关的参数是c和υ，剪切破坏沿着角度为45°+υ/2的面发生破坏，如果土体中每一个点的所受应力像主应力一样同相分布。理论上将有一个倾斜于主应力方向网状的破坏面（就像已知滑裂面）。如同图6.2哪样，应该可以知道塑性平衡之后土体会发生充分的位移。

假设土体水平是一个半无限体，且竖直墙面光滑直立，土体可以延伸至无穷。如图6.3(a)假设土体均匀且各相同性。土体中的竖直应力σz和水平应力σx都由深度z决定。由于水平方向没有侧向的力传递，所以水平和竖向没有剪切应力的存在，因此，竖向和水平的压力为主应力。

如果出现墙体远离土体的运动，水平应力σx的值将会减小，土体向外延伸或者扩展。但是水平应力σx的减小作用在侧向应力中的影响我们不知道。假如土体向外扩展到了一个足够大的值，使土体达到了塑性极限平衡点后，水平应力σx减小成为最小主应力（σ3）竖向应力σz为最大主应力（σ1）

主应力σ1（=σz）是一个在深度z的且由深度所确定的载荷值。σ3（=σx）是根据土体的莫尔圆破坏边界中当土体达到塑性极限平衡状态时σ1和σ3的关系推导得到的。朗肯理论最初推导是假设抗剪强度参数c为0，但是一般情况下c是大于零的，使用不排水时的抗剪强度参数C u或者有效应力的看见强度参数C’来使用

关于图6.2可以得到

由此可知，tan2（45°-υ/2）可以替换为1−sinυ

1+sinυ

综上所述，σ1是埋深z的载荷压力也就是

σ1=γz

在上面这种情况中的水平压力被定义为在土体自重作用下产生的主动压力（P a）

如果Ka=1−sinυ

1+sinυ

认为k a为主动土压力系数，方程6.1可以写作

P a=-k aγz-2c（6.2）

当土体水平压力等于主动土压力时，称为土体的朗肯主动土压力状态。由两个破坏方向，分别沿着水平向主应力方向倾斜45°+υ/2。如图6.3（b）所示

以上推论是抢远离土体的情况，另一种情况下，如果墙体抵抗土体，向土体方向移动，土体将会出现侧向的压缩且水平应力σx将会增大，直至达到塑性极限平衡出现破坏。这种情况水平应力σx达到最大值成为最大主应力σ1，σ2是竖向的土体载荷压力是较小的主应力。

σ3=γz

在σ3保持固定值不变，σ1不断增大到最大值达到莫尔圆的极限平衡的破坏边界。这

中情况的水平压力称为被动朗肯土压力（Pp）是由于土体压缩产生最大的抗力的情况。

关于公式6.1可以得到σ1=σ3（1+sinυ

1−sinυ）+2c1+sinυ

1−sinυ

（6.3）

如果Kp=1+sinυ

1−sinυ

认为kp为被动土压力系数，公式6.3可以写作

Pp=kpγz+2c（6.4）

当水平压力等于被动土压力这种状态叫朗肯被动土压力状态。将沿两个方向发生破坏，分别沿竖直方向向最大主应力倾斜45°+υ/2，如图6.3（C）

通过观察方程6.2和6.4我们知道主动和被动土压力的增加都是与深度线性相关的，如图6.4三角分布表示，当c=0时，不同状态下的应力分布。

当c值大于零时，主动土压力pa相比于零时有一个特殊的深度Z0，从公式6.2可以得到，当pa=0时

Z0=

γka

（6.5）

它是指在主动土压力状态下，土体在深度Z0面上存在着拉力即粘聚力c，然而这种拉力在实际情况中不能直接作用于墙体上，直到拉力区出现开裂发育后才能作用，使深度Z0以上的压力分布忽略不计。

作用在高H的竖直墙面上的总的主动土压力（pa）是根据墙体的每个长度单元上受到的力相关的