传输矩阵法

传输矩阵法一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。

如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。

传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。

(a)(b)图1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。

M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。

图2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：（1）其中， （2）j δ为相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2. 传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。

从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介1 2 3 4 …… j …… N⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M Nj j 1)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j jjj i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπδcos 2=质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。

传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。

二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。

而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。

方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。

如图3 所示。

图3 电磁场传播的模拟图将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：1) (4)式（4）中，N 即为介质的光学导纳，单位为西门子特别说明：光波段时，μ约等于1，N 数值上等于折射率。

自由空间导纳 。

2) (5)(6)式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（6）相比可得 ，通E H H E E H H Eεjk n vc E k H N -==⨯=00265.037710==ηt v 22221∂∂=∇ϕϕεμcv =tEc E 2222∂∂=∇με常把光速c 和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：(7) 2.边界条件及反射折射电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。

垂直入射时，电场和磁场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。

根据边界条件可得： (8)式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。

又由导纳定义式（4）可得： (9）(10)将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：(11)r 为反射系数，R 为反射率。

透射系数原理相同，在此不再推导。

上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳0η、1η代替（11）中的0N 、1N 。

其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E 平行入射面即TM 波（P 分量），此时电场的切向分量θcos E E tg =（θ为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：)(cos )cos ()(E k NE k N E k N H H tg tg ⨯=⨯=⨯==θθ (12) 将（12）式与（4）式对比可得到P 分量的修正导纳，同理可得TE 波（S 分量）的修正导纳：(13)可得一般情况下的反射、透射系数表达式：με=n ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=-+-+001001H H H E E E ⎪⎭⎪⎬⎫⨯-=⨯=--++)()(000000E k N H E k N H )(111E k N H ⨯=101000N N N N E E r +-==+-2r R =⎪⎭⎪⎬⎫==θηθηcos cos N N s p(14) 介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。

因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题， 这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。

其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。

3. 传输矩阵这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。

下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。

电磁波通过厚度为d 1的单层薄膜过程如图4所示。

+0E -0E 2E 2N 1010ηηηη+-=r 1002ηηη+=t图4 电磁波通过单层薄膜图5 单层薄膜等效为介质面的示意图薄膜是存在一定厚度的，电磁波从0E 透过薄膜变为2E 的过程，与简单的穿过介质面相比多了个1E 的中间变换，如果可以将0E 和2E 通过导纳直接联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图5所示），前面所介绍的反射透射公式便可用。

因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。

令薄膜导纳（介质面1和介质面2的组合导纳）为Y ，则可得到薄膜的透射反射系数：(15)由式（15）可知，求得Y 便可求得r 、t 。

由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得：(16)+0E -0E2E 2N 0N YYr +-=00ηηYt +=002ηη)(00E k Y H ⨯=(17)图4中的+11E 、-11E 表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。

+12E 、-12E 表示即将穿过介质面二的瞬时状态。

这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：(18)将式（18）代入式（17）中可得式（19），并将其转为矩阵形式（20）：(19)(20)同理，薄膜的第二介质面有如下关系式：(21)(22)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯-⨯=+=+=⨯+⨯=⨯+=+=-+-+-+-+-+-+)(1111101111000111101111000E k E k H H H H H H E k E k E k E E E E E η⎪⎭⎪⎬⎫==---++1111121112δδi i e E E e E E 1111cos 2θλπδd N =⎪⎭⎪⎬⎫⨯-⨯=⨯+⨯=⨯--+--+1111112112012120)()()()(δδδδηηi i i i e E k e E k H e E k e E k E k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--121211001111E k E k e ee e H E k i i i i δδδδηη⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯-⨯=+=⨯+⨯=⨯+=-+-+-+-+)(121212121221212212122E k E k H H H H E k E k E k E E E η⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⨯=⨯+⨯=⨯-+212122121221)(2121)(21H E k E k H E k E k ηη(23)式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将式（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：(24)从式（24）中得到了第一层的特征矩阵：(25)(26)考虑到导纳定义有如式（26）的关系，则可对式（24）进一步化简：(27)令 为为膜系的特征方程，则有关系式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-+2211121221212121H E k E k E k ηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=22111111cos sin sin cos H Ek i i δδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--22111100212121211111H E k e e ee H E k i i i i ηηηηδδδδ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1111111cos sin sin cos δδηδηδi i M ⎪⎭⎪⎬⎫⨯=⨯=)()(22200E k H E k Y H η)(1cos sin sin cos 1)(221111110E k i i Y E k ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯ηδδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B(28)对比式（24）等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳：BCY = (29)从而由式（15）可求得单层薄膜的反射、透射系数。

至此完成了第一步，即从薄膜到介质面的等效推导。

将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：(30)(31)(32)(33)(34)(35)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21111111cos sin sin cos ηδδηδηδi i C B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M Nj j 1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+11)(N z M C B ηBC Y =Yt +=002ηηYY r +-=00ηη⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j jj j i iM δδηδηδcos sin sin cos jj j j d N θλπδcos 2=式（30）为介质第j 层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。

由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。

至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。

值得一提的是，在讨论单层薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H(H=nd ，n 为薄膜折射率，d 为薄膜实际厚度)求导，可得如图6的结果。

从结果中我们可以看出，在厚度为4时，反射率根据折射率的不同可达到最大或最小值。

图6 反射率与光学厚度的关系三、 传输矩阵法的应用举例传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR 结构器件等。

具体应用过程请参见文献《传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性》。

四、 小结（1）传输矩阵法概念：将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式，应用传输矩阵分析的计算方法。