直线与圆的方程在实际生活中的应用
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P
M
5
O
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
P
C X O
A
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
B
A
A1
A2 O A3
A4
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程Hale Waihona Puke Baidu P P
2
x2+(y+10.5)2=14.52
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o y A M N D x
4.2.3
直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
2
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
M O1 N
o
O2
x
练习:等边△ABC中，点D,E分别在边BC ，AC
上，且∣BD∣=1∕3 ∣BC∣, ∣CE∣= 1∕3 ∣CA∣,AD,BE相交于点P.求证：AP⊥CP. y A ( 3,3 3 )
E
(0,0)
B
(5, 3 )
P
o
(2,0)
D
(6,0)
C
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所 截得的弦长. 2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过?
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
C A o M N x
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？ B
C M A
E
D
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方 程表示问题中的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结 论.
M
5
O
N
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中， |OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P 是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最 yB 大值和最小值.
P
C X O
A
作业：
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都 等于1，圆心距为4，过动点P分别作 圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且 使得|PM|= 2|PN|，试求点P的运动 轨迹是什么曲线？ y P
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
B
A
A1
A2 O A3
A4
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程Hale Waihona Puke Baidu P P
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x2+(y+10.5)2=14.52
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
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X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
B
C o y A M N D x
4.2.3
直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
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知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
M O1 N
o
O2
x
练习:等边△ABC中，点D,E分别在边BC ，AC
上，且∣BD∣=1∕3 ∣BC∣, ∣CE∣= 1∕3 ∣CA∣,AD,BE相交于点P.求证：AP⊥CP. y A ( 3,3 3 )
E
(0,0)
B
(5, 3 )
P
o
(2,0)
D
(6,0)
C
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所 截得的弦长. 2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过?
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
C A o M N x
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？ B
C M A
E
D
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方 程表示问题中的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结 论.