高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法
高二数学必修一重点知识归纳
高二数学必修一重点知识归纳【导语】知识是取之不尽，用之不竭的。
只有限度地发掘它，才能体会到学习的乐趣。
任何一门学科的知识都需要大量的记忆和练习来巩固。
虽然辛劳，但也相伴着快乐!下面是作者整理的《高二数学必修一重点知识归纳》，期望大家爱好。
1.高二数学必修一重点知识归纳等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通项公式：an=a1×q^(n-1);推广式：an=am×q^(n-m);(3)求和公式：Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，顺次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G≠0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
2.高二数学必修一重点知识归纳判定函数零点个数的常用方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判定函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能肯定函数有多少个零点。
等比数列的求和公式图
微积分法则利用微积分的基本定理和性质，将等比数列的求和
03
问题转化为积分问题进行证明。
06
等比数列求和公式的扩展
等比数列求和公式的扩展
• 请输入您的骤是证明当$n=1$时 ，公式成立。
然后，假设当$n=k$时公式成立，推 导当$n=k+1$时公式也成立。
利用无穷等比数列求和公式证明
无穷等比数列求和公式是等比数列求 和公式的一种特殊形式，通过证明无 穷等比数列求和公式可以证明等比数 列的求和公式。
最后，通过化简得到等比数列的求和 公式。
等比数列的求和公式图
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目 录
• 等比数列的定义 • 等比数列的求和公式 • 等比数列求和公式的应用 • 等比数列求和公式的推导 • 等比数列求和公式的证明 • 等比数列求和公式的扩展
01
等比数列的定义
等比数列的定义
• 请输入您的内容
02
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式
• 请输入您的内容
03
等比数列求和公式的应用
等比数列求和公式的应用
• 请输入您的内容
04
等比数列求和公式的推导
等比数列求和公式的推导
• 请输入您的内容
05
等比数列求和公式的证明
利用数学归纳法证明
数学归纳法是一种常用的证明方法， 通过归纳法可以证明等比数列的求和 公式。
最后，由归纳法可知，等比数列的求 和公式对所有正整数$n$都成立。
首先，利用无穷等比数列的性质，将 无穷等比数列分解为有限项和无穷项 之和。
然后，利用等比数列的性质，将有限 项和无穷项分别求和。
利用其他数学方法证明
01
等比数列的求和公式还可以通过其他数学方法进行证明，如代 数法、微积分法等。
等比数列求和公式推导过程数形结合
等比数列求和公式推导过程数形结合全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等比数列是数学中非常常见的一种数列，它的每一项与前一项的比值都相等。
对于等比数列求和公式的推导过程，其实可以通过数学推理和数形结合来完成。
在这篇文章中，我们将通过详细的步骤来演示等比数列求和公式的推导过程，并从数学和几何的角度来理解这一公式。
让我们来回顾一下等比数列的定义。
设等比数列的首项为a，公比为r，则该数列的第n项可以表示为an=a*r^(n-1)。
等比数列的求和问题是一个非常重要的数学问题，可以用来解决许多实际问题。
现在，我们来推导等比数列求和公式。
我们假设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为S_n。
我们知道数列的第n项为a*r^(n-1)，将前n项相加可以得到S_n = a + a*r + a*r^2 + ... + a*r^(n-1)。
接下来，我们将S_n乘以公比r，得到我们将这两个式子相减，得到化简得到S_n(1-r) = a(1 - r^n)。
我们将上式两边同时除以（1-r），得到等比数列前n项和的公式为通过上面的推导过程，我们得到了等比数列求和公式的表达式，这个公式对于等比数列的求和问题非常有用。
在实际应用中，我们也可以通过几何的方法来理解等比数列求和公式。
考虑一个长度为a的正方形，现在我们将正方形分成r等分，并对每一个小正方形依次进行放缩，则形成了一个等比数列。
这个等比数列的首项就是正方形的面积a，公比就是r。
接下来，我们将这个等比数列的前n项依次放到一起，得到的就是等比数列的前n项和S_n。
通过在几何图形上的放缩、旋转等操作，我们可以直观地感受到等比数列的和公式和几何图形之间的关系。
第二篇示例：等比数列是数学中一种常见的数列，它的每一项与前一项之比均为一个常数，这个常数被称为等比数列的公比。
等比数列在数学中有着重要的应用，可以通过等比数列来描述很多自然现象和科学问题，比如光学中的光线反射和折射、生物中的生长规律等等。
等比数列求和两个公式
等比数列求和两个公式在数学的世界里，等比数列是一个重要的概念，而其中的求和公式更是解决相关问题的有力工具。
今天，咱们就来好好聊聊等比数列求和的两个公式。
咱们先来说说什么是等比数列。
等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
比如说，2，4，8，16，32……这就是一个等比数列，每一项和前一项的比值都是 2 。
等比数列的通项公式为＼（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n-1}＼），其中＼（a_{1}＼）是首项，＼（q\）是公比，＼（n\）是项数。
接下来，咱们重点讲讲等比数列求和的两个公式。
