(新)高三立体几何习题(文科含答案)

23正视图 图1侧视图 图22 2图3立几习题21若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 2.1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒（B ）12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥（C ）233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面3．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3 B ．4 C ．3 D ．24.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A.283π- B.83π-C.8-2πD.23π5、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD5（本小题满分13分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OD=，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。

OA=，21∥；（Ⅰ）证明直线BC EF-的体积.（Ⅱ）求棱锥F OBED6.（本小题共14分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；.（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由7．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积8．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =．（I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。

9．（本题满分12分）如图3，在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为的中点．（I ）证明：;AC POD ⊥平面（II ）求直线和平面PAC 所成角的正弦值．10．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．56（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以 OB ∥DE 21，OG=OD=2，同理，设G'是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF. （II ）解：由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OEFD S S S过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 7（共14分）证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。

= = = =又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。

所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q ，且QD=QE=QF=QG=21EG. 分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ， 且QM=QN=21EG ， 所以Q 为满足条件的点.8.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以.PA CE ⊥因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD 。

（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，在Rt ECD ∆中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，所以1151211.222ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆=+=⋅+⋅=⨯+⨯⨯=矩形四边形 又PA ⊥平面ABCD ，PA=1， 所以11551.3326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四边形 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

（满分12分） 解法1：（Ⅰ）由已知可得221132,2(22)23CC CE C F ===+=222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+=于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF ⋂=⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故（Ⅱ）在CEF ∆中，由（Ⅰ）可得6,23EF CF CE ===于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ⋂=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F 。

于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。

由（Ⅰ）知1C EF ∆是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=︒，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。

解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,1,2)A B C C E F（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1,2)C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=1.CF C E ∴⊥（Ⅱ）(0,2,22)CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =由0,,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得即2220,(0,2,1)320y z m x y z ⎧-+=⎪=⎨-+=⎪⎩可取设侧面BC 1的一个法向量为1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-由及)0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得||62cos ||||232m n m n θ⋅===⋅⨯，所以45θ=︒ 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。

（湖南卷） 19．（本题满分12分）解析：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD. 又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥底面底面所以PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是OC PAC 在平面上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．在221222,3124Rt POD OH PO OD ⨯===++中 在2,sin OH Rt OHC OCH OC ∠==中 （江西卷）解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f 则232)(2x x f -='x)332,0( 332 ),332(+∞ )(x f '+-)(x f单调递增极大值单调递减由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。

证明：（2）作B A '得中点F ，连接EF 、FP由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ PB A '∆为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.。