流体力学第七章

四、气体按不可压缩处理的极限
当Ma=0时，各参数比值均为1，也就是流体处于静止 状态，并不存在压缩问题。当Ma>0时，在不同的速度v下 都具有不同程度的压缩，那么Ma数在怎么的限度下才可以 忽略压缩影响呢？这要根据计算要求的精度来决定。
§7-3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
对于一元恒定气流，根据质量恒定原理，沿流各过流断 面上的质量流量为常数。即得连续性方程（不可压缩流体）：
声速公式：
c
dp p k kRT d
二、滞止参数
气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。这些 参数通常以“0”为下标。 断面的滞止参数可根据能量方程及该断面参数值求出。 滞止压强和滞止密度 滞止温度 滞止焓值
k p0 k p v2 0 k 1 0 k1 2
p
联立：
dv v

k
C
dp d k p
c k
2
p

dv vdv dl v 2 2 0 得： k 2 v c k 2d c k
dv 2 dv 2 dl k kMa kMa 0 v v 2d
k kMa dv kMa v
2
2
dl
2d
第七章 可压缩气体一元流动
第一节 理想气体一元恒定流动的运动方程 第二节 声速、滞止参数、马赫数 第三节 气体一元恒定流动的连续性方程 第四节 可压缩气体管道流动
§7-1 理想气体一元恒定流动的运动方程
理想气体一元恒定流动的运动微分方程
根据牛顿第二定律，可得

d 2
4
dp
d 2
4
dls a s
连续性方程：
cA c dv d A
dLeabharlann dv 展开整理，并略去二阶小量，得 c
对控制体建立动量方程，由于控制体体积趋近于零，那么质 量力也为零。并且忽略切应力的作用。
pA p dpA cAc dv c
dp cdv 整理得 由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出：
(1)Ma<1，v<c,为亚声速流动。此时Ma2-1<0 ,说明气体作 亚声速流动时，速度随断面的增大而减慢；随断面的减小而 加大。这与不可压缩流体运动规律相同。 (2)Ma>1，v>c,为超声速流动。此时Ma2-1>0 ,说明气体作超 声速流动时，速度随断面的增大而加快；随断面的减小而减 慢。 (3)Ma=1 即气流速度与当地音速相等。此时称气体处于临界 状态。气体达到临界状态的断面，称为临界断面。
一、声速
声音的来源是由于物体振动。当物体在可压缩介质中振 动时，这种振动便引起介质的压力和密度的微弱变化，通常 称之为介质的微弱扰动或弱压力波。这种扰动在介质中依次 传递下去，就是声音的传播过程。 声速就是指在可压缩介质中微弱扰动的传播速度。
声 速 传 播 物 理 过 程
如图所示，若将坐标系固定在波峰上,右侧流速为c，压强p， 密度 ；左侧压强p+dp ，密度+d ，速度c-dv 。取波峰左右各 一个断面，控制面无限接近，控制体体积趋近于零。

RT ，上式变为
k v2 RT 常数 k 1 2
将 k 1.4 代入上式中，
v2 3.5 287T 常数 2
列两断面间流速与绝对温度的关系式
2 2009 T1 v12 2009 T2 v2
所以有
v 2 2009 (T1 T2 ) v12
§7-2 声速、滞止参数、马赫数
dv Ma2 dl v 1 Ma2 2d


dp kMa2 dl p 1 Ma2 2d


dv Ma2 dl v 1 Ma2 2d


讨论:
dp kMa2 dl p 1 Ma2 2d


(1)当l 增加，摩擦阻力增加，将引起下列结果： Ma<1 1-Ma2>0 v 增加 p减小 Ma>1 1-Ma2<0 v 减小 p增加
为什么超声速流动和压声速流动存在着上述截然相反 的规律呢？
从可压缩流体在两种流动中，起膨胀程度与速度变化之 间关系说明：
§7- 4 可压缩气体管道流动
一、气体管中等温流动
1、气体管路运动微分方程 微段dl上单位质量气体摩擦损失（压强和密度都发生改 变，速度也发生改变）： dl v 2 （等温流时，是常数。） dhf d 2 将其加到理想气体一元流动的欧拉微分方程中，便得到 了实际气体的一元运动微分方程（气体管路的运动微分方程 式）： dp 2 vdv v dl 0 2d 或 2dp dv 2 dl 0 2 v v d
等熵流动的气体参数变化遵循等熵过程方程式。
p
v2 d 2
0