第一个公式是：当＼（q ≠ 1\）时，等比数列的前＼（n\）项和＼（S_{n} ＝＼frac{a_{1}（1 q^｛n}）｝｛1 q}＼）。
咱们来推导一下这个公式。
假设等比数列的首项是＼（a_{1}＼），公比是＼（q\），前＼（n\）项和是＼（S_{n}＼），那么＼（S_{n} ＝ a_{1} ＋ a_{1}q ＋ a_{1}q^｛2} ＋＼cdots ＋ a_{1}q^｛n-1}＼）①。
在①式两边同时乘以＼（q\），得到＼（qS_{n} ＝ a_{1}q ＋a_{1}q^｛2} ＋ a_{1}q^｛3} ＋＼cdots ＋ a_{1}q^｛n}＼）②。
然后用①式减去②式，可得：＼＼begin{align}S_{n} qS_{n}＆＝a_{1} a_{1}q^｛n}＼＼S_{n}（1 q)＆＝a_{1}（1 q^｛n}）＼＼S_{n}＆＝＼frac{a_{1}（1 q^｛n}）｝｛1 q}＼end{align}＼咱们通过这个推导过程，就得到了等比数列求和的第一个公式。
再来说说第二个公式，当＼（q ＝ 1\）时，等比数列就变成了常数列，前＼（n\）项和＼（S_{n} ＝ na_{1}＼）。
这个就很好理解啦，因为每一项都相等，都是＼（a_{1}＼），所以前＼（n\）项和就是＼（n\）个＼（a_{1}＼）相加，即＼（na_{1}＼）。
高中数学等比数列求和
高中数学等比数列求和等比数列是数学中常见的一种数列，它的特点是每一项与前一项的比值都相等。
在高中数学中，我们经常需要计算等比数列的和，这对于我们掌握数列的性质和运算规律非常重要。
我们来回顾一下等比数列的定义和性质。
等比数列可以用以下公式来表示：a，ar，ar²，ar³，...，其中a是首项，r是公比。
公比r不等于0，否则数列将变成等差数列。
在求等比数列的和时，我们可以通过以下方法来计算：1. 等比数列求和公式等比数列求和的公式是一个重要的工具，它可以用来计算任意项数的等比数列的和。
公式如下：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项的和，a是首项，r是公比。
2. 等比数列求和的步骤求等比数列的和一般可以分为以下几个步骤：（1）确定首项a和公比r；（2）确定要求和的项数n；（3）代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)计算结果。
需要注意的是，在使用等比数列求和公式时，我们需要确保公比r 不等于1，否则公式中的分母为0，无法计算。
此外，当公比r的绝对值小于1时，等比数列的和会趋于一个有限值；当公比r的绝对值大于1时，等比数列的和会趋于无穷大。
3. 实例分析为了更好地理解等比数列求和的过程，我们来看一个实例。
例题：求等比数列1，3，9，27，...的前10项和。
解：根据题目，我们可以确定首项a=1，公比r=3，要求和的项数n=10。
将这些值代入公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以得到：S10 = 1 * (1 - 3^10) / (1 - 3)计算得到S10 = -29524/2 = -14762。
所以，等比数列1，3，9，27，...的前10项和为-14762。
通过这个例子，我们可以看到等比数列求和的具体步骤和计算过程。
当然，在实际应用中，我们也可以利用等比数列的性质，通过递推关系来求解等比数列的和。
等比数列求和
等比数列求和1. 简介在数学中，等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
等比数列常用于求和问题，通过求和可以得到等比数列的总和。
本文主要介绍等比数列求和的方法和公式。
2. 等比数列求和公式对于公差不为零的等差数列，我们可以通过以下公式来计算前n项和：等比数列求和公式等比数列求和公式其中，a为首项，r为公比，n为项数。
3. 等比数列求和的证明等比数列的求和公式可以通过数学归纳法进行证明。
我们可以首先证明对于n=1，等式成立，然后假设对于n=k，等式也成立。
再通过数学归纳法证明对于n=k+1，等式也成立。
证明如下：当n = 1时，等式左边为a，右边为a(1-r)/ (1-r)，显然左右两边相等，等式成立。
假设当n = k时，等式也成立，即等式左右两边相等，即等比数列求和证明1而当n=k+1时，等式左边为等比数列求和证明2右边为等比数列求和证明3将右边的分子分母相乘并比较左右两边：等比数列求和证明4由假设可得左右两边相等，所以当n=k+1时，等式也成立。
综上所述，对于任意正整数n，等比数列的求和公式都成立。
4. 算法实现除了通过求和公式进行计算外，我们还可以通过编写算法来计算等比数列的总和。
以下为一个简单的Python算法实现：def geometric_sum(a, r, n):sum = a # 初始化总和变量为首项for i in range(1, n): # 从第二项开始循环累加 sum += a * (r ** i)return sum以上算法中，a为首项，r为公比，n为项数。
算法首先初始化总和变量为首项，然后通过循环从第二项开始累加每一项的值，最后返回总和。
5. 示例下面是一个示例，使用上述算法计算等比数列的和：假设首项a为2，公比r为3，项数n为5，则根据上述算法计算得到的总和为：geometric_sum(2, 3, 5) # 输出：2426. 总结通过本文，我们了解了等比数列的求和方法和公式。
等比数列求和公式及推导
等比数列求和公式及推导在咱们学习数学的过程中，等比数列可是个挺重要的家伙。
今天咱就来好好聊聊等比数列求和公式以及它是怎么推导出来的。
我记得有一次，我去一个朋友家，他家小孩正在为等比数列求和的问题抓耳挠腮。
我就凑过去看了看，发现这孩子一脸迷茫，完全不知道从哪儿下手。
我心里想，这可得好好给孩子讲讲。
咱们先来说说啥是等比数列。
等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
比如说，2，4，8，16，32 这样的，每一项都是前一项乘 2 得到的。
