高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法

等比数列求和公式的推导过程及方法

Sn=a1+a2+……+an

q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)

Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n

(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

等差数列

通项公式：

an=a1+(n-1)d

前n项和：

Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2

前n项积：

Tn=a1^n + b1a1^(n-1)×d + ……+ bnd^n

其中b1…bn是另一个数列,表示1…n中1个数、2个数…n个数相乘后的积的和等比数列

通项公式：

An=A1*q^（n－1）

前n项和：

Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)

前n项积：

Tn=A1^n*q^(n(n-1)/2)

设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn

Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an

=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)

等式两边乘以公比q

q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n

两式相减

Sn-q*Sn

=a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n

=a1-a1*q^n

即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)

得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)]

=100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3]

可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和

套用上面的公式,a1=1,q=1+0.06,n=4,可得

F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]}

=100*[(1+0.06)^4-1]/0.06

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