k
C
代入上式积分，得:
k c p k 1
1 k k 1 k
v2 C (常数） 2
1 p 利用热力学可证明， k1
即是绝热过程中单位质量气体 所具有的内能。
k p v2 C（常 数 ） k1 2
dl 0
0
l
1 k 1 k ! k q k C p1 k p2 k m2 k1 A
2
v2 ln v1 2d
l
在实际应用中，认为对数项较摩擦损失项小，可忽略不计。
p1
k 1 k
p2
k ! k
1 lqm k k C k1 2dA2
c2 k
p

dv kMa2 dl v 1 kMa2 2d


dp dv kMa2 dl p v 1 kMa2 2d


dp dv kMa2 dl p v 1 kMa2 2d


（1）当 l 增加，摩阻增加时，若kMa2 <1时， 1 – kMa2 >0， 则v 增加，p 减小；若kMa2 >1时， 1 – kMa2 <0，则v减小，p 增加。变化率随摩阻的增大而增大。 （2）虽然在kMa2 <1 时，摩阻沿流增加，使速度不断增加， 但是由于流速不能无限增大，也就是说管路出口断面上的Ma 1k 。 （3）对应于 Ma= 1 k 时的管长 l , 就是等温管流的最大管 长。如实际长度超过最大管长，那将会使进口断面流速受到 阻滞。
2 1 1
2
1
dv v d

2
1
dl 0
v 2 l p p v p1 2 ln v d 1 l v l 2 2 2 2 ln 2 p p v p （管路较长时） 1 2 1 1 1 v1 d d
2d 5 2 2 qv p1 p2 16lRT
vA 常数
将连续性方程进行微分求解， d vA vdA vAd Adv 0
或 再根据能量方程
dv d dA 0 v A
dp

vdv 0 有
dA dv 2 dv v 2 dv dA M 1 2 0 A v v c v A


二、气流速度与断面的关系
k k v2 RT0 0 RT k1 k1 2
v2 h0 h 2
如果考虑到声速 c kRT 和滞止声速 c0 kRT0
可以得到
2 c0 c2 v2 k 1 k 1 2
三、马赫数Ma
气流速度v越大，声速c越小，压缩现象越明显。若取指定 点的当地速度v与该点当地声速c的比值为马赫数Ma。
变化率随摩擦阻力的增加而增加。 (2)Ma<1时摩擦阻力增加，引起速度增加。正如等温管流 一样，在管路中间决不可能出现临界断面。至出口断面上， Ma 1 。 (3)Ma=1的l 处求得的管长就是绝热管流动的最大管长。如 管道实长超过最大管长时，与等温管流情况相同。
v 2 dl 0
在绝热流动时是随温度变化的，可取其平均值


l
0
dl
l
又因为
qv v A
，代入上式，并用 v2 除之, 可得
1 1 A2 k dv k c p dp dl 0 2 v 2D qm
将上式对长度l的1、2两个断面进行积分可得：
1 1 p2 v 2 dv A2 k k C p dp 2 p1 v1 v 2d qm
由于是恒定流，有
dv v v dls dv as v dt t l s dt dls
综上得 ：
dp
vdv 0 或
dp
v2 d 2
0
——理想气体一元恒定流动的运动微分方程， 也称欧拉运动微分方程
dp
一、气体一元定容流动
不变，积分上式，得
1 p p v2 C (常数) k 1 2
v2 u C (常数) 2 p
【例7-1】求空气绝热流动时,(无摩擦阻力损失)两断面间流速与 绝对温度的关系。已知空气的绝热指数,气体常数。 解：根据公式（7-1-11） 由于
p
1 p p v2 常数 k 1 2
v Ma c
（1）Ma>1，v>c,即气流本身速度大于声速，则气流中参数的 变化不能向上游传播——超声速流动。 （2）Ma<1，v<c ，即气流本身速度小于声速，则气流中参数 的变化能够向上游传播——亚声速流动。 在气体动力学中马赫数是一个重要无因次数，它反映了惯 性力和弹性力的比值，是一个确定气体流动状态的准数。
【例7-3】氦气在直径d=200mm，长l=600m的管道中作等温 流动，进口断面 v1 90 m s，p1 1380kPa ，t=25℃，氦气 k=1.67，R=2077J/（kg· K），管道λ=0.015，求出口断面 p2 和 v2 。 解： 由于 所以