数学中的逻辑学

数学中的逻辑学

Logic in Mathematics

华东师范大学数学系 羊丹平

主要参考书

[1] 逻辑学 中国人民大学哲学院逻辑学教研室/编 中国人民大学出版社 2014

[2] 逻辑学基础 杨武金编著 科学出版社 2012年版

[3] 形式逻辑 金岳霖主编 人民出版社 1979年版

[4] 数理逻辑的思想和方法 李娜著 南开大学出版社 2007年版

[5] 逻辑学是什么（The Power ofLogic）（中译本） 斯蒂芬.雷诺著 中国人民大学出版社. 2014年版

[6] 逻辑要义(Essentials of Logic)（中译本）欧文.M.柯匹等著 世界图书出版社 2013年版

什么是逻辑学1 逻辑学是研究思维过程中有效推理的规律、方法和应用的科学。它撇开思维过程中推理和论证的具体内容，专门研究前提和结论之间的形式结构关系和有效推理模式，使得人们能够由真实的已知的知识（称为前提）只能推出真实的新的知识（称为结论）。爱因斯坦指出：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里德几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。”爱因斯坦所说的形式逻辑体系即体现在欧几里得几何学中的实质公理化方法，是一种逻辑的应用，它的理论形式就是由亚里士多德创立的三段论演绎公理系统。爱因斯坦所说的“通过系统的实验发现有可能找出因果关系”，就是由培根、穆勒等人所创立的归纳逻辑。这句名言深刻的阐述了逻辑学对现代科学发展的深远影响和科学意义。逻辑学是一门基础性学科，人类的一切思维活动和知识领域都离不开逻辑，因而逻辑学是其它一切科学的基础。德⋅ 摩根说：“数学和逻辑是精确科学的两只眼睛”。逻辑学也是一门工具性学科。逻辑是人们表达和论证思想的必要工具，也是认识事物的重要工具。 逻辑是由英语中logic音译而来。从词源上说，“逻辑”一词来源于希腊词“逻各斯”（logos）,其含义是多义的，基本词义是言辞、理性、秩序和规律，其中核心含义是“秩序”和“规律”。引申出众多衍生含义，如：一般的规律、原理和规则；说明、解释、论证；理性、推理、与经验相对的抽象理论、与直觉相对的有条理的推理等。中国古代称对应的学问为“名”或“辩”。“逻辑”这个名词最初由严复翻译过来，后经章士钊提倡得以普遍使用。孙中山先生倡导“理则学”，意为“思想之门径”、“诸学之准则”。日本人翻译为“伦理学”，即议论、论证的条理的学问。目前中国学者通用“逻辑学”，日本学者惯用“论理学”，中国台湾、香港及东南亚学者还用“理则学”这个名称。

逻辑学经历了古代、近代到现代的发展历程。古代逻辑学有三大主要源流：中国先秦时期的名辩学，以名、辞、说、辩为主要内容。主要代表人物有墨子、荀子和韩非子等；古印度带有佛教色彩的因明学，代表人物为陈那、法称等；古希腊的逻辑学，主要人物是亚里士多德，他被称为“逻辑之父”，发展了三段论的逻辑;还有斯多葛学派的克西普斯，发展了命题逻辑、研究了条件命题及其推理等。在实际的历史进程中，中国先秦逻辑和古印度逻辑都有某种中断，没有进入世界逻辑发展的主流。唯有肇始于古希腊逻辑的西方逻辑有相对完整的发展历史，后来成为世

