高三数学一轮复习二项式定理ppt

＋…
＝
.
-
20
在二项式(2x－3y)9展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和． [思路点拨]
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[课堂笔记] 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为
＋…＋ ＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得：
A．10
B．5
C.
D．1
-
()
8
解析：∵含x2的项为 ( )2＝ x2 ， ∴x2的系数为 . 答案：C
-
9
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的
第三项的二项式系数为
()
A．24
B．18
C．16
D． an－1(2b)＝2 an－1b，
∴2 ＝8，∴n＝4，
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1
1.能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式
有关的简单问题．
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2
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3
1．二项式定理
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4
[思考探究1] 在(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中，其通项相同吗？ 提示：从整体上看，(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是相同的，但 具体到某一项是不同的，如第r＋1项Tr＋1＝ an－rbr，T′ r＋1＝ bn－rar.
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16
已知在(
)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)通项为Tr＋1＝
＝
，
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有
＝0，
即n＝10.
(2)令
＝2，得r＝ (n－6)＝ ×(10－6)＝2，
∴所求的系数为
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11
4．若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是 ________． 解析：∵Tr＋1＝ (ax)5－r(－1)r，且x3的系数为－80.
答案：－2
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12
5．若(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x －
解1)析11，：则令ax1＝＋2a，2＋则…有＋a0a＋11＝a1＋__a_2_＋__…__＋. a11＝(22＋1)(2 －2)9＝0，
应用
解出r来，即得系数最大的项．
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已知f(x)＝( ＋3x2)n展开式中各项的系数和比 各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]
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[课堂笔记] (1)令x＝1，则二项式各项系数和为f(1)＝(1＋ 3)n＝4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.
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5
2．二项式系数的性质
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6
[思考探究2]
二项式系数与项的系数有什么区别？
提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项
式系数是指
，它只与各项的项数有关，而与a，
b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不
仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
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7
1.
的展开式中x2的系数为
a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，可得
a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝
，即为所有奇数项系数之和．
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(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1 ＋a2－a3＋…－a9＝59.
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由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中
间两项，它们是
T3＝ (x )3(3x2)2＝90x6， T4＝ (x )2(3x2)3＝270x . (2)展开式通项为Tr＋1＝ 3r·x
再令x＝1，则有a0＝(12＋1)·(－1)＝－2，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.
答案：2
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13
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在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是 公式Tr＋1＝ an－rbr(0≤r≤n，r∈N*，n∈N*)的正确应用．
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[特别警示] 应用二项展开式的通项公式Tr＋1＝ an－rbr(r ＝0,1,2，…，n)时，要注意以下几点： (1)通项公式表示的是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数 与第r＋1项的系数， 在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般 先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错．
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(3)根据通项公式，由题意
令
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－ k，
∵r∈N，∴k应为偶数．
∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
(－ )2x2，
，
x－2.
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1.对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求
∴第三项的二项式系数为 ＝6.
答案：D
-
10
3．若(x＋ )n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的
常数项为
()
A．10
B．20
C．30
D．120
解析：二项式系数之和2n＝64，
则n＝6，Tr＋1＝ ·x6－r· ＝ x6－2r， 当6－2r＝0时，即r＝3时为常数项，T3＋1＝ 答案：B
＝20.
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1.求二项式系数最大的项： 如果n是偶数，则中间一项 数最大； 如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等且最大；
-
的二项式系
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2．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开
式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开
式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，
其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即
可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之
和，只需令x＝y＝1即可．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开
式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4
＋…＝
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5