18.第十一讲 空间几何体(教师版)

第十一讲空间几何体

考点一、空间几何体的三视图

1.如图所示几何体,是由哪个平面图形旋转得到的(A)

2.(四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(D)

3.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(B)

A.16+2π

B.8+2π

C.16+π

D.8+π

解析:由题图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与

一个长方体拼接而成的,因此该几何体的体积V=1×2×4+π×12×2=8+2π.

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(A)

A.72

B.66

C.60

D.30

解析:根据题目所给的三视图可知该几何体为一个侧棱与底面

垂直的三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为

3,4,斜边长为5,三棱柱的高为5,所以表面积为

3×4+3×5+4×5+5×5=72.

5.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的

表面积是4(π+1).

解析:这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个

底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积是

2××π×12

+×2π×1×2+2×2+4π×

考点二、空间几何体的直观图

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形

是(A)

7.

如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,

其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC 的面积为 24 . 解析:由题意知原图形OABC 是平行四边形,且OA=BC=6,设平行四边形OABC 的高为OE ,

则OE×=O'C',∵O'C'=2,∴OE=4,∴S ▱OABC =6×4=24.

8. 已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为(D)

A.a 2

B.a 2

C.a 2

D.a 2 解析:先画出正三角形ABC ,然后再画出它的水平放置的直观图,

如图所示,由斜二测画法规则知B'C'=a ,O'A'= a.过A'作A'M ⊥x'轴,

垂足为M ,则A'M=O'A'·sin45°=a×

a.∴S △A'B'C'=B'C'·A'M=a×a=a 2.

考点三、几何体的表面积公式

9.如图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(B)

解析:在这个正方体的展开图中与有圆面相邻的三个面中都有一条直线,当变成正方体后,这三条直线应该互相平行.

10.把边长为4和2的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.

解:设卷成的圆柱底面半径为r,母线长为l,则2πr=4,l=2.∴r=,V=πr2l=.

以上解法正确吗?

答案:以上解法不正确.

用一个矩形围成圆柱时,有两种不同的方式,所以体积应有两个结果.

当2πr=4,l=2时,r=,h=l=2,V

圆柱

=πr2h=;

当2πr=2,l=4时,r=,h=l=4,V

圆柱=πr2h=.

11.如图所示是一个几何体的三视图,根据图中数据,

可得该几何体的表面积是12π.

解析:此几何体的上部分为球,球的直径为2,下部分为一圆柱,

圆柱的高为3,底面圆的直径为2,所以S

表

=4π+π+π+2π×3=12π.

12.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是(C)

A.8π

B.6π

C.4π

D.π

解析:设正方体的棱长为a,则a3=8.而此内切球直径为2,∴S表=4πr2=4π.

13.( 福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、

俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 12π .

解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径2r=,所以r=,故该球的表面积为S

球=4πr 2=4π×3=12π.

考点四、几何体的体积公式

14. 正六棱柱的高为5,底面边长为3,则它的体积为(C)

A.48

B.27

C. 1352

D.36

15. 已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,且P A=8,则该四棱锥的体积是 96 .

解析:底面正方形的面积S=62=36,又∵P A ⊥底面ABCD ,P A=8,

∴V P-ABCD =×S×P A=×36×8=96.

16. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A)

A.π

B.π

C.π+8

D.12π

解析:由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,

分别计算其体积相加得π×22×2+π=π

17.如图,在三棱柱A

1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点,

设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,

则V1∶V2=1∶24.

解析:由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离

之比为1∶2,S△ADE∶S△ABC=1∶4.因此V1∶V2==1∶24.

巩固练习

1.已知一个几何体的三视图如图所示,分析此几何体的组成为( C )

A.上面为棱台,下面为棱柱

B.上面为圆台,下面为棱柱

C.上面为圆台,下面为圆柱

D.上面为棱台,下面为圆柱

2.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是( D )

解析:∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形,∴其可能为正方体或底面直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱,但不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体.

3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( C )

解析:几何体为一柱体,高为1,若体积为,则其底面积为,只有C项符合此条件.

4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( C )

A.64+32π

B.64+64π

C.256+64π

D.256+128π

解析:依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的底面边长是8、侧棱长是4,圆柱的底面半径是4、高是4,因此所求几何体的体积等于