那等比数列求和公式是啥呢？它是：$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ （其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数）。
接下来咱看看这个公式是咋推导出来的。
假设一个等比数列，首项是 $a_1$ ，公比是 $q$ ，那么这个数列就是 $a_1$，$a_1q$，$a_1q^2$，$a_1q^3$ ，…… ，$a_1q^{n - 1}$ 。
它的前 $n$ 项和 $S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}$ ①给①式两边同时乘以 $q$ ，得到：$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n$ ②①式减去②式，得：$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$左边整理一下就是：$S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$所以，$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ ，这就把等比数列求和公式给推导出来啦！再回过头看看我朋友家那孩子，我给他一步一步这么讲下来，他眼睛里慢慢有了光，开始自己动笔算起来，还一个劲儿地点头，嘴里嘟囔着：“原来是这样，原来是这样！” 看着他那副恍然大悟的样子，我心里可美了。
咱们在实际解题的时候，用这个公式可方便了。
比如说，有一个等比数列 3，6，12，24，48，要求前 5 项的和。
理解等比数列的通项与求和公式
理解等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的通项公式和求和公式是解决等比数列问题的基本工具。
理解等比数列的通项与求和公式有助于我们更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列的每一项与它前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)其中aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
公比r是一个常数，对于等比数列中的任意两项aₙ和aₙ₊₁，它们的比值都是r。
二、等比数列的通项公式推导为了更好地理解等比数列的通项公式，我们来推导一下。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们需要找出等比数列中的第n项aₙ与首项a₁和公比r之间的关系。
我们可以通过观察等比数列的性质得出以下结论：a₂ = a₁ * ra₃ = a₂ * r = a₁ * r * r = a₁ * r²a₄ = a₃ * r = a₁ * r² * r = a₁ * r³...可以看出，每一项都是前一项与公比r的乘积。
根据这个规律，我们可以推断出等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)三、等比数列的求和公式求和公式是用来计算等比数列所有项的和的公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n，那么等比数列的前n项和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)Sₙ = a₁ * n (r = 1)其中Sₙ表示等比数列的前n项和。
四、等比数列的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用等比数列的通项公式和求和公式。
例子：求等比数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第10项和前10项和。
首先确定等比数列的首项和公比，可以发现首项a₁为1，公比r为2。
根据等比数列的通项公式，可以计算出第10项的值：a₁₀ = 1 * 2^(10-1) = 1 * 2^9 = 512接下来，根据等比数列的求和公式，可以计算出前10项的和：S₁₀ = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (1 - 1024) / (1 - 2) = -1023所以，该等比数列的第10项为512，前10项的和为-1023。
(完整版)等比数列的求和公式
等比数列的求和公式一、 基本概念和公式等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） qq a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S =1na （q = 1）即如果q 是否等于1不确定则需要对q=1或1≠q推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇=d n 2。
二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。
例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。
-例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ；（2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。
例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。
例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。
例8：在n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。
例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
等比数列求和公式
等比数列求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比例都相等。
