11-4磁场的高斯定理和安培环路定理

围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
B dl B dl// 0 I
L L//
//

证明步骤同上 5
围绕多根载流导线的任一回路 L 设 I1 , I 2 , , I n电流过回路， n 1 , I n 2 , I n k I
根电流不穿过回路L。令 B , B , B 分别为 1 2 nk
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排斥力，这一推一吸的合力便驱使列车高速前进。强大 的磁力可使列车悬浮1～10cm，与轨道脱离接触，消除了 列车运行时与轨道的摩擦阻力，使列车速度可达400km/h。
电磁驱动力原理图
中国第一辆载人磁悬浮列车
21
上海磁悬浮列车
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二、两平行长直电流之间的作用
毕－萨定律描述了电流所产生的磁场，安培定律反映 了处于磁场中的电流所受力的作用。 电流I1和I2，两导线的间距a与它们 的长度相比很小，则可以认为它们 是无限长的。在电流为I2的导线上 取电流元I2dl2，电流I1在I1dl1处产生 的磁感应强度为B12的磁场，对I2dl2 的作用力为dF12。根据安培定律
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
B dl = Bab Bab 0 nab I
B 0 nI
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其方向与电流满足右手螺旋法则。
例15、 求载流螺绕环内的磁场。
解：设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I。 磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线 (即每一个圆线圈过圆心的垂线)
I1 I2
9c m
20c m 2c m
r1 b F1 I1 I 2 r2 a
c
F2 I1 d d b I2 F3
F2
F4 F1
如图,一根长直导线载有电流I1=30A,矩形回路 载有电流I2=20A.试计算作用在回路上的合力.已知 d=1.0cm,b=8.0cm,l=0.12m.
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思
例20、在同一平面上有三根等距离放置的长直通电导线， 如图所示，导线1、2、3载有电流分别为1、2、3A，它 们所受力分别为F1、F2、F3，则F1/F2为 A. 7/16 B. 5/8 C. 7/8 D.1
L I
d
dB
B dl Brd
0 I L B dl L 2π r rd 0 I
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。
0 I L B dl L 2π r rd 0 I
B dl Brd
L
I
dl
r
右手螺旋
是电流元与磁感应强度的夹角。
dF方向判断 安培定律矢量式
dF Idl B
一段任意形状载流导线受到的安培力
F dF Idl B
L L
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载流导线受到的安培力的微观实质是载流导线中大 量载流子受到洛伦兹力的结果。简单证明如下： 在载流导线上任取一电流元 Idl
dl ' o dl ' ' 做 PO 垂线，取对称的长直 电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对 称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。
电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点
B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 14
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平
D、以上说法都不对
c
8
例13、求无限长载流圆柱体磁场分布。 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
I
dB
dl '
2 πr 2 Ir B dl 0 2 r R
思 考
B dl 2πrB 0 I L 0 I rR B
dB
d
4
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路
L
B dl B dl B dl

0 I
2π
L1
L2

I
L1
[ ( )] 0
对L每个线元 dl 以过垂直导线平面作参考分解 为分量 dl //和垂直于该平面的分量 dl L B dl L B dl// L B dl dl B 0
0 I1 0 2 I1 I 2 B12 f12 2a 4a
方向相同的两平行长直电流是相互吸引的，可以证明， 方向相反的两平行长直电流必定是相互排斥的。 电流强度的单位是安培。
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例19、在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈,矩 形线圈的长边与长直导线平行,如图.若直导线中的定律为 I1= 20A,矩形线圈中的定律为I2=10A,求矩形线圈所受的磁 场力.
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载流长直导线在均匀磁场中所受安培力
取电流元 Idl
受力大小
Idl
dF BIdl sin
方向：垂直纸面向里
dF

B
I
积分
F BI dl sin BIl sin
L
所以，安培力的大小为
F BlI sin
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如果载流导线所处为非均匀磁场，可取电流元，每 段受力 dF 可分解为 dFx dFy dFz
B dl B2πR 0 N I
L
B
R2
R
R1
L
其磁场方向与电流满足右手螺旋。
同理可求得在螺绕管外部的磁场为零：
L
B 0
r R1
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例16、设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置， 其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流 密度为 j ,求无限大平板电流的磁场分布。 dB' 解：可视为无限多平行长 dB P 直电流的场。因此 P 点的 dB' ' 场具有对称性。
例21、如图所示，一长直导线通有电流I，在其右边 的纸面内放一长为a通有电流也为I的直导线，A端距 长直线也为a求通电导线AB受到力的大小
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三、磁场对载流线圈的作用
' F1
D A
l2

' F2
' F2
D(C )
I
F2
B
l1
F1
C
B
A(B )