界逻辑发展的主流，现代逻辑学就是以它为基础发展起来的。逻辑学在近代的发展，主要是培根等人创立的归纳逻辑。逻辑学在近代的又一个发展方向是由黑格尔创立的辩证逻辑。古代逻辑和近代逻辑内容，通常也称为传统逻辑或普通逻辑。现代逻辑又称为符号逻辑、数理逻辑等。其先驱人物首先是300年前的莱布尼兹，他提倡用数学方法研究逻辑，之后是200年前的布尔，他创立了逻辑代数又称布尔代数，本质上是一种二进制数学。通常认为数理逻辑的真正创立者是100年前的弗雷格和罗素，希尔伯特和哥德尔建立了逻辑的元理论。现代逻辑的发展基本上沿着基础研究和应用研究两个方向发展，基础研究包括公理集合论、模型论、递归论和证明论等；应用研究方向则包括两个方面：一是非经典逻辑分支的研究：如多值逻辑（三值逻辑、模糊逻辑、概率逻辑）、亚结构逻辑（线性逻辑、相干逻辑）和直觉主义（构造性）逻辑等；二是应用已有一阶逻辑工具于哲学、语言学等，产生了模态逻辑（时间逻辑、道义逻辑、认知逻辑、动态逻辑）、哲学逻辑（次协调逻辑（弗协调逻辑）、自由逻辑）、语言逻辑、辩证逻辑、非形式逻辑、逻辑推理等。客观世界和人类社会的现象和情况是多样化的，逻辑学涵盖的类别也是丰富多彩。现代逻辑学枝繁叶茂。针对不同的对象，在不同的基本规律假设下，发展出众多分支。在学习、研究和使用逻辑，应该深刻了解各种逻辑体系适用范围和基本规律的差异和不同，要充分清楚和理解应用对象的特性，清楚地了解其是否满足相应逻辑所需的基本条件，否则也会得不到有效的结果，甚至错误的结论。

逻辑学本身是一门博大高深的学问。本课程的目的是介绍形式逻辑的基本知识、基本逻辑符号和它们的演算规则，特别注重在数学中的体现和应用。形式逻辑一词最初由康德提出，指从亚里士多德到中世纪这一段时期内建立起来的逻辑科学。其特点是抽掉思维的具体内容，只考虑思维的形式。后来，形式逻辑有了新发展，产生了用数学方法研究逻辑的新方法-数理逻辑（符号逻辑、理论逻辑）。因此，通

常将形式逻辑分为传统的形式逻辑（或传统逻辑、经典逻辑）和现代形式逻辑（或数理逻辑）两种。习惯上，传统的数学逻辑简称为形式逻辑。本讲义中所要陈述的限于传统形式逻辑的内容。

形式逻辑（Formal Logic） 研究正确思维（概念、判断或命题、推理）的形式结构、规律、方法和应用，其主要研究对象是演绎推理的形式。形式逻辑所研究的思维形式，指思维的存在和表现的形式。思维或是形成概念，或是进行判断、或是进行推理。因而，思维就是以概念、判断（命题）、推理这几种形式表现出来。形式逻辑从形式方面给思维提出规范性和要求。遵守这些规范和要求，思维就能达

到形式正确性，而形式正确性是思维正确性的必要条件。因此，形式逻辑教给人们

正确地进行思维，辨识论断中的逻辑错误，以及如何准确有效地表达自己的思想。

经典逻辑的基本规律：经典逻辑是众多逻辑体系中最基本、最基础、最常用

的逻辑体系。

在思维过程中，首先需要明确的最基本的问题（要素）是：

（1）如何合格地表述自己和理解别人的思想，相互认可，达成共识？

（2）如何确保思维过程中得到结论？

（3）如何确保思维过程中得到可用的结论？

（4）如何确保思维过程中得到正确的结论？

缺少上面任何一个环节，都不会完成一个完整、有意义和有效的思维过程。因此，

在任何一个逻辑体系内，必须对上述四个基本要素给出基本的规定，进而在此基础

上构建相应的逻辑体系。

针对上述四个基本问题，经过长期论辩和缜密归纳和总结，经典逻辑确立了相

应的四条基本定律：同一律、排中律、矛盾律和充足理由律。经典逻辑学建立在四

大定律基础上。

A. 同一律（Law of identity）：同一律的公式是：

Whatever is, is. – Russell

译文：是其所是。同一律要求在同一个思维过程中凡同名者必同义。

在同一思维过程，在同一时空和从同一立场，每一思维的对象、概念、判断

和其它思维形式必须始终与其自身是同一的。

A是 A

这里A可以是一个概念、定义、判断或其它思维形式等。“A是A”表示在同一思

维过程中，A所表述的概念、定义、判断或其它思维形式等必须是同一的。

同一律有两层含义：