如果等比数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
接下来我们来推导等比数列的求和公式。
假设等比数列的首项为a，公比为r，它的前n项和为S_n。
我们可以将数列从第一项到第n项表示为：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)接着我们将数列的每一项与公比r相乘，得到：ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1), ar^n然后我们将这两个数列相减：S_n - ar^n = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1) -ar^n可以观察到，右边这一部分是一个等差数列，且首项为a，公差为ar，共有n-1项。
等差数列的前n-1项和可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)如果我们乘以公比r，得到：rS = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n然后我们将上述两个公式相减：S_n - ar^n - rS = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)- ar^n - (ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n)可以合并同类项得到：S_n - ar^n - rS = a - ar^n再对左边的等式进行因式分解，得到：S_n-rS=a(1-r^n)因为我们求的是前n项的和，所以公式变为：S_n=a(1-r^n)/(1-r)最后，将等比数列的求和公式总结如下：S_n=a(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的求和公式。
使用这个公式，我们可以快速计算等比数列的前n项和。
等比数列的求和与递推公式
等比数列的求和与递推公式等比数列是指一个数列的每一项与前一项的比值都相等的数列。
在解决等比数列相关问题时，求和与递推公式是常用的数学工具。
一、等比数列的定义与性质1.1 定义等比数列是指一个数列的每一项与前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
1.2 性质等比数列具有以下性质：（1）求和项数n不限，当公比r满足|r|<1时，等比数列的前n项和存在有限值。
（2）当公比|r|>1时，等比数列的前n项和无限接近于无穷大或无穷小。
二、等比数列的求和公式2.1 求和公式推导求和公式是用来表示等比数列前n项和的公式。
下面通过推导来得到等比数列的求和公式。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn。
首先将等比数列写成标准形式：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)。
将等比数列与其公比为r的等比数列逆序相减，可得：ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) ------(1)然后再将(1)与公比为r的等比数列相乘，可得：ar * ar^n = a * ar + ar * ar + ar^2 * ar + ar^3 * ar + ... + ar^(n-1) * ar 化简得：ar^(n+1) = a^2 * r + a^2 * r^2 + a^2 * r^3 + ... + a^2 * r^n ------(2)接下来将(2)中的等式两边相减，可得：(ar^(n+1) - ar^n) = a^2 * r^(n+1) - a整理得：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)2.2 求和公式应用举例现假设有等比数列的首项a为2，公比r为0.5，项数n为5。
根据求和公式，可以计算出前5项和为：S5 = 2 * (0.5^5 - 1) / (0.5 - 1)= 2 * (-31/16)= -62/16= -3.875所以，当等比数列的首项为2，公比为0.5，项数为5时，前5项和为-3.875。
等比数列的求和
等比数列的求和在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项成等比关系。
等比数列的求和是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们求解数列的总和。
本文将介绍等比数列的定义、求和公式以及相关的例题。
一、等比数列的定义等比数列由一系列的项组成，每一项与它的前一项成等比关系。
设等比数列的第一项为a₁，公比为r，则数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。
二、等比数列求和公式设等比数列的第一项为a₁，公比为r，数列的前n项和可以用下列公式来表示：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。
三、等比数列求和的例题例题1：求等比数列1，2，4，8，16的前5项和。
解析：已知等比数列的第一项a₁=1，公比r=2。
根据求和公式，将相关值代入公式中计算：S₅ = 1 × (1 - 2⁵) / (1 - 2)= 1 × (1 - 32) / (-1)= -31所以，等比数列1，2，4，8，16的前5项和为-31。
例题2：已知等比数列的前4项和为15，公比为1/2，求该数列的前5项和。
解析：设等比数列的第一项a₁为x，根据题意可得：x + xr + xr² + xr³ = 15，并且公比r=1/2。
将上式改写为：x(1 + r + r² + r³) = 15，代入r=1/2，得到：x(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8) = 15。
