弹性力学 薄板弯曲

薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。
14
第三节 横截面上的内力
在薄板横截面上取一微分六面体， dy
其三边的长度分别为 dx, dy,t ,如图所
示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着
t 2
正应力 x和剪应力 xy, xz 。由于 x 和
t 2
x
在板厚上的总和为零，只能分别合
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
1 2
x y
y
E
1 2
y x
xy
E
21
xy
9
将应力分量用挠度 表示，得：
x
1
E
2
2
x 2
2
y 2
z
y
E
1 2
2
y 2
2
x 2
z
xy
E
1
2
xy
z
上式说明，主要的应力分量 x , y , xy 沿板的厚度线 性分布。
（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：
xz 0,
yz 0
（3）板面为中性层假设
即
uz0 0, vz0 0
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
z 0
5
第二节 基本方程
按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知 量，把所有其它物理量都用 来表示。
zx
E
2 1 2
z2
t2 4
x
2
zy
E
2 1 2
z2
t2 4
y
2
再由平衡微分方程第三式，得：
z zx zy
z x y
将 zx , zy 用挠度 表达式代入，并化简得：
z
z
2
E
1 2
t2 4
z2
4
（1）
12
由于挠度 不随z 变化，且薄板有边界条件:
z z t 0 2
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
y
成为弯矩
M x和扭矩M xy
；而
x
只能合
z
成横向剪力Qx 。
显然，在垂直于x 轴的横截面上，
每单位宽度之值如下：
dx
15
同理
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
Qx
2 t
xzdz
2
t
M y
2 t
y
zdz
2
t
M yx
2 t
yx
zdz
2
t
Qy
2 t
xzdz
2
3
第一节 基本假设
薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设： （1）板厚不变假设
垂直于中面方向的正应变 z 很小，可以忽略不计。
即 z 0
，由几何方程得
z
0 ，从而有：
x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。
（2）中面法线保持不变假设
4
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
2
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和 位移。
将（1）式对z 积分，得:
z
Et3
6 1 2
1
z
2
1
z
4
2 t t
设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面
力和横向体力），板上面的边界条件为:
z z t q 2
将 z的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:
4 q
D
13
其中
D
12
Et 3
1
2
称为薄板的弯曲刚度。
第十二章 薄板弯曲
概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移
1
概述
薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的 最小尺寸b的比值满足如下条件。
1 ~ 1 ＜ t ＜ 1 ~ 1 80 100 b 5 8
x
z
和
y
z的最大值发生在中面，而
之最大值
z
发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中，
x
,
y
,
xy
在数值上较大，因而是主要应力；
x
z
及
y
数值较
z
小，是次要的应力；挤压应力 z 在数值上最小，是更次要
应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。
x
12M x t3
z,
y
12M y t3
z
xy
12M t3
xy
z
xz
6Qx t3
t2 4
z 2
yz
6Qy t3
t2 4
z 2
y
2q 1 2
z
2
1
t
z t
18
显然，沿着薄板的厚度，应力分量 x , y , xy 的最大值
发生在板面，
yz
0 可知
u z
w x
0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
x
y
于是应变分量用 表示为:
x
u x
2w x2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
7
小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的
曲率可近似地用挠度 表示为:
kx
2w x 2
ky
2w y 2
kxy
2
2w xy
所以应变分量又可写成
x kxz y kyz
xy kxyz
8
（2）物理方程
不计 z 所引起的应变，物理方程为：
x1 Exyy1 E
y
x
xy
21
E
xy
把应力分量用应变分量表示，得：
x
E