2020年日本数学奥林匹克决赛考试试题(无答案)

2020年日本数学奥林匹克决赛试题

一、求所有正整数对（m,n ），使得422112+++-m m

n n 和都是整数。 二、在△ABC 中，BC ＜AC 。点D 、E 分别位于线段AB 、AC 上。满足BD=CE=BC 。直线BE 与CD 交于点P 。△ABE 的外接圆和△ACD 的外接圆再次交于点Q 。求证：PQ ⊥BC 。

三、求所有的函数++→Z Z f :，使得对所有的正整数m,n 均有 ()()()()22

222n m f n f m n f m +≥-++ 四、设整数n ≥2.在圆周上有3n 个不同的点,井上和松下对它们进行如下操作:首先,井上任选两个未连接过的点,将它们用一条线段连起来。随后,松下任选一个没有放置过棋子的点,在上面放一个棋子.以上记为一个回合。

请证明;无论松下怎么操作,井上可以保证，在n 回合之后,恰有一端有

棋子的线段的个数不小小于

61

-

n。

五、求所有正整数构成的满足以下条件的无穷数列{}1≥n

a n：存在满足条件的常数C＞0，使得gcd(a m+n,a n+m)＞c(m+n).