化简求解可得：x(15/8) = 15，进一步计算得：x = 8。
根据求和公式，将已知值代入公式中计算：S₅ = 8 × (1 - (1/2)⁵) / (1 - 1/2)= 8 × (1 - 1/32) / 1/2= 8 × (31/32) / 1/2= 31所以，该等比数列的前5项和为31。
等差等比数列求和公式推导
等差等比数列求和公式推导第一篇：等差等比数列求和公式推导等差数列求和公式推导求和推导证明：由题意得：Sn=a1+a2+a3+。
+an①Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。
+a1②①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2Sn==n（A1+An）/2(a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An）等比数列求和公式推导Sn=a1+a2+……+anq*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)不等式0 ≤(a-b)^20 ≤ a^2+b^2-2aba^2+b^2+2ab ≤ 2a^2+2b^2（两边同时加上a^2+b^2+2ab) (a^2+b^2+2ab)/4 ≤(a^2+b^2)/2(两边同时除以4）再两边开方，所以(a+b)/2≤√（(a^2+b^2)/2）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
第二篇：等差等比数列求和公式等差等比数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1)得2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2))当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列和＝（首项＋末项）*项数/2项数＝（末项-首项）/公差＋1首项=2和/项数-末项末项=2和/项数-首项末项=首项+（项数-1）*公差等比数列求和公式等比数列：a（n+1）/an=q, n为自然数。
等比数列的求和公式PPT课件
(2)a1
8, q
1 ,n 2
5;
S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3)a1 81, a5 16, an 0.
q 4 a5 16 q 2
a1 81
3
8116 2 s5 1 2 3 211
3
16
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2,
S4 S10
1 (1 24 ) 11(12210
1 2
15. ) 1023.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008.
s10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 a10 .
s4
？
17
练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解： a1
3 2
,q
1 2
,
3
1
1
7
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S7
3 2
3 4
381 128
9 4
153 . 128
18
学习并没有结束，希望继续努力
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当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) . 1 q
等比数列{an}前n项和
当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？
等比数列求和公式
等比数列求和公式等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an 看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠ 1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
等比数列求和公式推导过程是什么
Sn-q•Sn= a1-a1•qn
Sn= a1•(1- qn)/(1-q)
方法2：
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
=a2+a3+a4+...+a(n+1)
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
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等比数列求和公式推导过程是什么
等比数列是高中数学中一个十分重要的知识点，同时也是考试中一个常见的考点。下面是由编辑为大家整理的“等比数列求和公式推导过程是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
等比数列前n项和公式
公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q)
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)
等比数列求和公式推导
方法1：
第一项:a1, 公比:q
a1=a1
a2=a1•q¬
a3=a1•q¬2
a4=a1•q¬3
an=a1•q¬n-1
an+1=a1•qn¬
Sn+1=a1+a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1+ a1•qn¬
Sn+1=+q(a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1)
等比数列和的公式推导
等比数列和的公式推导咱来聊聊等比数列和的公式推导这事儿哈。