B
F2
en
如上图，矩形线圈处于匀强磁场中，AB、CD 边与磁场垂直，线圈平面与磁场方向夹角为 。
a I2dl
dF12 B12
dF I 2 dl2 B12
方向？？？
dF I 2 B12 dl2
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因为导线是平行的，电流I1同样也受到I2导线的作用， 所受磁场力都是相同的，方向相同。 单位长度所受的力为
0 2 I1 I 2 dF 12 f12 I 2 B12 dl2 4 a
单根导线产生的磁场

所有电流 的总场
L

L
Bn dl 0 I n
B1 dl 0 I1
L Bn1 dl 0 Bnk dl 0
L
任意回路
L
B dl 0 I i
i
穿过回路 的电流
6
根据矢量分析

安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电 荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。
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思 考 下列对安培环路定理 B dl 0 I 的说法中，正确的是
A、安培环路上的B完全是由公式中的I所产生的
B、如果I=0，一定有B=0
C、 如果在安培环路上的B处处为零，一定有I=0
§11-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem magnetic field) 根据毕萨定律，电流元的磁场以其为轴对称分 布，电流元平面内磁感线是头尾相接的闭合同心 圆。穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必 等于零，任意闭合曲面的都为零。 Idl 由叠加原理，整个电流回路的 磁场中任意闭合曲面的磁通量必 定都等于零，磁场的高斯定理。
dB
0 dI
2( R 2 r02 )3 / 2
dI=σωrdr
例18、电荷q均匀分布于一半径为R的圆盘上，圆 盘绕通过圆心且垂直于环面的轴匀速转动，角速度 为，求圆盘中心点的磁感应强度。
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§11-5 磁场对载流导线的作用
一、 安培定律
安培力：载流导线在磁场中受到的磁场力 大小
dF IdlB sin
Fx dFx
安培力应用
Fy dFy
Fz dFz
然后，求出合力即可。
磁悬浮列车车厢下部装有 电磁铁，当电磁铁通电被钢轨 吸引时就悬浮。列车上还安装 一系列极性不变的电磁铁，钢 轨内侧装有两排推进线圈，线 圈通有交变电流，总使前方线 圈对列车磁体产生吸引力，后 方 线 圈 对 列 车 产 生
表达式 B dl 0 I i
L i
I n 1
I2
符号规定：穿过回路 L 的电
流方向与 L 的环绕方向服从右
手关系的，I 为正，否则为负。
I nk
I1
Ii
3
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路 。
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B
取 L 矩形回路, ab 边在 轴上，cd 边与轴平行，另 两个边bc、da 垂直于轴。 根据安培环路定理：
c
d
B
b
a
L
B dl B dl B dl B dl B dl
ab bc cd da
例12、在磁感强度为B的均匀磁场中, 有一半径为R的半球面,B与半球面轴线 的夹角为α.求通过该半球面的磁通量.
B
α
2
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述 恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的
积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。
S B = 0 恒定电流磁场是散度为零的场

B dS = 0
B
1
例11、如图,载流长直 导线的电流为I,试求通 过矩形面积的磁通量.
I d1 d2
L I
O dx
X
思 考
如图所示，一很长的直导线有电 流为5.0A旁边有一个与它共面的 矩形线圈长=20cm，宽=10cm，AD 边距直导线为C=10cm，求穿过回 路ABCD的磁通量。
dl ''
0 Ir B 2πR 2
B
rR
r 有一根长载流导体直圆管，内半径为a，外半径为b，
电流强度为I，电流沿轴线方向流动，并且均匀地分布 9 在管的横截面上，求各处的磁感应强度
例14、求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。
解：一个单位长度上有 n匝的无限长直螺线管 由于是密绕，每匝视为 圆线圈。 由对称性分析场结构 1. 磁场只有与轴平行 的水平分量； 2.因为是无限长，在 与轴等距离的平行线 上磁感应强度相等。
dB' dB dB' '
dl '
l
p
d
c
面平行，则有
L B dl B 2l 0 jl 0 j B 方向如图所示。 2
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
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例17、半径为R的圆片上均匀带电,电荷面密度为σ, 令该片以匀角速度ω绕它的轴旋转,求轴线上圆片中 心O为x处的磁场.
B
R2
R1
根据对称性知，在与环共轴的
圆周上磁感应强度的大小相等， 方向沿圆周的切线方向。磁感线 是与环共轴的一系列同心圆。
12
p
设螺绕环的半径为 R1 , R2，共有N 匝线圈。
以平均半径 R作圆为安培回路 L得：
B 0 nI R1 r R2 N 2Rn
n 为单位长度上的匝数。
其中电荷dq沿导线速度为 v
电流元长 dl v dt 则 dq Idt
在电流元所在的微小空间区域，磁场可看作匀强的， 按照洛伦兹力公式，可得电流元所受磁场力 dl dF dqv B Idt B Idl B dt 这就是电流元在磁场中受到的安培力。
L
B dl ( B) d S
S
闭合路径包围的电流为电流
密度沿所包围的曲面的积分
I
i i
S
j dS
安培环路定理微分形式 B μ j 0
安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不 存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一 个十分重要的性质。