分解质因数

分解质因数

方法点播：

若自然数N分解质因数的结果是：N＝p1r1·p2r2·… p n rn,其中p1 ,p2…p n

为互不相同的质数，r1 ，r2，…，r n为自然数，且分别是p1r1·p2r2·… p n rn

的指数，那么，N的因数个数是：（r1＋1）×（r2＋1）×…×（r n＋1）

N的所有因数的和是：

（1＋p1＋p11＋…＋p r11）×（1＋p2＋p21＋…＋p r22）×（1＋p n＋p n1＋…＋p rn n）

如果一个数是某一个质数的平方，那么这个数只有3个因数。反之，如果一个数只有

3个因数，那么这个数一定是每个质数的平方。

如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的因数个数一定是奇数；反之，如果一个

数的因数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数。

如果一个数不上完全平方数，那么这个数的因数个数一定是偶数；反之，如果一个数的因数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。

【典型例题】

【例1】有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040.问：他们的年龄各是多少？

【融会贯通】有5个孩子，他们的年龄一个比一个小1岁，他们年龄的乘积是55440.求这5

个孩子的年龄各是多少？

【例2】工厂有零件403箱，要用若干辆汽车运送。要求每辆汽车运的箱数相等，而且要一次运完。问：要用几辆汽车？每辆汽车运多少箱？

【融会贯通】有一个老师带领同学们去植树。同学们按人数恰好分成3组。已知他们共植树312棵，老师与学生每人植树一样多，且都不超过10棵。问：一共有多少名学生？每人植树多少棵？

【例3】有三个自然数a、b、c，若已知a×b＝10，b×c＝14，则a×b×c的值是多少？

【融会贯通】有3个自然数a，b，c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c的值是多少？

【例4】下面的算式里，□里面的数字各不相同，求这四个数字的和。

□□×□□=1995

【融会贯通】在下面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，求被盖住的四个数字的总和是多少？

□□

×□□

1 6 5 3

【例5】如果两个数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

【融会贯通】在算式2×□□□=□□□的6个空格中，分别填入,2、3、4、5、6、7这几个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个积是多少？

【能力拓展】

1、把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少个因数。

146 255 360 400

2、小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910.”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗？

3、学校进行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人的年龄乘积是11880，求这四个同学的年龄各是多少？

4、在算式×=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和。

5、非零自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。

【快乐闯关】

1、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数能同时被30整除，求这两个数。

2、一个非零自然数a与1080的乘积是一个平方数，当a最小时，求这个平方数是多少？

3将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

4、有6个人都是4月5日出生的，并且都属龙，某一年他们年龄的连乘积为17597125，那么这一年他们的年龄之和是多少？

最大公因数与最小公倍数

方法点播：

任取几个非零数，他们都会有很多相同的因数（约数），也会有一些相同的倍数。相同因数中最小的一个总是1，最大的一个的它们的最大公因数；而零则是每个非零自然数的倍数，这些数的相同的倍数中没有最大的，最小的一个就是他们的最小公倍数。

【典型例题】

【例1】一张长方形的纸，长7分米、宽6分米。现在要裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，问：有几种裁法？如果要使裁成的正方形面积最大，问：可以裁成多少块？

【融会贯通】将一块长80米，宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少？

【例2】甲、乙、丙三个人是好朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问：至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？

【融会贯通】五年级一班的同学每周一都要去看望军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天这三个班的同学会再次同一天去张爷爷家？【例3】把26、33、34、35、63、85、91、143这8个数分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公因数都是1。那么，至少要分几组？【融会贯通】把下面几个数平均分成两组，使第一组数的乘积与第二组数的乘积相等。 14、33、35、30、75、39、143、169

【例4】从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【融会贯通】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，问：这些正方形的边长最长的多少？【例5】两个自然数的和是50，他们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？

【融会贯通】两个数的积是5766，他们的最大公因数是31，问这两个数的多少？

【能力拓展】

1、某商店有每件标价0.35元、0.25元、0.15元、0.10元的四种规格的商品。甲油人民币

2.70元，乙有人民币1.50元。两人要购买其中相同的一种商品，要求买的件数最少，且无剩余的钱，问：应买哪一种规格的商品？2、某班共有50人，上体育课时，男生横着正好站成两排，前排同学报数。先1、2、3、1、2、3，…报，再1、2、3、4、1、2、3、4，…报，最后1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、

6、…报。三次报数，末尾的同学都报2，问：这个班有男生多少人？3、从小明家到学校原来每隔 55 米安装一根电线杆，加上两端的两根一共有55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，那么除两端的两根不需要移动外，中途有多少根不必移动？4、一个班的学生数不足50人，在一次数学测试中，全班有7

1的学生得90分到100分，有21的学生得80分到89分，有3

1的学生得60分到79分，请问：这个班有多少个学生不及格？5、有一条公路由A 经B 到C ，已知A 、B 两地相距140米，B 、C 两地相距105米，现在要在路边植树，要求是相邻两棵树之间的距离相等，并且在B 点及AB 、BC 的中点上都要植一棵树，问：两棵树间的最大距离是多少米？【快乐闯关】

2、 求72的全部因数有多少个？并求出全部因数的和。

2、求10×11×12×…×29×30之积的末尾连续有几个0？

3两个数的最大公因数是20，最小公倍数是330，求这两个数的乘积是多少？