在数学的世界里，等比数列就像是一群有规律排列的小精灵，它们的规律藏着好多有趣的秘密呢。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
就比如说，有这么一个等比数列：2，4，8，16，32…… 你看，后一项跟前一项的比值都是 2 吧。
那等比数列和的公式到底咋推导出来的呢？咱们一起来瞅瞅。
先假设一个等比数列，首项是 a₁，公比是 q 。
它的前 n 项和记为Sₙ 。
那 Sₙ 就等于 a₁ + a₁q + a₁q²+ …… + a₁qⁿ⁻¹。
咱们给这个式子两边都乘以 q ，得到 qSₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³+ …… + a₁qⁿ 。
然后用上面的式子减去下面的式子，就得到：Sₙ - qSₙ = a₁ - a₁qⁿ整理一下，Sₙ(1 - q) = a₁(1 - qⁿ)所以，等比数列的前 n 项和公式就是：Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) （q ≠ 1）要是 q = 1 呢，那这等比数列就变成了 a₁，a₁，a₁，…… ，前 n项和 Sₙ 就直接是 n × a₁。
记得我当年上学的时候，一开始也被这个公式搞得有点晕头转向。
有一次数学考试，就考到了等比数列和的公式推导相关的题目。
我当时在考场上绞尽脑汁，满脑子都是那些数字在跳舞。
好不容易按照老师讲的思路一步一步推导，结果还因为紧张写错了一个符号，丢了不少分。
那次考试之后，我可是痛定思痛，把这个公式推导反复练习了好多遍，才算是真正掌握了。
在实际生活中，等比数列和的公式也挺有用的。
比如说，你去银行存钱，假如每年的利率是固定的，那么计算多年后的本息和，就可能会用到等比数列的知识。
再比如，一家公司的业绩如果按照一定的比例增长，要预测未来几年的总业绩，也能靠这个公式来帮忙。
总之，等比数列和的公式推导虽然有点小复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多练练，就能把它拿下，让它成为咱数学学习路上的得力小助手！。
等比公式求和推导过程
等比公式求和推导过程在我们的数学世界里，等比公式求和就像是一座神秘的城堡，等待着我们去探索和揭秘。
今天，咱们就一起来揭开它那神秘的面纱，瞧瞧这背后的奇妙推导过程。
记得有一次，我在课堂上给学生们讲解等比数列的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这等比数列求和到底是怎么回事啊？”看着他那充满好奇和困惑的样子，我就知道，得好好给他讲讲了。
咱们先来说说啥是等比数列。
比如说，有一个数列 1，2，4，8，16…… 每一项和前一项的比值都一样，这就是等比数列。
那等比公式求和到底怎么推导呢？假设一个等比数列的首项是a₁，公比是 q，前 n 项和记为 Sₙ 。
Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + …… + a₁qⁿ⁻¹①咱们给这个式子两边都乘以 q ，得到：qSₙ = a₁q + a₁q² + a₁q³ + …… + a₁qⁿ ②然后，用① - ②，就会发现好多项都能消掉。
Sₙ - qSₙ = a₁ - a₁qⁿ整理一下，Sₙ(1 - q) = a₁(1 - qⁿ)所以，等比数列的求和公式就是 Sₙ = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q) （q ≠ 1）如果 q = 1 呢，那这就是一个常数列，每一项都一样，Sₙ = na₁。
再举个例子，比如一个等比数列 3，6，12，24，48 ，首项 a₁ = 3 ，公比 q = 2 ，要求前 5 项的和。
根据公式，S₅ = 3×(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 3×(1 - 32) / (-1) = 93 。
你看，这样算起来是不是挺简单的？回到最开始那个在课堂上提问的小家伙，我给他这么一讲，他恍然大悟，眼睛里闪着光，那种因为搞懂一个难题而兴奋的神情，让我特别有成就感。
等比公式求和推导过程其实并没有那么可怕，只要咱们一步一步来，多琢磨琢磨，就能轻松掌握。
希望大家以后在遇到等比数列求和问题的时候，都能胸有成竹，轻松应对！。
等比数列求和推导两种方法
等比数列求和推导两种方法我开始捣鼓等比数列求和推导的时候，那真的是一头雾水啊。
我就知道等比数列是后一项和前一项的比值是个固定的数，比如说2，4，8，16这样的，公比就是2。
可求和推导真的难到我了。
先说一种方法吧。
我当时就想，如果把等比数列每项都乘以公比，然后跟原来的数列做个差，是不是就能得到点有用的东西呢？就好比有一堆同样的积木，你把它们按照一定规律摆成一列，然后把这列积木每个都复制几份按照相同规律再摆一个新列出来，然后两列一对比，多出来或者少出来的积木数量就好算了。
我以一个简单的等比数列a，aq，aq²，aq³……aq^(n - 1)为例啊。
我先把整个数列乘以公比q，那就得到另一个数列aq，aq²，aq³……aq^n啊。
然后把这两个数列相减，就像是排队时对应的两个人一减，前面a - aq^n 这部分中间相同的项就都消掉了，最后得到的就是(1 - q)乘以这个等比数列的和等于a - aq^n，那等比数列的和S就等于a(1 - q^n) / (1 - q)，当然q不等于1的时候啊，这一点我刚开始还老忘呢。
还有一种方法我也试了好久才有点懂。
就是利用等比数列的通项公式。
比如说还是那个等比数列，我想试着把它拆成很多个式子相加，这种感觉就像是把一个大蛋糕分成好几块一样。
我从第二项开始，把每一项写成前一项乘以公比的形式，然后把这些式子加起来。
这中间就要特别小心项数的计算，一不小心就容易多算或者少算一项。
这个过程可繁琐了，我算了好多遍才算对。
每一项都变形后，再通过一些代数的计算和化简，最后也能得到和前面一样的等比数列求和公式。
这两种方法，我都是试了又试，也犯了不少错，但多练几遍就熟悉多了。
要是你也在学等比数列求和推导，一定要多动手做几个例子，就拿简单的数字先试一试，这样能更快掌握。